(共26张PPT)
第二章 相交线与平行线
数学·七年级下册·北师
相交线与平行线在现实生活中随处可见,同时它们又构成平面内两条直线位置的基本关系.通过本章的学习,有助于培养学生简单的推理能力、应用意识和创新意识.例如:第1题,借助辅助线,探究两平行线间角的关系,培养推理和探究能力;第2题,从实际生活中的简单场景出发,考查学生的应用意识和探究问题的能力,关注直观想象和逻辑推理.
1.已知AB∥CD,试解决下列问题:
(1)如图1,∠1+∠2的度数为 ;?
(2)如图2,∠1+∠2+∠3的度数为 ;?
(3)如图3,∠1+∠2+∠3+∠4的度数为 ;?
(4)如图4,∠1+∠2+?+∠n的度数为 .?
答案
1.(1)180°;(2)360°;(3)540°;(4)(n-1)180° 【解析】 (1)因为AB∥CD,所以∠1+∠2=180°.(2)如图1,过点E作EF∥AB,因为AB∥CD,所以AB∥CD∥EF,所以∠1+∠AEF=180°,∠FEC+∠3=180°,所以∠1+∠2+∠3=∠1+∠AEF+∠FEC+
∠3=
360°.(3)如图2,过点E作EG∥AB,过点F作FH∥AB,因为AB∥CD,所以AB∥EG∥FH∥CD,所以∠1+∠AEG=180°,
∠GEF+∠EFH=180°,∠HFC+∠4=180°,所以∠1+∠2+∠3+∠4=∠1+∠AEG+∠GEF+∠EFH+∠HFC+∠4=540°.
(4)由(1)(2)(3),可知题图4中∠1+∠2+?+∠n=(n-1)180°.
2.如图,AB,CD是两根钉在木板上的平行木条,将一根橡皮筋的两端分别固定在A,C两点,点E是橡皮筋上的任意一点,拽动点E将橡皮筋拉紧,请你探索∠A,∠C,∠AEC之间的数量关系,并说明理由.
答案
2.【解析】 分四种情况.
①如图1,∠AEC=∠A+∠C.理由如下:
过点E作EF∥AB.
因为AB∥CD,所以AB∥EF∥CD,
所以∠A=∠1,∠C=∠2,
所以∠1+∠2=∠A+∠C,
所以∠AEC=∠A+∠C.
答案
②如图2,∠A+∠C+∠AEC=360°.理由如下:
过点E作EG∥AB.
因为AB∥CD,所以AB∥EG∥CD,
所以∠1+∠A=180°,∠2+∠C=180°,
所以∠1+∠A+∠2+∠C=360°,
所以∠A+∠C+∠AEC=360°.
③如图3,∠AEC=∠A-∠C.理由如下:
过点E作EH∥AB.
因为AB∥CD,所以AB∥EH∥CD,
所以∠A=∠AEH,∠C=∠1,
所以∠AEC=∠AEH-∠1=∠A-∠C.
答案
④如图4,∠AEC=∠C-∠A.理由如下:
过点E作EQ∥AB.
因为AB∥CD,所以AB∥EQ∥CD,
所以∠C+∠1=180°,∠A+∠AEQ=180°,
所以∠C+∠1=∠A+∠AEQ,
所以∠C-∠A=∠AEQ-∠1=∠AEC,
所以∠AEC=∠C-∠A.
3.[与物理知识结合的平行线问题]材料1:反射定律
当入射光线AO照射到平面镜上时,将遵循平面镜反射定律,即反射角(∠BOM)的
大小等于入射角(∠AOM)的大小,显然,这两个角的余角也相等,其中法线(OM)与
平面镜垂直,并且满足入射光线、反射光线(OB)与法线在同一个平面.
材料2:平行逃逸角
对于某定角∠AOB=α(0°<α<90°),点P为边OB上一点,从点P发出一光线PQ(射线),∠BPQ=β(0°<β<90°),当光线PQ接触到边OA和OB时会遵循反射定律发生反射,当光线PQ经过n次反射后与边OA或OB平行时,称角β为定角α的n阶平行逃逸角,特别地,当光线PQ直接与OA平行时,称角β为定角α的0阶平行逃逸角.
(1)已知∠AOB=α=20°,
①如图1,若PQ∥OA,则∠BPQ=
°,即该角为α的0阶平行逃逸角;?
②如图2,经过一次反射后的光线P1Q∥OB,此时的∠BPP1为α的1阶平行逃逸角,求∠BPP1的大小;
③若经过两次反射后的光线与OA平行,请补全图3,并直接写出α的2阶平行逃逸角为 °;?
(2)根据(1)的结论,猜想:对于任意角α(0°<α<90°),其n(n为自然数)阶平行逃逸角β= (用含n和α的代数式表示).?
答案
3.【解析】 (1)①20
因为PQ∥OA,所以∠BPQ=∠AOB=20°.
②在题图2中,由反射定律,得∠AP1Q=∠PP1O.
因为P1Q∥OB,所以∠AP1Q=∠AOB=20°,∠BPP1+∠QP1P=180°,
又因为∠AP1Q+∠PP1O+∠QP1P=180°,
所以∠BPP1=∠AP1Q+∠PP1O
=2∠AOB
=40°.
③60
补全图形如图所示.
(2)(n+1)α
由(1)可知,α的0阶平行逃逸角为α,α的1阶平行逃逸角为2α,α的2阶平行逃逸角为3α??由此可以猜想,α的n阶平行逃逸角为(n+1)α.
答案
1.A 【解析】 因为AB∥CD,所以∠2+∠3=∠1=100°.因为∠2=48°,所以∠3=100°-48°=52°.故选A.
一、选择题
1.[2020广东实验中学期中]如图是超市里购物车的侧面示意图,扶手AB与车底CD平行,∠1=100°,∠2=48°,则∠3的度数是
( )
A.52°
B.48°
C.42°
D.62°
答案
2.C 【解析】 如图,因为射线PN⊥c,所以∠MNP=90°.因为a∥b,所以∠1=∠3,所以∠1+∠2=∠3+∠2=∠MNP=90°,即∠1与∠2互余.故选C.
2.[2020江苏苏州吴中区期末]如图,直线a∥b,直线c与直线a,b分别交于点M,N,射线NP⊥c,则图中∠1与∠2一定满足的关系是
( )
A.同位角
B.相等
C.互余
D.互补
答案
3.B 【解析】 如图,由AB∥CD,易得∠1=∠A+∠C=45°+60°=105°,
∠2=∠B+∠D=75°,所以∠1-∠2=30°.故选B.
3.[2019四川南充模拟]如图,把一副三角板放在桌面上,使两直角顶点重合,两条斜边平行,则∠1与∠2的差是
( )
A.45°
B.30°
C.25°
D.20°
答案
4.D 【解析】 (1)①②作为已知条件,③作为结论.如图,因为∠1=∠2,∠1=∠3,所以∠2=
∠3,所以CE∥BD,所以∠C=∠ABD,又因为∠C=∠D,所以∠ABD=∠D,所以AC∥DF,所以∠A=∠F,故(1)成立.(2)②③作为已知条件,①作为结论,如图,因为∠A=∠F,所以AC∥DF,所以∠ABD=∠D,又因为∠C=∠D,所以∠C=∠ABD,所以CE∥BD,所以∠2=∠3,又因为∠1=
∠3,所以∠1=∠2,故(2)成立.(3)①③作为已知条件,②作为结论.如图,因为∠1=∠3,∠1=∠2,所以∠2=∠3,所以CE∥BD,所以∠C=∠ABD.因为∠A=∠F,所以AC∥DF,所以∠D=∠ABD,所以∠C=∠D,故(3)成立.故选D.
4.[2019四川成都七中实验学校模拟]如图,①∠1=∠2;②∠C=∠D;③∠A=∠F.从三个条件中选出两个作为已知条件,剩余一个作为结论,其中成立的个数为
( )
A.0
B.1
C.2
D.3
5.[2020河北邢台一模]下面是黑板上出示的尺规作图题,则符号代表的内容正确的是
( )
A.?表示点E
B.?表示PQ
C.?表示OQ
D.?表示射线EF
如图,已知∠AOB.求作:∠DEF,使∠DEF=∠AOB.
作法:(1)以?为圆心,任意长为半径画弧,分别交OA,OB于点P,Q;
(2)作射线EG,并以点E为圆心,?长为半径画弧,交EG于点D;
(3)以点D为圆心,
?长为半径画弧,交第(2)步中所画弧于点F;
(4)作?,∠DEF即所求作的角.
答案
5.D
6.[2020山西大同期末]学习平行线后,张明想出了过已知直线外一点画这条直线的平行线的新方法,他是通过折一张半透明的纸得到的.观察图1~图4,经两次折叠展开后折痕CD所在的直线即过点P与已知直线a平行的直线.由操作过程可知张明画平行线的依据有
( )
①同位角相等,两直线平行;
②两直线平行,同位角相等;
③内错角相等,两直线平行;
④同旁内角互补,两直线平行.
A.①③
B.①②③
C.③④
D.①③④
答案
6.D 【解析】 由操作过程可知,a⊥AB,CD⊥AB,所以可以利用同位角相等,两直线平行或内错角相等,两直线平行或同旁内角互补,两直线平行,判定CD∥a.故选D.
答案
7.10 【解析】 如图,因为AE∥BD,所以∠BAE+∠ABD=180°.因为∠BAE=40°,∠DBC=50°,所以∠ABC=90°,所以CB⊥AB,所以BC的长即点C到直线AB的距离,所以点C到直线AB的距离为10
m.
二、填空题
7.[2019江苏苏州期末]如图,点B在点A北偏东40°方向,点C在点B北偏西50°方向,BC=10
m,则点C到直线AB的距离为
m.?
答案
8.115 【解析】 因为EO⊥CD,所以∠COE=90°,所以∠AOC+∠BOE=90°,又因为∠BOE∶∠AOC=4∶5,所以∠AOC=50°,又因为OF平分∠AOC,所以∠COF=25°,所以∠EOF=∠COF+∠COE=25°+90°=115°.
8.[2019河南模拟]如图,直线AB与CD相交于点O,EO⊥CD于点O,OF平分∠AOC.若∠BOE∶∠AOC=4∶5,则∠EOF为
°.?
答案
9.100 【解析】 如图,∠3=100°,当∠4=∠3=100°时,可得CD∥EF.因为∠1=120°,所以∠5=60°.因为∠2=∠5=60°,所以AB∥CD,所以AB∥EF.
9.[2020山东济南章丘区期末]如图,∠1=120°,∠2=60°,∠3=100°,则∠4= °时,AB∥EF.?
答案
10.146 【解析】 因为l1∥l2,所以∠BAD+∠ABC=180°.因为∠BAD=136°,所以∠ABC=44°.因为BD平分∠ABC,所以∠DBC=22°.因为l1∥l2,所以∠ADB=∠DBC=22°,∠ADC+∠BCD=180°.因为BD⊥CD,所以∠BDC=90°,所以∠BCD=
180°-∠ADC=180°-(∠ADB+∠BDC)=68°.因为CE平分∠DCB,所以∠ECB=34°.因为l1∥l2,所以∠AEC+∠ECB=180°,所以∠AEC=146°.
