第7章锐角三角函数7.1-7.3阶段-苏科版九年级数学下册巩固训练（含答案）

第7章锐角三角函数7.1～7.3阶段-苏科版九年级数学下册专题巩固训练
一、选择题
1、如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝3，则tanA的值为(　　)
A．3
B.
C.
D.
2、如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则tanC的值为(　　)
A.
B.
C.
D.
3、直角三角形纸片ABC的两直角边长分别为6，8，现将△ABC按图7中所示的方式折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则tan∠CBE的值是(　　)
A.
B.
C.
D.
4、在△ABC中，∠C＝90°，tan
A＝，则cos
A的值为(　
)
A.
B.
C.
D.
5、梯子(长度不变)跟地面所成的锐角为∠A，关于∠A的三角函数值与梯子的倾斜程度之间，叙述正确的是(　
)
A．sin
A的值越大，梯子越陡
B．cos
A的值越大，梯子越陡
C．tan
A的值越小，梯子越陡
D．倾斜程度与∠A的三角函数值无关
6、如图，点A为∠α边上的任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，下列表示cos
α的值，错误的是(　
)
A.
B.
C.
D.
7、如图，△ABC内接于⊙O，AD为⊙O的直径，交BC于点E，若DE＝2，OE＝3，则tanC?tanB＝（　　）
A．2
B．3
C．4
D．5
8、2cos30°的值等于（　　）
A．1
B．
C．
D．2
9、在△ABC中，若∠A，∠B满足＋＝0，则△ABC是(
)
A．直角三角形　
B．钝角三角形
C．等腰非等边三角形　
D．等边三角形
10、计算2sin30°﹣2cos60°+tan45°的结果是（　　）
A．2
B．
C．
D．1
11、已知α为锐角，且sin（α﹣10°）=，则α等于（　　）
A．70°
B．60°
C．50°
D．30°
12、已知∠A为锐角，且tanA＝，则∠A的取值范围是（　　）
A．0°＜∠A＜30°
B．30°＜∠A＜45°
C．45°＜∠A＜60°
D．60°＜∠A＜90°
二、填空题
13、在Rt△ABC中，∠C＝90°，若△ABC各边的长度同时扩大为原来的10倍，则tanA的值________．(填“变大”“不变”或“变小”)
14、如图，在边长为1的小正方形网格中，点A，B，C，D都在这些小正方形的顶点上，AB，CD相交于点O，则tan∠AOD＝____．
15、如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，顶点A，B分别在反比例函数y＝(x＞0)与y＝－(x＜0)的图象上，则tan∠BAO的值为________．
16、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB的中点，tan∠BCD＝3，则sinA＝________．
17、如图，⊙O是△ABC的外接圆，⊙O的半径R＝5，sinB＝，则弦AC的长为_______．
18、在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝3，则sin
A＝________，cos
B＝________，tan
A＝________.
19、在Rt△ABC中，∠C＝90°，3cos
B＝2，AC＝2，则AB＝_______
20、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB的中点，过点D作AB的垂线交AC于点E，BC＝6，sin
A＝，则DE＝_______．
21、如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D．给出下列四个结论：①sinα＝sinB；
②sinβ＝sinC；③sinB＝cosC；④sinα＝cosβ．其中正确的结论有　
　．
22、在中,若，则是_____
三角形．
23、在△ABC中，已知∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，则sin
A＝
，cos
A＝
，tan
B＝
24、比较大小：①____，______；
②若，，则_____．
三、解答题
25、如图所示，在△ABC中，∠ABC＝60°，AB∶BC＝2∶5，且S△ABC＝10，求tan
C的值．
26、数学老师布置了这样一个问题：
如果α，β都为锐角，且tanα＝，tanβ＝，求α＋β的度数．
甲、乙两名同学想利用正方形网格图来解决这个问题，他们分别设计了图①和②.
