人教版数学九年级下册课件：27.2.3相似三角形应用举例（24张PPT）
文档属性
| 名称 | 人教版数学九年级下册课件：27.2.3相似三角形应用举例（24张PPT） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 363.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-12-28 18:48:28 | ||
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文档简介
第二十七章 相似
相似三角形应用举例
1.进一步巩固相似三角形的知识．
2.能够运用三角形相似的知识解决一些实际问题．
学习目标
1．回顾相似三角形的判定方法：
（1）相似三角形的定义；
（2）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，
所构成的三角形与原三角形相似定理；
（3）判定定理一；
（4）判定定理二；
（5）判定定理三；
（6）判定定理四.
复习巩固
2．相似三角形有哪些性质？
（1）对应角相等，对应边成比例；
（2）对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比；
（3）周长的比等于相似比；
（4）面积的比等于相似比的平方．
复习巩固
例1.据传说，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度．
如图，木杆EF长2 m，它的影长FD为3 m，测得OA为201 m，求金字塔的高度BO．
B
E
A(F)
D
O
例题解析
思考：如何测出OA的长？
金字塔的影子可以看成一个等腰三角形，则OA等于这个等腰三角形底边上的高与金字塔边长的一半的和．
B
E
A(F)
D
O
例题解析
分析：把太阳光的光线近似看成平行光线，可知在同一时刻的阳光下，竖直的两个物体的影子互相平行，从而构造相似三角形，再利用相似三角形的判定和性质，根据已知条件，求出金字塔的高度．
B
E
A(F)
D
O
例题解析
解：太阳光是平行光线，因此∠BAO=∠EDF，
又∠AOB=∠DFE=90°，
∴△ABO∽△DEF．
∴ ．
∴ （m）．
因此金字塔的高度为134 m．
B
E
A(F)
D
O
例题解析
A
F
E
B
O
还可以用其他方法测量吗？
如图，△ABO∽△AEF
平面镜
例题解析
例2.如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P，Q，S共线且直线PS与河垂直，接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，确定
PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R．
已测得QS=45 m，ST=90 m，QR=60 m，
请根据这些数据，计算河宽PQ．
P
Q
R
S
T
a
b
例题解析
解：∵∠PQR=∠PST=90°，∠P=∠P，
∴△PQR∽△PST．
∴ ，
即 ， ，
PQ×90=（PQ＋45）×60．
解得PQ=90（m）．
因此，河宽大约为90 m．
P
Q
R
S
T
a
b
例题解析
例3.如图，左、右并排的两棵大树的高分别是AB=8 m和CD=12 m，两树底部的距离BD=5 m，一个人估计自己眼睛距地面1.6 m．她沿着正对这两棵树的一条水平直路l从左向右前进，当她与左边较低的树的距离小于多少时，就看不到右边较高的树的顶端C了？
例题解析
分析：如图（1），设观察者眼睛的位置为点F，画出
观察者的水平视线FG，分别交AB，CD于点H，K．
视线FA与FG的夹角∠AFH是观察点A时的仰角．
类似地，∠CFK是观察点C时的仰角．
由于树的遮挡，区域Ⅰ和Ⅱ都是观察
者看不到的区域（盲区）．
例题解析
解：如图（2），假设观察者从左向右走到点E时，她的眼睛的位置点E与两棵树的顶端点A，C恰在一条直线上．
∵AB⊥l，CD⊥l，
∴AB∥CD．
∴△AEH∽△CEK．
∴ ，
例题解析
即 ．
解得EH=8（m）．
由此可知，如果观察者
继续前进，当她与左边
的树的距离小于8 m时，
由于这棵树的遮挡，
她看不到右边树的顶端C．
例题解析
总结：利用三角形相似，可以解决一些不能直接测量的物体的长度或高度问题．
方法可以有：
立标杆、目测、利用太阳光下的影子、利用镜子．
课堂归纳
1．如图，ABCD是正方形，E是CD的中点，P是BC边上的一点，下列条件：
（1）∠APB=∠EPC；（2）∠APE=90°；（3）P是BC的中点；（4）BP︰BC=2︰3．其中能推出△ABP∽△ECP的有（ ）．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
B
课堂练习
探究新知
2．如图，在△ABC中，DE∥BC，DE分别与AB，AC相交于
点D，E．若AD=4，DB=2，则DE︰BC的值为（ ）．
A.．
B.