10.如图,l1∥l2,点A,E,D在直线l1上,点B,C在直线l2上,并且满足BD平分∠ABC,BD⊥CD,CE平分∠DCB,若∠BAD=136°,则∠AEC= °.?
三、解答题
11.[2020辽宁沈阳沈河区期末]把下面的说明过程补充完整.
已知:如图,∠1+∠2=180°,∠3=∠B.试判断∠AED与∠4的关系,并说明理由.
解:∠AED=∠4.理由如下:
因为∠1+∠BDF=180°( ),∠1+∠2=180°(已知),?
所以∠2=∠BDF( ),?
所以EF∥AB( ),?
所以∠3=∠ADE( ).?
因为∠3=∠B(已知),
所以∠B= ,?
所以DE∥BC( ),?
所以∠AED=∠ACB( ),?
又因为∠ACB=∠4( ),?
所以∠AED=∠4.
答案
11.【解析】 平角的定义 同角的补角相等 内错角相等,两直线平行 两直线平行,内错角相等 ∠ADE 同位角相等,两直线平行
两直线平行,同位角相等 对顶角相等
12.[2020浙江杭州余杭区期末]直线AB与直线CD相交于点O,OE平分∠BOD,射线OF在∠AOD内部.
(1)若OF⊥OE,判断OF是否为∠AOD的平分线,并说明理由;
(2)若OF平分∠AOE,∠AOF=∠DOF,求∠BOD的度数.
答案
12.【解析】 (1)OF是∠AOD的平分线.理由如下:
因为OF⊥OE,所以∠EOF=90°,
所以∠BOE+∠AOF=90°.
因为OE平分∠BOD,所以∠BOE=∠DOE,
所以∠DOE+∠AOF=90°,
又因为∠DOE+∠DOF=90°,所以∠AOF=∠DOF,
所以OF是∠AOD的平分线.
(2)∠AOF=∠DOF,设∠DOF=3x,则∠AOF=5x.
因为OF平分∠AOE,所以∠AOF=∠EOF=5x,∠DOE=2x.
因为OE平分∠BOD,所以∠BOD=4x.
因为∠AOF+∠DOF+∠BOD=180°,
所以5x+3x+4x=180°,解得x=15°,
所以∠BOD=4x=60°.
答案
13.【解析】 (1)因为AM∥BN,所以∠ABN+∠A=180°,
又因为∠A=60°,所以∠ABN=180°-60°=120°,
即∠ABP+∠PBN=120°.
因为BC,BD分别平分∠ABP和∠PBN,
所以∠ABP=2∠CBP,∠PBN=2∠DBP,
13.[2019湖南衡阳一中模拟]如图,已知AM∥BN,∠A=60°,点P是射线AM上一动点(与点A不重合),BC,BD分别平分∠ABP和∠PBN,交射线AM于点C,D.
(1)求∠CBD的度数.
(2)当点P运动时,∠APB∶∠ADB的值是否随之变化?若不变,请求出这个值;若变化,请找出变化规律.
(3)当点P运动到使∠ACB=∠ABD时,求∠ABC的度数.
答案
所以2∠CBP+2∠DBP=120°,
所以∠CBD=∠CBP+∠DBP=60°.
(2)不变.
因为AM∥BN,所以∠APB=∠PBN,∠ADB=∠DBN.
因为BD平分∠PBN,所以∠PBN=2∠DBN,
所以∠APB=2∠ADB,所以∠APB∶∠ADB=2.
(3)因为AM∥BN,所以∠ACB=∠CBN.
当∠ACB=∠ABD时,∠ABD=∠CBN.
因为∠ABD=∠ABC+∠CBD,∠CBN=∠CBD+∠DBN,
所以∠ABC=∠DBN.
由(1)可知∠ABN=120°,∠CBD=60°,
所以∠ABC+∠DBN=∠ABN-∠CBD=60°,
所以∠ABC=30°.(共9张PPT)
第二章 相交线与平行线
数学·七年级下册·北师
答案
1.D
1.[2020河北中考]如图,在平面内作已知直线m的垂线,可作垂线的条数有
( )
A.0条
B.1条
C.2条
D.无数条
答案
2.B 【解析】 由题意,得a⊥AB,b⊥AB,根据在同一平面内,垂直于同一条直线的两条直线互相平行,可得a∥b.故选B.
2.[2020浙江金华中考]如图,工人师傅用角尺画出工件边缘AB的垂线a和b,得到a∥b.理由是
( )
A.连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短
B.在同一平面内,垂直于同一条直线的两条直线互相平行
C.在同一平面内,过一点有一条而且仅有一条直线垂直于已知直线
D.经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行
答案
3.B 【解析】 因为∠FEA=40°,所以∠CEF=140°.因为射线EB平分∠CEF,所以∠BEF=70°,因为GE⊥EF,所以∠GEF=90°,所以∠GEB=90°-70°=20°.故选B.
3.[2020四川乐山中考]如图,E是直线CA上一点,∠FEA=40°,射线EB平分∠CEF,GE⊥EF.则∠GEB=( )
A.10°
B.20°
C.30°
D.40°
答案
4.B 【解析】 因为AC为角平分线,所以∠1=∠2.因为l1∥AB,所以∠4=∠2,∠3=∠2,所以∠1=∠4,∠1=∠3.故A,C,
D正确.因为l1∥AB,所以∠5=∠1+∠2,故B错误.故选B.
4.[2019广东深圳中考]如图,已知l1∥AB,AC为角平分线,下列说法错误的是
( )
A.∠1=∠4
B.∠1=∠5
C.∠2=∠3
D.∠1=∠3
答案
5.D 【解析】 如图,由题意得ED∥FA,∠EBC=∠CBA,所以∠EBC=∠ACB,∠DBA=∠CAB=30°.因为∠EBC+
∠CBA+∠ABD=180°,所以∠ACB+∠ACB+30°=180°,所以∠ACB=75°.故选D.
5.[2020湖北荆州中考]将一张矩形纸片折叠成如图所示的图形.若∠CAB=30°,则∠ACB的度数是
( )
A.45°
B.55°
C.65°
D.75°
答案
6.76 【解析】 因为DC∥OB,所以∠ADC=∠AOB=38°.由题意可得∠ODE=∠ADC=38°,所以∠CDE=180°-∠ADC-∠ODE=104°.因为DC∥OB,所以∠DEB=180°-∠CDE=76°.
6.[2020湖南张家界中考]如图,∠AOB的一边OA为平面镜,∠AOB=38°,一束光线(与水平线OB平行)从点C射入,经平面镜反射后,反射光线落在OB上的点E处,则∠DEB的度数是 °.?
答案
7.【解析】 因为AB∥CD,所以∠GFB=∠FED=45°.
因为∠HFB=20°,所以∠GFH=∠GFB-∠HFB=45°-20°=25°.
7.[2020湖北宜昌中考]光线在不同介质中传播速度不同,从一种介质射向另一种介质时会发生折射.如图,水面AB与水杯下沿CD平行,光线EF从水中射向空气时发生折射,光线变成FH,点G在射线EF上,已知∠HFB=20°,∠FED=45°,求∠GFH的度数.
答案
8.【解析】 因为EM∥FN,
所以∠FEM=∠EFN,
因为EM平分∠BEF,FN平分∠CFE,
所以∠BEF=2∠FEM,∠CFE=2∠EFN,
所以∠BEF=∠CFE,
所以AB∥CD.
8.[2020湖北武汉中考]如图,直线EF分别与直线AB,CD交于点E,F.EM平分∠BEF,FN平分∠CFE,且EM∥FN.试说明:AB∥CD.(共149张PPT)
第二章 相交线与平行线
数学·七年级下册·北师
1 两条直线的位置关系
课时1 对顶角、补角和余角
课时1
1.[2021重庆西北狼教育联盟开学考试]下列说法中,正确的个数是
( )
①在同一平面内,不相交的两条线段必平行;
②在同一平面内,不相交的两条直线必平行;
③在同一平面内,不平行的两条线段必相交;
④在同一平面内,不平行的两条直线必相交.
A.1
B.2
C.3
D.4
答案
1.B 【解析】 在同一平面内,两条线段的位置关系有平行、相交、既不平行也不相交三种,故①③错误;在同一平面内,两条直线的位置关系有相交和平行两种,故②④正确.故选B.
知识点1
相交线与平行线
平行线定义的三个特征
(1)在同一平面内;(2)两条直线;(3)不相交.要特别注意“在同一平面内”这一条件.
归纳总结
2.
[2019安徽合肥期末]如图所示的四个图形中,∠1和∠2是对顶角的是
( )
答案
2.B 【解析】 根据对顶角的定义:两条直线相交后,所得的有公共顶点且两边互为反向延长线的两个角叫做对顶角,观察选项,知只有选项B中∠1和∠2是对顶角.故选B.
知识点2
对顶角
互为对顶角的两个角必须满足的两个条件
(1)两个角有一个公共顶点;(2)一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线.
归纳总结
3.[2018湖南邵阳中考]如图,直线AB,CD相交于点O,已知∠AOD=160°,则∠BOC的大小为
( )
A.20°
B.60°
C.70°
D.160°
答案
3.D 【解析】 由题图可知,∠BOC和∠AOD是对顶角,由对顶角相等,可得∠BOC=∠AOD=160°.故选D.
知识点2
对顶角
4.[2019山东济宁期中]如图,要测量两堵围墙形成的∠AOB的度数,先分别延长AO,BO得到∠COD,然后通过测量∠COD的度数从而得到∠AOB的度数.其中运用的原理是 .?
答案
4.对顶角相等 【解析】 ∠COD与∠AOB是对顶角,根据对顶角相等可知,通过测量∠COD的度数可以得到∠AOB的度数.
知识点2
对顶角
5.当光线从空气中射入水中时,光线的传播方向发生了变化,这种现象叫做光的折射.如图,直线AB与直线CD相交于点F,一束光线沿CD射入水面,在点F处发生折射,沿FE射入水中.如果∠1=42°,∠2=29°,那么光的传播方向改变了 度.?
答案
5.13 【解析】 因为∠1=42°,∠1与∠BFD是对顶角,所以∠BFD=∠1=42°.因为∠2=29°,所以∠DFE=42°-29°=13°,所以光的传播方向改变了13°.
知识点2
对顶角
6.下列说法正确的是
( )
A.若∠1+∠2+∠3=180°,则∠1,∠2,∠3互补
B.若∠1+∠2+∠3=90°,则∠1,∠2,∠3互余
C.若∠1+∠2=90°,则∠1与∠2互余
D.若∠1+∠2=90°,则∠1与∠2互补
答案
6.C 【解析】 如果两个角的和是90°,那么称这两个角互为余角;如果两个角的和是180°,那么称这两个角互为补角.根据定义,可知选C.
