(共13张PPT)
第一章
整式的乘除
数学·七年级下册·北师
答案
1.B 【解析】 由于a和a2不是同类项,所以不能合并,故选项A错误;(3a3)2=9a6≠6a6,故选项C错误;3a3÷2a2=1.5a≠5a5,故选项D错误.故选B.
1.[2020贵州毕节中考]已知a≠0,下列运算中正确的是
( )
A.3a+2a2=5a3
B.6a3÷2a2=3a
C.(3a3)2=6a6
D.3a3÷2a2=5a5
答案
2.D 【解析】 =0.000
02=2×10-5.故选D.
2.[2019河北中考]一次抽奖活动特等奖的中奖率为,把用科学记数法表示为
( )
A.5×10-4
B.5×10-5
C.2×10-4
D.2×10-5
答案
3.A 【解析】
()k
=(k·k)k=(k2)k=k2k.故选A.
3.[2020河北中考]若k为正整数,则()k=
( )
A.k2k
B.k2k+1
C.2kk
D.k2+k
答案
4.B 【解析】 根据题图可知,题图1的面积为x2-1,题图2的面积为(x+1)(x-1),所以x2-1=(x+1)(x-1).故选B.
4.[2020湖南郴州中考]如图1,将边长为x的大正方形剪去一个边长为1的小正方形(阴影部分),并将剩余部分沿虚线剪开,得到两个长方形,再将这两个长方形拼成图2所示长方形.这两个图能解释下列哪个等式
( )
A.x2-2x+1=(x-1)2
B.x2-1=(x+1)(x-1)
C.x2+2x+1=(x+1)2
D.x2-x=x(x-1)
答案
5.A
【解析】 22m+6n=22m·26n=·=4m·=ab2.故选A.
5.[2019四川绵阳中考]
已知4m=a,8n=b,其中m,n为正整数,则22m+6n=
( )
A.ab2
B.a+b2
C.a2b3
D.a2+b3
答案
6.D 【解析】 S1=b(a+b)×2+ab×2+(a-b)2=a2+2b2,S2=(a+b)2-S1=(a+b)2-(a2+2b2)=2ab-b2.因为S1=2S2,所以a2+2b2=
2(2ab-b2),整理,得(a-2b)2=0,所以a-2b=0,所以a=2b.故选D.
6.[2019四川资阳中考]4张长为a、宽为b(a>b)的长方形纸片,按如图的方式拼成一个边长为(a+b)的正方形,图中空白部分的面积为S1,阴影部分的面积为S2.若S1=2S2,则a,b满足
( )
A.2a=5b
B.2a=3b
C.a=3b
D.a=2b
答案
7.- 【解析】 (x+y)2=x2+2xy+y2=1,(x-y)2=x2-2xy+y2=4,两式相减得,4xy=-3,解得xy=-,则P=-.
7.[2020浙江杭州中考]设M=x+y,N=x-y,P=xy.若M=1,N=2,则P= .?
答案
8.4 【解析】 因为x2+2x=-1,所以5+x(x+2)=5+(x2+2x)=5+x2+2x=4.
8.[2020湖南岳阳中考]已知x2+2x=-1,则代数式5+x(x+2)的值为 .?
答案
9.11 【解析】 因为m-=3,所以(m-)2=9,所以m2-2×m×=9,所以m2+=11.
9.[2019山东枣庄中考]若m-=3,则m2+= .?
答案
10.【解析】 [a3·a5+(3a4)2]÷a2
=(a8+9a8)÷a2
=10a8÷a2
=10a6.
10.[2020湖北武汉中考]计算:[a3·a5+(3a4)2]÷a2.
答案
11.【解析】 (3x+2)(3x-2)+x(x-2)
=9x2-4+x2-2x
=10x2-2x-4.
因为5x2-x-1=0,所以5x2-x=1,
所以原式=2(5x2-x)-4=-2.
11.[2020北京中考]已知5x2-x-1=0,求代数式(3x+2)(3x-2)+x(x-2)的值.
答案
12.【解析】 (a+3)2-
(a+1)(a-1)-2(2a+4)
=a2+6a+9-a2+1-4a-8
=2a+2.
当a=-时,原式=2×(-)+2=-1+2=1.
12.[2019四川凉山州中考]先化简,再求值:
(a+3)2-
(a+1)(a-1)-2(2a+4),其中a=-.(共19张PPT)
第一章
整式的乘除
数学·七年级下册·北师
整式的乘除是初中数学中的重点和难点,也是中考的必考内容之一,是在七年级上册已经学习了有理数运算、运算律及整式的加减等内容的基础上进行的,是前面知识的延伸,具有承前启后的作用.通过本章的学习,不仅可以培养学生的运算能力,还能够培养学生的探究能力及应用意识.例如,第1题,利用“类比法”进行规律探究,体现核心素养中的逻辑推理.
答案
1.【解析】 (1+)(1+)(1+)(1+)+
=2(1-)(1+)(1+)(1+)(1+)+
=2(1-)+
=2.
1.[巧妙构造“平方差”]某同学在计算3(4+1)(42+1)时,把3写成4-1后,发现可以连续运用平方差公式计算:
3(4+1)(42+1)=(4-1)(4+1)(42+1)=(42-1)(42+1)=162-1=255.
请借鉴该同学的经验,计算:(1+)(1+)(1+)(1+)+.
答案
2.【解析】 设标号为③的正方形的边长为x(x>0),标号为②的正方形的边长为y(y>0),
因为标号为④和⑤的两个小长方形的大小相同,所以标号为④和⑤的小长方形的长为(x+y),宽为(x-y).
因为每个小长方形的面积均为9,所以(x+y)(x-y)=9,
所以x2-y2=9,所以x2=9+y2.
因为大长方形的长等于标号为④的小长方形的长与标号为③的正方形的边长的和,宽等于标号为⑤的小长方形的宽与标号为③的正方形的边长的和,
所以大长方形的长为[(x+y)+x]=2x+y,宽为[(x-y)+x]=2x-y,
因为大长方形的面积为48,所以(2x+y)(2x-y)=48,
所以4x2-y2=48,所以4(9+y2)-y2=48,
所以36+3y2=48,所以y2=4,
即标号为②的正方形的面积为4.
2.[巧用平方差公式求面积]如图,把一块面积为48的大长方形木板分割成3个正方形①,②,③和2个大小相同的小长方形④,⑤,且每个小长方形的面积均为9,求标号为②的正方形的面积.
3.如图1是一个长为4a、宽为b的长方形,沿图中虚线用剪刀把该长方形剪成四块大小相同的小长方形,然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形(如图2).
?
图1
图2
图3
(1)图2中的阴影部分的面积为 ;?
(2)观察图2,请你写出(a+b)2,(a-b)2,ab之间的等量关系 ;?
(3)根据(2)中的结论,若p-q=-4,pq=,则(p+q)2= ;?
(4)实际上有许多恒等式都可以用图形的面积来表示,如图3,它可以表示的恒等式为
;?
(5)试画出一个几何图形,使它的面积能用恒等式(2a+b)(a+2b)=2a2+5ab+2b2表示.
答案
3.【解析】 (1)(b-a)2
(2)(a+b)2=(a-b)2+4ab
(3)25
因为p-q=-4,pq=,
所以(p+q)2=(p-q)2+4pq=(-4)2+4×=25.
(4)(a+b)(3a+b)=3a2+4ab+b2
(5)如图所示.
答案
1.A 【解析】 A项,a7+a7=2a7,符合题意;B项,a2·a3·a4·a5=a2+3+4+5=a14,不符合题意;C项,(-a)2·(-a)3·(-a)4·(-a)5=(-a)14=
a14,不符合题意;D项,a5·a9=a14,不符合题意.故选A.
一、选择题
1.下列各式计算结果不为a14的是
( )
A.a7+a7
B.a2·a3·a4·a5
C.(-a)2·(-a)3·(-a)4·(-a)5
D.a5·a9
答案
2.D 【解析】 (3x2+x-1)·(-2x)=-6x3-2x2+2x,故D项计算错误.故选D.
2.[2020重庆九龙坡区期中]下列计算错误的是
( )
A.a3b·ab2=a4b3
B.(-mn3)2=m2n6
C.xy2-xy2=xy2
D.(3x2+x-1)·(-2x)=6x3+2x2-2x
答案
3.C 【解析】 (m2+1)(m+1)(m-1)-(m4+1)=(m2+1)[(m+1)(m-1)]-(m4+1)=(m2+1)(m2-1)-(m4+1)=m4-1-m4-1=-2.故选C.
3.[2019湖南郴州期中]化简(m2+1)(m+1)(m-1)-(m4+1)的结果是
( )
A.-2m2
B.0
C.-2
D.-1
4.如图是L型钢材的截面,5位同学分别列出了计算它的截面积的算式.甲:ac+(b-c)c;乙:(a-c)c+bc;丙:ac+bc-c2;丁:ab-(a-c)(b-c);戊:(a-c)c+(b-c)c.你认为他们之中正确的是
( )
A.只有甲和乙
B.只有丙和丁
C.甲、乙、丙和丁
D.甲、乙、丙、丁和戊
答案
4.C 【解析】 甲:如图1,L型钢材的截面积=左边竖着的长方形的面积+下面横着的长方形的面积=ac+(b-c)c.乙:如图2,L型钢材的截面积=上面竖着的长方形的面积+下面横着的长方形的面积=(a-c)c+bc.丙:如图3,L型钢材的截面积=竖着的大长方形的面积+横着的大长方形的面积-重叠部分的正方形的面积=ac+bc-c2.丁:如图4,L型钢材的截面积=大长方形的面积-由辅助线构成的小长方形的面积=ab-(a-c)(b-c).戊:如图5,L型钢材的截面积=两个梯形的面积和=(a+
a-c)c+(b+b-c)c=(2a-c)c+(2b-c)c=(a-c)c+c2+(b-c)c.因此甲、乙、丙、丁是正确的.故选C.
