第三章单元质量评估
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
答题表
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)
1．归纳推理与类比推理的相似之处是( )
A．都是从一般到一般
B．都是从一般到特殊函数
C．都是从特殊到特殊
D．都不一定正确
2．用数学归纳法证明1＋＋＋…＋
1)时，第一步应验证不等式( )
A．1＋<2
B．1＋＋<2
C．1＋＋<3
D．1＋＋＋<3
3．用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x2＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )
A．方程x2＋ax＋b＝0至多有一个实根
B．方程x2＋ax＋b＝0没有实根
C．方程x2＋ax＋b＝0至多有两个实根
D．方程x2＋ax＋b＝0恰好有两个实根
4．观察按下列顺序排列的等式：9×0＋1＝1,9×1＋2＝11,9×2＋3＝21,9×3＋4＝31，…，猜想第n(n∈N＋)个等式应为( )
A．9(n＋1)＋n＝10n＋9
B．9(n－1)＋n＝10n－9
C．9n＋(n－1)＝10n－10
D．9(n－1)＋(n－1)＝10n－10
5．类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可得出空间内的下列结论( )
①垂直于同一个平面的两条直线互相平行；②垂直于同一条直线的两条直线互相平行；③垂直于同一个平面的两个平面互相平行；④垂直于同一条直线的两个平面互相平行．
A．①②
B．②③
C．③④
D．①④
6．观察下图的规律，在其下面一行的空格内画上合适的图形，应是( )
A．△★○◆
B．○◆△★
C．○★△◆
D．◇●☆▲
7．如图是今年元宵花灯展中一款五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形，照此规律闪烁，下一个呈现出来的图形是( )
8.如图，圆周上按顺时针方向标有1,2,3,4,5五个点．一只青蛙从1点开始按顺时针方向绕圆从一个点跳到另一点．若它停在奇数点上，则下一次只能跳一个点；若停在偶数点上，则下一次跳两个点．该青蛙从5这点跳起，经2
015次跳后它将停在的点是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
答案
1．D 归纳推理和类比推理都是合情推理，但是不一定正确．
2．B 由n∈N＋，n>1知n的第一个值为2，此时不等式为1＋＋<2，故选B.
3．B “方程x2＋ax＋b＝0至少有一个实根”的反面是“方程x2＋ax＋b＝0没有实根”，故选B.
4．B 由所给的等式可以根据规律猜想得9(n－1)＋n＝10(n－1)＋1＝10n－9.
5．D 显然①④正确．②中空间内垂直于同一条直线的两直线可能平行，可能相交，也可能异面；③垂直于同一个平面的两个平面可能平行，也可能相交，故D正确．
6．B 每行每列元素不同，且白黑相间．
7．A 该五角星对角上的两盏花灯依次按逆时针方向亮一盏，故下一个呈现出来的图形是A.
8．B 记an表示青蛙第n次跳后所在的点数，则a1＝1，a2＝2，a3＝4，a4＝1，a5＝2，a6＝4，…，显然{an}是一个周期为3的数列，故a2
015＝a2＝2.
————————————————————————————
9.设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)≥k2成立时，总可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立”．那么，下列命题总成立的是( )
A．若f(1)<1成立，则f(10)<100成立
B．若f(2)<4成立，则f(1)≥1成立
C．若f(3)≥9成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k2成立
D．若f(4)≥25成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k2成立
10．将正偶数按下表排成5列：
第1列
第2列
第3列
第4列
第5列
第1行
2
4
6
8
第2行
16
14
12
10
第3行
18
20
22
24
……
则2
014在( )
A．第251行，第2列
B．第251行，第3列
C．第252行，第2列
D．第252行，第3列
11．如图甲，在平行四边形ABCD中，有AC2＋BD2＝2(AB2＋AD2)，那么在图乙所示的平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AC＋BD＋CA＋DB＝( )
A．4(AB2＋AD2＋AA)
B．3(AB2＋AD2＋AA)
C．2(AB2＋AD2＋AA)
D．4(AB2＋AD2)
12．(2016·北京卷)某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段．下表为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊.
学生序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
立定跳远(单位：米)
1.96
1.92
1.82
1.80
1.78
1.76
1.74
1.72
1.68
1.60
30秒跳绳(单位：次)
63
a
75
60
63
72
70
a－1
b
65
在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则( )
A．2号学生进入30秒跳绳决赛
B．5号学生进入30秒跳绳决赛
C．8号学生进入30秒跳绳决赛
D．9号学生进入30秒跳绳决赛
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在题中横线上)
13．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________．
14．(2016·新课标全国卷Ⅱ)有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．
15．观察以下不等式：
1>；1＋＋>1；1＋＋＋…＋>；1＋＋＋…＋>2；1＋＋＋…＋>；…由此猜测第n个不等式为________．
16．一个二元码是由0和1组成的数字串x1x2…xn(n∈N＋)，其中xk(k＝1,2，…，n)称为第k位码元．二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误(即码元由0变为1，或者由1变为0)．
已知某种二元码x1x2…x7的码元满足如下校验方程组：其中运算?定义为：0?0＝0,0?1＝1,1?0＝1,1?1＝0.