知识点3
补角和余角
互为余角(补角)指的是两个角之间的关系.
名师点睛
7.[2020贵州贵阳中考]如图,直线a,b相交于点O,如果∠1+∠2=60°,那么∠3的度数是
( )
A.150°
B.120°
C.60°
D.30°
答案
7.A 【解析】 根据对顶角的性质,可得∠1=∠2,因为∠1+∠2=60°,所以∠1=∠2=30°,所以∠3=180°-30°=150°.故选A.
知识点3
补角和余角
8.易错题如果∠α+∠β=90°,∠γ+∠β=90°,那么∠α与∠γ的关系是
( )
A.相等
B.互补
C.互余
D.无法确定
答案
8.A 【解析】 根据同角的余角相等,可知∠α与∠γ的关系是相等.故选A.
知识点3
补角和余角
9.如图,点A,O,B在同一直线上,且∠AOC=∠BOC=∠EOF=90°,则∠AOE的余角有
( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
9.B 【解析】 因为∠AOC=90°,所以∠COE+∠AOE=90°,所以∠COE是∠AOE的余角.因为∠EOF=90°,∠AOB=
180°,所以∠BOF+∠AOE=90°,所以∠BOF是∠AOE的余角.故选B.
知识点3
补角和余角
10.[2020湖北鄂州鄂城区期末]已知一个角的补角加上10°后等于这个角的余角的3倍,求这个角的度数.
答案
10.【解析】 设这个角的度数为x,则它的余角的度数为90°-x,补角的度数为180°-x,
根据题意,得180°-x+10°=3×(90°-x),
解得x=40°.
答:这个角的度数为40°.
知识点3
补角和余角
1.
[2019广东揭阳期中]如果一个角的补角的度数是120°,那么这个角的余角的度数是
( )
A.30°
B.60°
C.90°
D.120°
答案
1.A 【解析】 因为这个角的补角的度数是120°,所以这个角的度数是180°-120°=60°,所以这个角的余角的度数是90°-60°=30°.故选A.
2.[2019海南琼中期末]一副三角板按如图所示的方式摆放,且∠1比∠2大54°,则∠1的度数是
( )
A.18°
B.54°
C.72°
D.70°
答案
2.C 【解析】 设∠1的度数是x,则∠2的度数是90°-x.由题意,得90°-x+54°=x,解得x=72°.故选C.
3.[2020四川宜宾期末]如图,直线AB与CD相交于O点,∠1=∠2,若∠AOE=138°,则∠AOC的度数为
( )
A.45°
B.90°
C.84°
D.100°
答案
3.C 【解析】 因为∠AOE+∠2=180°,∠AOE=138°,所以∠2=42°.因为∠1=∠2,所以∠BOD=2∠2=84°.因为∠AOC与∠BOD是对顶角,所以∠AOC=∠BOD=84°.故选C.
4.
[2019河南洛阳期中]如图,直线AC和直线BD相交于点O,OE平分∠BOC.若∠1+∠2=80°,则∠3的度数为
( )
A.40°
B.50°
C.60°
D.70°
答案
4.D 【解析】 因为∠1=∠2,∠1+∠2=80°,所以∠1=∠2=40°,所以∠BOC=140°,又因为OE平分∠BOC,所以∠3=70°.故选D.
5.[2020安徽六安裕安区期末]已知∠α和∠β互补,且∠α>∠β,给出下列式子:①90°-∠β;②∠α-90°;③(∠α+∠β);
④(∠α-∠β);⑤(∠α-90°).其中表示∠β的余角的式子有
( )
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
答案
5.B 【解析】 (90°-∠β)+∠β=90°,所以90°-∠β是∠β的余角,①符合题意;∠α-90°+∠β=(∠α+∠β)-90°=180°-90°=
90°,所以∠α-90°是∠β的余角,②符合题意;(∠α+∠β)+∠β=×180°+∠β=90°+∠β,所以(∠α+∠β)不是∠β的余角,③不符合题意;(∠α-∠β)+∠β=(∠α+∠β)=90°,所以(∠α-∠β)是∠β的余角,④符合题意;(∠α-90°)+∠β=(∠α+∠β)+
∠β-45°=90°+∠β-45°=45°+∠β,所以(∠α-90°)不是∠β的余角,⑤不符合题意.综上,表示∠β的余角的式子有3个.故选B.
6.[2020安徽安庆期末]在直线AB上任取一点O,过点O作射线OC,OD,使∠COD=90°,当∠AOC=50°时,∠BOD的度数是
( )
A.40°
B.140°
C.40°或140°
D.40°或90°
答案
6.C 【解析】 如图1,当射线OC,OD在直线AB的同一侧时,因为∠COD=90°,所以∠BOD=180°-90°-∠AOC=180°-90°-50°=40°.如图2,当射线OC,OD在直线AB的两侧时,因为∠COD=90°,所以∠AOD=90°-∠AOC=90°-50°=40°,所以∠BOD=180°-∠AOD=180°-40°=140°.综上,∠BOD的度数为40°或140°.故选C.
7.[2019上海长宁区期末]如图,已知直线AB,CD相交于点O,如果∠BOD=40°,OA平分∠COE,那么∠DOE= °.?
答案
7.100 【解析】 因为∠BOD=40°,所以∠AOC=∠BOD=40°,因为OA平分∠COE,所以∠COE=2∠AOC=80°,所以∠DOE=180°-80°=100°.
8.
[2019陕西安康期中]如图,三条直线交于同一点,若∠1∶∠2∶∠3=2∶3∶1,则∠4的度数为 .?
答案
8.60° 【解析】 因为∠1与∠4是对顶角,∠1∶∠2∶∠3=2∶3∶1,所以∠4∶∠2∶∠3=2∶3∶1,因为∠2+∠3+
∠4=180°,所以∠2=90°,∠3=30°,∠4=60°.
9.如图,点A,O,E在同一条直线上,OB,OC,OD都是射线,∠1=∠2,∠1与∠4互为余角.
(1)∠2与∠3有何关系?请说明理由.
(2)∠3与∠4有何关系?请说明理由.
(3)试说明:∠3与∠AOD互补.
答案
9.【解析】 (1)∠2与∠3互余.理由如下:
由点A,O,E在同一条直线上,知∠1+∠2+∠3+∠4=180°.
由∠1与∠4互余,知∠1+∠4=90°,所以∠2+∠3=90°,
所以∠2与∠3互余.
(2)∠3=∠4.理由如下:
由(1)知∠1+∠4=∠2+∠3,
因为∠1=∠2,所以∠3=∠4.
(3)由(2)知∠3=∠4,
因为等角的补角相等,∠4的补角是∠AOD,
所以∠3与∠AOD互补.
10.[2020广东佛山高明区期末]如图,直线EF,CD相交于点O,∠AOB=90°,OC平分∠AOF.
(1)若∠AOE=40°,求∠BOD的度数;
(2)若∠AOE=30°,请直接写出∠BOD的度数;
(3)观察(1)(2)的结果,猜想∠AOE和∠BOD的数量关系,并说明理由.
答案
10.【解析】 (1)因为∠AOE+∠AOF=180°,∠AOE=40°,
所以∠AOF=180°-∠AOE=140°.
因为OC平分∠AOF,所以∠AOC=∠AOF=×140°=70°.
因为∠BOD+∠AOB+∠AOC=180°,∠AOB=90°,
所以∠BOD=180°-∠AOC-∠AOB=180°-70°-90°=20°.
(2)∠BOD=15°.
(3)猜想:∠BOD=∠AOE.理由如下:
因为OC平分∠AOF,所以∠AOC=∠AOF.
因为∠AOE+∠AOF=180°,所以∠AOF=180°-∠AOE.
因为∠BOD+∠AOB+∠AOC=180°,∠AOB=90°,
所以∠BOD+90°+∠AOF=180°,
所以∠BOD=180°-90°-∠AOF=90°-∠AOF=90°-(180°-∠AOE)=90°-90°+∠AOE=∠AOE.
课时2 垂线
课时2
1.[2020四川雅安期末]如图,直线AB,CD相交于点O,给出下列条件:①∠AOD=90°;②∠AOC=∠BOC;③∠AOC=∠BOD;④∠AOC+∠BOD=180°.其中能说明AB⊥CD的有
( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
1.C 【解析】 ①由∠AOD=90°,可以得出AB⊥CD;②因为∠AOC+∠BOC=180°,∠AOC=∠BOC,所以∠AOC=
∠BOC=90°,可以得出AB⊥CD;④因为∠AOC+∠BOD=180°,∠AOC=∠BOD(对顶角相等),所以∠AOC=∠BOD=90°,可以得出AB⊥CD.综上,①②④能说明AB⊥CD.故选C.
知识点1
垂线的定义
2.如图,O为直线AB上一点,OD,OE分别是∠BOC和∠AOC的平分线,则OE和OD的位置关系是 .?
答案
2.OE⊥OD 【解析】 因为O为直线AB上一点,所以∠AOC+∠BOC=180°.因为OD,OE分别是∠BOC和∠AOC的平分线,所以∠EOC=∠AOC,∠DOC=∠BOC,所以∠EOD=∠EOC+∠DOC=(∠AOC+∠BOC)=90°,所以OE⊥OD.
知识点1
垂线的定义
3.[2020山西吕梁期末]下列各图中,过直线l外一点P画l的垂线CD,三角板操作正确的是
( )
答案
3.D
知识点2
垂线的画法
4.按要求画图:
(1)在图1中,过点P画AB的垂线;
(2)在图2中,过点P分别画OA,OB的垂线;
(3)在图3中,过点A画BC的垂线.
答案
4.【解析】 (1)如图1所示.
(2)如图2所示.
(3)如图3所示.
知识点2
垂线的画法
经过一点画已知直线的垂线的步骤
(1)落:让三角尺的一条直角边落在已知直线上,使其与已知直线重合.(2)移:沿直线移动三角尺,使其另一条直角边经过已知点.(3)画:沿经过已知点的直角边画直线,则这条直线就是已知直线的垂线.
归纳总结
5.[2020河北邯郸丛台区期末]如图,已知ON⊥l
,OM⊥l,所以OM与ON重合,其依据是
( )
A.两点确定一条直线
B.平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C.过一点只能作一条垂线
D.垂线段最短
答案
5.B
知识点3
垂线的性质
在同一平面内,已知直线的垂线有无数条,但过一点画已知直线的垂线只能画出一条.
名师点睛
6.[2020吉林中考]如图,某单位要在河岸l上建一个水泵房引水到C处.他们的做法是:过点C作CD⊥l于点D,将水泵房建在了D处.这样做最节省水管长度,其数学道理是
.?
答案
6.直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短
知识点3
垂线的性质
7.[2019广东广州中考]如图,点A,B,C在直线l上,PB⊥l,PA=6
cm,PB=5
cm,PC=7
cm,则点P到直线l的距离是
( )
A.7
cm
B.6
cm
C.5
cm
D.4
cm
答案
7.C 【解析】 直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离,故点P到直线l的距离是PB的长.故选C.