答案
5.5 【解析】 x=-1为奇数,故把x=-1代入3x2-30,得3-1=2<4.再输入2,2为偶数,则x+()-1=2+3=5>4.所以若输入的数x=
-1,则输出的值为5.
二、填空题
5.如图是一个运算程序,若输入的数x=-1,则输出的值为 .
?
答案
6.4
041 【解析】 2
019a-4
039b+2
020c=2
019a-2
019b-2
020b+2
020c=-2
019(b-a)+2
020(c-b).因为2a=5,2b=10,2c=
80,所以2b÷2a=2b-a=21,2c÷2b=2c-b=8=23,所以b-a=1,c-b=3,所以2
019a-4
039b+2
020c=-2
019×1+2
020×3=-2
019+6
060=
4
041.
6.[2020浙江宁波奉化区期中]已知任意数a,b,c满足2a=5,2b=10,2c=80,则2
019a-4
039b+2
020c的值为 .?
三、解答题
7.先化简,再求值:
(1)[2019吉林长春三模]3(x-1)2-(x+2)(x-2),其中x=4;
(2)(2m+1)(2m-1)-(m-1)2+(2m)3÷(-8m),其中m2+m-2=0.
答案
7.【解析】 (1)3(x-1)2-(x+2)(x-2)
=3(x2-2x+1)-(x2-4)
=3x2-6x+3-x2+4
=2x2-6x+7.
当x=4时,原式=2×42-6×4+7=15.
(2)(2m+1)(2m-1)-(m-1)2+(2m)3÷(-8m)
=4m2-1-(m2-2m+1)+8m3÷(-8m)
=4m2-1-m2+2m-1-m2
=2m2+2m-2
=2(m2+m)-2.
因为m2+m-2=0,所以m2+m=2,
所以原式=2×2-2=2.
答案
8.【解析】 (1)② 去括号时-y2没变号
(2)(x-2y)2-(x+y)(x-y)-2y2
=(x2-4xy+4y2)-(x2-y2)-2y2
=x2-4xy+4y2-x2+y2-2y2
=3y2-4xy.
当4x=3y时,原式=3y2-3y·y=0.
8.以下是小嘉化简代数式(x-2y)2-(x+y)(x-y)-2y2的过程:
原式=(x2-4xy+4y2)-(x2-y2)-2y2 ①
=x2-4xy+4y2-x2-y2-2y2 ②
=y2-4xy. ③
(1)小嘉的解答过程从第 步开始出错,出错的原因是 ;?
(2)请你帮助小嘉写出正确的解答过程,并计算当4x=3y时代数式的值.
9.如图,现有边长分别为b,a的正方形甲,乙,邻边长为b和a(b>a)的长方形丙硬纸板若干.
(1)请选择适当形状和数量的硬纸板,拼出面积为a2+3ab+2b2的长方形,画出拼法的示意图.
(2)现有甲类硬纸板1张,乙类硬纸板4张,则应至少取丙类硬纸板多少张,才能用它们拼成一个新的正方形?并画出拼法的示意图.
(3)取其中若干张硬纸板(三种图形都要取到)拼成一个长方形,使其面积为a2+nab+36b2,则n可能的整数值有 个.?
(4)已知长方形丙的周长为12,面积为7,求正方形乙与正方形甲的面积之和.
答案
9.【解析】 (1)如图1,S=(a+b)(a+2b)=a2+3ab+2b2.
(2)如图2,应至少取丙类硬纸板4张才能用它们拼成一个新的正方形.
(3)5
取其中的若干张硬纸板(三种图形都要取到)拼成一个长方形,使其面积为a2+nab+
36b2,由于36=1×36=2×18=3×12=4×9=6×6,故①a2+nab+36b2=(a+b)(a+36b),此时n=37;②a2+
nab+36b2=(a+2b)(a+18b),此时n=20;③a2+nab+36b2=(a+3b)(a+12b),此时n=15;④a2+
nab+36b2=(a+4b)(a+9b),此时n=13;⑤a2+nab+36b2=(a+6b)(a+6b),此时n=12.综上,n可能的整数值有37,20,15,13,12,共5个.
(4)由题意,知2(a+b)=12,ab=7,所以a+b=6,
所以a2+b2=(a+b)2-2ab=62-2×7=22.
故正方形乙与正方形甲的面积之和为22.(共291张PPT)
第一章
整式的乘除
数学·七年级下册·北师
1 同底数幂的乘法
1.易错题[2019广东广州海珠区月考]下列各项中,是同底数幂的是
( )
A.x2与a2
B.(-a)2与-a3
C.(x-y)2与(y-x)2
D.-x2与x
答案
1.D 【解析】 A项,x2与a2的底数分别是x与a,不是同底数幂;B项,(-a)2与-a3的底数分别是-a与a,不是同底数幂;C项,
(x-y)2与(y-x)2的底数分别是x-y与y-x,不是同底数幂;D项,-x2与x的底数都是x,是同底数幂.故选D.
知识点1
同底数幂的认识
2.[2020安徽四模]计算a4·(-a2)=
( )
A.a2
B.-a2
C.a6
D.-a6
答案
2.D 【解析】 a4·(-a2)=-a4·a2=-a4+2=-a6.故选D.
知识点2
同底数幂的乘法
3.计算xm+n·x-2m+3n的结果正确的是
( )
A.x3m+4n
B.x-m+n
C.x-m+4n
D.x-6mn
答案
3.C 【解析】 xm+n·x-2m+3n=x(m+n)+(-2m+3n)=x-m+4n.故选C.
知识点2
同底数幂的乘法
4.计算(a+2b)3(a+2b)7的结果正确的是
( )
A.(a+2b)21
B.(a+2b)10
C.(a3+2b3)(a7+2b7)
D.a10+2b10
答案
4.B 【解析】 (a+2b)3(a+2b)7=(a+2b)3+7=(a+2b)10.故选B.
知识点2
同底数幂的乘法
5.[2020河南中考]电子文件的大小常用B,KB,MB,GB等作为单位,其中1
GB=210
MB,1
MB=210
KB,1
KB=210
B.某视频文件的大小约为1
GB,1
GB等于
( )
A.230
B
B.830
B
C.8×1010
B
D.2×1030
B
答案
5.A 【解析】 由题意,得1
GB=1×210×210×210
B=210+10+10
B=230
B.故选A.
知识点2
同底数幂的乘法
6.[2020上海嘉定区月考]计算:-(-m2)·(-m)3·(-m)= .?
答案
6.m6 【解析】
-(-m2)·(-m)3·(-m)=m2·m3·m=m2+3+1=m6.
知识点2
同底数幂的乘法
7.原创题若25×52m×53m=522,则m等于 .?
答案
7.4 【解析】 因为25×52m×53m=52×52m×53m=52+2m+3m=522,所以2+2m+3m=22,解得m=4.
知识点2
同底数幂的乘法
8.计算:
(1)(-)×(-)3;
(2)(xy)2·(-xy)5;
(3)(-a3)·(-a)2-(-a)4·a.
答案
8.【解析】 (1)(-)×(-)3=(-)1+3=(-)4=.
(2)(xy)2·(-xy)5=-(xy)2·(xy)5=-(xy)2+5=-(xy)7.
(3)(-a3)·(-a)2-(-a)4·a=(-a3)·a2-a4·a=-a5-a5=-2a5.
知识点2
同底数幂的乘法
9.[2020江苏泰州期中]我们规定a?b=10a×10b,例如3?4=103×104=107,请解决以下问题.
(1)求7?8的值;
(2)想一想(a+b)?c与a?(b+c)相等吗?请说明理由.
答案
9.【解析】 (1)7?8=107×108=1015.
(2)相等.理由如下:
(a+b)?c=10a+b×10c=10a+b+c,
a?(b+c)=10a×10b+c=10a+b+c,
所以(a+b)?c与a?(b+c)相等.
知识点2
同底数幂的乘法
10.[2019浙江杭州西湖区月考]已知6m=4,则62+m等于
( )
A.10
B.20
C.40
D.144
答案
10.D 【解析】 因为6m=4,所以62+m=62×6m=36×4=144.故选D.
知识点3
同底数幂乘法法则的逆用
11.[2020天津河西区期中]下列变形不正确的是
( )
A.a3=a·a2
B.a7m=a7·am
C.am+2n=am·a2n
D.(a-b)5=(a-b)4·(a-b)
答案
11.B 【解析】 由同底数幂的乘法法则,可知A,C,D项变形均正确,因为a7·am=a7+m,所以B项变形不正确.故选B.
知识点3
同底数幂乘法法则的逆用
12.[2019江苏南京期中]若2a=10,2b=5,则= .?
答案
12.50 【解析】 因为2a=10,2b=5,所以=2a×2b=10×5=50.
知识点3
同底数幂乘法法则的逆用
13.(1)运用同底数幂的乘法运算可以得到a·a·a2·a2=a6,请再写出两个只运用同底数幂的乘法运算,可以得到a6的不同算式(a2·a·a3与a·a2·a3算同一个算式): =a6, =a6.(指数为正整数)?
