第四章单元质量评估
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
答题表
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)
1．复数i(2－i)＝( )
A．1＋2i
B．1－2i
C．－1＋2i
D．－1－2i
2．若复数z＝i(3－2i)(i是虚数单位)，则＝( )
A．2－3i
B．2＋3i
C．3＋2i
D．3－2i
3．设i是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
4．已知＝1＋i(i为虚数单位)，则复数z＝( )
A．1＋i
B．1－i
C．－1＋i
D．－1－i
5．若a为实数，且(2＋ai)·(a－2i)＝－4i，则a＝( )
A．－1
B．0
C．1
D．2
6．原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|＝|z2|”，关于其逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )
A．真，假，真
B．假，假，真
C．真，真，假
D．假，假，假
7．设复数z满足＝i，则＝( )
A．－2＋i
B．－2－i
C．2＋i
D．2－i
8．如果一个复数和它的模的和为5＋i，那么这个复数是( )
A.
B.i
C.＋i
D.＋2i
9．i是虚数单位，若＝a＋bi(a，b∈R)，则乘积ab的值是( )
A．－15
B．－3
C．3
D．15
10．在复平面内ω＝－＋i对应的向量为，复数ω2对应的向量为.那么向量对应的复数是( )
A．1
B．－1
C.i
D．－i
11．若x∈C，则方程|x|＝1＋3i－x的解是( )
A.＋i
B．x1＝4，x2＝－1
C．－4＋3i
D.＋i
12．复数z满足条件|2z＋1|＝|z－i|，那么z对应的点的轨迹是( )
A．圆
B．椭圆
C．双曲线
D．抛物线
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在题中横线上)
13．i是虚数单位，若复数(1－2i)·(a＋i)是纯虚数，则实数a的值为________．
14．设复数z满足z2＝3＋4i(i是虚数单位)，则z的模为________．
15．关于实数x的不等式mx2－nx＋p>0(m，n，p∈R)的解集为(－1,2)，则复数n＋pi对应的点位于复平面内的第________象限．
16．定义复数的一种运算z1]|z1|＋|z2|,2)(等式右边为普通运算)，若复数z＝a＋bi，且实数a，b满足a＋b＝3，则z
的最小值为________．
答案
1．A i(2－i)＝2i－i2＝2i－(－1)＝1＋2i.
2．A 因为z＝i(3－2i)＝3i－2i2＝2＋3i，所以＝2－3i.
3．B 由复数除法的运算法则可得，＝＝＝－1＋i，对应点为(－1,1)在第二象限．故选B.
4．D 由已知得z＝＝＝
＝＝－1－i.
5．B ∵(2＋ai)(a－2i)＝4a＋(a2－4)i＝－4i，
∴解之得a＝0.
6．B 易知原命题为真命题，所以逆否命题也为真，
设z1＝3＋4i，z2＝4＋3i，则有|z1|＝|z2|，
但是z1与z2不是共轭复数，所以逆命题为假，同时否命题也为假．
7．C z＝＝2－i，∴＝2＋i.
8．C 设这个复数为a＋bi(a，b∈R)．
由题意得a＋bi＋＝5＋i，
即a＋＋bi＝5＋i，
∴解得
∴所求复数为＋i.
9．B ＝＝＝－1＋3i＝a＋bi，∴a＝－1，b＝3，∴ab＝－3.
10．D ω2＝－－i，对应向量＝，＝，＝－＝(0，－)，对应复数为－i.
11．C 令x＝a＋bi(a，b∈R)，则＝1＋3i－a－bi，∴解得
故原方程的解为－4＋3i.
12．A 设z＝x＋yi，|2z＋1|＝|z－i|，则(2x＋1)2＋4y2＝x2＋(y－1)2，即2＋2＝表示以为圆心，半径为的圆．
13．－2
解析：(1－2i)(a＋i)＝a＋2＋(1－2a)i.
∵(1－2i)(a＋i)是纯虚数，
∴a＋2＝0，且1－2a≠0，∴a＝－2.
14.
解析：因为z2＝3＋4i，所以|z2|＝＝5，
所以|z|＝.
15．二
解析：∵mx2－nx＋p>0(m，n，p∈R)的解集为(－1,2)，
∴即n<0，p>0，
∴复数n＋pi所对应的点位于复平面内的第二象限．
16.
解析：根据题意，z
＝＝|z|＝＝＝＝，因此，当a＝时，z
有最小值且最小值为.
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三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)计算2－20.
18．(12分)已知1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的一个根(b，c∈R)．
(1)求b，c的值；
(2)试证明：1－i也是方程的根．
答案
17．解：2－20
＝[(1＋2i)·1＋(－i)5]2－i10
＝(1＋i)2－i10＝1＋2i.
18．解：(1)∵1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的根，
∴(1＋i)2＋b(1＋i)＋c＝0，即b＋c＋(2＋b)i＝0，
∴∴
(2)由(1)知方程为x2－2x＋2＝0，把1－i代入方程的左边得，左边＝(1－i)2－2(1－i)＋2＝0＝右边，
∴1－i也是方程的根．
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19.(12分)已知复数z＝1＋i.
(1)设ω＝z2＋3－4，求ω；
(2)如果＝1－i，求实数a，b的值．
20．(12分)已知|z＋2－2i|＝1，求|z|的最值．
答案
19．解：(1)∵z＝1＋i，
∴ω＝z2＋3－4＝(1＋i)2＋3(1－i)－4＝－1－i.