知识点4
点到直线的距离
8.[2019重庆巴南区期中]已知点P为直线l外一点,点A为直线l上一点,且PA=3,若点P到直线l的距离为d,则d的取值不可能是
( )
A.1
B.2
C.3
D.4
答案
8.D 【解析】 因为点P为直线l外一点,点A为直线l上一点,且PA=3,所以点P到直线l的距离d的取值范围为0知识点4
点到直线的距离
9.[2020湖北孝感中考]如图,直线AB,CD相交于点O,OE⊥CD,垂足为点O.若∠BOE=40°,则∠AOC的度数为
( )
A.40°
B.50°
C.60°
D.140°
答案
9.B 【解析】 因为OE⊥CD,所以∠EOD=90°.因为∠BOE=40°,所以∠BOD=90°-40°=50°,所以∠AOC=∠BOD=50°.故选B.
知识点5
与垂直有关的角度的计算
10.[2020四川乐山中考]如图,E是直线CA上一点,∠FEA=40°,射线EB平分∠CEF,GE⊥EF,则∠GEB=
( )
A.10°
B.20°
C.30°
D.40°
答案
10.B 【解析】 因为∠FEA=40°,GE⊥EF,所以∠CEF=180°-∠FEA=180°-40°=140°,∠CEG=180°-∠AEF-∠GEF=
180°-40°-90°=50°.因为射线EB平分∠CEF,所以∠CEB=∠CEF=×140°=70°,所以∠GEB=∠CEB-∠CEG=70°-50°=
20°.故选B.
知识点5
与垂直有关的角度的计算
1.[2019重庆梁平区期末]
数学课上,同学们在练习过点B作线段AC所在直线的垂线段时,画出下列四个图形,其中错误的个数为
( )
A.1
B.2
C.3
D.4
答案
1.D 【解析】 题图1中,BE不是线段,故错误;题图2中,BE与AC不垂直,故错误;题图3是过点E作线段AC所在直线的垂线段,故错误;题图4是过点E作线段BC所在直线的垂线段,故错误.故选D.
过点B作线段AC所在直线的垂线段,作出的是一条线段,且垂足应在线段AC所在的直线上.
名师点睛
2.下列说法正确的有
( )
①在同一平面内,过直线上一点有且只有一条直线垂直于已知直线;②在同一平面内,过直线外一点有且只有一条直线垂直于已知直线;③在同一平面内,过一点可以任意画一条直线垂直于已知直线;④在同一平面内,有且只有一条直线垂直于已知直线.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
2.B 【解析】 根据在同一平面内,过一点有且只有一条直线垂直于已知直线,可知①②正确,③错误;根据在同一平面内,有无数条直线垂直于已知直线,可知④错误.故选B.
3.[2020河北保定期末]小明参加跳远比赛,他从地面踏板P处起跳落到沙坑中,两脚后跟与沙坑的接触点分别为A,B,小明未站稳,一只手撑到沙坑C点,则跳远成绩测量正确的图是
( )
?
A
B
C
D
答案
3.D
4.[2019四川雅安中学期中]如图,直线AB,CD相交于点O,OE⊥AB,OF⊥CD,则与∠1互为余角的角有
( )
A.3个
B.2个
C.1个
D.0个
答案
4.A 【解析】 因为OE⊥AB,OF⊥CD,所以∠EOB=∠DOF=90°,所以∠BOD+∠1=∠EOF+∠1=90°,又因为∠AOC=
∠BOD,所以∠AOC+∠1=90°,所以与∠1互为余角的角有∠AOC,∠EOF,∠BOD,共3个.故选A.
5.易错题如图,点O为直线AB上一点,∠AOC=55°,过点O作射线使得OD⊥OC,则∠BOD的度数是 .?
答案
5.35°或145°
【解析】 如图,分两种情况.若OD⊥OC,则∠COD=90°,因为∠AOC=55°,所以∠BOD=35°;若OD'⊥
OC,则∠COD'=90°,因为∠AOC=55°,所以∠AOD'=35°,所以∠BOD'=145°.所以∠BOD的度数是35°或145°.
本题的易错之处是作垂线时只考虑一种情况,注意OD可能在直线AB的上方,也可能在直线AB的下方,所以要分类讨论求解.
易错分析
6.[2020江西赣州期末]如图,火车站、码头分别位于A,B两点,直线a和b分别表示铁路与河流.
(1)从火车站到码头怎样走最近?画图并说明理由.
(2)从码头到铁路怎样走最近?画图并说明理由.
(3)从火车站到河流怎样走最近?画图并说明理由.
答案
6.【解析】 (1)如图,从火车站到码头沿AB走最近.理由:两点之间线段最短.
(2)如图,从码头到铁路沿BD走最近.理由:直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短.
(3)如图,从火车站到河流沿AC走最近.理由:直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短.
解决生活中距离最短问题时,通常根据两点之间线段最短或直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短来解决.
名师点睛
7.[2020河北沧州期中]如图,AB,CD,NE相交于点O,OM平分∠BOD,∠MON=90°,∠AOC=50°.
(1)线段 的长度表示点M到NE的距离.?
(2)比较MN与MO的大小(用“<”号连接): .并说明理由:
.?
(3)求∠AON的度数.
答案
7.【解析】 (1)MO
(2)MO(3)因为∠BOD=∠AOC=50°,OM平分∠BOD,
所以∠BOM=∠BOD=25°,
所以∠AON=180°-∠BOM-∠MON=180°-25°-90°=65°.
8.[2019河南濮阳期末]如图,直线AB,CD,EF相交于点O,OG⊥CD.
(1)若∠BOD=42°,求∠AOG的度数.
(2)如果OC是∠AOE的平分线,那么OG是∠AOF的平分线吗?请说明理由.
答案
8.【分析】 (1)根据对顶角的性质可得∠AOC=∠BOD=42°,利用垂直的定义可得∠COG=90°,然后再计算出∠AOG的度数即可;(2)根据角平分线的定义可得∠AOC=∠COE,根据垂直的定义可得∠AOC+∠AOG=90°,利用平角的定义可得∠COE+∠GOF=90°,再根据等角的余角相等可得∠AOG=∠GOF,从而可得结论.
【解析】 (1)因为AB,CD相交于点O,
所以∠AOC=∠BOD=42°.
因为OG⊥CD,所以∠COG=90°,
所以∠AOG=90°-∠AOC=90°-42°=48°.
(2)OG是∠AOF的平分线.理由如下:
因为OC平分∠AOE,所以∠AOC=∠COE.
因为∠AOC+∠AOG=90°,∠COE+∠AOC+∠AOG+∠GOF=180°,
所以∠COE+∠GOF=90°,
所以∠AOG=∠GOF,
所以OG是∠AOF的平分线.
2 探索直线平行的条件
课时1 利用同位角判定两直线平行
课时1
1.[2019辽宁沈阳皇姑区期末]如图,∠1的同位角是
( )
A.∠1
B.∠2
C.∠3
D.∠4
答案
1.D
知识点1
同位角的识别
同位角的特征
(1)在两条被截直线的同一方;(2)在截线的同侧.
归纳总结
2.
[2019重庆巴南区期中]下列图形中,∠1与∠2不是同位角的是
( )
答案
2.B 【解析】 A,C,D项,∠1与∠2有一条边在同一条直线上,另一条边在被截线的同一方,是同位角,不符合题意;B项,∠1与∠2的两条边都不在同一条直线上,不是同位角,符合题意.故选B.
知识点1
同位角的识别
3.[2020广西贵港港南区期末]如图,把三角尺的直角顶点放在直线b上,若∠1=40°,则当∠2= °时,a∥b.?
答案
3.50 【解析】 当∠2=50°时,a∥b.理由如下:如图,因为∠1=40°,所以∠3=180°-90°-40°=50°,当∠2=50°时,∠2=∠3,所以a∥b.
知识点2
利用同位角判定两直线平行
4.如图,直线AB,CD被直线EF所截,∠1=∠2.试说明:AB∥CD.
答案
4.【解析】 如图,由对顶角相等,知∠2=∠3.
因为∠1=∠2,所以∠1=∠3,所以AB∥CD.
知识点2
利用同位角判定两直线平行
5.如图,已知A,B为直线MN上两点,AC⊥AE于点A,BD⊥BF于点B,且∠1=∠2,则AC与BD平行吗?AE与BF平行吗?为什么?
答案
5.【解析】 AC∥BD,AE∥BF.理由如下:
因为∠1=∠2,所以AC∥BD.
因为AC⊥AE,BD⊥BF,
所以∠EAC=∠FBD=90°,
又因为∠1=∠2,
所以∠EAC+∠1=∠FBD+∠2,
所以∠EAB=∠FBN,所以AE∥BF.
知识点2
利用同位角判定两直线平行
6.如图,M是直线AB外一点,过点M画直线MN与AB交于点N,过点M画直线CD,使CD∥AB.
答案
(1)借助三角尺和直尺画平行线的依据是“同位角相等,两直线平行”.(2)借助三角尺和直尺画平行线时,必须保持“紧靠”,否则画出的直线不平行.
知识点3
平行线的画法
名师点睛
6.【解析】 如图所示,直线MN和直线CD即所求.
7.如图,在方格纸中,有两条线段AB,BC,请按要求画图.(不写画法,保留画图痕迹)
(1)过点A画BC的平行线;
(2)过点C画AB的平行线,与(1)中BC的平行线交于点D;
(3)过点B画AB的垂线.
答案
知识点3
平行线的画法
7.【解析】 (1)如图,直线AE即所求.
(2)如图,直线CD即所求.
(3)如图,直线BF即所求.
8.[2020山东日照期末]下列说法中正确的个数是
( )
①不相交的两条直线是平行线;
②过一点有且只有一条直线与已知直线平行;③平行于同一条直线的两条直线平行;④与同一条直线相交的两条直线必相交.
A.0
B.1
C.2
D.3
答案
知识点4
平行公理及推论
8.B 【解析】 在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线,故①错误;过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行,故②错误;易知③正确;在同一平面内,与同一条直线相交的两条直线可能相交也可能平行,故④错误.故选B.
过任意一点都可以作一条直线的垂线,但只有过直线外一点,才能作一条直线的平行线.必须是“过直线外一点”,因为若点在直线上,则经过这个点不能作出已知直线的平行线.
名师点睛
9.
直线l同侧有A,B,C三点,若过点A,B的直线l1和过点B,C的直线l2都与l平行,则A,B,C三点 ,理论根据是
.?
答案
知识点4
平行公理及推论
9.在同一条直线上 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
1.[2020浙江台州期中]在同一平面内,直线l与两条相互平行的直线a,b的位置关系是
( )
A.l可能与a平行,与b相交
B.l一定与a,b中的某一条相交
C.l一定与a,b都平行
D.若l与a平行,则l一定与b平行
答案
1.D 【解析】 同一平面内,直线a∥b,则直线l要么与a,b都平行,要么与a,b都相交.故选D.
