人教版数学九年级下册课件：27.3位似（31张PPT）

第二十七章 相似
位 似
　　
1.了解位似图形的有关概念，掌握其性质与作图．
2.利用位似将一个图形放大或缩小．
3.掌握平面直角坐标系中图形的位似变化与对应点坐标变化的
规律．了解四种变换（平移、轴对称、旋转和位似）的异同．
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在日常生活中，经常见到这样一类相似的图形．
例如，放映幻灯片时，通过光源，把幻灯片上的图形放大到屏幕上；在照相馆中，摄影师通过照相机，把人物的形象缩小在底片上．
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这样的放大或缩小，没有改变图形的形状，经过放大或缩小的图形，与原图形是相似的，因此，我们可以得到真实的图片和满意的照片．
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探究新知
【数学探究】位似图形,此交互动画介绍各种图形的位似情况
1．请欣赏如下图形的变换：
下列图形中，每个图中的四边形ABCD和四边形A′B′C′D′都是相似图形．分别观察这五个图，你发现每个图中的两个四边形各对应点的连线有什么特征？
探究新知
两个四边形各对应点的连线相交于一点．
探究新知
每个图中的两个四边形各对应点的连线相交于一点．
探究新知
位似图形的概念：
每幅图的两个图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，像这样的两个图形叫做位似图形，
这个点叫做位似中心
（位似中心可在形上、
形外、形内)．我们称
这两个图形关于这点位似．
探究新知
明确：（1）位似图形对应顶点的连线相交于一点；
（2）不经过位似中心的对应边平行；
（3）位似是一种具有位置关系的相似；
（4）位似图形是相似图形的特殊情形；
（5）位似图形必定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形；
（6）两个位似图形的位似中心只有一个；
（7）两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可
　　能位于位似中心的一侧．
探究新知
2．把下图中的四边形ABCD缩小到原来的　 ．
分析：把原图形缩小到原来的　 ，也就是使新图形上各顶点到位似中心的距离与原图形上各对应顶点到位似中心的距离之比为1∶2．
D
A
B
C
探究新知
O
D
A
B
C
A'
B'
C'
D'
作法一：（1）在四边形ABCD外任取一点O；
（2）过点O分别作射线
OA，OB，OC，OD；
（3）分别在射线OA，OB，OC，
OD上取点A′，B′，C′，D′，
使得　　　　　　　　　　　；
（4）顺次连接点A′，B′，C′，D′，所得四边形A′B′C′D′就是所要求的图形．
探究新知
O
D
A
B
C
A'
B'
C'
D'
作法二：（1）在四边形ABCD外任取一点O；
（2）过点O分别作射线OA，OB，OC，OD；
（3）分别在射线OA，OB，OC，OD
的反向延长线上取点A′，B′，C′，D′，
使得　　　　　　　　　　　；
（4）顺次连接
A′，B′，C′，D′，
所得四边形A′B′C′D′就是所要求的图形．
探究新知
作法三：（1）在四边形ABCD内任取一点O；
（2）过点O分别作射线OA，OB，OC，OD；
（3）分别在射线OA，OB，
OC，OD上取点A′，B′，C′，D′，
使得　　　　　　　　　　　；
（4）顺次连接A′，B′，C′，D′，
所得四边形A′B′C′D′就是所要求的图形．
O
D
A
B
C
A'
B'
C'
D'
探究新知
总结画位似图形的一般步骤：
（1）确定位似中心；
（2）分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；
（3）根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；
（4）顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．
探究新知
3．我们学习了在平面直角坐标系中，如何用坐标表示某些平移、轴对称、旋转（中心对称）等变换，相似也是一种图形的变换，一些特殊的相似（如位似）也可以用图形坐标的变化来表示．
探究新知
（1）如图，在平面直角坐标系中，有两点A（6，3），B（6，0） ．以原点O为位似中心，相似比为 ，把线段AB缩小．观察对应点之间坐标的变化，你有什么发现？
位似变换后A，B的对应点为A '（ ， ），B '（ ， ）； A"（ ， ），B" （ ， ）．
2
1
2
0
- 2
- 1
- 2
0
2
4
6
8
2
