人教版九年级数学上册21.1 ：一元二次方程（22张PPT）

21.1　 一元二次方程
新人教版九年级数学上册 21 一元二次方程
理解一元二次方程的概念；
掌握一元二次方程的一般形式，正确认识二次项系数、一次项系数及常数项；
理解一元二次方程根（解）的概念，并能解决相关问题。
学习目标
复习回顾：
1、方程：含有未知数的等式叫方程
2、方程的解：能使方程左右两边相等的未知数的值就
叫方程的解
3、方程的根：一元方程的解又叫方程的根
4、一元一次方程：含有一个未知数，并且未知数的最
高次数为1的整式方程
5、二元一次方程：含有两个未知数，并且未知数的项最
高次数为1的整式方程
6、分式方程：分母中含有未知数的方程
7、根式方程：根号下含有未知数的方程
8、一元二次方程：
含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程
?
例题讲解
[例1]判断下列方程是否为一元二次方程？
（1）
（2）
（3）
3
5
2
3
-
=
+
y
x
不是
是
不是
?
问题情景(1)
问题(1) 有一块矩形铁皮,长100㎝,宽50㎝,在它的四角各切去一个正方形,然后将四周突出部分折起,就能制作一个无盖方盒,如果要制作的方盒的底面积为3600平方厘米,那么铁皮各角应切去多大的正方形?
100㎝
50㎝
x
3600
分析:
设切去的正方形的边长为xcm,则盒底的长为 ,宽为 .
(100-2x)cm
(50-2x)cm
根据方盒的底面积为3600cm2,得
?
问题(2) 要组织一次排球邀请赛,参赛的每两队之间都要比赛一场,根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛,比赛组织者应邀请多少个队参加比赛?
问题情景(2)
分析:
全部比赛共
4×7=28场
设应邀请x个队参赛,每个队要与其他 个队各赛1场,
由于甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛
是同一场比赛,所以全部比赛共 场.
(x-1)
一块四周镶有宽度相等的花边的地毯如下图，它的长为８m，宽为５m．如果地毯中央长方形图案的面积为１８m2 ，则花边多宽?
你怎么解决这个问题？
问题情景(3)
解：如果设花边的宽为xm ,那么地毯中央长方形图案的长为 m,宽为　　　 m,根据题意,可得方程：
（8－2x）
（5－2x）
(8 － 2x) (5 － 2x) = 18.
5
x
x
x
x
（8－2x）
（5－2x）
8
18m2
数学化
问题情景(3)
x
8m
1
10m
7m
6m
解：由勾股定理可知，滑动前梯 　　子底端距墙　　　　m
如果设梯子底端滑动X m，那么滑
动后梯子底端距墙　　　　m
根据题意，可得方程：
　　　　　　　　　　　　　　
72＋(X＋6)2＝102
6
（X＋6）
如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m．如果梯子的顶端下滑1m，那么梯子的底端滑动多少米？
10m
数学化
问题情景(4)
由上面四个问题，我们可以得到四个方程：
(8-2x)(5-2x)=18;
即 2x2 － 13x ＋ 11 = 0 .
(x＋６)2＋７2＝102
即 x2 ＋12 x －15 ＝0.
上面四个方程整理后含有 ___未知数,它们的最高次数
是 ___ ,等号两边是 __ 式。
一个
2
整
★.判断一个方程是否是一元二次方程不能只看表面、而是能化简必须先化简、然后再查看这个方程未知数的最高次数是否是2。
判断下列方程是否为一元二次方程？
(1)x2+x =36
(2) x3+ x2=36
(3)x+3y=36
(5) x+1=0
?
?
?
?
?
?
?
?
一元二次方程的一般形式
一般地,任何一个关于x 的一元二次方程都可以
化为 的形式,我们把
(a,b,c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式。
为什么要限制a≠0，b,c可以为零吗？
想一想
a x 2 + b x + c = 0
(a ≠ 0)
二次项系数
一次项系数
常数项
一元二次方程
二次项
系数
一次项
系数
常数项

4
2x2+x+4=0
2
1
-4y2+2y=0
-4
2
0
3x2-x-1=0
3
-1
-1
抢答：
4x2-5=0
4
0
-5
m-3
1-m
-m
3x(x-1)=5(x+2)
(m-3)x2-(m-1)x-m=0(m≠3)
3
-8
-10
1.关于x的方程(k－3)x2 ＋ 2x－1＝0,
当k　　时，是一元二次方程．
2.关于x的方程(k2－1)x2 ＋ 2 (k－1) x ＋ 2k ＋ 2＝0,当k 　　　时，是一元二次方程．
当k 　　　时，是一元一次方程．
≠3
≠±1
＝－1
3.m为何值时，
是关于x的一元二次方程？
4.若关于x的方程2mx（x-1）-nx（x+1）=1，化成一般形式后为4x2-2x-1=0，求m、n的值。
练习巩固
悬而未解的问题
问题 要组织一次排球邀请赛,参赛的每两队之间都要比赛一场,根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛,比赛组织者应邀请多少个队参加比赛?
解:设邀请了x队参加比赛,根据题意得:
即:x2-x=56
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
…
X2-x
0
2
6
12
20
30
42
56
72
90
…
由表中数值可以发现,当x=8时是方程x2-x=56的解.
是否只有x=8是方程的根呢?
X= -7呢?
一元二次方程解的概念
方程解的定义是怎样的呢?
能使方程左右两边相等的未知数的值就叫方程的解。只含有一个未知数的方程的解也叫做根
★.运用根的定义解决问题的思路：
将方程的根代入原方程
练习:
1.下面哪些数是方程 的根?
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

2.已知方程x2+mx－12=0的一个根是x=－2，求m的值。
m=-4
?
例题讲解
例题讲解
例题讲解
一元二次方程
?
例题讲解
例题讲解
例题讲解
1.一元二次方程的概念
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。
2、一元二次方程的一般形式
一般地,任何一个关于x 的一元二次方程都可以
化为 的形式,我们把
(a,b,c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式。
3、能使方程左右两边相等的未知数的值就叫方程的解。只含有一个未知数的方程的解也叫做根