(2)按照(1)的要求,只运用同底数幂的乘法运算,可以得到a6的不同算式共有 个.?
答案
13.(1)a·a5 a2·a4(答案不唯一);(2)10 【解析】 (1)易得a·a5=a6,a2·a4=a6;(2)a·a·a·a·a·a=a6,a·a·a·a·a2=a6,a·a·a·a3=a6,
a·a·a4=a6,
a·a5=a6,a·a·a2·a2=a6,a·a2·a3=a6,a2·a2·a2=a6,a2·a4=a6,a3·a3=a6,故可以得到a6的不同算式共有10个.
知识点3
同底数幂乘法法则的逆用
14.已知am=3,an=9,求am+n+1.
答案
14.【解析】 am+n+1=am·an·a,
因为am=3,an=9,
所以am·an·a=27a,
所以am+n+1=27a.
知识点3
同底数幂乘法法则的逆用
1.
[2020广东东莞模拟]已知x+2y-4=0,则·的值是
( )
A.16
B.-16
C.
D.8
答案
1.D 【解析】 因为x+2y-4=0,所以x+2y=4,所以·=23=8.故选D.
2.已知x4=a,则x8等于
( )
A.2a
B.4a
C.a2
D.a4
答案
2.C 【解析】 x8=x4+4=x4·x4=a·a=a2.故选C.
3.计算(m-n)2a(n-m)(m-n)b-1的结果是
( )
A.(m-n)2a+b
B.-(m-n)2a+b
C.(n-m)2a+b
D.-(m-n)2a+b-1
答案
3.B 【解析】 (m-n)2a(n-m)(m-n)b-1=(m-n)2a[-(m-n)](m-n)b-1=-(m-n)2a(m-n)(m-n)b-1=-(m-n)2a+b.故选B.
4.[2020重庆八中月考]已知ax=5,ax+y=25,则ax+ay的值为 .?
答案
4.10 【解析】 因为ax=5,ax+y=ax·ay=25,所以ay=5,所以ax+ay=5+5=10.
5.
易错题
[2019四川雅安期末]按一定规律排列的一列数21,22,23,25,28,213,?,若x,y,z表示这列数中的连续三个数,猜想x,y,z之间的数量关系是 .?
答案
5.xy=z 【解析】 因为21×22=23,22×23=25,23×25=28,25×28=213,?,所以x,y,z之间的数量关系是xy=z.
6.计算:
(1)(-a)2m·a3n;
(2)(-xy)3·(xy)4·(-xy);
(3)(a-b)2·(b-a)3+(a-b)4·(b-a).
答案
6.【解析】 (1)(-a)2m·a3n=a2m·a3n=a2m+3n.
(2)(-xy)3·(xy)4·(-xy)=[-(xy)3]·(xy)4·(-xy)=(xy)3·(xy)4·(xy)=(xy)8.
(3)(a-b)2·(b-a)3+(a-b)4·(b-a)
=(b-a)2·(b-a)3+(b-a)4·(b-a)
=(b-a)5+(b-a)5
=2(b-a)5.
7.太阳系的形状像一个以太阳为中心的大圆盘,光通过这个大圆盘半径的时间约为2×104
s,已知光的速度约为3×
108
m/s,试估计太阳系的直径.
答案
7.【分析】 已知光通过太阳系的半径的速度和时间,可以先求出太阳系的半径,再乘2就得出它的直径.
【解析】 3×108×(2×104)×2=(3×2×2)×(108×104)=12×1012=1.2×1013(m).
所以太阳系的直径约为1.2×1013
m.
8.[2020江苏苏州相城区期中]如果ac=b,那么我们规定(a,b)=c.例如:因为23=8,所以(2,8)=3.
(1)根据上述规定,填空:(3,27)= .?
(2)记(3,5)=a,(3,6)=b,(3,30)=c.试说明:a+b=c.
答案
8.【解析】 (1)3
(2)因为(3,5)=a,(3,6)=b,(3,30)=c,
所以3a=5,3b=6,3c=30,所以3a×3b=30,
所以3a×3b=3a+b=3c,
所以a+b=c.
9.[2020安徽合肥四十八中一模]观察以下等式:
①21+21=2×21=22;
②22+22=2×22=23;
③23+23=2×23=24;
?
(1)请写出第④个等式: .?
(2)根据你发现的规律,用含字母n的式子表示第
个等式: ,并说明这个规律的正确性.?
(3)请利用上述规律计算:210-29-28-27-?-2.
答案
9.【解析】 (1)24+24=2×24=25
(2)2n+2n=2n+1
说明正确性:因为2n+2n=2×2n=2n+1,所以2n+2n=2n+1.
(3)210-29-28-27-?-2=(29+29)-29-28-27-?-2=29-28-27-?-2=(28+28)-28-27-?-2=28-27-?-2=27-26-25-24-23-22-2=26-25-24-23-22-2=25-24-23-22-2=24-23-22-2=23-22-2=22-2=2.
2 幂的乘方与积的乘方
课时1 幂的乘方
课时1
1.下列属于幂的乘方的是
( )
A.x2
B.(xy)2
C.
D.
答案
1.D 【解析】 选项A,x2只是一个幂,没有其他运算,因此x2不属于幂的乘方;选项B,xy是积不是幂,因此(xy)2不属于幂的乘方;选项C,x2y是一个单项式,不是幂的形式,因此不属于幂的乘方;选项D,x2是幂的形式,因此(x2)3属于幂的乘方.故选D.
知识点1
幂的乘方的认识
2.下列不属于幂的乘方的是
( )
A.[(x-y)2]3
B.[(-5)2]3
C.[(2xy)2]3
D.(2x2)5
答案
2.D 【解析】 选项A,(x-y)2是幂的形式,因此属于幂的乘方;选项B,(-5)2是幂的形式,因此属于幂的乘方;选项C,(2xy)2是幂的形式,因此属于幂的乘方;选项D,2x2不是幂的形式,因此不属于幂的乘方.故选D.
知识点1
幂的乘方的认识
3.[2020浙江衢州中考]计算(a2)3,正确结果是
( )
A.a5
B.a6
C.a8
D.a9
答案
3.B 【解析】 (a2)3=a2×3=a6.故选B.
知识点2
幂的乘方运算
4.计算:= ,= .?
答案
4.-310 310 【解析】 (-32)5=-(32)5=-310;[(-3)2]5=(-3)10=310.
知识点2
幂的乘方运算
5.若27x=32x+3,则x= .?
答案
5.3 【解析】 因为27x=,所以(33)x=,所以33x=,所以3x=2x+3,所以x=3.
知识点2
幂的乘方运算
6.[2020湖北宜昌中考]数学讲究记忆方法.如计算(a5)2时若忘记了法则,可以借助(a5)2=a5×a5=a5+5=a10,得到正确答案.你计算(a2)5-a3×a7的结果是 .?
答案
6.0 【解析】 (a2)5-a3×a7=a10-a10=0.
知识点2
幂的乘方运算
7.计算:
(1);
(2);
(3)[(-x)3]4.
答案
7.【解析】 (1)=a5×n=a5n.
(2)=m2(x-1)=m2x-2.
(3)[(-x)3]4=(-x)12=x12.
知识点2
幂的乘方运算
8.[2019上海宝山实验学校月考](am)2·an的运算结果是
( )
A.
B.a2m+n
C.a2(m+n)
D.a2mn
答案
8.B 【解析】 (am)2·an=a2m·an=a2m+n.故选B.
知识点3
与幂的乘方相关的运算
9.[2019湖北武汉模拟]计算2(a2)6+(a3)4的结果是
( )
A.3a12
B.2a12
C.2a8
D.3a8
答案
9.A 【解析】 2(a2)6+(a3)4=2a12+a12=3a12.故选A.
知识点3
与幂的乘方相关的运算
10.[2020河北邯郸锦玉中学月考]若2×8m×16m=229,则m的值是 .?
答案
10.4 【解析】 因为2×8m×16m=229,所以2×23m×24m=229,所以21+3m+4m=229,所以21+7m=229,所以1+7m=29,解得m=4.
知识点3
与幂的乘方相关的运算
11.计算:
(1)a·a3·;
(2);
(3)6a8-2(a3)2·a2.
答案
11.【解析】 (1)a·a3·=a4·a6=a10.
(2)=x6+(-x6)=0.
(3)6a8-2(a3)2·a2=6a8-2a6·a2=6a8-2a8=4a8.
知识点3
与幂的乘方相关的运算
12.[2019江苏盐城月考]已知2x+5y-3=0,求4x×32y的值.
答案
12.【解析】 因为2x+5y-3=0,所以2x+5y=3.
因为4x×32y=(22)x×(25)y=22x×25y=22x+5y,
所以4x×32y=23=8.
知识点3
与幂的乘方相关的运算
13.下列变形不正确的是( )
A.a20=
B.a2xy=
C.625=
D.(x+y)6=
答案
13.C 【解析】 因为(65)2=610,所以选项C变形不正确.故选C.
知识点4
幂的乘方的逆用
14.[2020四川宜宾翠屏区期末]已知xa=2,xb=-3,则x2a+b=
( )
A.12
B.2
C.-12
D.-3
答案
14.C 【解析】 因为xa=2,xb=-3,所以x2a+b=x2a·xb=(xa)2·xb=22×(-3)=4×(-3)=-12.故选C.