现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k位发生码元错误后变成了1
101
101，那么利用上述校验方程组可判定k等于________．
答案
9．D 题设中“当f(k)≥k2成立时，总可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立”．实际上是给出了一个递推关系，从数学归纳法来考虑，因为f(4)≥25成立，所以f(4)≥16成立，即k的基础值为4，所以选项A、B、C都错误，故选D.
10．D 由2
014为偶数中从2数第1
007个数，又数表中每行4个，4×251＝1
004，则2
014为第252行第3个数．故选D.
11．A 已知平面上平行四边形的对角线的平方和等于从同一顶点出发的两条边的平方和的2倍，利用类比推理可知，空间中，平行六面体的体对角线的平方和等于从同一顶点出发的三条棱的平方和的4倍．
12．B 由数据可知，进入立定跳远决赛的8人为1～8号，所以进入30秒跳绳决赛的6人从1～8号里产生．数据排序后可知3号，6号，7号必定进入30秒跳绳决赛，则得分为63，a,60,63，a－1的5人中有3人进入30秒跳绳决赛．若1号，5号学生未进入30秒跳绳决赛，则4号学生就会进入决赛，与事实矛盾，所以1号，5号学生必进入30秒跳绳决赛．故选B.
13．1∶8
解析：由类比思想，面积比是边长比的平方，体积比是棱长比的立方．
14．1和3
解析：为方便说明，不妨将分别写有1和2,1和3,2和3的卡片记为A，B，C.从丙出发，由于丙的卡片上的数字之和不是5，则丙只可能是卡片A或B，无论是哪一张，均含有数字1，再由乙与丙的卡片上相同的数字不是1可知，乙所拿的卡片必然是C，最后由甲与乙的卡片上相同的数字不是2，知甲所拿的卡片为B，此时丙所拿的卡片为A.
15．1＋＋＋…＋>
解析：由所给的不等式可以归纳得到1＋＋＋…＋>.
16．5
解析：若1≤k≤3，则x4＝1，x5＝1，x6＝0，x7＝1，不满足x4?x5?x6?x7＝0；
若k＝4，则二元码为1
100
101，不满足x1?x3?x5?x7＝0；
若k＝5，则二元码为1
101
001，满足方程组，故k＝5.
————————————————————————————
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)证明：＋＋<2.
18．(12分)已知a≠0，证明：关于x的方程ax＝b有且只有一个根．
19．(12分)如图，已知平面α∩β＝a，b?β，a∩b＝A，且c?α，c∥a，求证：b，c为异面直线．
20．(12分)(2016·浙江卷)设函数f(x)＝x3＋，x∈[0,1]．证明：
(1)f(x)≥1－x＋x2；
(2)答案
17．证明：方法1：(分析法)要证＋＋<2，只需证log1930又30<192恒成立，∴原不等式成立．
方法2：(综合法)＋＋＝log195＋log193＋log192＝log193018．证明：由于a≠0，因此方程至少有一个根x＝.
如果方程不是只有一个根，不妨设x1，x2是它的两个不同根，即ax1＝b，ax2＝b，∴a(x1－x2)＝0.
∵x1≠x2，∴x1－x2≠0，
∴应有a＝0，这与已知相矛盾，故假设不成立．
∴当a≠0时，方程ax＝b有且只有一个根．
19．证明：假设b、c不是异面直线，即b、c为共面直线，则b、c为相交直线或平行直线．
(1)若b∩c＝P，已知b?β，c?α，又α∩β＝a，则P∈b(b?β)，且P∈c(c?α)，从而，交点P一定在平面α、β的交线上，即P∈a，于是a∩c＝P，这与已知条件a∥c矛盾．因此b、c相交不成立．
(2)若b∥c，已知a∥c，则a∥b，这与已知条件a∩b＝A矛盾，因此b、c平行也不能成立．
综合(1)(2)可知b、c为异面直线．
20．证明：(1)因为1－x＋x2－x3＝＝，
由于x∈[0,1]，有≤，即1－x＋x2－x3≤，所以f(x)≥1－x＋x2.
(2)由0≤x≤1得x3≤x，故
f(x)＝x3＋≤x＋＝x＋－＋＝＋≤，所以f(x)≤.
由(1)得f(x)≥1－x＋x2＝(x－)2＋≥，
又因为f()＝>，所以f(x)>.