(1)请你分别利用图①、图②求出α＋β的度数；
(2)请参考以上解决问题的方法，选择一种方法解决下面的问题：
如果α，β都为锐角，当tanα＝5，tanβ＝时，在图③的正方形网格中，利用已作出的锐角α，画出∠MON，使得∠MON＝α－β，并求出α－β的度数．
27、如图，在矩形ABCD中，点E是边BC上的点，AD＝DE，AF⊥DE于点F．
（1）求证：AF＝CD；
（2）若CE＝12，tan∠ADE=，求EF的长．
28、如图，在△ABC中，AB＝5，BC＝13，AD是BC边上的高，AD＝4.求CD和sin
C.
29、(1)如图①，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝m，延长CB至点D，使BD＝AB.
①求∠D的度数．
②求tan75°的值．
(2)如图②，点M的坐标为(2，0)，直线MN与y轴的正半轴交于点N，∠OMN＝75°，
求直线MN的函数表达式．
30、如图，在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝60°，AB＝＋1，CD⊥AB于点D，
求AC的长和△ABC的面积．
31、计算
（1）；
（2）．
(3)．
第7章锐角三角函数7.1～7.3阶段-苏科版九年级数学下册专题巩固训练(答案)
一、选择题
1、如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝3，则tanA的值为(　　)
A．3
B.
C.
D.
[答案]
A
2、如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则tanC的值为(　　)
A.
B.
C.
D.
[答案]
A
3、直角三角形纸片ABC的两直角边长分别为6，8，现将△ABC按图7中所示的方式折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则tan∠CBE的值是(　　)
A.
B.
C.
D.
[解析]
C　设CE＝x，根据折叠的性质，得BE＝AE＝8－x.在Rt△BCE中，根据勾股定理列出关于x的方程，得x2＋62＝(8－x)2，解得x＝(负值已舍去)，即可计算出tan∠CBE＝.
4、在△ABC中，∠C＝90°，tan
A＝，则cos
A的值为(　D
)
A.
B.
C.
D.
5、梯子(长度不变)跟地面所成的锐角为∠A，关于∠A的三角函数值与梯子的倾斜程度之间，叙述正确的是(　A
)
A．sin
A的值越大，梯子越陡
B．cos
A的值越大，梯子越陡
C．tan
A的值越小，梯子越陡
D．倾斜程度与∠A的三角函数值无关
6、如图，点A为∠α边上的任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，下列表示cos
α的值，错误的是(C　
)
A.
B.
C.
D.
7、如图，△ABC内接于⊙O，AD为⊙O的直径，交BC于点E，若DE＝2，OE＝3，则tanC?tanB＝（　　）
A．2
B．3
C．4
D．5
【解析】连接BD、CD，由圆周角定理可知∠B＝∠ADC，∠C＝∠ADB，
∴△ABE∽△CDE，△ACE∽△BDE，∴，，
由AD为直径可知∠DBA＝∠DCA＝90°，
∵DE＝2，OE＝3，∴AO＝OD＝OE+ED＝5，AE＝8，
tanCtanB=tan?ADBtan?ADC===4
故选：C．
8、2cos30°的值等于（　　）
A．1
B．
C．
D．2
【解析】2cos30°＝2．
故选：C．
9、在△ABC中，若∠A，∠B满足＋＝0，则△ABC是(D
)
A．直角三角形　
B．钝角三角形
C．等腰非等边三角形　
D．等边三角形
10、计算2sin30°﹣2cos60°+tan45°的结果是（　　）
A．2
B．
C．
D．1
【解析】2sin30°﹣2cos60°+tan45°＝2×－2×+1＝1﹣1+1＝1．
故选：D．
11、已知α为锐角，且sin（α﹣10°）=，则α等于（　　）
A．70°
B．60°
C．50°
D．30°
【解析】∵sin（α﹣10°）=，∴α﹣10°＝60°，∴α＝70°．故选：A．
12、已知∠A为锐角，且tanA＝，则∠A的取值范围是（　　）
A．0°＜∠A＜30°
B．30°＜∠A＜45°
C．45°＜∠A＜60°
D．60°＜∠A＜90°
【解析】解：tan30°＝，tan45°＝1，tan60°＝，则可知正切值随角增大而增大，
由1＜＜可得，45°＜∠A＜60°．故选择C．
二、填空题
13、在Rt△ABC中，∠C＝90°，若△ABC各边的长度同时扩大为原来的10倍，则tanA的值________．(填“变大”“不变”或“变小”)
[答案]
不变
14、如图，在边长为1的小正方形网格中，点A，B，C，D都在这些小正方形的顶点上，AB，CD相交于点O，则tan∠AOD＝___2__．
15、如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，顶点A，B分别在反比例函数y＝(x＞0)与y＝－(x＜0)的图象上，则tan∠BAO的值为________．
[解析]
过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，则∠BDO＝∠ACO＝90°.