知识点4
幂的乘方的逆用
15.[2020江苏苏州期末]已知x3=m,x5=n,用含m,n的代数式表示x14,其中正确的是
( )
A.mn3
B.m2n3
C.m3n
D.m3n2
答案
15.C 【解析】
x14=x9+5=x9·x5=(x3)3·x5=m3n.故选C.
知识点4
幂的乘方的逆用
16.若n为正整数,且x2n=3,则(x3n)2的值为 .?
答案
16.27 【解析】 因为x2n=3,所以(x3n)2=x2n×3=(x2n)3=33=27.
知识点4
幂的乘方的逆用
1.[2020陕西咸阳渭城区期末]如果=316,那么n的值是
( )
A.4
B.3
C.2
D.1
答案
1.A 【解析】 因为=92n==34n=316
,所以4n=16,所以
n=4.故选A.
2.已知·=a6b8,则m,n的值分别为
( )
A.3,4
B.2,4
C.3,6
D.2,6
答案
2.B 【解析】 因为·=a3m·b2n=a6b8,所以3m=6,2n=8,所以m=2,n=4.故选B.
3.易错题若x,y均为正整数,且2x+1·4y=128,则x+y的值为
( )
A.3
B.5
C.4或5
D.3,4或5
答案
3.C 【解析】 因为2x+1·4y=2x+1·22y=2x+2y+1=128=27,所以x+2y=6.因为x,y均为正整数,所以x=2,y=2或x=4,y=1,所以x+y的值为4或5.故选C.
4.[2019四川乐山中考]若3m=9n=2,则3m+2n= .?
答案
4.4 【解析】 3m+2n=3m×32n=3m×(32)n=3m×9n=2×2=4.
5.若a3n=5,b2n=2,则a6n·b6n= .?
答案
5.200 【解析】 因为a3n=5,b2n=2,所以a6n=(a3n)2=25,b6n=(b2n)3=8,所以a6n·b6n=25×8=200.
6.[2020江苏南京期中]若2n的个位数字是6,则82
020n的个位数字是 .?
答案
6.6 【解析】 因为2n的个位数字是6,所以82
020n=(23)2
020n=(2n)6
060,所以82
020n的个位数字是6.
7.计算:
(1)5(a4)3-15(a6)2;
(2)6x3·x5·;
(3)[(x-y)3]2·[(x-y)3]4-[(y-x)3]6.
答案
7.【解析】 (1)5(a4)3-15(a6)2
=5a12-15a12
=-10a12.
(2)6x3·x5·
=6x8·x6-x14
=6x14-x14
=5x14.
(3)[(x-y)3]2·[(x-y)3]4-[(y-x)3]6
=(x-y)6·(x-y)12-(y-x)18
=(x-y)18-(x-y)18
=0.
8.[2020江苏苏州期中]已知a6=2b=84,且a<0,求|a-b|的值.
答案
8.【解析】 因为2b=84=(23)4=212,所以b=12,
因为a6=84=212=(22)6,所以a=±4,
又因为a<0,所以a=-4,
所以|a-b|=|-4-12|=16.
9.[2020四川成都龙泉驿区期中](1)已知m+4n-3=0,求2m·16n的值.
(2)已知n为正整数,且x2n=4,求9(x3n)2-13(x2)2n的值.
答案
9.【解析】 (1)因为m+4n-3=0,所以m+4n=3,
所以2m·16n=2m·24n=2m+4n=23=8.
(2)因为x2n=4,
所以9(x3n)2-13(x2)2n=9x6n-13x4n=9(x2n)3-13(x2n)2=9×43-13×42=576-208=368.
10.阅读下列解答过程.
比较3500,4400,5300的大小.
解:3500=35×100=(35)100=243100,
4400=44×100=(44)100=256100,
5300=53×100=(53)100=125100,
因为256100>243100>125100,
所以4400>3500>5300.
仿照上面的方法比较255,344,433的大小.
答案
10.【解析】 255==3211,
344==8111,
433==6411,
因为8111>6411>3211,
所以344>433>255.
课时2 积的乘方
课时2
1.易错题[2020陕西中考]计算:(-x2y)3=
( )
A.-2x6y3
B.x6y3
C.-x6y3
D.-x5y4
答案
1.C 【解析】 (-x2y)3=(-)3·(x2)3·y3=-x6y3.故选C.
知识点1
积的乘方
2.[2020湖北黄石期末]下列运算正确的是
( )
A.(ab3)2=ab6
B.(-3xy)3=-9x3y3
C.x3·x4=x12
D.(3x)2=9x2
答案
2.D 【解析】 (ab3)2=a2b6
,故A错误;(-3xy)3=-27x3y3,故B错误;x3·x4=x7
,故C错误.故选D.
知识点1
积的乘方
3.[2020江苏南京鼓楼区期中]我们在本章已经学习的运算法则有①同底数幂的乘法:am·an=am+n;②幂的乘方:(am)n=amn;③积的乘方:(ab)n=anbn.请问算式(-x5y3)2=(-)2·(x5)2·(y3)2=x10y6中用到的以上运算法则有 .(填序号)?
答案
3.②③
知识点1
积的乘方
4.计算:
(1)(-xy)3;
(2)(3xy)4;
(3)(-a3b)2;
(4)[-3(x-1)(y-1)]2.
答案
4.【解析】 (1)(-xy)3=(-1)3·x3·y3=-x3y3.
(2)(3xy)4=34·x4·y4=81x4y4.
(3)(-a3b)2=(-)2··b2=a6b2.
(4)[-3(x-1)(y-1)]2=(-3)2·(x-1)2·(y-1)2=9(x-1)2(y-1)2.
知识点1
积的乘方
5.填空:( )3=-27x6y9.?
答案
5.-3x2y3 【解析】 -27x6y9=(-3)3·(x2)3·(y3)3=.
知识点2
积的乘方的逆用
6.若xy=-2,则x3y3= .?
答案
6.-8
【解析】 因为xy=-2,所以x3y3=(xy)3=(-2)3=-8.
知识点2
积的乘方的逆用
7.如图是小明完成的一道作业题:
请你参考小明的方法解答下列问题.
计算:(1)42
020×(-0.25)2
020;
(2)()2
021×(-)2
023×()2
022.
答案
7.【解析】 (1)42
020×(-0.25)2
020=(-4×0.25)2
020=(-1)2
020=1.
(2)()2
021×(-)2
023×()2
022=(-)2
021××(-)2=-=-.
知识点2
积的乘方的逆用
8.计算-5m6的结果等于
( )
A.m6
B.-m6
C.-3m6
D.-7m6
答案
8.B 【解析】 -5m6=4m6-5m6=-m6.故选B.
知识点3
与积的乘方有关的运算
9.计算:(-2x2)3·(x4)2= .?
答案
9.-8x14 【解析】 (-2x2)3·(x4)2=-8x6·x8=-8x14.
知识点3
与积的乘方有关的运算
10.某养鸡场需定制一批棱长为3×102
mm的正方体鸡蛋包装箱(包装箱的厚度忽略不计),则该包装箱的容积为
mm3.(结果用科学记数法表示)?
答案
10.2.7×107
【解析】 根据题意,得该包装箱的容积为(3×102)3=33×(102)3=27×106=2.7×107(mm3).
知识点3
与积的乘方有关的运算
11.计算:
(1)x·x2·;
(2)(a3b2)6-(-a6b4)3.
答案
11.【解析】 (1)
x·x2·
=x3·x6-23·(x3)3
=x9-8x9
=-7x9.
(2)(a3b2)6-(-a6b4)3
=a18b12-(-a18b12)
=a18b12+a18b12
=2a18b12.
知识点3
与积的乘方有关的运算
12.原创题已知=x10y15,求3a(b+1)的值.
答案
12.【解析】 因为=x5a+5y5b+5=x10y15,
所以5a+5=10,5b+5=15,所以a=1,b=2,
所以3a(b+1)=9.
知识点3
与积的乘方有关的运算
1.[2019江苏南京建邺区期末]已知2m=5,3m=2,则6m的值为
( )
A.7
B.10
C.25
D.32
答案
1.B
【解析】
6m=(2×3)m=2m×3m=5×2=10.故选B.
2.[2020上海青浦区华新中学月考]若(ambn)2=a8b6,则m2-2n的值是
( )
A.10
B.52
C.20
D.32
答案
2.A 【解析】 因为(ambn)2=a2mb2n=a8b6,所以m=4,n=3,所以m2-2n=42-2×3=16-6=10.故选A.
3.[2020浙江绍兴越城区期中]给出下列等式:
①(-2x2y3)3=-6x6y9;②(-a2n)3=a6n;③(3a6)3=9a18;
④(-a)5+(-a2)3+(-a4)=a7;⑤(-0.5)100×2101=2.
其中正确的个数是
( )
A.1
B.2
C.3
D.4
答案
3.A 【解析】 因为(-2x2y3)3=-8x6y9,所以①错误;因为(-a2n)3=-a6n,所以②错误;因为(3a6)3=27a18,所以③错误;因为
(-a)5+
(-a2)3+(-a4)=-a5-a6-a4,所以④错误;因为(-0.5)100×2101=(-0.5×2)100×2=2,所以⑤正确.故正确的有1个.故选A.
4.若(xy)n=6,则x2ny2n= .?
答案
4.36 【解析】 因为(xy)n=6,所以xnyn=6,则x2ny2n=(xnyn)2=36.