2.将一张长方形纸片按如图所示的方式对折三次,则产生的折痕与折痕间的位置关系是
( )
A.平行
B.垂直
C.平行或垂直
D.无法确定
答案
2.C
3.[2020河北保定期末]如图,已知∠A=70°,O是AB上一点,直线OD与AB的夹角∠BOD=82°,要使OD∥AC,直线OD绕点O按逆时针方向至少旋转 °.?
答案
3.12 【解析】 如图,要使旋转后OD'∥AC,则∠BOD'=∠A=70°,所以∠DOD'=82°-70°=12°.
4.[2019广东韶关期末联考]如图,∠1=∠2,∠2=∠GCF,则图中互相平行的直线是 .?
答案
4.AB和CD,EF和CG
【解析】 因为∠2=∠GCF,所以EF∥CG.因为∠1=∠2,∠2=∠GCF,所以∠1=∠GCF,所以AB∥CD.
5.[2020河南洛阳期末]如图,点P为∠AOB内一点.
(1)过点P画直线l1∥OB;
(2)过点P画直线l2∥OA;
(3)用量角器量出l1与l2相交所成的角的大小,说明这些角与∠O有怎样的大小关系.
答案
5.【解析】 (1)直线l1如图所示.
(2)直线l2如图所示.
(3)如图,l1与l2相交所成的角有四个,分别为∠1,∠2,∠3,∠4,且∠1=∠3,∠2=∠4.用量角器测量后,知∠1=∠O,∠2+∠O=180°,所以l1与l2相交所成的角与∠O相等或互补.
过直线外一点画已知直线的平行线的步骤
(1)落:把三角尺的一边落在已知直线上.(2)靠:用直尺紧靠三角尺的另一边.(3)推:沿直尺推动三角尺,使三角尺与已知直线重合的边过已知点.(4)画:沿三角尺过已知点的边画直线.
归纳总结
6.[2020广西河池期末]如图,∠1=40°,∠2=55°,∠3=85°,那么直线l1与l2平行吗?为什么?
答案
6.【解析】 l1∥l2.理由如下:
因为∠2=55°,所以∠4=∠2=55°,
又因为∠3=85°,
所以∠5=180°-∠3-∠4=180°-85°-55°=40°.
因为∠1=40°,所以∠1=∠5=40°,
所以l1∥l2.
7.如图,已知AD⊥BC,垂足为D,∠C+∠CFG=90°,∠ADE=∠CFG.试说明:DE∥AC.
答案
7.【解析】 因为AD⊥BC,所以∠ADB=90°,
所以∠BDE+∠ADE=90°,
又因为∠C+∠CFG=90°,∠ADE=∠CFG,
所以∠BDE=∠C,所以DE∥AC.
8.如图,将一张长方形硬纸片ABCD对折后打开,折痕为EF,把长方形ABEF平摊在桌面上,另一面CDFE无论怎样改变位置,总有CD∥AB,为什么?
答案
8.【解析】 因为CD∥EF,EF∥AB,平行于同一条直线的两条直线平行,所以CD∥AB.
课时2 利用内错角、同旁内角判定两直线平行
课时2
1.[2020浙江绍兴期中]如图,两只手的食指和拇指在同一平面内,它们构成的一对角可看成是
( )
A.同位角
B.内错角
C.对顶角
D.同旁内角
答案
1.B
知识点1
内错角、同旁内角的识别
2.[2019福建泉州一模]如图,与∠1是同旁内角的是
( )
A.∠2
B.∠3
C.∠4
D.∠5
答案
2.A
知识点1
内错角、同旁内角的识别
(1)同位角、内错角、同旁内角指两个角之间的位置关系,不是大小关系,它们之间的大小关系是不确定的.(2)同位角、内错角、同旁内角都是成对出现的.(3)识别同位角、内错角、同旁内角的关键是弄清哪两条直线被哪一条直线所截,也就是说,在辨别这些角之前,要弄清哪一条直线是截线,哪两条直线是被截线.
名师点睛
3.如图,已知直线AB,AC,DE,FG两两相交.
(1)∠1和∠2是直线 和直线 被直线 所截成的 角;?
(2)∠3和∠4是直线 和直线 被直线 所截成的 角;?
(3)∠5和∠6是直线 和直线 被直线 所截成的 角.?
答案
3.(1)DE FG AB 同位;(2)AB AC FG 同旁内;(3)DE FG AC 内错
知识点1
内错角、同旁内角的识别
4.[2019安徽合肥期末]如图,已知∠3=∠4,那么在下列结论中,正确的是
( )
A.∠C=∠A
B.∠1=∠2
C.AB∥CD
D.AD∥BC
答案
4.D 【解析】 因为∠3=∠4,所以AD∥BC(内错角相等,两直线平行).故选D.
知识点2
利用内错角判定两直线平行
5.小明把一副三角尺摆放在桌面上,如图所示,其中边BC,DF在同一条直线上,可以得到 ∥ ,依据是
.?
答案
5.AC DE 内错角相等,两直线平行
知识点2
利用内错角判定两直线平行
6.如图,已知∠D=∠A,∠B=∠FCB.试说明:ED∥CF.
答案
6.【解析】 因为∠D=∠A,所以AB∥ED.
因为∠B=∠FCB,所以AB∥CF,
所以ED∥CF.
知识点2
利用内错角判定两直线平行
7.[2020安徽六安叶集区期末]如图,工人师傅在工程施工中,需在同一平面内弯制一个变形管道ABCD,若使其拐角∠ABC=135°,∠BCD=45°,则
( )
A.AB∥BC
B.BC∥CD
C.AB∥CD
D.AB与CD相交
答案
7.C
知识点3
利用同旁内角判定两直线平行
8.原创题如图,∠ACB=90°,∠A=35°,∠BCD=55°.试说明:AB∥CD.
下面是排乱的说明过程:
①所以AB∥CD;②所以∠A+∠ACD=180°;③因为∠ACB=90°,∠BCD=55°,所以∠ACD=145°;④又因为∠A=35°.
则正确的顺序应是
( )
A.①②④③
B.④②③①
C.③④②①
D.①④②③
答案
8.C
知识点3
利用同旁内角判定两直线平行
9.[2020山东临沂期中]如图,DE平分∠ADC,CE平分∠BCD,且∠1+∠2=90°,则AD与BC平行吗?试说明理由.
答案
9.【解析】 AD与BC平行.理由如下:
因为DE平分∠ADC,CE平分∠BCD,
所以∠ADC=2∠1,∠BCD=2∠2.
因为∠1+∠2=90°,
所以∠ADC+∠BCD=2(∠1+∠2)=180°,
所以AD∥BC.
知识点3
利用同旁内角判定两直线平行
1.[2020湖南郴州中考]如图,直线a,b被直线c,d所截,下列条件能判定a∥b的是
( )
A.∠1=∠3
B.∠2+∠4=180°
C.∠4=∠5
D.∠1=∠2
答案
1.D 【解析】 A项,根据同位角相等,两直线平行,得c∥d;B项,根据同旁内角互补,两直线平行,得c∥d;C项,根据内错角相等,两直线平行,得c∥d;D项,根据同位角相等,两直线平行,得a∥b.故选D.
2.[2020北京101中学期末]如图,给出下列条件:①∠B+∠BCD=180°;②∠1=∠2;③∠3=∠4;④∠B=∠5;⑤∠B=∠D.其中,一定能判定AB∥CD的条件有
( )
A.5个
B.4个
C.3个
D.2个
答案
2.C 【解析】 ①∠B+∠BCD=180°,由“同旁内角互补,两直线平行”可得AB∥CD;③∠3=∠4,由“内错角相等,两直线平行”可得AB∥CD;④∠B=∠5,由“同位角相等,两直线平行”可得AB∥CD.故选C.
3.如图,将下列纸片沿AB折叠,不能判定纸片的两条边a,b互相平行的是
( )
?
A.如图1,展开后测得∠1=∠2
B.如图2,展开后测得∠1=∠2,且∠3=∠4
C.如图3,展开后测得∠1=∠2,且∠3=∠4
D.如图4,展开后测得∠1+∠2=180°
答案
3.C 【解析】 A项,由“内错角相等,两直线平行”可判定a∥b;B项,由题图2可知∠1+∠2=180°,∠3+∠4=180°,因为∠1=∠2,且∠3=∠4,所以∠1=∠2=∠3=∠4=90°,所以a∥b;D项,由“同旁内角互补,两直线平行”可判定a∥b.故选C.
4.[2020湖北咸宁中考]如图,请填写一个条件,使结论成立:因为 ,所以a∥b.?
答案
4.(答案不唯一)∠1=∠4(或∠3+∠4=180°或∠2=∠4)
5.如图,已知AB⊥BC,BC⊥CD,∠1=∠2.试判断BE与CF的位置关系,并说明理由.
答案
5.【解析】 BE∥CF.理由如下:
因为AB⊥BC,BC⊥CD,
所以∠ABC=∠BCD=90°.
因为∠1=∠2,所以∠ABC-∠1=∠BCD-∠2,
即∠EBC=∠BCF,所以BE∥CF.
6.如图,点B在直线AC上,BD⊥BE,∠1+∠C=90°,则CF与BD平行吗?试用两种方法说明理由.
答案
6.【解析】 CF与BD平行.理由如下:
方法一:因为BD⊥BE,所以∠DBE=90°,
又因为∠1+∠C=90°,
所以∠DBE+∠1+∠C=180°,
即∠DBC+∠C=180°,
所以CF∥BD.
方法二:因为BD⊥BE,所以∠DBE=90°,
又因为∠DBE+∠1+∠2=180°,
所以∠1+∠2=90°.
因为∠1+∠C=90°,所以∠2=∠C,
所以CF∥BD.
7.[2020吉林长春期末]一副三角板如图1所示叠放,现将含45°角的三角板ADE固定不动,将含30°角的三角板ABC绕顶点A顺时针旋转α(α=∠BAD且0°<α<180°),使两块三角板至少有一组边平行.
?
完成下列任务:
(1)如图2,当α= °时,BC∥DE;?
(2)请你分别在图3、图4中各画出一种符合要求的图形,标出α,并完成下列问题:
图3中,当α= °时, ∥ ;?
图4中,当α= °时, ∥ ;?
(3)从你画出的图3或图4中选择一个,对所得结论说明理由.
答案
7.【解析】 (1)15
(2)(答案不唯一,合理即可,给出以下三组解答)
如图1,当α=60°时,AD∥BC.
如图2,当α=105°时,AE∥BC(或DE∥AC).
如图3,当α=135°时,DE∥AB.
(3)(答案不唯一,合理即可,给出以下三组解答)
如图1,因为α=60°,所以∠CAD=∠CAB+∠BAD=30°+60°=90°.因为∠ACB=90°,所以∠ACB+∠CAD=90°+90°=180°,所以AD∥BC.
如图2,因为α=105°,所以∠BAE=∠BAD-∠DAE=105°-45°=60°=∠ABC,所以AE∥BC.
(或因为α=105°,所以∠BAE=∠BAD-∠DAE=105°-45°=60°,所以∠CAE=
∠CAB+∠BAE=30°+60°=90°=∠AED,所以DE∥AC.)