C．
D．
3．如图，电灯P在横杆AB的正上方，AB在
灯光下的影子为CD，AB∥CD，AB=2 m，
CD=5 m，点P到CD的距离是3 m，则点P到AB的距离是（ ）．
A．
m
B.
m
C．
m
D．
m
A
C
解：∵AB∥CE，
∴△ABD∽△ECD．
∴
∴
4．如图，测得BD=120 m，DC=60 m，EC=50 m，求河宽AB．
A
C
D
B
E
∴AB=100（m）
答：河宽AB为100 m．
课堂练习
5．如图所示，大江的一侧有甲，乙两个工厂，它们有垂直于江边的小路，长度分别为m千米及n千米，设两条小路相距l千米．
现在要在江边建立一个抽
水站，把水送到甲，乙两
厂去，欲使供水管路最短，
抽水站应建在哪里？
课堂练习
解：如图所示，AD垂直于江边于D，BE垂直于江边于E，则AD=m千米，BE=n千米，DE=l千米．
延长BE至F，使EF=BE．
连接AF交DE于点C，则在C点建抽水站，到甲，乙两厂的供水管路AC+CB为最短．
设CD=x千米，因为Rt△ADC∽Rt△FEC，
所以
，即
解得x=
（千米）．
课堂练习
1．相似三角形的应用主要有两个方面：
（1）测高（不能直接使用皮尺或刻度尺测量的）测量不能到达顶部的物体的高度，通常用“在同一时刻物高与影长成比例”的原理解决．
（2）测距（不能直接测量的两点间的距离）测量不能到达的两点间的距离，常构造相似三角形求解．
课堂小结
2．利用相似三角形解决实际问题的一般步骤：
（1）审题；
（2）构建图形；
（3）利用相似解决问题．
课堂小结
再见
相似三角形应用举例
1.进一步巩固相似三角形的知识．
2.能够运用三角形相似的知识解决一些实际问题．
学习目标
1．回顾相似三角形的判定方法：
（1）相似三角形的定义；
（2）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，
所构成的三角形与原三角形相似定理；
（3）判定定理一；
（4）判定定理二；
（5）判定定理三；
（6）判定定理四.
复习巩固
2．相似三角形有哪些性质？
（1）对应角相等，对应边成比例；
（2）对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比；
（3）周长的比等于相似比；
（4）面积的比等于相似比的平方．
复习巩固
例1.据传说，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度．
如图，木杆EF长2 m，它的影长FD为3 m，测得OA为201 m，求金字塔的高度BO．
B
E
A(F)
D
O
例题解析
思考：如何测出OA的长？
金字塔的影子可以看成一个等腰三角形，则OA等于这个等腰三角形底边上的高与金字塔边长的一半的和．
B
E
A(F)
D
O
例题解析
分析：把太阳光的光线近似看成平行光线，可知在同一时刻的阳光下，竖直的两个物体的影子互相平行，从而构造相似三角形，再利用相似三角形的判定和性质，根据已知条件，求出金字塔的高度．
B
E
A(F)
D
O
例题解析
解：太阳光是平行光线，因此∠BAO=∠EDF，
又∠AOB=∠DFE=90°，
∴△ABO∽△DEF．
∴ ．
∴ （m）．
因此金字塔的高度为134 m．
B
E
A(F)
D
O
例题解析
A
F
E
B
O
还可以用其他方法测量吗？
如图，△ABO∽△AEF
平面镜
例题解析
例2.如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P，Q，S共线且直线PS与河垂直，接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，确定
PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R．
已测得QS=45 m，ST=90 m，QR=60 m，
请根据这些数据，计算河宽PQ．
P
Q
R
S
T
a
b
例题解析
解：∵∠PQR=∠PST=90°，∠P=∠P，
∴△PQR∽△PST．
∴ ，
即 ， ，
PQ×90=（PQ＋45）×60．
解得PQ=90（m）．
因此，河宽大约为90 m．
P
Q
R
S
T
a
b
例题解析
例3.如图，左、右并排的两棵大树的高分别是AB=8 m和CD=12 m，两树底部的距离BD=5 m，一个人估计自己眼睛距地面1.6 m．她沿着正对这两棵树的一条水平直路l从左向右前进，当她与左边较低的树的距离小于多少时，就看不到右边较高的树的顶端C了？
例题解析
分析：如图（1），设观察者眼睛的位置为点F，画出
观察者的水平视线FG，分别交AB，CD于点H，K．
视线FA与FG的夹角∠AFH是观察点A时的仰角．
类似地，∠CFK是观察点C时的仰角．
由于树的遮挡，区域Ⅰ和Ⅱ都是观察
者看不到的区域（盲区）．
例题解析
解：如图（2），假设观察者从左向右走到点E时，她的眼睛的位置点E与两棵树的顶端点A，C恰在一条直线上．
∵AB⊥l，CD⊥l，
∴AB∥CD．
∴△AEH∽△CEK．
∴ ，
例题解析
即 ．
解得EH=8（m）．
由此可知，如果观察者
继续前进，当她与左边
的树的距离小于8 m时，
由于这棵树的遮挡，
她看不到右边树的顶端C．
例题解析
总结：利用三角形相似，可以解决一些不能直接测量的物体的长度或高度问题．
方法可以有：
立标杆、目测、利用太阳光下的影子、利用镜子．
课堂归纳
1．如图，ABCD是正方形，E是CD的中点，P是BC边上的一点，下列条件：
（1）∠APB=∠EPC；（2）∠APE=90°；（3）P是BC的中点；（4）BP︰BC=2︰3．其中能推出△ABP∽△ECP的有（ ）．
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
B
课堂练习
探究新知
2．如图，在△ABC中，DE∥BC，DE分别与AB，AC相交于
点D，E．若AD=4，DB=2，则DE︰BC的值为（ ）．
A.．
B.
C．
D．
3．如图，电灯P在横杆AB的正上方，AB在
灯光下的影子为CD，AB∥CD，AB=2 m，
CD=5 m，点P到CD的距离是3 m，则点P到AB的距离是（ ）．
A．
m
B.
m
C．
m
D．
m
A
C
解：∵AB∥CE，
∴△ABD∽△ECD．
∴
∴
4．如图，测得BD=120 m，DC=60 m，EC=50 m，求河宽AB．
A
C
D
B
E
∴AB=100（m）
答：河宽AB为100 m．
课堂练习
5．如图所示，大江的一侧有甲，乙两个工厂，它们有垂直于江边的小路，长度分别为m千米及n千米，设两条小路相距l千米．
现在要在江边建立一个抽
水站，把水送到甲，乙两
厂去，欲使供水管路最短，
抽水站应建在哪里？
课堂练习
解：如图所示，AD垂直于江边于D，BE垂直于江边于E，则AD=m千米，BE=n千米，DE=l千米．
延长BE至F，使EF=BE．
连接AF交DE于点C，则在C点建抽水站，到甲，乙两厂的供水管路AC+CB为最短．
设CD=x千米，因为Rt△ADC∽Rt△FEC，
所以
，即
解得x=
（千米）．
课堂练习
1．相似三角形的应用主要有两个方面：
（1）测高（不能直接使用皮尺或刻度尺测量的）测量不能到达顶部的物体的高度，通常用“在同一时刻物高与影长成比例”的原理解决．
（2）测距（不能直接测量的两点间的距离）测量不能到达的两点间的距离，常构造相似三角形求解．
课堂小结
2．利用相似三角形解决实际问题的一般步骤：
（1）审题；
（2）构建图形；
（3）利用相似解决问题．
课堂小结
再见