5.现规定一种新运算“※”:a※b=ba.如3※2=23=8,则3※(-)= ,4※(-2a3b2)= .?
答案
5.- 16a12b8 【解析】
3※(-)=(-)3=-,4※(-2a3b2)=(-2a3b2)4=16a12b8.
6.[2020山西临汾月考]已知2x+3·3x+3=36x-2,求x的值.
答案
6.【解析】 2x+3·3x+3=(2×3)x+3=6x+3,
36x-2==62(x-2).
因为2x+3·3x+3=36x-2,所以6x+3=62(x-2),
所以x+3=2(x-2),解得x=7.
此题从本质上说是一个方程问题,解答的方法是利用幂的运算法则把等号两边化为同底数的幂,从而得到它们的指数相等,进而就把方程2x+3·3x+3=36x-2转化为了我们学过的一元一次方程x+3=2(x-2).
名师点睛
7.已知78=a,87=b,用含a,b的式子表示5656.
答案
7.【解析】 5656=(7×8)56
=756×856
=77×8×87×8
=
=a7b8.
8.已知A=-x3(y3)2,B=5x3y6,当x=3,y=1时,求A-B的值.
答案
8.【解析】 因为A=(2xy2)3-x3(y3)2=8x3y6-x3y6=7x3y6,
所以A-B=7x3y6-5x3y6=2x3y6.
当x=3,y=1时,A-B=2x3y6=2×33×16=54.
9.[2020天津和平区期中]计算:(×?××1)10×(10×9×8×?×2×1)10.
答案
9.【解析】 (×?××1)10×(10×9×8×?×2×1)10
=(×?××1×10×9×8×?×2×1)10
=(×10×?××2×1×1)10
=110
=1.
10.已知2n=a,5n=b,20n=c,试探究a,b,c之间有什么数量关系.
答案
10.【解析】 因为c=20n=(4×5)n=4n×5n=×5n=×5n=a2b,所以a,b,c之间的数量关系为c=a2b.
3 同底数幂的除法
课时1 同底数幂的除法
课时1
1.[2020江苏扬州中考]下列各式中,计算结果为m6的是
( )
A.m2·m3
B.m3+m3
C.m12÷m2
D.(m2)3
答案
1.D 【解析】 A项,m2·m3=m5,不合题意;B项,m3+m3=2m3,不合题意;C项,m12÷m2=m10,不合题意.故选D.
知识点1
同底数幂的除法
2.若x·a2m-5=a2m-1(a≠0),则x=
( )
A.a4
B.a6
C.a4m+4
D.a4m-4
答案
2.A 【解析】 由x·a2m-5=a2m-1,得x=a2m-1÷a2m-5=a4.故选A.
知识点1
同底数幂的除法
3.[2019黑龙江绥化中考]计算:(-m3)2÷m4= .?
答案
3.m2 【解析】 (-m3)2÷m4=m6÷m4=m2.
知识点1
同底数幂的除法
4.计算:(x-y)7÷(x-y)3÷(y-x)= .?
答案
4.(y-x)3 【解析】 (x-y)7÷(x-y)3÷(y-x)=-(x-y)7-3-1=-(x-y)3=(y-x)3.
知识点1
同底数幂的除法
5.[2019江苏无锡滨湖区期中]若am=6,an=2,则am-n的值为
( )
A.8
B.4
C.12
D.3
答案
5.D
【解析】 因为am=6,an=2,所以am-n=am÷an=3.故选D.
知识点2
同底数幂的除法法则的逆用
6.[2019河南洛阳期末]已知xa=2,xb=4,则x3a+b,xa-3b的值分别为
( )
A.32,
B.16,
C.32,
D.16,
答案
6.A 【解析】 因为xa=2,xb=4,所以x3a+b=(xa)3×xb=23×4=32,xa-3b=xa÷(xb)3=2÷64=.故选A.
知识点2
同底数幂的除法法则的逆用
7.若2x=20,2y=5,则x-y= .?
答案
7.2 【解析】 因为2x-y=2x÷2y=4=22,所以x-y=2.
知识点2
同底数幂的除法法则的逆用
8.若42x+1=64,则42x-1的值为 .?
答案
8.4 【解析】 由42x+1=42x×4=64,可得42x=16,所以42x-1=42x÷4=4.
知识点2
同底数幂的除法法则的逆用
9.易错题若(x-2
020)0+(x+2
021)-2有意义,则x的取值范围是
( )
A.x≠2
020
B.x≠-2
021
C.x≠2
020且x≠-2
021
D.任何数
答案
9.C
【解析】 由题意,知x-2
020≠0且x+2
021≠0,所以x≠2
020且x≠-2
021.故选C.
知识点3
零指数幂与负整数指数幂
10.[2019广东中考]计算:2
0190+()-1= .?
答案
10.4 【解析】 2
0190+()-1=1+3=4.
知识点3
零指数幂与负整数指数幂
11.[2020江苏镇江中考]根据数值转换机的示意图,输出的值为 .?
答案
11. 【解析】 当x=-3时,31+x=3-2=.
知识点3
零指数幂与负整数指数幂
12.[2020广东珠海期中]比较大小:()-2 ()-2.(填“>”“=”或“<”)?
答案
12.< 【解析】 因为()-2=22=4,()-2=32=9,所以()-2<()-2.
知识点3
零指数幂与负整数指数幂
13.计算:
(1)-10+(-2)4÷(-2)2+(-)-1;
(2)81÷(-3)3-()-1+40.
答案
13.【解析】 (1)-10+(-2)4÷(-2)2+(-)-1
=-1+(-2+(-3)
=-1+4-3
=0.
(2)81÷(-3)3-()-1+40
=34÷(-3)3-2+1
=-34-3-2+1
=-4.
知识点3
零指数幂与负整数指数幂
14.[2019安徽安庆期末]下列运算正确的是
( )
A.a2·a3=a6
B.(-a3)2=a5
C.(-bc)4÷(-bc)2=-b2c2
D.a8÷a7=a
答案
14.D
【解析】
因为a2·a3=a5,所以选项A错误;因为(-a3)2=a6,所以选项B错误;因为(-bc)4÷(-bc)2=(-bc)2=b2c2,所以选项C错误;因为a8÷a7=a8-7=a,所以选项D正确.故选D.
知识点4
幂的运算法则的综合运用
15.计算:
(1)(a2·a5)÷(a·a4);
(2);
(3)·a4;
(4)(x3-y)5÷(y-x3)2+(y-x3)7÷(x3-y)4.
答案
15.【解析】 (1)(a2·a5)÷(a·a4)=a7÷a5=a2.
(2)=xmn÷xmn=x0=1.
(3)·a4=a8÷a6·a4=a6.
(4)(x3-y)5÷(y-x3)2+(y-x3)7÷(x3-y)4
=(x3-y)5÷(x3-y)2-(x3-y)7÷(x3-y)4
=(x3-y)3-(x3-y)3
=0.
知识点4
幂的运算法则的综合运用
1.在等式3m+n÷A=3m-2中,A应为
( )
A.3m+n+2
B.3n-2
C.3m+n+3
D.3n+2
答案
1.D 【解析】 A=3m+n÷3m-2=3m+n-(m-2)=3n+2.故选D.
2.易错题[2020广东广州白云区二模]下列计算中,正确的是
( )
A.(-)-2=100
B.-10-3=
C.
D.2a-3=(a≠0)
答案
2.A 【解析】 B项,-10-3=-;C项,=25;D项,2a-3=(a≠0).故选A.
3.[2020江苏常州二十四中教育集团期中]若a=-0.32,b=3-2,c=(-)-2,d=(-)0,则a,b,c,d的大小关系是
( )
A.a
B.bC.aD.c答案
3.A 【解析】 因为a=-0.32=-0.09,b=3-2=,c=(-)-2=9,d=(-)0=1,所以a,b,c,d的大小关系是a4.[2019浙江温州期末]王老师有一个实际容量为1.8
GB(1
GB=220
KB)的U盘,内有三个文件夹,已知课件文件夹占用了0.8
GB的内存,照片文件夹内有32张大小都是211
KB的旅行照片,音乐文件夹内有若干首大小都是215
KB的音乐.若该U盘内存恰好用完,则音乐文件夹内有音乐
( )
A.28首
B.30首
C.32首
D.34首
答案
4.B 【解析】 (1.8-0.8)×220=220(KB),32×211=216(KB),(220-216)÷215=25-2=30(首).故选B.
5.对于等式(2x-3)x+3=1,使等式成立的x值有
( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
5.C 【解析】 当x+3=0时,x=-3,此时2x-3=-9≠0,(-9)0=1,符合题意;当2x-3=1时,x=2,此时x+3=5,15=1,符合题意;当2x-3=
-1时,x=1,此时x+3=4,(-1)4=1,符合题意.故选C.
6.若103y=27,则10-y= .?
答案
6. 【解析】 因为103y==27,所以10y=3,所以10-y=.
7.[2020天津西青区期末]若2x=8,4y=16,则2x-2y的值为 .?
答案
7. 【解析】
因为2x=8,4y=16,所以2x-2y=2x÷22y=2x÷4y=8÷16=.
8.[2020安徽合肥包河区期中]若2a=3,2b=5,2c=,则用含a,b的代数式表示c为 .?
答案
8.c=a+b-2 【解析】 因为2a=3,2b=5,所以2a×2b=3×5=15,所以2c==2a+b-2,所以c=a+b-2.
