第三章单元评估卷
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)
1．设z1＝3－4i，z2＝－2＋3i，则z1－z2在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
2.＝( )
A．1＋i
B．1－i
C．－1＋i
D．－1－i
3．若复数z＝i(3－2i)(i是虚数单位)，则＝( )
A．2－3i
B．2＋3i
C．3＋2i
D．3－2i
4．设a是实数，且＋是实数，则a等于( )
A.
B．1
C.
D．2
5．若a为实数，且(2＋ai)·(a－2i)＝－4i，则a＝( )
A．－1
B．0
C．1
D．2
6．设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝2＋i，则z1z2＝( )
A．－5
B．5
C．－4＋i
D．－4－i
7．若复数z满足2z＋＝3－2i，其中i为虚数单位，则z＝( )
A．1＋2i
B．1－2i
C．－1＋2i
D．－1－2i
8．复数z1＝2，z2＝2－i3分别对应复平面内的点P，Q，则向量对应的复数是( )
A.
B．－3－i
C．1＋i
D．3＋i
9．z1＝(m2＋m＋1)＋(m2＋m－4)i，m∈R，z2＝3－2i，则“m＝1”是“z1＝z2”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
10．已知方程x2＋(4＋i)x＋4＋ai＝0(a∈R)有实根b，且z＝a＋bi，则复数z等于( )
A．2－2i
B．2＋2i
C．－2＋2i
D．－2－2i
11．若复数z满足|z|2－2|z|－3＝0，则复数z对应点的轨迹是( )
A．一个圆
B．线段
C．两个点
D．两个圆
12．对于任意的复数z＝a＋bi(a，b∈R，i为虚数单位)，下列结论正确的是( )
A．z－＝2a
B．z·＝|z|2
C.＝1
D．z2≥0
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在题中横线上)
13．已知复数z1＝3－i，z2是复数－1＋2i的共轭复数，则复数－的虚部等于________．
14．设复数a＋bi(a，b∈R)的模为，则(a＋bi)(a－bi)＝________.
15．i是虚数单位，若复数(1－2i)·(a＋i)是纯虚数，则实数a的值为________．
16．下面四个命题：①0比－i大；②两个复数当且仅当其和为实数时，互为共轭复数；③x＋yi＝1＋i的充要条件为x＝y＝1；④任何纯虚数的平方都是负实数．其中错误命题的序号是________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(10分)计算：
＋3
204＋.
18．(12分)设复数z＝(a2＋a－2)＋(a2－7a＋6)i，其中a∈R，当a取何值时，(1)z∈R；(2)z是纯虚数；(3)z是零．
19.(12分)复平面内有A，B，C三点，点A对应的复数是3＋i，向量对应的复数是－2－4i，向量对应的复数是－4－i，求B点对应的复数．
20．(12分)已知复数z满足|z|＝1＋3i－z，求
的值．
21.(12分)已知z＝m＋3＋3i，其中m∈C，且为纯虚数；
(1)求m对应点的轨迹；
(2)求|z|的最大值、最小值．
22．(12分)设z1是虚数，z2＝z1＋是实数，且－1≤z2≤1.
(1)求|z1|的值以及z1的实部的取值范围；
(2)若ω＝，求证：ω为纯虚数．第三章单元评估卷
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)
1．设z1＝3－4i，z2＝－2＋3i，则z1－z2在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
2.＝( )
A．1＋i
B．1－i
C．－1＋i
D．－1－i
3．若复数z＝i(3－2i)(i是虚数单位)，则＝( )
A．2－3i
B．2＋3i
C．3＋2i
D．3－2i
4．设a是实数，且＋是实数，则a等于( )
A.
B．1
C.
D．2
5．若a为实数，且(2＋ai)·(a－2i)＝－4i，则a＝( )
A．－1
B．0
C．1
D．2
6．设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝2＋i，则z1z2＝( )
A．－5
B．5
C．－4＋i
D．－4－i
7．若复数z满足2z＋＝3－2i，其中i为虚数单位，则z＝( )
A．1＋2i
B．1－2i
C．－1＋2i
D．－1－2i
8．复数z1＝2，z2＝2－i3分别对应复平面内的点P，Q，则向量对应的复数是( )
A.
B．－3－i
C．1＋i
D．3＋i
9．z1＝(m2＋m＋1)＋(m2＋m－4)i，m∈R，z2＝3－2i，则“m＝1”是“z1＝z2”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
10．已知方程x2＋(4＋i)x＋4＋ai＝0(a∈R)有实根b，且z＝a＋bi，则复数z等于( )
A．2－2i
B．2＋2i
C．－2＋2i
D．－2－2i
11．若复数z满足|z|2－2|z|－3＝0，则复数z对应点的轨迹是( )
A．一个圆
B．线段
C．两个点
D．两个圆
12．对于任意的复数z＝a＋bi(a，b∈R，i为虚数单位)，下列结论正确的是( )
A．z－＝2a
B．z·＝|z|2
C.＝1
D．z2≥0
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在题中横线上)
13．已知复数z1＝3－i，z2是复数－1＋2i的共轭复数，则复数－的虚部等于________．
14．设复数a＋bi(a，b∈R)的模为，则(a＋bi)(a－bi)＝________.
15．i是虚数单位，若复数(1－2i)·(a＋i)是纯虚数，则实数a的值为________．
16．下面四个命题：①0比－i大；②两个复数当且仅当其和为实数时，互为共轭复数；③x＋yi＝1＋i的充要条件为x＝y＝1；④任何纯虚数的平方都是负实数．其中错误命题的序号是________．
答案
1．D 由已知，得z1－z2＝3－4i－(－2＋3i)＝5－7i，则z1－z2在复平面内对应的点为(5，－7)，故选D.