如图3,因为α=135°,所以∠BAE=∠BAD-∠DAE=135°-45°=90°=∠AED,所以DE∥AB.
3 平行线的性质
课时1 平行线的性质
课时1
1.[2020广东中山期末]如图,直线a,b被直线c所截,a∥b,若∠2=50°,则∠1的度数为
( )
A.120°
B.130°
C.140°
D.150°
答案
1.B 【解析】 如图,因为a∥b,所以∠3=∠2=50°.因为∠1+∠3=180°,所以∠1=180°-∠3=180°-50°=130°.故选B.
知识点1
两直线平行,同位角相等
2.[2020湖南娄底中考]如图,将直尺与三角尺叠放在一起,如果∠1=28°,那么∠2的度数为
( )
A.62°
B.56°
C.28°
D.72°
答案
2.A 【解析】 如图,由题意,得∠BAC=90°,∠DAC=∠BAC-∠1=90°-28°=62°,因为EF∥AD,所以∠2=∠DAC=62°.故选A.
知识点1
两直线平行,同位角相等
3.如图,AC∥DF,AB∥EF,点D,E分别在AB,AC上.若∠2=50°,求∠1的度数.
答案
3.【解析】 因为AB∥EF,所以∠A=∠2=50°,
又因为AC∥DF,所以∠1=∠A=50°.
知识点1
两直线平行,同位角相等
4.[2020贵州遵义中考]一副三角板如图放置,使两块三角板的斜边互相平行,每块三角板的直角顶点都在另一块三角板的斜边上,则∠1的度数为
( )
A.30°
B.45°
C.55°
D.60°
答案
4.B 【解析】 如图,因为AB∥CD,所以∠1=∠D=45°.故选B.
知识点2
两直线平行,内错角相等
5.[2019湖南岳阳中考]如图,已知BE平分∠ABC,且BE∥DC,若∠ABC=50°,则∠C的度数是
( )
A.20°
B.25°
C.30°
D.50°
答案
5.B 【解析】 因为BE平分∠ABC,所以∠EBC=∠ABC=×50°=25°.因为BE∥DC,所以∠C=∠EBC=25°.故选B.
知识点2
两直线平行,内错角相等
6.如图,AB∥ED,∠ECF=70°,则∠BAF的度数为 .?
答案
6.110° 【解析】 因为AB∥ED,所以∠CAB=∠ECF=70°,所以∠BAF=180°-∠CAB=180°-70°=110°.
知识点2
两直线平行,内错角相等
7.如图,已知AB∥CD,DB∥EC.试说明:∠ABE=∠C+∠E.
答案
7.【解析】 因为AB∥CD,所以∠ABD=∠D.
因为DB∥EC,所以∠DBE=∠E,∠D=∠C,
所以∠ABD=∠C,
所以∠ABE=∠ABD+∠DBE=∠C+∠E.
知识点2
两直线平行,内错角相等
8.[2020辽宁营口中考]如图,AB∥CD,∠EFD=64°,∠FEB的平分线EG交CD于点G,则∠GEB的度数为
( )
A.66°
B.56°
C.68°
D.58°
答案
8.D 【解析】 因为AB∥CD,所以∠FEB+∠EFD=180°,所以∠FEB=180°-64°=116°.因为EG平分∠FEB,所以∠GEB=58°.故选D.
知识点3
两直线平行,同旁内角互补
9.[2020山东威海文登区期末]如图,直线m∥n,点A,B分别是直线m,n上的点,当点A在m上运动时,下列选项一定成立的是
( )
A.∠α>∠β
B.∠α=∠β
C.∠α=180°-∠β
D.∠α=90°-∠β
答案
9.C 【解析】 因为直线m∥n,所以∠α+∠β=180°,所以∠α=180°-∠β.因为点A,B分别是直线m,n上的点,点A在m上运动,所以∠α和∠β的大小关系是不确定的,无法得出∠α=90°-∠β.故选C.
知识点3
两直线平行,同旁内角互补
10.[2020广东广州白云区期末]如图,AB∥CD∥EF,那么∠BAC+∠ACE+∠CEF= °.?
答案
10.360 【解析】 因为AB∥CD,所以∠BAC+∠ACD=180°.因为EF∥CD,所以∠DCE+∠CEF=180°.因为∠ACE=
∠ACD+∠DCE,所以∠BAC+∠ACE+∠CEF=360°.
知识点3
两直线平行,同旁内角互补
11.如图,∠A=100°,∠B=130°,AC∥MD,BF∥ME,求∠DME
的度数.
答案
11.【解析】 因为AC∥MD,∠A=100°,
所以∠AMD=180°-∠A=80°.
因为BF∥ME,∠B=130°,
所以∠BME=180°-∠B=50°,
所以∠DME=180°-∠AMD-∠BME=180°-80°-50°=50°.
知识点3
两直线平行,同旁内角互补
利用平行线的性质求角的度数的策略
题目中出现两直线平行的条件时,应想到平行线的三个性质(同位角相等、内错角相等、同旁内角互补),要注意分析图形的特征,明确角与角的位置关系,从而明确角与角之间的数量关系是相等还是互补.平行线还通常会与角平分线、垂线等知识结合,求角的度数时需要根据已知条件综合利用角平分线、垂线的定义等知识求解.
归纳总结
1.[2020江苏盐城二模]下列图形中,根据AB∥CD,能得到∠1=∠2的是
( )
?
A
B
C
D
答案
1.B 【解析】 A项,根据AB∥CD,能得到∠1+∠2=180°,不符合题意;B项,如图,根据AB∥CD,能得到∠3=∠1,再根据对顶角相等,可得∠3=∠2,所以∠1=∠2,符合题意;C项,根据AC∥BD,能得到∠1=∠2,不符合题意;D项,根据AB∥CD,不能得到∠1=∠2,不符合题意.故选B.
2.[2020湖南长沙中考]如图,一块三角板的60°角的顶点A与直角顶点C分别在平行线FD,GH上,斜边AB平分∠CAD,交直线GH于点E,则∠ECB的大小为
( )
A.60°
B.45°
C.30°
D.25°
答案
2.C 【解析】
因为AB平分∠CAD,∠CAB=60°,所以∠DAE=60°.因为FD∥GH,所以∠ACE+∠CAD=180°,所以∠ACE=180°-∠CAB-∠DAE=60°.因为∠ACB=90°,所以∠ECB=90°-∠ACE=30°.故选C.
3.[2020云南曲靖期末]将一个长方形纸片按如图所示的方式折叠,若∠1=30°,则∠2的度数是
( )
A.60°
B.65°
C.70°
D.75°
答案
3.D 【解析】 如图,由题意,得∠1=∠3=∠4=30°,则∠2=∠5==75°.故选D.
4.如图,DE∥BC,
EF∥AB,则与∠BFE互补的角有
( )
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
答案
4.C 【解析】 根据平行线的性质及平角的概念,可得与∠BFE互补的角为∠EFC,∠B,∠FED和∠ADE,共4个.故选C.
平行线的性质是说明两角相等或互补的重要依据之一.
名师点睛
5.[2020陕西宝鸡期末]如图,OP∥QR∥ST,则下列各式中正确的是
( )
A.∠1+∠2+∠3
=180°
B.∠1+∠2-∠3=90°
C.∠1-∠2+∠3=180°
D.∠2+∠3-∠1=180°
答案
5.D 【解析】 延长QR到点M,因为OP∥QR,所以∠2=∠1+∠SRM.因为ST∥QR,所以∠3+∠SRM=180°,即∠SRM=
180°-∠3,所以∠2=∠1+180°
-∠3,即∠2+∠3-∠1=180°.
6.已知:如图,AD是∠BAC的平分线,点E在BC上,点F在CA的延长线上,且EF∥AD交AB于点G.
试说明:∠AGF=∠F.
请将下列推理过程补充完整,并在括号内填写推理依据.
因为 .(已知)?
所以∠BAD=∠CAD,( )?
因为EF∥AD,(已知)
所以∠ =∠BAD,( )?
∠ =∠CAD,( )?
所以∠AGF=∠F.( )?
答案
6.AD是∠BAC的平分线 角平分线的定义 AGF 两直线平行,内错角相等 F 两直线平行,同位角相等 等量代换
7.已知一个角的两边与另一个角的两边分别平行,结合所给图形,探究这两个角之间的关系:
?
(1)如图1,AB∥EF,BC∥DE.∠1与∠2的关系是: .?
(2)如图2,AB∥EF,BC∥DE.∠1与∠2的关系是: .?
(3)由(1)(2)得出的结论是:如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角 .?
(4)若两个角的两边分别平行,一个角比另一个角的3倍少20°,求这两个角的度数.
答案
7.【解析】 (1)∠1=∠2
因为AB∥EF,所以∠1=∠3.因为BC∥DE,所以∠2=∠3,所以∠1=∠2.
(2)∠1+∠2=180°
因为AB∥EF,所以∠1=∠3.因为BC∥DE,所以∠2+∠3=180°,所以∠1+∠2=180°.
(3)相等或互补
(4)设一个角是x°,则另一个角是3x°-20°.
根据题意,得x+3x-20=180或x=3x-20,
解得x=50或x=10.
当x=50时,3x-20=130,
当x=10时,3x-20=10,
所以这两个角的度数是50°,130°或10°,10°.
8.[2019安徽淮北期末]小华在学行线的性质”后,对图中∠B,∠D和∠BOD之间的关系进行了探究.
(1)如图1,AB∥CD,点O在AB,CD之间,试探究∠B,∠D和∠BOD之间的关系,并说明理由.小华添加了过点O的辅助线OM,并且OM∥CD,请帮助他写出解答过程.
(2)如图2,若点O在CD的上侧,试探究∠B,∠D和∠BOD之间的关系,并说明理由.
(3)如图3,若点O在AB的下侧,请直接写出∠B,∠D和∠BOD之间的关系.
答案
8.【解析】 (1)∠BOD=∠D+∠B.理由如下:
因为AB∥CD,OM∥CD,
所以AB∥CD∥OM,
所以∠D=∠DOM,∠B=∠BOM,
所以∠BOD=∠DOM+∠BOM=∠D+∠B.
(2)∠B=∠BOD+∠D.理由如下:
如图,过O作OM∥CD.
因为AB∥CD,OM∥CD,
所以AB∥CD∥OM,
所以∠D=∠DOM,∠B=∠BOM,
所以∠B=∠BOM=∠DOM+∠BOD=∠D+∠BOD.
答案
(3)∠D=∠BOD+∠B.
提示:如图,过O作OM∥CD,
因为AB∥CD,OM∥CD,
所以AB∥CD∥OM,
所以∠D=∠DOM,∠B=∠BOM,
所以∠D=∠DOM=∠BOM+∠BOD=∠B+∠BOD.