∵顶点A，B分别在反比例函数y＝(x>0)与y＝－(x<0)的图象上，∴S△BDO＝，S△OCA＝.
∵∠BDO＝∠AOB＝90°，∴∠BOD＋∠DBO＝∠BOD＋∠AOC＝90°，
∴∠DBO＝∠AOC，∴△BDO∽△OCA，∴＝()2＝＝5，
∴＝，∴tan∠BAO＝＝.
故答案为.
16、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB的中点，tan∠BCD＝3，则sinA＝__　______．
17、如图，⊙O是△ABC的外接圆，⊙O的半径R＝5，sinB＝，则弦AC的长为____6____．
18、在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝3，则sin
A＝________，cos
B＝________，tan
A＝________.
答案：，，3
19、在Rt△ABC中，∠C＝90°，3cos
B＝2，AC＝2，则AB＝_____6
__
20、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB的中点，过点D作AB的垂线交AC于点E，BC＝6，sin
A＝，则DE＝__
______．
21、如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D．给出下列四个结论：①sinα＝sinB；
②sinβ＝sinC；③sinB＝cosC；④sinα＝cosβ．其中正确的结论有　
　．
【解析】∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，∴∠α+∠β＝90°，∠B+∠β＝90°，∠B+∠C＝90°，
∴∠α＝∠B，∠β＝∠C，∴sinα＝sinB，故①正确；
sinβ＝sinC，故②正确；
∵在Rt△ABC中sinB=，cosC=，∴sinB＝cosC，故③正确；
∵sinα＝sinB，cos∠β＝cosC，
∴sinα＝cos∠β，故④正确；
故答案为①②③④．
22、在中,若，则是_____
三角形．
【解析】∵∴，
∴∠A=30°，∠B=30°∴△ABC是等腰三角形
故答案为等腰.
23、在△ABC中，已知∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，则sin
A＝
，cos
A＝
，tan
B＝
24、比较大小：①____，______；
②若，，则_____．
【答案】＞
＜
＞
三、解答题
25、如图所示，在△ABC中，∠ABC＝60°，AB∶BC＝2∶5，且S△ABC＝10，求tan
C的值．
解：如图，过A作AD⊥BC于点D，
∵∠B＝60°，∴∠BAD＝30°，
∴AB∶BD＝2∶1，
又∵AB∶BC＝2∶5，
∴AB∶BD∶BC＝2∶1∶5，
设AB＝2k，则BD＝k，BC＝5k(k＞0)，
∴AD＝k，
∵S△ABC＝10，∴BC·AD＝10，即·5k·k＝10，∴k＝2，
∴AD＝2，CD＝BC－BD＝10－2＝8，
tan
C＝＝＝.
26、数学老师布置了这样一个问题：
如果α，β都为锐角，且tanα＝，tanβ＝，求α＋β的度数．
甲、乙两名同学想利用正方形网格图来解决这个问题，他们分别设计了图①和②.
(1)请你分别利用图①、图②求出α＋β的度数；
(2)请参考以上解决问题的方法，选择一种方法解决下面的问题：
如果α，β都为锐角，当tanα＝5，tanβ＝时，在图③的正方形网格中，利用已作出的锐角α，画出∠MON，使得∠MON＝α－β，并求出α－β的度数．
解：(1)如图①.在△AMC和△CNB中，
∵AM＝CN，∠AMC＝∠CNB＝90°，MC＝NB，∴△AMC≌△CNB，∴AC＝CB，∠ACM＝∠CBN.