综上，————————————————————————————
21.(12分)阅读下列材料：
根据两角和与差的正弦公式，有
sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ， ①
sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ， ②
由①＋②，得sin(α＋β)＋sin(α－β)＝2sinαcosβ， ③
令α＋β＝A，α－β＝B，有α＝，β＝，
代入③，得sinA＋sinB＝2sincos.
(1)类比上述推证方法，根据两角和与差的余弦公式，证明：cosA－cosB＝－2sinsin；
(2)若△ABC的三个内角A，B，C满足cos2A－cos2B＝2sin2C，试判断△ABC的形状．
22．(12分)(2016·新课标全国卷Ⅲ)设函数f(x)＝lnx－x＋1.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)证明当x∈(1，＋∞)时，1<(3)设c>1，证明当x∈(0,1)时，1＋(c－1)x>cx.
答案
21.解：(1)证明：cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ，
①
cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ， ②
①－②，得
cos(α＋β)－cos(α－β)＝－2sinαsinβ. ③
令α＋β＝A，α－β＝B，有α＝，β＝，
代入③，得cosA－cosB＝－2sinsin.
(2)解法1：cos2A－cos2B＝2sin2C，可化为1－2sin2A－1＋2sin2B＝2sin2C，
即sin2A＋sin2C＝sin2B.
设△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，由正弦定理可得a2＋c2＝b2.
根据勾股定理的逆定理知△ABC为直角三角形．
解法2：利用(1)中的结论，cos2A－cos2B＝2sin2C可化为－2sin(A＋B)sin(A－B)＝2sin2C，
因为A，B，C为△ABC的内角，所以A＋B＋C＝π，
所以－sin(A＋B)sin(A－B)＝sin2(A＋B)．
又因为0所以sin(A＋B)＋sin(A－B)＝0，
从而2sinAcosB＝0，又因为sinA≠0，
所以cosB＝0，即B＝.
所以△ABC为直角三角形．
22．解：(1)由题设，f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－1，令f′(x)＝0解得x＝1.
当00，f(x)单调递增；当x>1时，f′(x)<0，f(x)单调递减．
(2)由(1)知f(x)在x＝1处取得最大值，最大值为f(1)＝0.所以当x≠1时，lnx故当x∈(1，＋∞)时，lnx(3)由题设c>1，设g(x)＝1＋(c－1)x－cx，则g′(x)＝c－1－cxlnc，令g′(x)＝0，
解得x0＝.
当x0，g(x)单调递增；当x>x0时，g′(x)<0，g(x)单调递减．
由(2)知1<0.
所以当x∈(0,1)时，1＋(c－1)x>cx.第三章单元质量评估
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
答题表
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)
1．归纳推理与类比推理的相似之处是( )
A．都是从一般到一般
B．都是从一般到特殊函数
C．都是从特殊到特殊
D．都不一定正确
2．用数学归纳法证明1＋＋＋…＋1)时，第一步应验证不等式( )
A．1＋<2
B．1＋＋<2
C．1＋＋<3
D．1＋＋＋<3
3．用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x2＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )
A．方程x2＋ax＋b＝0至多有一个实根
B．方程x2＋ax＋b＝0没有实根
C．方程x2＋ax＋b＝0至多有两个实根
D．方程x2＋ax＋b＝0恰好有两个实根
4．观察按下列顺序排列的等式：9×0＋1＝1,9×1＋2＝11,9×2＋3＝21,9×3＋4＝31，…，猜想第n(n∈N＋)个等式应为( )
A．9(n＋1)＋n＝10n＋9
B．9(n－1)＋n＝10n－9
C．9n＋(n－1)＝10n－10
D．9(n－1)＋(n－1)＝10n－10
5．类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可得出空间内的下列结论( )
①垂直于同一个平面的两条直线互相平行；②垂直于同一条直线的两条直线互相平行；③垂直于同一个平面的两个平面互相平行；④垂直于同一条直线的两个平面互相平行．
A．①②
B．②③
C．③④
D．①④
6．观察下图的规律，在其下面一行的空格内画上合适的图形，应是( )
A．△★○◆
B．○◆△★
C．○★△◆
D．◇●☆▲
7．如图是今年元宵花灯展中一款五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形，照此规律闪烁，下一个呈现出来的图形是( )
8.如图，圆周上按顺时针方向标有1,2,3,4,5五个点．一只青蛙从1点开始按顺时针方向绕圆从一个点跳到另一点．若它停在奇数点上，则下一次只能跳一个点；若停在偶数点上，则下一次跳两个点．该青蛙从5这点跳起，经2
015次跳后它将停在的点是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
9.设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)≥k2成立时，总可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立”．那么，下列命题总成立的是( )
A．若f(1)<1成立，则f(10)<100成立
B．若f(2)<4成立，则f(1)≥1成立
C．若f(3)≥9成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k2成立
D．若f(4)≥25成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k2成立
10．将正偶数按下表排成5列：
第1列
第2列
第3列
第4列
第5列
第1行
2
4
6
8
第2行
16
14
12
10
第3行
18
20
22
24
……
则2
014在( )
A．第251行，第2列
B．第251行，第3列
C．第252行，第2列
D．第252行，第3列
11．如图甲，在平行四边形ABCD中，有AC2＋BD2＝2(AB2＋AD2)，那么在图乙所示的平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AC＋BD＋CA＋DB＝( )
A．4(AB2＋AD2＋AA)
B．3(AB2＋AD2＋AA)
C．2(AB2＋AD2＋AA)
D．4(AB2＋AD2)
12．(2016·北京卷)某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段．下表为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊.