(2)由＝1－i，
把z＝1＋i代入得＝1－i，
∴＝1－i，
∴(a＋b)＋(a＋2)i＝(1－i)i＝1＋i.
∴解得
20．解：|z－(－2＋2i)|＝1，几何意义：z在复平面上对应的点集是O′(－2,2)为圆心，r＝1的圆．
|z|的几何意义是⊙O′上的点与原点的距离：
|OO′|＝＝2，
∴|z|max＝2＋1，|z|min＝2－1.
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21.(12分)已知复平面内?ABCD，点A对应的复数为2＋i，对应的复数为1＋2i，对应的复数为3－i.
(1)求点C，D对应的复数；
(2)求?ABCD的面积．
22．(12分)设P，Q是复平面上的点集，P＝{z|z·＋3i(z－)＋5＝0}，Q＝{ω|ω＝2iz，z∈P}．
(1)P，Q分别表示什么曲线？
(2)设z1∈P，z2∈Q，求|z1－z2|的最大值与最小值．
答案
21.解：(1)∵对应的复数为1＋2i，对应的复数为3－i，∴对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i，
又＝＋，
∴点C对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i.
又＝＋＝(1＋2i)＋(3－i)＝4＋i，＝－＝2＋i－(1＋2i)＝1－i，
∴＝＋＝1－i＋(4＋i)＝5，
∴点D对应的复数为5.
(2)∵·＝||||cosB，
∴cosB＝＝＝，
∴sinB＝，
∴S＝||||sinB＝××＝7.
∴?ABCD的面积为7.
22．解：(1)设z＝x＋yi(x，y∈R)，
代入P中得x2＋(y－3)2＝4，
所以集合P表示以(0,3)为圆心、2为半径的圆．
设ω＝x＋yi(x，y∈R)，由ω＝2iz得
z＝y－xi.
因为z∈P，所以x2＋y2＋12x＋20＝0，
即(x＋6)2＋y2＝16.
所以Q表示以(－6,0)为圆心、4为半径的圆．
(2)设A(0,3)，B(－6,0)，
圆心距|AB|＝3>2＋4，即两圆外离，
所以|z1－z2|max＝6＋3，|z1－z2|min＝3－6.第四章单元质量评估
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
答题表
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)
1．复数i(2－i)＝( )
A．1＋2i
B．1－2i
C．－1＋2i
D．－1－2i
2．若复数z＝i(3－2i)(i是虚数单位)，则＝( )
A．2－3i
B．2＋3i
C．3＋2i
D．3－2i
3．设i是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
4．已知＝1＋i(i为虚数单位)，则复数z＝( )
A．1＋i
B．1－i
C．－1＋i
D．－1－i
5．若a为实数，且(2＋ai)·(a－2i)＝－4i，则a＝( )
A．－1
B．0
C．1
D．2
6．原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|＝|z2|”，关于其逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )
A．真，假，真
B．假，假，真
C．真，真，假
D．假，假，假
7．设复数z满足＝i，则＝( )
A．－2＋i
B．－2－i
C．2＋i
D．2－i
8．如果一个复数和它的模的和为5＋i，那么这个复数是( )
A.
B.i
C.＋i
D.＋2i
9．i是虚数单位，若＝a＋bi(a，b∈R)，则乘积ab的值是( )
A．－15
B．－3
C．3
D．15
10．在复平面内ω＝－＋i对应的向量为，复数ω2对应的向量为.那么向量对应的复数是( )
A．1
B．－1
C.i
D．－i
11．若x∈C，则方程|x|＝1＋3i－x的解是( )
A.＋i
B．x1＝4，x2＝－1
C．－4＋3i
D.＋i
12．复数z满足条件|2z＋1|＝|z－i|，那么z对应的点的轨迹是( )
A．圆
B．椭圆
C．双曲线
D．抛物线
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在题中横线上)
13．i是虚数单位，若复数(1－2i)·(a＋i)是纯虚数，则实数a的值为________．
14．设复数z满足z2＝3＋4i(i是虚数单位)，则z的模为________．
15．关于实数x的不等式mx2－nx＋p>0(m，n，p∈R)的解集为(－1,2)，则复数n＋pi对应的点位于复平面内的第________象限．
16．定义复数的一种运算z1]|z1|＋|z2|,2)(等式右边为普通运算)，若复数z＝a＋bi，且实数a，b满足a＋b＝3，则z
的最小值为________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)计算2－20.
18．(12分)已知1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的一个根(b，c∈R)．
(1)求b，c的值；
(2)试证明：1－i也是方程的根．
19.(12分)已知复数z＝1＋i.
(1)设ω＝z2＋3－4，求ω；
(2)如果＝1－i，求实数a，b的值．
20．(12分)已知|z＋2－2i|＝1，求|z|的最值．
21.(12分)已知复平面内?ABCD，点A对应的复数为2＋i，对应的复数为1＋2i，对应的复数为3－i.
(1)求点C，D对应的复数；
(2)求?ABCD的面积．
22．(12分)设P，Q是复平面上的点集，P＝{z|z·＋3i(z－)＋5＝0}，Q＝{ω|ω＝2iz，z∈P}．
(1)P，Q分别表示什么曲线？
(2)设z1∈P，z2∈Q，求|z1－z2|的最大值与最小值．
