人教版八年级数学上册11.3.2： 多边形的内角和（20张PPT）

人教版八年级数学上册 11.3 多边形及其内角和
11.3.2 多边形的内角和
多边形的内角和公式以及推导方法；
多边形的外角和以及推导方法；
多边形内角和公式和外角和的应用。
学习目标
３、三角形的内角和是_____度．
２、在多边形中连接______________________的线段叫做多边形的对角线。
1、在平面内，___________________________叫做多边形。
由一些线段首尾顺次相接组成的图形
多边形不相邻的两个顶点
180
4、正方形的内角和是 度，长方形的内角和是 度。
3600
3600
知识回顾
A
B
C
D
任意一个四边形的内角和都等于360°
思路：把求四边形内角和的问题转化为三角形问题来解决！
想一想：一般的四边形的内角和是多少度呢
五边形的内角和为540０
七边形的内角和为900０
六边形的内角和为720０
四边形、五边形、六边形、七边形从一个顶点出发分别可以引多少条对角线？分别把多边形分成多少个三角形？你能从中探索出规律吗？
试求五边形、六边形、七边形的内角和．
探索与思考
多边形的内角和
分成的三角形的个数
多边形的边数
1
…
180°
…
3
4
5
6
7
…
n
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
F
G
A
B
C
D
E
F
2
3
4
5
n-2
(n-2)×180 °
900 °
720 °
540 °
360 °
n边形每增加一条边,内角和的度数就增加180°
从上表中得到了什么结论？
结论：n边形的内角和为：
（n－2）×180°(n≥3).
n边形共有对角线 条(n≥3)
n边形从一个顶点出发的对角线有(n－3)条，
把n边形分成(n － 2)个三角形(n≥3)
多了什么？如何处理？
A
B
C
D
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
F
这种分割方式，将多边形分成（n-1）个三角形，故所有三角形的内角和为（n-1）×180 °，边上一点周围所形成的平角不是多边形的内角，因此n边形的内角和为
（n-1）×180 °- 180 °= (n-2)×180 °
A
B
C
D
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
F
该图中n边形共有n个三角形，故所有三角形内角和为n×180 °，但每个图中都有一个以红圈圈住的点，它是一个圆周角360 °，因此n边形的内角和为
n×180 °- 360 °= (n-2)×180 °
多了什么？如何处理？
1、n边形的内角和等于______________，
九边形的内角和等于_______________________。
2、一个多边形的内角和等于1440°，那么它是______边形。
3、正五边形的每一个内角的度数是_______。
4、从六边形的一个顶点出发可画_____条对角线，这些对角线把六边形分成_____个三角形。
5、一个六边形共有_____条对角线。
(n - 2) ? 180°
(9 - 2) ? 180°
= 1260°
十
108°
三
四
3+3+2+1=9
9
随堂练习
A
B
C
D
E
F
例：一个正多边形的一个内角为150°，
你知道它是几边形吗？
解：设　这个多边形为n边形，根据题意得：
　　　　（n－2）×180＝1５0n
　　 　　 　 n＝12
答：这个正多边形是正十二边形。
例1 如图，在五边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做五边形的外角和．五边形的外角和等于多少？
1.任意一个外角和他相邻的内角有什么关系？
2.五个外角加上他们分别相邻的五个内角和是多少？
3.这五个平角和与五边形的内角和、外角和有什么关系？
6
E
B
C
D
1
2
3
4
5
A
猜想与说理:
n边形的外角和是多少度呢?
答:都是360°.因为多边形的外角与它相邻的内角是邻补角，所以n边形的外角和加内角和等于n·180°，内角和为(n－2)·180°,因此，外角和为：n·180°－(n－2)·180°= 360°.
结论:多边形的外角和都等于360°.
例2 如图，在正五边形的每个顶点处各取一个外角，能否求出正五边形每个内角和外角的度数？
1.任意一个外角和他相邻的内角有什么关系？
2.正n边形具有什么特点？
3.正五边形的外角的度数和它的外角和有什么关系？
6
E
B
C
D
1
2
3
4
5
A
正n(n≥3）边形的的每个内角为
，每个外角都等于
一个多边形的内角和等于外角和的 ，求这个多边形的边数。
n=11
解：
设这个多边形的边数为n，
根据题意得：
答：这个多边形的边数为11。
例题讲解
1、一个十边形的每一个内角都相等，
那么这个十边形的每一外角等于( )
A、144° B、 72 ° C、 36° D 、18°
2、一个多边形每一个外角都等于45°，
则这个多边形的内角和等于( )
A、 720° B、 675° C、 1080°D、945°
C
C
巩固练习二：
例：一个正多边形的一个内角为150°，
你知道它是几边形吗？
解：由于多边形外角和等于360°
而这个正多边形的每个外角都等于
180°－150°＝30°，
所以这个正 多边形的边数等于
360°÷30°＝12。
解:假设这个多边形的边数是n，那个内角的度数为x
则有：(n-2)x180 ° =2750 ° +x
因为n是正整数,所以2750 ° +x也是180 °的倍数
因为x<180 °
所以x=130 °
所以(n-2).180 ° =2880 °
所以n=18
已知一个多边形除了一个内角外，其余各内角的和是2750°，求这个多边形的边数。
拓展练习
（1）如图，请根据下列图形，填写表中空格：
正多边形边数
3
4
5
6
…

正多边形每个内角的度数
?
?
?
?
?
?
（2）如果限于一种正多边形镶嵌，哪几种正多边形能镶嵌成一个平面图形？
（3）从正三角形、正方形、正六边形中选一种，再在其它正多边形中选一种，请画出用这两种不同的正多边形镶嵌成一个平面图，并探索这两种正多边形共能镶嵌成几种不同的平面图形？说明你的理由．
小结
1、n（n≥3）边形的的内角和为（n-2)x180°
2、任意多边形的外角和等于360°
4、多边形的边数与内角和及外角和的关系：
内角和与边数成正比，边数增加，内角和增加，边数减少，内角和减少，每增加一条边，内角和增加180°（反过来也成立），边数的内角和是180°的整数倍。多边形的外角和恒等于360°，与边数多少无关。
5、正n(n≥3）边形的的每个内角为
每个外角都等于