9.已知(a-b)m=3,(b-a)n=2,则(a-b)3m-2n= .
?
答案
9. 【解析】 因为(a-b)m=3,(b-a)n=2,所以(a-b)3m-2n=.
10.[2020广东汕头龙湖区期末]先化简,再求值:(2x-y)13÷[(2x-y)3]2÷[(y-2x)2]3,其中x=2,y=-1.
答案
10.【解析】 (2x-y)13÷[(2x-y)3]2÷[(y-2x)2]3
=(2x-y)13÷(2x-y)6÷(2x-y)6
=(2x-y)13-6-6
=2x-y.
当x=2,y=-1时,原式=2×2-(-1)=5.
11.(1)已知9m÷32m+2=()n,求n的值;
(2)已知10m=20,10n=,求9m÷32n的值.
答案
11.【解析】 (1)因为9m÷32m+2=()n,所以32m÷32m+2=3-n,
所以32m-(2m+2)=3-n,所以3-2=3-n,
所以n=2.
(2)因为10m=20,10n=,
所以10m-n=10m÷10n=20÷=100=102,
所以m-n=2,
所以9m÷32n=32m÷32n=32(m-n)=34=81.
12.[2020湖北孝感期末]已知
am=2,an=4,ak=32(a≠0).
(1)求a3m+2n-k的值;
(2)求k-m-2n的值.
答案
12.【解析】 (1)因为a3m=23,a2n=42=24,ak=32=25,
所以a3m+2n-k=a3m·a2n÷ak=23×24÷25=23+4-5=22=4.
(2)因为ak-m-2n=25÷2÷24=20=1=a0,
所以k-m-2n=0,
即k-m-2n的值是0.
课时2 科学记数法
课时2
1.原创题人体中枢神经系统中约含有1千亿个神经元,某种神经元的直径约为62微米(1微米=0.000
001米).将62微米用科学记数法表示为
( )
A.6.2×10-5米
B.6.2×10-6米
C.0.62×10-5米
D.62×10-6米
答案
1.A 【解析】 62微米=62×0.000
001米=62×10-6
米=6.2×10-5
米.故选A.
知识点1
科学记数法
2.[2020四川攀枝花中考]中国抗疫取得了巨大成就,堪称奇迹,为世界各国防控疫情提供了重要借鉴和支持,让中国人民倍感自豪.2020年1月12日,世界卫生组织正式将2019新型冠状病毒命名为2019-nCoV.该病毒的直径在0.000
000
08米~0.000
000
12米,将0.000
000
12用科学记数法表示为a×10n的形式,则n为
( )
A.-8
B.-7
C.7
D.8
答案
2.B 【解析】 0.000
000
12用科学记数法表示为1.2×10-7,所以n=-7.故选B.
知识点1
科学记数法
3.[2020山东威海中考]人民日报讯,2020年6月23日,中国成功发射北斗系统第55颗导航卫星.至此中国提前半年全面完成北斗三号全球卫星导航系统星座部署.北斗三号卫星上配置的新一代国产原子钟,使北斗导航系统授时精度达到了十亿分之一秒.十亿分之一用科学记数法可以表示为
( )
A.10×10-10
B.1×10-9
C.0.1×10-8
D.1×109
答案
3.B 【解析】 十亿分之一==1×10-9.故选B.
知识点1
科学记数法
4.将0.000
604
9精确到十万分位,并用科学记数法表示正确的是
( )
A.6.0×10-4
B.6.0×10-3
C.6.1×10-4
D.6.1×10-3
答案
4.A
知识点1
科学记数法
5.[2019山东烟台中考]某种计算机完成一次基本运算的时间约为1纳秒(ns),已知1纳秒=0.000
000
001秒,该计算机完成15次基本运算,所用时间用科学记数法表示为
( )
A.1.5×10-9秒
B.15×10-9秒
C.1.5×10-8秒
D.15×10-8秒
答案
5.C 【解析】 所用时间为15×0.000
000
001=1.5×10-8(秒).故选C.
知识点1
科学记数法
6.[2020江苏扬州邗江区期末]熔喷布,俗称口罩的“心脏”,是口罩中间的过滤层,能过滤细菌,阻止病菌传播.经测量,医用外科口罩的熔喷布厚度约为0.000
156米,将0.000
156用科学记数法表示为 .?
答案
6.1.56×10-4
知识点1
科学记数法
7.计算:
(1)(2×10-3)×(5.5×10-6);
(2)(3×10-3)×.
答案
7.【解析】 (1)(2×10-3)×(5.5×10-6)
=(2×5.5)×(10-3×10-6)
=11×10-9
=1.1×10-8.
(2)(3×10-3)×
=(3×10-3)×(25×10-4)
=(3×25)×(10-3×10-4)
=75×10-7
=7.5×10-6.
知识点1
科学记数法
8.[2020河南洛阳期末]雷达可用于飞机导航,也可用来监测飞机的飞行.假设某时刻雷达向飞机发射电磁波,电磁波遇到飞机后反射,又被雷达接收,整个过程共用了5.24×10-5秒.已知电磁波的传播速度为3.0×108米/秒,求该时刻飞机与雷达的距离.(结果用科学记数法表示,飞机行驶的路程忽略不计)
答案
8.【解析】 5.24×10-5×3.0×108÷2=7.86×103(米).
答:该时刻飞机与雷达的距离为7.86×103米.
知识点1
科学记数法
9.[2019广西贵港中考]将3.18×10-5用小数表示为 .?
答案
9.0.000
031
8
知识点2
科学记数法的逆用
10.把下列用科学记数法表示的数还原:
(1)2.3×10-5;
(2)3.14×10-3.
答案
10.【解析】 (1)2.3×10-5=0.000
023.
(2)3.14×10-3=0.003
14.
知识点2
科学记数法的逆用
专项1 幂的运算
1.计算-(m-n)3÷2(n-m)2的结果是
( )
A.(n-m)
B.2(m-n)
C.-2(m-n)
D.(m-n)
答案
1.A 【解析】 -(m-n)3÷2(n-m)2=-(m-n)3÷2(m-n)2=-(m-n)=(n-m).故选A.
类型1
幂的运算性质的正用
2.[2020上海青浦区华新中学月考]在等式x2·(-x)·( )=x11中,括号内的代数式为
( )
A.x8
B.x9
C.-x9
D.-x8
答案
2.D 【解析】
x2·(-x)·( )=x11,即-x3·( )=x11,所以括号内的代数式为x11÷(-x3)=-x8.故选D.
类型1
幂的运算性质的正用
3.若2a-b-6=0,则4a÷2b÷8的结果是
( )
A.5
B.6
C.8
D.9
答案
3.C 【解析】 因为2a-b-6=0,所以2a-b=6,所以4a÷2b÷8=22a÷2b÷23=22a-b-3=26-3=23=8.故选C.
类型1
幂的运算性质的正用
4.若3n×3n+1×9n×27n+1=332,则n的值为
( )
A.3
B.4
C.5
D.6
答案
4.B 【解析】 3n×3n+1×9n×27n+1=3n×3n+1×=32n+1×32n×33n+3=37n+4.由题意,得7n+4=32,解得n=4.故选B.
类型1
幂的运算性质的正用
5.计算:
(1)·÷a10÷;
(2)x4·x5·(-x)7+5(x4)4-(x8)2.
答案
5.【解析】 (1)·÷a10÷
=a10·a14÷a10÷a8
=a10+14-10-8
=a6.
(2)x4·x5·(-x)7+5(x4)4-(x8)2
=x9·(-x7)+5x16-x16
=-x16+5x16-x16
=3x16.
类型1
幂的运算性质的正用
6.[2019重庆沙坪坝区月考]用所学知识,完成下列题目:
(1)若2a=3,2b=6,2c=12,直接写出a,b,c之间的数量关系: .?
(2)若2a=6,4b=12,16c=8,试确定a,b,c之间的数量关系,并说明理由.
(3)若a5=2,b5=3,c5=72,试确定a,b,c之间的数量关系,并说明理由.
答案
6.【解析】 (1)a+c=2b
因为2a·2c=2a+c=3×12=36,2b·2b=22b=6×6=36,所以2a+c=22b,即a+c=2b.
(2)a,b,c之间的数量关系为4c=6b-3a.理由如下:
因为4b=22b=12,16c=24c=8,
所以22b÷2a=22b-a=2,
所以24c=8=23=(22b-a)3=26b-3a,
所以4c=6b-3a.
(3)a,b,c之间的数量关系为c=a3b2.理由如下:
因为c5=72=8×9=23×32=(a5)3·(b5)2=(a3b2)5,
所以c=a3b2.
类型1
幂的运算性质的正用
7.[2020湖南长沙广益实验中学期末]已知a=8131,b=2741,c=961,则a,b,c的大小关系是
( )
A.a>b>c
B.a>c>b
C.aD.b>c>a
答案
7.A 【解析】 a=8131==3124,b=2741==3123,c=961==3122,因为124>123>122,所以3124>3123>3122,所以a>b>c.故选A.
类型2
幂的运算性质的逆用
8.已知10a=2,10b=5,10c=3,求103a-2b+c的值.
答案
8.【解析】 因为10a=2,10b=5,10c=3,
所以103a-2b+c=103a÷102b×10c=×10c=23÷52×3=.
类型2
幂的运算性质的逆用
9.计算:
(1)(-0.125)15×+()2
020×(-2)2
021;
(2)0.252
018×(-4)2
019-8673×0.52
020.