课时2 平行线的性质与判定的综合运用
课时2
1.如图,已知∠1=∠2=∠3=55°,则∠4的度数为
( )
A.110°
B.115°
C.120°
D.125°
答案
1.D 【解析】 如图,因为∠1=∠2,∠5=∠1,所以∠2=∠5,所以a∥b,所以∠6=∠3=55°,所以∠4=180°-∠6=180°-55°=125°.故选D.
知识点
平行线的性质与判定的综合运用
2.如图,已知∠1=∠2=∠4,则下列结论不一定成立的是
( )
A.∠3=∠5
B.∠4=∠6
C.AD∥BC
D.AB∥CD
答案
2.D 【解析】 因为∠1=∠2,所以∠3=∠5.因为∠2=∠4,所以AE∥CF,所以∠1=∠6.因为∠1=∠4,所以∠4=∠6,
AD∥BC.由题中条件无法得出AB∥CD.故选D.
知识点
平行线的性质与判定的综合运用
3.[2020河北唐山十二中期中]甲、乙、丙、丁四人一起研究一道数学题,如图,已知EF⊥AB,CD⊥AB.甲说:“如果还知道∠CDG=∠BFE,则能得到∠AGD=∠ACB.”乙说:“如果还知道∠AGD=∠ACB,则能得到∠CDG=∠BFE.”丙说:
“∠AGD一定大于∠BFE.”丁说:“如果连接GF,则GF∥AB.”以上四种说法正确的个数是
( )
A.0
B.1
C.2
D.3
答案
3.C 【解析】 因为CD⊥AB,FE⊥AB,所以CD∥EF,所以∠BFE=∠BCD,因为∠CDG=∠BFE,所以∠CDG=∠BCD,所以DG∥BC,所以∠AGD=∠ACB,所以甲的说法正确;因为CD⊥AB,FE⊥AB,所以CD∥EF,所以∠BFE=∠BCD,因为∠AGD=∠ACB,所以DG∥BC,所以∠CDG=∠BCD,所以∠CDG=∠BCD=∠BFE,所以乙的说法正确;易知丙、丁的说法错误.故选C.
知识点
平行线的性质与判定的综合运用
4.[2020广东深圳南山区期中]如图,若直线l1∥l2,∠α=∠β,∠1=30°,则∠2的度数为 .?
答案
4.150° 【解析】 如图,延长AB交l2于点E.因为∠α=∠β,所以AB∥CD,所以∠2+∠3=180°.因为l1∥l2,所以∠3=∠1=
30°,所以∠2=180°-∠3=150°.
知识点
平行线的性质与判定的综合运用
5.[2019河南濮阳期末]如图,已知AD∥FE,∠1=∠2.
(1)试说明:DG∥AC.
(2)若∠BAC=70°,求∠AGD的度数.
答案
5.【解析】 (1)因为AD∥EF,所以∠1=∠DAC.
因为∠1=∠2,所以∠2=∠DAC,
所以DG∥AC.
(2)因为DG∥AC,所以∠AGD+∠BAC=180°.
因为∠BAC=70°,所以∠AGD=110°.
知识点
平行线的性质与判定的综合运用
6.[2019广东惠州一中期末]如图,CD∥AB,∠DCB=75°,∠CBF=25°,∠EFB=130°,则EF与AB有怎样的位置关系?请说明理由.
答案
6.【解析】 EF∥AB.理由如下:
因为CD∥AB,∠DCB=75°,
所以∠CBA=∠DCB=75°.
因为∠CBF=25°,
所以∠FBA=75°-25°=50°,
又因为∠EFB=130°,所以∠FBA+∠EFB=180°,
所以EF∥AB.
知识点
平行线的性质与判定的综合运用
7.[2020湖北孝感孝南区期末]如图,已知∠1=∠BDC,∠2+∠3=180°.
(1)试说明:AD∥CE.
(2)若DA平分∠BDC,CE⊥AE于点E,∠1=64°,试求∠FAB的度数.
答案
7.【解析】 (1)因为∠1=∠BDC,所以AB∥CD,
所以∠2=∠ADC.
因为∠2+∠3=180°,所以∠ADC+∠3=180°,
所以AD∥CE.
(2)因为∠1=∠BDC,∠1=64°,所以∠BDC=64°.
因为DA平分∠BDC,所以∠ADC=∠BDC=32°,
所以∠2=∠ADC=32°.
因为CE⊥AE,所以∠AEC=90°.
因为AD∥CE,所以∠FAD=∠AEC=90°,
所以∠FAB=∠FAD-∠2=90°-32°=58°.
知识点
平行线的性质与判定的综合运用
1.[2019贵州遵义中考]如图,∠1+∠2=180°,∠3=104°,则∠4的度数是
( )
A.74°
B.76°
C.84°
D.86°
答案
1.B 【解析】 如图,因为∠1+∠2=180°,∠1+∠5=180°,所以∠2=∠5,所以a∥b,所以∠4=∠6.因为∠3=104°,所以∠6=180°-∠3=76°,所以∠4=76°.故选B.
2.原创题下面是投影屏上给出的抢答题,需要回答横线上符号代表的内容.
下列回答正确的是
( )
A.※代表HFD
B.▲代表2
C.◆代表EFC
D.●代表GH
已知:如图,EG∥FH,∠1=∠2,EF,GH交于点O.
试说明:∠BEF+∠DFE=180°.
解:因为EG∥FH(已知),
所以∠OEG=∠ ※ (两直线平行,内错角相等),?
又因为∠1=∠ ▲ (已知),?
所以∠AEF=∠ ◆ (等式的性质),?
所以AB∥ ● (内错角相等,两直线平行),?
所以∠BEF+∠DFE=180°(两直线平行,同旁内角互补).
答案
2.B 【解析】 因为EG∥FH(已知),所以∠OEG=∠OFH(两直线平行,内错角相等),又因为∠1=∠2(已知),所以∠AEF=∠DFE(等式的性质),所以AB∥CD(内错角相等,两直线平行),所以∠BEF+∠DFE=180°(两直线平行,同旁内角互补).故选B.
3.[2019重庆江北区模拟]如图,AB∥CD,BD平分∠ABC,CE平分∠DCF,∠ACE=90°.
(1)判断BD和CE的位置关系,并说明理由;
(2)判断AC和BD是否垂直,并说明理由.
答案
3.【解析】 (1)BD∥CE.理由如下:
因为AB∥CD,所以∠ABC=∠DCF.
因为BD平分∠ABC,CE平分∠DCF,
所以∠DBC=∠ABC,∠ECF=∠DCF,
所以∠DBC=∠ECF,所以BD∥CE.
(2)AC⊥BD.理由如下:
由(1)可知,BD∥CE,所以∠DGC+∠ACE=180°.
因为∠ACE=90°,所以∠DGC=180°-90°=90°,
所以AC⊥BD.
4.[2020重庆渝中区期末]如图,已知AB∥CD,AC∥EF.
(1)若∠A=75°,∠E=45°,求∠C和∠CDE的度数;
(2)探究:∠A,∠CDE与∠E之间有怎样的数量关系?并说明理由.
答案
4.【解析】 (1)如图,过点D作DG∥AC.
因为AB∥CD,所以∠A+∠C=180°.
因为∠A=75°,所以∠C=180°-∠A=180°-75°=105°.
因为AC∥EF,DG∥AC,所以DG∥AC∥EF,
所以∠C+∠CDG=180°,∠E=∠GDE.
因为∠C=105°,∠E=45°,
所以∠CDG=180°-105°=75°,∠GDE=45°.
因为∠CDE=∠CDG+∠GDE,
所以∠CDE=75°+45°=120°.
答案
(2)∠CDE=∠A+∠E.理由如下:
如图,过点D作DG∥AC.
因为AB∥CD,所以∠A+∠C=180°.
因为AC∥EF,DG∥AC,所以DG∥AC∥EF,
所以∠C+∠CDG=180°,∠GDE=∠E,所以∠CDG=∠A.
因为∠CDE=∠CDG+∠GDE,所以∠CDE=∠A+∠E.
5.实验证明,平面镜反射光线的规律是:射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的角(锐角)相等.
(1)如图,一束光线m射到平面镜a上被a反射到平面镜b上,又被b反射.若被b反射出的光线n与光线m平行,且∠1=50°,则∠2= °,∠3= °.?
(2)在(1)中,若∠1=
55°,则∠3= °;若∠1=
40°,则∠3= °.?
(3)由(1)(2),请你猜想:当平面镜a,b的夹角∠3= °时,可以使任意射到平面镜a上的光线m,经过平面镜a,b两次反射后,入射光线m与反射光线n平行.你能说明理由吗??
(提示:三角形的内角和等于180°)
答案
5.【解析】 (1)100 90
由平面镜反射光线的规律可知∠1=∠4,∠7=∠6.因为∠1=
50°,所以∠4=50°,所以∠5
=180°-∠1
-∠4=80°.因为m∥n,所以∠2
=180°-∠5
=100°,所以∠7=(180°-∠2)=40°.如图,过∠3的顶点作直线l∥m,则l∥n,所以∠3=∠1+∠7=
90°.
(2)90 90
(3)90
理由:因为∠3=90°,所以∠4+∠6=90°,
又因为∠1=∠4,∠7=∠6,
所以∠2
+∠5=180°-(∠7+∠6)+180°-(∠1+∠4)=360°-2(∠4+∠6)
=180°,
所以m∥n.
专项3 平行线中作辅助
线的两大技巧
1.原创题如图,AB∥CD,∠BEC=100°,若∠1=35°,则∠2等于
( )
A.95°
B.105°
C.115°
D.120°
答案
1.C 【解析】 如图,过点E作EF∥AB,因为AB∥CD,所以AB∥EF∥CD,所以∠2+
∠FEC=180°,∠BEF=∠1=35°,又因为∠BEC=100°,所以∠FEC=100°-35°=65°,所以∠2=180°-65°=115°.故选C.
类型1
过“拐点”作平行线
2.车库的电动门栏杆如图所示,BA垂直地面AE于点A,CD平行于地面AE,则∠ABC+∠BCD的大小是
( )
A.150°
B.180°
C.270°
D.360°
答案
2.C 【解析】 如图,过点B作BF∥AE,因为CD∥AE,所以BF∥CD,所以∠BCD+∠CBF=180°.因为AB⊥AE,所以AB⊥BF,∠ABF=90°,所以∠ABC+
∠BCD=∠ABF+∠CBF+∠BCD=270°.故选C.
类型1
过“拐点”作平行线
3.[2019湖南长沙期末]“浏阳河弯过九道弯,五十里水路到湘江.”如图所示,某段河水流经B,C,D三点拐弯后与原来流向相同,若∠ABC=130°,∠BCD=75°,则∠EDC= °.?
答案
3.25 【解析】 如图,过点C作CF∥AB,
因为AB∥DE,所以CF∥DE,所以∠BCF+∠ABC=180°,所以∠BCF=50°,所以∠DCF=∠BCD-∠BCF=25°,所以∠EDC=∠DCF=25°.
类型1
过“拐点”作平行线
4.课堂上老师给出如下问题:
已知:如图1,AB∥CD,EF⊥AB于点O,FG交CD于点P,当∠1=30°时,求∠EFG的度数.