学生序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
立定跳远(单位：米)
1.96
1.92
1.82
1.80
1.78
1.76
1.74
1.72
1.68
1.60
30秒跳绳(单位：次)
63
a
75
60
63
72
70
a－1
b
65
在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则( )
A．2号学生进入30秒跳绳决赛
B．5号学生进入30秒跳绳决赛
C．8号学生进入30秒跳绳决赛
D．9号学生进入30秒跳绳决赛
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在题中横线上)
13．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________．
14．(2016·新课标全国卷Ⅱ)有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．
15．观察以下不等式：
1>；1＋＋>1；1＋＋＋…＋>；1＋＋＋…＋>2；1＋＋＋…＋>；…由此猜测第n个不等式为________．
16．一个二元码是由0和1组成的数字串x1x2…xn(n∈N＋)，其中xk(k＝1,2，…，n)称为第k位码元．二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误(即码元由0变为1，或者由1变为0)．
已知某种二元码x1x2…x7的码元满足如下校验方程组：其中运算?定义为：0?0＝0,0?1＝1,1?0＝1,1?1＝0.
现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k位发生码元错误后变成了1
101
101，那么利用上述校验方程组可判定k等于________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)证明：＋＋<2.
18．(12分)已知a≠0，证明：关于x的方程ax＝b有且只有一个根．
19．(12分)如图，已知平面α∩β＝a，b?β，a∩b＝A，且c?α，c∥a，求证：b，c为异面直线．
20．(12分)(2016·浙江卷)设函数f(x)＝x3＋，x∈[0,1]．证明：
(1)f(x)≥1－x＋x2；
(2)21.(12分)阅读下列材料：
根据两角和与差的正弦公式，有
sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ， ①
sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ， ②
由①＋②，得sin(α＋β)＋sin(α－β)＝2sinαcosβ， ③
令α＋β＝A，α－β＝B，有α＝，β＝，
代入③，得sinA＋sinB＝2sincos.
(1)类比上述推证方法，根据两角和与差的余弦公式，证明：cosA－cosB＝－2sinsin；
(2)若△ABC的三个内角A，B，C满足cos2A－cos2B＝2sin2C，试判断△ABC的形状．
22．(12分)(2016·新课标全国卷Ⅲ)设函数f(x)＝lnx－x＋1.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)证明当x∈(1，＋∞)时，1<(3)设c>1，证明当x∈(0,1)时，1＋(c－1)x>cx.
答案
21.解：(1)证明：cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ，
①
cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ， ②
①－②，得
cos(α＋β)－cos(α－β)＝－2sinαsinβ. ③
令α＋β＝A，α－β＝B，有α＝，β＝，
代入③，得cosA－cosB＝－2sinsin.
(2)解法1：cos2A－cos2B＝2sin2C，可化为1－2sin2A－1＋2sin2B＝2sin2C，
即sin2A＋sin2C＝sin2B.
设△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，由正弦定理可得a2＋c2＝b2.
根据勾股定理的逆定理知△ABC为直角三角形．
解法2：利用(1)中的结论，cos2A－cos2B＝2sin2C可化为－2sin(A＋B)sin(A－B)＝2sin2C，
因为A，B，C为△ABC的内角，所以A＋B＋C＝π，
所以－sin(A＋B)sin(A－B)＝sin2(A＋B)．
又因为0所以sin(A＋B)＋sin(A－B)＝0，
从而2sinAcosB＝0，又因为sinA≠0，
所以cosB＝0，即B＝.
所以△ABC为直角三角形．
22．解：(1)由题设，f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－1，令f′(x)＝0解得x＝1.
当00，f(x)单调递增；当x>1时，f′(x)<0，f(x)单调递减．
(2)由(1)知f(x)在x＝1处取得最大值，最大值为f(1)＝0.所以当x≠1时，lnx故当x∈(1，＋∞)时，lnx(3)由题设c>1，设g(x)＝1＋(c－1)x－cx，则g′(x)＝c－1－cxlnc，令g′(x)＝0，
解得x0＝.
当x0，g(x)单调递增；当x>x0时，g′(x)<0，g(x)单调递减．
由(2)知1<0.
所以当x∈(0,1)时，1＋(c－1)x>cx.