答案
9.【解析】 (1)(-0.125)15×+()2
020×(-2)2
021
=(-)15×815-×()2
020×()2
020
=-(×8)15-×()2
020
=-1-
=-.
类型2
幂的运算性质的逆用
答案
(2)0.252
018×(-4)2
019-8673×0.52
020
=0.252
018×(-4)2
018×(-4)-(23)673×0.52
020
=0.252
018×(-4)2
018×(-4)-22
019×0.52
020
=[0.25×(-4)]2
018×(-4)-(2×0.5)2
019×0.5
=(-1)2
018×(-4)-12
019×0.5
=-4-0.5
=-4.5.
类型2
幂的运算性质的逆用
4 整式的乘法
课时1 单项式与单项式相乘
课时1
1.[2020浙江台州中考]计算2a2·3a4的结果是
( )
A.5a6
B.5a8
C.6a6
D.6a8
答案
1.C
知识点1
单项式与单项式相乘
2.[2019江苏淮安洪泽区期中]下列运算正确的是
( )
A.3x2y·2xy=5x3y2
B.3x·(-2xy)=-6x2
C.5a2·3a3b=15a6b
D.(-xy)(-xy)=x2y2
答案
2.D 【解析】 选项A,3x2y·2xy=6x3y2;选项B,3x·(-2xy)=-6x2y;选项C,5a2·3a3b=15a5b.故选D.
知识点1
单项式与单项式相乘
在单项式乘单项式的计算中,容易错用幂的运算法则,要特别注意.
易错分析
3.[2019四川成都郫都区期中]计算(8×104)×(5×103)的结果是
( )
A.4×107
B.13×107
C.4×108
D.1.3×108
答案
3.C
【解析】 (8×104)×(5×103)=40×107=4×108.故选C.
知识点1
单项式与单项式相乘
4.[2020四川成都期末]若ab3=-2,则(-3ab)·2ab5=
( )
A.-12
B.-24
C.12
D.24
答案
4.B 【解析】 (-3ab)·2ab5=-6a2b6=-6(ab3)2=-6×(-2)2=-24.
知识点1
单项式与单项式相乘
5.[2019广西来宾期中]计算(-3x2y)2·(5x2)·(-2xy)3的结果是 .?
答案
5.-360x9y5 【解析】 (-3x2y)2·(5x2)·(-2xy)3=9x4y2·5x2·(-8x3y3)=-360x9y5.
知识点1
单项式与单项式相乘
6.[2020广东广州期中]已知单项式9am+1bn+1与-2a2m-1·b2n-1的积与5a3b6是同类项,则mn的值为 .?
答案
6.1 【解析】 9am+1bn+1·(-2a2m-1b2n-1)=-18a3mb3n,由题意得,-18a3mb3n与5a3b6是同类项,所以3m=3,3n=6,所以m=1,n=2,所以mn=12=1.
知识点1
单项式与单项式相乘
7.计算:
(1)a3b·(-abc);
(2)(-2x2y3)2-x3y4·3xy2;
(3)5a3b·(-3b)2+(-6ab)2·(-ab)-ab3·(-4a)2.
答案
7.【解析】 (1)a3b·(-abc)=-a4b2c.
(2)(-2x2y3)2-x3y4·3xy2
=4x4y6-3x4y6
=x4y6.
(3)5a3b·(-3b)2+(-6ab)2·(-ab)-ab3·(-4a)2
=5a3b·9b2+36a2b2·(-ab)-ab3·16a2
=45a3b3-36a3b3-16a3b3
=-7a3b3.
知识点1
单项式与单项式相乘
8.阅读下列运算过程,在横线上填上恰当的内容.
(-2a2b)2·(3a3b2)3
=(-6a5b3)6 ①
=(-6)6·(a5)6·(b3)6 ②
=46
656a30b18. ③
上述解答过程有错误,从第 步开始错误,原因是
.?
请写出正确的运算过程.
答案
8.【解析】 ① 弄错乘方运算和乘法运算的顺序
正确的运算过程如下:
·
=(4a4b2)·(27a9b6)
=108a13b8.
知识点1
单项式与单项式相乘
9.先化简,再求值:-10(-a3b2c)2·a·(bc)3-(2abc)3·(-a2b2c)2,其中a=-5,b=0.2,c=2.
答案
9.【解析】 -10(-a3b2c)2·a·(bc)3-(2abc)3·(-a2b2c)2
=-10a6b4c2·a·b3c3-8a3b3c3·a4b4c2
=-2a7b7c5-8a7b7c5
=-10a7b7c5.
当a=-5,b=0.2,c=2时,
原式=-10×(-5)7×0.27×25=-10×(-5×)7×25=320.
知识点1
单项式与单项式相乘
10.一个长方体的长、宽、高分别为5x,4x,3x,则它的体积为
( )
A.12x3
B.24x3
C.30x3
D.60x3
答案
10.D 【解析】 长方体的体积为5x·4x·3x=60x3.故选D.
知识点2
单项式与单项式相乘的应用
11.[2020福建福州期中]某电子计算机每秒可进行4×109次运算,则2×102秒可进行运算的次数为
( )
A.8×1011
B.8×1018
C.6×1011
D.6×1018
答案
11.A 【解析】 (4×109)×(2×102)=8×1011.故选A.
知识点2
单项式与单项式相乘的应用
12.[2019湖北襄阳襄州区期中]如图为小李家住房的结构图(单位:m),小李打算把卧室和客厅铺上木地板,请你帮他算一算至少应买木地板
( )
A.12xy
m2
B.10xy
m2
C.8xy
m2
D.6xy
m2
答案
12.A 【解析】 2x·4y+(4x-2x)·2y=12xy(m2).故选A.
知识点2
单项式与单项式相乘的应用
课时2
单项式与多项式相乘
课时2
1.[2019广西柳州中考]计算:x(x2-1)=
( )
A.x3-1
B.x3-x
C.x3+x
D.x2-x
答案
1.B
知识点1
单项式与多项式相乘
2.下列计算正确的是
( )
A.-2x(x-y)=-2x2-2xy
B.a2(a3+1)=a6+a2
C.(b2-b+1)·b=b3-b2+1
D.2x(x2-y)=2x3-2xy
答案
2.D 【解析】 A项,-2x(x-y)=-2x2+2xy;B项,a2(a3+1)=a5+a2;C项,(b2-b+1)·b=b3-b2+b.故选D.
知识点1
单项式与多项式相乘
3.[2019黑龙江哈尔滨香坊区月考]计算(-3x)·(2x2-5x-1)的结果是
( )
A.-6x3-15x2-3x
B.-6x3+15x2+3x
C.-6x3+15x2
D.-6x3+15x2-1
答案
3.B 【解析】 (-3x)·(2x2-5x-1)=(-3x)·2x2+(-3x)·(-5x)+(-3x)·(-1)=-6x3+15x2+3x.故选B.
知识点1
单项式与多项式相乘
4.要使(y2-ky+2y)·(-y)的展开式中不含y2项,则k的值为
( )
A.-2
B.0
C.2
D.3
答案
4.C 【解析】
(y2-ky+2y)·(-y)=-y3+ky2-2y2=-y3+(k-2)y2,根据题意,得k-2=0,所以k=2.故选C.
知识点1
单项式与多项式相乘
5.计算:
(1)x2·(2x+1);
(2)(a2b-3ab2)·3ab;
(3)3a(2a2-9a+3)-4a(2a-1);
(4)3x·(2x2-x+1)-x·(2x-3)-4(1-x2).
答案
5.【解析】 (1)x2·(2x+1)
=x2·2x+x2
=x3+x2.
知识点1
单项式与多项式相乘
答案
(2)(a2b-3ab2)·3ab
=a2b·3ab+(-3ab2)·3ab
=2a3b2-9a2b3.
(3)3a(2a2-9a+3)-4a(2a-1)
=6a3-27a2+9a-8a2+4a
=6a3-35a2+13a.
(4)3x·(2x2-x+1)-x·(2x-3)-4(1-x2)
=6x3-3x2+3x-2x2+3x-4+4x2
=6x3-x2+6x-4.
知识点1
单项式与多项式相乘
6.先化简,再求值:x2(3-x)+x(x2-2x)+1,其中x=-3.
答案
6.【解析】
x2(3-x)+x(x2-2x)+1
当x=-3时,原式=(-3)2+1=10.
知识点1
单项式与多项式相乘
7.数学课上,老师讲了单项式乘多项式,放学回到家,小明拿出课堂笔记,认真复习老师课堂上讲的内容,突然发现一道题:-3xy·(4y-2x-1)=-12xy2+6x2y+ ,空格的位置被钢笔水弄污了,你认为横线上应填写
( )?
A.3xy
B.-3xy
C.-1
D.1
答案
7.A 【解析】 -3xy·(4y-2x-1)
=-3xy·4y+(-3xy)·(-2x)+(-3xy)·(-1)
=-12xy2+6x2y+3xy,所以横线上应填写3xy.故选A.
知识点2
单项式与多项式相乘的应用
8.[2019江苏南通崇川区期末]通过计算几何图形的面积可表示一些代数恒等式,如图可表示的代数恒等式是 .?
答案
8.2a(a+b)=2a2+2ab 【解析】 大长方形的面积等于2a(a+b),也等于四个小图形的面积之和,所以a2+a2+ab+ab=
2a(a+b),所以2a(a+b)=2a2+2ab.