2．D ＝＝
＝－1－i.
3．A 因为z＝i(3－2i)＝3i－2i2＝2＋3i，
所以＝2－3i.
4．B ＋＝＋＝＋i，由题意可知＝0，即a＝1.
5．B ∵(2＋ai)(a－2i)＝4a＋(a2－4)i＝－4i，
∴解之得a＝0.
6．A 由题意知z2＝－2＋i.
所以z1z2＝(2＋i)(－2＋i)＝i2－4＝－5.故选A.
7．B 设z＝a＋bi(a,
b∈R)，则＝a－bi.故2z＋＝2(a＋bi)＋a－bi＝3a＋bi＝3－2i，所以，解得，所以z＝1－2i.故选B.
8．D ∵z1＝(－i)2＝－1，z2＝2＋i，∴对应的复数是z2－z1＝2＋i－(－1)＝3＋i.故选D.
9．A m＝1时，z1＝3－2i＝z2，故“m＝1”是“z1＝z2”的充分条件．由z1＝z2，得m2＋m＋1＝3，且m2＋m－4＝－2，解得m＝－2或m＝1.故选A.
10．A ∵b2＋(4＋i)b＋4＋ai＝0，
∴b2＋4b＋4＋(a＋b)i＝0，
∴∴∴z＝2－2i.
11．A 由|z|2－2|z|－3＝0，得(|z|－3)(|z|
＋1)＝0.因为|z|＋1>0，所以|z|－3＝0，即|z|＝3，所以复数z对应点的轨迹是以原点为圆心，以3为半径的圆，故选A.
12．B 因为z＝a＋bi，所以＝a－bi，于是z－＝(a＋bi)－(a－bi)＝2bi，A选项错误；z·＝(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2＝|z|2，B选项正确；若＝1，则z＝，即a＋bi＝a－bi，所以b＝0，于是z为实数，与已知矛盾，C选项错误；又z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi，若ab≠0，则z2为虚数，不能与0比较大小，D选项错误，故选B.
13.
解析：－＝－＝－＝，其虚部为.
14．3
解析：因为复数a＋bi的模为，所以＝，
即a2＋b2＝3.
于是(a＋bi)(a－bi)＝a2－(bi)2＝a2＋b2＝3.
15．－2
解析：(1－2i)(a＋i)＝a＋2＋(1－2a)i.
∵(1－2i)(a＋i)是纯虚数，
∴a＋2＝0，且1－2a≠0，∴a＝－2.
16．①②③
解析：①实数与虚数不能比较大小；②两个复数互为共轭复数时其和为实数，但是两个复数的和为实数时，这两个复数不一定是共轭复数；③x＋yi＝1＋i的充要条件为x＝y＝1是错误的，因为没有表明x，y是否是实数；④若z＝bi(b≠0)为纯虚数，则z2＝－b2<0，故①②③均是错误命题，④是正确的．
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三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(10分)计算：
＋3
204＋.
18．(12分)设复数z＝(a2＋a－2)＋(a2－7a＋6)i，其中a∈R，当a取何值时，(1)z∈R；(2)z是纯虚数；(3)z是零．
答案
17．解：原式＝＋1
602＋
＝＋1
602＋0
＝i＋(－i)1
602＝i＋i2＝－1＋i.
18．解：(1)z∈R，只需a2－7a＋6＝0，
所以a＝1或a＝6.
(2)z是纯虚数，只需所以a＝－2.
(3)因为z＝0，所以所以a＝1.
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19.(12分)复平面内有A，B，C三点，点A对应的复数是3＋i，向量对应的复数是－2－4i，向量对应的复数是－4－i，求B点对应的复数．
20．(12分)已知复数z满足|z|＝1＋3i－z，求
的值．
答案
19．解：因为向量对应的复数是－2－4i，向量对应的复数是－4－i，所以表示的复数是(4＋i)－(2＋4i)＝2－3i，故＝＋对应的复数为(3＋i)＋(2－3i)＝5－2i，所以B点对应的复数为5－2i.
20．解：设z＝a＋bi(a，b∈R)，∵|z|＝1＋3i－z，
∴－1－3i＋a＋bi＝0，
即解得
∴z＝－4＋3i，
∴＝＝
＝3＋4i.
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21.(12分)已知z＝m＋3＋3i，其中m∈C，且为纯虚数；
(1)求m对应点的轨迹；
(2)求|z|的最大值、最小值．
22．(12分)设z1是虚数，z2＝z1＋是实数，且－1≤z2≤1.
(1)求|z1|的值以及z1的实部的取值范围；
(2)若ω＝，求证：ω为纯虚数．
答案
21.解：(1)设m＝x＋yi(x，y∈R)，则
＝＝，
∵为纯虚数，∴
即
∴m对应的点的轨迹是以原点为圆心，半径为3的圆，除去(－3,0)，(3,0)两点．
(2)由(1)知|m|＝3，由已知m＝z－(3＋3i)，
∴|z－(3＋3i)|＝3.
∴z所对应的点Z在以(3,3)为圆心，以3为半径的圆上．
由图形可知|z|的最大值为|3＋3i|＋3＝9；
最小值为|3＋3i|－3＝3.
22．(1)解：设z1＝a＋bi(a，b∈R，且b≠0)，则z2＝z1＋＝a＋bi＋＝＋i.
因为z2是实数，b≠0，于是有a2＋b2＝1，即|z1|＝1，还可得z2＝2a.
由－1≤z2≤1，得－1≤2a≤1，解得－≤a≤，即z1的实部的取值范围是.
(2)证明：ω＝＝
＝＝－i.
因为a∈，b≠0，所以ω为纯虚数．