甲、乙、丙三位同学用不同的方法添加辅助线解决问题,分别如图2~4所示.
?
?
甲同学添加辅助线的方法和分析思路如下:
辅助线:过点F作MN∥CD.
分析思路:
①欲求∠EFG的度数,由图可知只需转化为求∠2和∠3的度数;
②由图可知,∠2=∠1,已知∠1的度数,可得∠2的度数;
类型1
过“拐点”作平行线
③由AB∥CD,MN∥CD推出AB∥MN,由此可推出∠3=∠4;
④由已知EF⊥AB,可得∠4=90°,所以可得∠3的度数;
⑤从而可求∠EFG的度数.
(1)乙同学添加辅助线的方法为 ;丙同学添加辅助线的方法为 .?
(2)请你任选乙同学或丙同学添加辅助线的一种方法,求∠EFG的度数.
类型1
过“拐点”作平行线
答案
4.【解析】 (1)过点P作PN∥EF,交AB于点N 过点O作ON∥FG,交CD于点N
(2)若选择乙:
如题图3,过点P作PN∥EF,交AB于点N.
因为PN∥EF,EF⊥AB,
所以∠ONP=∠EOB=90°.
因为AB∥CD,
所以∠NPD=∠ONP=90°,
答案
又因为∠1=30°,
所以∠NPG=90°+30°=120°.
因为PN∥EF,
所以∠EFG=∠NPG=120°.
若选择丙:
如题图4,过点O作ON∥FG,交CD于点N.
因为ON∥FG,∠1=30°,
所以∠PNO=∠1=30°.
因为AB∥CD,
所以∠BON=∠PNO=30°,
又因为EF⊥AB,
所以∠EON=∠EOB+∠BON=90°+30°=120°.
因为ON∥FG,
所以∠EFG=∠EON=120°.
类型1
过“拐点”作平行线
5.[2020黑龙江哈尔滨113中学期中]如图,AB∥CD,BF平分∠ABE,且BF∥DE,则∠ABE与∠D的关系是
( )
A.∠ABE=3∠D
B.∠ABE+∠D=90°
C.∠ABE+3∠D=180°
D.∠ABE=2∠D
答案
5.D 【解析】 如图,延长DE交AB的延长线于点G,因为AB∥CD,所以∠D=∠G,因为BF∥DE,所以∠G=∠ABF,所以∠D=∠ABF,因为BF平分∠ABE,所以∠ABE=
2∠ABF=2∠D.故选D.
类型2
加截线
6.[2019山东济宁期末]如图,已知AB∥CD,∠1=∠2.试说明:∠BEF=∠EFC.
类型2
加截线
答案
6.【解析】 解法一 如图,分别过点E,F作EM∥AB,NF∥CD,易知AB∥EM∥NF∥CD,
所以∠1=∠BEM,∠MEF=∠EFN,∠NFC=∠2,
因为∠1=∠2,所以∠BEF=∠BEM+∠MEF=∠2+∠EFN=∠NFC+∠EFN=∠EFC,
即∠BEF=∠EFC.
答案
?解法二 如图,连接BC.
因为AB∥CD,所以∠ABC=∠DCB,
又因为∠1=∠2,所以∠EBC=∠FCB,
所以BE∥CF,所以∠BEF=∠EFC.
?
解法三 如图,延长BF交DC的延长线于点H.
因为AB∥CD,所以∠1=∠H.
因为∠1=∠2,所以∠H=∠2,
所以BH∥CE,所以∠BFE=∠FEC.
类型2
加截线
易错疑难集训
集训
1.观察下图,寻找对顶角.
?
(1)如图1,图中共有 对对顶角.?
(2)如图2,图中共有 对对顶角.?
(3)如图3,图中共有 对对顶角.?
(4)研究(1)~(3)中直线条数与对顶角的对数之间的关系,若有n(n为正整数,且n≥2)条直线相交于一点,则有多少对对顶角?
(5)若有2
020条直线相交于一点,则有多少对对顶角?
疑难点
与相交线、平行线有关的开放探究
答案
1.【解析】 (1)2;(2)6;(3)12
(4)由题意知,2条直线相交于一点,对顶角的对数为1×2=2;3条直线相交于一点,对顶角的对数为2×3=6;4条直线相交于一点,对顶角的对数为3×4=12??由此规律可知,若有n(n为正整数,且n≥2)条直线相交于一点,则有(n-1)n对对顶角.
(5)当n=2
020时,(n-1)n=(2
020-1)×2
020=4
078
380,
所以若有2
020条直线相交于一点,则有4
078
380对对顶角.
疑难点
与相交线、平行线有关的开放探究
2.[2019北京门头沟区期末]已知直线AB与直线CD平行,在这两条直线的内侧有一点E,连接BE,ED,∠ABE的平分线与∠CDE的平分线交于点F.
(1)如图1,当点E在直线BD的左侧时,请补全图形,并直接写出∠BFD与∠E之间的数量关系.(思路提示:过点E、点F分别作出AB的平行线,通过∠ABE和∠CDE即可建立∠BFD与∠E之间的数量关系)
(2)当点E在直线BD的右侧时,在图2中补全图形,请问(1)中的结论是否发生变化.如果发生变化,请写出变化后的结论,并说明理由.
疑难点
与相交线、平行线有关的开放探究
答案
2.【解析】 (1)补全图形如图所示:
结论:∠E=2∠BFD.
(2)补全图形如图所示:
结论发生变化,变化后的结论为2∠BFD+∠BED=360°.理由如下:
如图,过点E、点F分别作AB∥HE,AB∥FG,
所以∠BFG=∠ABF,∠ABE+∠HEB=180°.
因为AB∥FG,AB∥HE,AB∥CD,
所以FG∥CD,HE∥CD,
同理可得,∠DFG=∠FDC,∠CDE+∠HED=180°.
因为BF平分∠ABE,DF平分∠CDE,
所以∠ABF=∠ABE,∠CDF=∠CDE,
所以∠ABE+∠CDE=2∠BFD,
所以2∠BFD+∠BED=360°.
疑难点
与相交线、平行线有关的开放探究
3.问题情境:如图1,AB∥CD,∠PAB=130°,∠PCD=120°,求∠APC的度数.
小明的思路:过点P作PE∥AB,通过平行线的性质求∠APC.
(1)按小明的思路,易求得∠APC的度数为 °.?
(2)问题迁移:如图2,AB∥CD,点P在射线OM上运动,记∠PAB=α,∠PCD=β,当点P在B,D两点之间运动时,∠APC与α,β之间有何数量关系?请说明理由.
(3)在(2)的条件下,当点P在B,D两点外侧运动时(点P与点O,B,D不重合),请直接写出∠APC与α,β之间的数量关系.
疑难点
与相交线、平行线有关的开放探究
答案
3.【解析】 (1)110
因为AB∥CD,PE∥AB,所以PE∥AB∥CD,所以∠A+∠APE=180°,∠C+∠CPE=180°.因为∠PAB=130°,∠PCD=120°,所以∠APE=50°,∠CPE=60°,所以∠APC=∠APE+∠CPE=110°.
(2)∠APC=α+β.理由如下:
如图,过点P作PE∥AB交AC于点E.
因为AB∥CD,所以AB∥PE∥CD,
所以α=∠APE,β=∠CPE,
所以∠APC=∠APE+∠CPE=α+β.
疑难点
与相交线、平行线有关的开放探究
答案
(3)当点P在BD的延长线上时,如图,∠APC=α-β.
?
当点P在DB的延长线上时,如图,∠APC=β-α.
疑难点
与相交线、平行线有关的开放探究
4 用尺规作角
1.尺规作图是指
( )
A.用直尺规范作图
B.用刻度尺和圆规作图
C.用没有刻度的直尺和圆规作图
D.直尺和圆规是作图工具
答案
1.C
知识点1
尺规作图的概念
2.下列作图属于尺规作图的是
( )
A.画线段MN=3
cm
B.用量角器画出∠AOB的平分线OC
C.用三角尺过点A作直线l的垂线
D.已知∠α,作∠AOB,使∠AOB=2∠α
答案
2.D
知识点1
尺规作图的概念
3.如图,用尺规作出∠OBF=∠AOB,作图痕迹弧MN是
( )
A.以点B为圆心,OD长为半径的弧
B.以点B为圆心,DC长为半径的弧
C.以点E为圆心,OD长为半径的弧
D.以点E为圆心,DC长为半径的弧
答案
3.D
知识点2
作一个角等于已知角
4.如图,点C在∠AOB的OB边上,用尺规作出了∠BCD=∠AOB.以下是排乱的作图过程,则正确的作图顺序是
( )
①以点C为圆心,OE长为半径画弧,交OB于点M.
②作射线CD,则∠BCD=∠AOB.
③以点M为圆心,EF长为半径画弧,交前面的弧于点D.
④以点O为圆心,任意长为半径画弧,分别交OA,OB于点E,F.
A.①②③④
B.③②④①
C.④①③②
D.④③①②
答案
4.C
知识点2
作一个角等于已知角
5.
已知∠AOB=22.5°,分别以射线OA,OB为始边,在∠AOB的外部作∠AOC=∠AOB,∠BOD=2∠AOB,则OC与OD的位置关系是 .?
答案
5.OC⊥OD 【解析】 因为∠AOB=22.5°,∠AOC=∠AOB,∠BOD=2∠AOB,所以∠AOC=22.5°,∠BOD=2×22.5°=45°,又因为∠AOC和∠BOD都在∠AOB的外部,所以∠COD=∠AOC+∠AOB+∠BOD=22.5°+22.5°+45°=90°,所以OC⊥OD.
知识点2
作一个角等于已知角
6.如图,已知∠α和∠β.
(1)利用尺规作∠MON,使∠MON=∠α+2∠β;
(2)利用尺规作∠AOB,使∠AOB=2(∠α-∠β).
答案
6.【解析】 (1)作法:①作∠MOP=∠α;
②以射线OP为一边,在∠MOP的外部作∠POQ,使∠POQ=∠β;
③以射线OQ为一边,在∠POQ的外部作∠QON,使∠QON=∠β.
如图所示,∠MON即所求作的角.
知识点2
作一个角等于已知角
答案
(2)作法:①作∠COD=∠α;
②以射线OD为一边,在∠COD的外部作∠DOA,使∠DOA=∠α;
③以射线OC为一边,在∠COA的内部作∠COE,使∠COE=∠β;
④以射线OE为一边,在∠EOA的内部作∠EOB,使∠EOB=∠β.
如图所示,∠AOB即所求作的角.
知识点2
作一个角等于已知角
7.小亮的一张地图上有A,B,C三个城市,地图上的C城市被墨迹污染了(如图),但知道∠BAC=∠1,∠ABC=∠2,请你用尺规作图的方法帮他在图中确定C城市的具体位置.(保留作图痕迹,不写作法)
答案
7.【解析】 如图,作∠EAB=∠1,∠FBA=∠2,射线AE交射线BF于点C,点C即所求.
知识点2
作一个角等于已知角