∵∠BCN＋∠CBN＝90°，∴∠ACM＋∠BCN＝90°，∴∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝∠CBA＝45°，即α＋β＝45°.
如图②，连接BE.设每个小正方形的边长均为1，则CE＝1，AE＝2，BE＝，
∴＝＝，＝，∴＝.
又∵∠CEB＝∠BEA，∴△CEB∽△BEA，∴∠CBE＝∠BAE＝α，
∴∠BED＝∠CBE＋∠ECB＝α＋β.
∵DE＝DB，∠D＝90°，∴∠BED＝45°，∴α＋β＝45°.
(2)如图③，∠MOE＝α，∠NOH＝β，∠MON＝α－β.
在△MFN和△NHO中，∵MF＝NH，∠MFN＝∠NHO＝90°，FN＝HO，∴△MFN≌△NHO，
∴MN＝NO，∠MNF＝∠NOH.
∵∠NOH＋∠ONH＝90°，∴∠ONH＋∠MNF＝90°，∴∠MNO＝90°，
∴∠MON＝∠NMO＝45°，即α－β＝45°.
27、如图，在矩形ABCD中，点E是边BC上的点，AD＝DE，AF⊥DE于点F．
（1）求证：AF＝CD；
（2）若CE＝12，tan∠ADE=，求EF的长．
【解析】（1）∵AF⊥DE．∴∠AFE＝90°．
∵在矩形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°．∴∠ADF＝∠DEC，∠AFD＝∠C＝90°．
∵AD＝DE．∴△ADF≌△DEC（AAS），∴AF＝DC．
（2）∵tan∠ADE=，∠ADE＝∠CED，∴Rt△CDE中，tan∠CED==，
∴CD=CE＝9，∴DE15，
∵△ADF≌△DEC，∴DF＝CE＝12，∴EF＝DE﹣DF＝15﹣12＝3．
28、如图，在△ABC中，AB＝5，BC＝13，AD是BC边上的高，AD＝4.求CD和sin
C.
解：在Rt△ABD中，BD2＋AD2＝AB2，∴BD＝＝＝3，
∴CD＝BC－BD＝13－3＝10.
在Rt△ACD中，∵AD2＋CD2＝AC2，
∴AC＝＝＝2，
∴sin
C＝＝＝　
29、(1)如图①，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝m，延长CB至点D，使BD＝AB.
①求∠D的度数．
②求tan75°的值．
(2)如图②，点M的坐标为(2，0)，直线MN与y轴的正半轴交于点N，∠OMN＝75°，
求直线MN的函数表达式．
【解】　(1)①∵BD＝AB，∴∠D＝∠BAD，
∴2∠D＝∠D＋∠BAD＝∠ABC＝30°，∴∠D＝15°.
②∵∠C＝90°，∴∠CAD＝90°－∠D＝90°－15°＝75°.
∵∠ABC＝30°，AC＝m，
∴BD＝AB＝2m，CB＝m，
∴CD＝CB＋BD＝(2＋)m，
∴tan75°＝tan∠CAD＝＝2＋.
(2)∵点M的坐标为(2，0)，∠OMN＝75°，∠MON＝90°，
∴ON＝OM·tan∠OMN＝OM·tan75°＝2×(2＋)＝4＋2
，
∴点N的坐标为(0，4＋2
)．
设直线MN的函数表达式为y＝kx＋b.
把M，N两点的坐标代入y＝kx＋b，得解得
∴直线MN的函数表达式为y＝(－2－)x＋4＋2
.
30、如图，在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝60°，AB＝＋1，CD⊥AB于点D，
求AC的长和△ABC的面积．
【解】　设BD＝x，则AD＝＋1－x.
∵tan
60°＝，CD＝AD，
∴＝，解得x＝1.[]
∴BD＝1，CD＝AD＝.
∴AC＝，S△ABC＝×(＋1)×＝.
31、计算
（1）；
（2）．
(3)．
【解析】（1）===；
（2）==2-.
(3)原式．