4
6
8
-2
-4
-6
-8
-2
-4
-6
-8
O
y
x
A
B
A''
B''
A'
B'
探究新知
2
4
6
8
2
4
6
8
-2
-4
-6
-8
-2
-4
-6
-8
O
10
12
-10
-12
y
x
A
C
A'
C'
A"
C"
（2）如图，△AOC三个顶点的坐标分别为A（4，4），O（0，0），C（5，0）．以点O为位似中心，相似比为2，将△AOC放大，观察对应顶点坐标的变化，你有什么发现？
A，O，C的对应点为
A'（8，8），O（0，0），C'（10，0）；
A"（-8，-8），O（0，0），C"（-10，0）．
探究新知
归纳小结：
一般地，在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比为k，那么与原图形上的点（x，y）对应的位似图形上的点的坐标为（kx，ky）或（-kx，-ky）．
探究新知
平移、轴对称和旋转都是全等变换，变换前后的图形是全等形，而位似变换前后得到的图形一般不是全等的，是相似的．
4.至此，我们已经学习了四种变换：平移、轴对称、旋转和位似，你能说出它们之间的异同吗？在图下所示的图案中，你能找到这些变换吗？
探究新知
例1.如图，△ABO
三个顶点坐标分别为
A（-2，4），B（-2，0），
O（0，0）．
以原点O为位似中心，
画出一个三角形，
使它与△ABO的相似比为 ．
2
4
6
8
2
4
6
8
-2
-4
-6
-8
-2
-4
-6
-8
O
y
x
A
B
例题解析
2
4
6
8
2
4
6
8
-2
-4
-6
-8
-2
-4
-6
-8
O
y
x
A
B
A"
B"
解：利用位似中对应
点的坐标的变化规律，
分别取点
A"（3，-6），B"（3，0），
O（0，0），
顺次连接点A"，B"，O，所得△A"B"O就是要画的另一个图形．
例题解析
　
　　
解：（1）作射线OA，OB，OC；
（2）分别在OA，OB，OC上取 点A'，B'，C'，使得
（3）顺次连接点A'，B'，C'，
△A'B'C'就是所要求图形．
例2．如图，以O为位似中心，将△ABC放大为原来的两倍
（作出一种情况即可）．
例题解析
　
　　
2.在平面直角坐标系中，已知点E（-4，2），F（-2，-2），
以原点O为位似中心，相似比为
A．（-2，1） B．（-8，4）
C．（-8，4）或（8，-4） D．（-2，1）或（2，-1）
，把△EFO缩小，
1．如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（6，6），B（8，2
以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的
后得到线段CD，则端点C的坐标为（ ）．
A．（3，3） B．（4，3）
C．（3，1） D．（4，1）
则点E的对应点E′的坐标是（ ）．
A
D
课堂练习
3．如图，四边形ABCD与四边形AEFG是位似图形，且AC︰AF=2︰3，则下列结论不正确的是（ ）．
A．四边形ABCD与四边形AEFG是相似图形
B．AD与AE的比是2︰3
C．四边形ABCD与四边形AEFG的周长比是2︰3
D．四边形ABCD与四边形AEFG的面积比是4︰9
B
课堂练习
O
A
B
C
D
解：AB∥CD．
∵△OAB与△ODC是位似图形，
∴△OAB∽△OCD．
∴∠OAB=∠C．
∴AB∥CD．
4．如图，△OAB和△OCD是位似图形，AB与CD平行吗？为什么？
课堂练习
5．如图，△ABO三个顶点的坐标分别为A（4，-5），B（6，0），O（0，0），
以原点O为位似中心，将这个三角形放大为原来的2倍，
画出变换后的图形，并写出变换后对应顶点的坐标．
解：
课堂练习
1．位似图形的概念：
两个图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心（位似中心可在形上、形外、形内)．称这两个图形关于这点位似．
课堂小结
2．画位似图形的一般步骤：
（1）确定位似中心；
（2）分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；
（3）根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；
（4）顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．
课堂小结
3．平面直角坐标系中图形的位似变化与对应点坐标
的关系：
一般地，在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比为k，那么与原图形上的点（x，y）对应的位似图形上的点的坐标为（kx，ky）或（-kx，-ky）．
课堂小结
再见