知识点2
单项式与多项式相乘的应用
9.已知x(x-m)+n(x+m)=x2+5x-6对任意实数x都成立,求m(n-1)+n(m+1)的值.
答案
9.【解析】 x(x-m)+n(x+m)=x2-mx+nx+mn=x2+(n-m)x+mn,
根据题意,得n-m=5,mn=-6,
所以m(n-1)+n(m+1)=mn-m+mn+n=n-m+2mn=5-12=-7.
知识点2
单项式与多项式相乘的应用
10.一块长为(6a2+4b2)m,宽为5a4
m的长方形铁皮,在它的四个角上各剪去一个边长为2a3
m的小正方形,然后将剩余部分折成一个无盖的盒子,则这个盒子的表面积是多少?
答案
10.【解析】 由题意得,这个盒子的表面积是5a4(6a2+4b2)-4×=30a6+20a4b2-16a6=(14a6+20a4b2)(m2).
答:这个盒子的表面积是(14a6+20a4b2)m2.
知识点2
单项式与多项式相乘的应用
1.[2020山东泰安期中]下列等式中,正确的有
( )
①(-4x)(2x2+3x-1)=-8x3-12x2+4x;
②(6xy2-4x2y)·3xy=6x2y3-12x3y2;
③(-x)(2x+x2-1)=-x3-2x2+1;
④(-3x2y)(-2xy+3yz+1)=6x3y2-9x2y2z-3x2y.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
1.B
【解析】
(-4x)(2x2+3x-1)=-8x3-12x2+4x,故①正确;(6xy2-4x2y)·3xy=18x2y3-12x3y2,故②错误;(-x)(2x+x2-1)=-x3-2x2+x,故③错误;(-3x2y)(-2xy+3yz+1)=6x3y2-9x2y2z-3x2y,故④正确.所以正确的是①④,有2个.故选B.
2.[2019山东烟台期中]某同学在计算一个多项式乘以-3x2时,因抄错运算符号,算成了加上-3x2,得到的结果是x2-4x+1,那么正确的计算结果是 .?
答案
2.-12x4+12x3-3x2 【解析】 根据题意,得这个多项式是(x2-4x+1)-(-3x2)=4x2-4x+1,所以正确的计算结果是(4x2-4x+
1)·(-3x2)=-12x4+12x3-3x2.
解答本题时,先将该多项式求出,再把这个多项式乘以-3x2得到正确的结果.
名师点睛
3.[2020河北唐山路北区期中]试说明:对于任意自然数n,代数式n(n+7)-n(n-5)+6的值都能被6整除.
答案
3.【解析】 n(n+7)-n(n-5)+6
=n2+7n-n2+5n+6
=12n+6
=6(2n+1),
所以对于任意自然数n,代数式n(n+7)-n(n-5)+6的值都能被6整除.
4.若m2+m-1=0,求m3+2m2+2
020的值.
答案
4.【解析】 由m2+m-1=0,得m2+m=1,m(m2+m-1)=0,
所以m3+m2-m=0,即m3=-m2+m,
所以m3+2m2+2
020=-m2+m+2m2+2
020=m2+m+2
020=2
021.
5.阅读材料:已知ab=3,求-2b(2a3b2-3a2b+4a)的值.
解:-2b(2a3b2-3a2b+4a)
=-4a3b3+6a2b2-8ab
=-4(ab)3+6(ab)2-8ab
=-4×33+6×32-8×3
=-78.
这样的方法我们称为“整体代入法”.
请仿照上面的方法解答下列问题:
已知xy2=6,求xy(x2y5-xy3-y)的值.
答案
5.【解析】 xy(x2y5-xy3-y)
=x3y6-x2y4-xy2
=-xy2
=63-62-6
=174.
6.已知单项式M,N满足2x(M+3x)=6x2y2+N,求M,N.
答案
6.【解析】 因为2x(M+3x)=2x·M+6x2,M,N都是单项式,且2x(M+3x)=6x2y2+N,
所以2x·M+6x2=6x2y2+N,
所以2x·M=6x2y2,N=6x2,
故M=3xy2,N=6x2.
7.如图,两个形状大小相同的长方形ABCD和长方形AEFG,点E在AB边上,AB=a,BC=b,且a>b>0.
(1)图1中阴影部分的面积为 .(用含a,b的代数式表示)?
(2)如图2,分别连接BD,DF,BF,试比较△ABD与△DFG的面积大小,并说明理由.
(3)求图2中阴影部分的面积.(用含a,b的代数式表示)
答案
7.【解析】 (1)b2
题图1阴影部分的面积为AE·AD=b2.
(2)S△ABD>S△DFG.理由如下:
S△ABD=ab,S△DFG=b(a-b)=ab-b2.
因为S△ABD-S△DFG=ab-(ab-b2)=ab-ab+b2=b2,a>b>0,
所以b2>0,所以S△ABD>S△DFG.
(3)如图,延长BC,GF交于点I.S阴影=S正方形ABIG-S△ABD-S△DFG-S△BIF=a2-ab-(a-b)b-a(a-b)=a2-ab-ab+b2-a2+ab=
a2+b2-ab.
课时3 多项式与多项式相乘
课时3
1.[2020四川眉山期中]下列多项式相乘,结果为a2+6a-16的是( )
A.(a-2)(a-8)
B.(a+2)(a-8)
C.(a-2)(a+8)
D.(a+2)(a+8)
答案
1.C 【解析】 A项,(a-2)(a-8)=a2-10a+16;B项,(a+2)(a-8)=a2-6a-16;C项,(a-2)(a+8)=a2+6a-16;D项,(a+2)(a+8)=
a2+10a+16.故选C.
知识点1
多项式与多项式相乘
2.下列各式计算错误的是
( )
A.(2a+3)(2a-3)=4a2-9
B.(3a+4b)2=9a2+24ab+4b2
C.(x+2)(x-10)=x2-8x-20
D.(x+y)(x2-xy+y2)=x3+y3
答案
2.B 【解析】 B项应为(3a+4b)2=9a2+24ab+16b2,所以B项计算错误.故选B.
知识点1
多项式与多项式相乘
3.[2020上海震旦外国语中学月考]若(x+m)(x2+nx+1)的展开式中常数项为-2,且不含x2项,则展开式中一次项的系数为
( )
A.-2
B.2
C.3
D.-3
答案
3.D 【解析】 (x+m)(x2+nx+1)=x3+nx2+x+mx2+mnx+m=x3+(m+n)x2+(mn+1)x+m,因为展开式中常数项为-2,且不含x2项,所以m=-2,m+n=0,所以n=2,所以一次项的系数为mn+1=-3.故选D.
知识点1
多项式与多项式相乘
4.[2020甘肃庆阳期末]计算(a+2b)(2a-4b)的结果是 .?
答案
4.2a2-8b2 【解析】
(a+2b)(2a-4b)=2a2-4ab+4ab-8b2=2a2-8b2.
知识点1
多项式与多项式相乘
5.多项式A÷B的计算结果是-2x+1,已知B=2x+1,由此可知多项式A是 .?
答案
5.-4x2+1 【解析】 因为A÷B=-2x+1,B=2x+1,所以A=(-2x+1)(2x+1)=-4x2-2x+2x+1=-4x2+1.
知识点1
多项式与多项式相乘
6.计算:
(1)(-x+2y)(x-5y);
(2)[2019江苏南京中考](x+y)(x2-xy+y2).
答案
6.【解析】 (1)(-x+2y)(x-5y)
=-x·x+x·5y+2y·x-2y·5y
=-x2+5xy+2xy-10y2
=-x2+7xy-10y2.
(2)(x+y)(x2-xy+y2)
=x3-x2y+xy2+x2y-xy2+y3
=x3+y3.
知识点1
多项式与多项式相乘
7.先化简,再求值:(x-2y)(x+4y)-(2x-y)(x+y),其中x=-2,y=3.
答案
7.【解析】 (x-2y)(x+4y)-(2x-y)(x+y)
=x2+4xy-2xy-8y2-(2x2+2xy-xy-y2)
=x2+4xy-2xy-8y2-2x2-2xy+xy+y2
=-x2+xy-7y2,
当x=-2,y=3时,原式=-(-2)2+(-2)×3-7×32=-73.
知识点1
多项式与多项式相乘
8.[2020福建福州期末]若(x+5)(2x-n)=2x2+mx-15,则
( )
A.m=7,n=3
B.m=7,n=-3
C.m=-7,n=-3
D.m=-7,n=3
答案
8.A 【解析】 (x+5)(2x-n)=2x2-nx+10x-5n=2x2+(-n+10)x-5n,所以-n+10=m,5n=15,解得m=7,n=3.故选A.
知识点2
多项式与多项式相乘的应用
9.长方形的一边长为2a+b,另一边比它小a-b,则长方形的面积为
( )
A.2a2+ab-b2
B.2a2+ab
C.4a2+4ab+b2
D.2a2+5ab+2b2
答案
9.D 【解析】 由题意,得长方形的另一边长为(2a+b)-(a-b)=a+2b,所以长方形的面积为(2a+b)(a+2b)=2a2+4ab+ab+
2b2=2a2+5ab+2b2.故选D.
知识点2
多项式与多项式相乘的应用
10.[2020江苏无锡月考]若A=(x-3)(x-7),B=(x-2)(x-8),则A,B的大小关系为
( )
A.A>B
B.AC.A=B
D.无法确定
答案
10.A 【解析】 因为A=(x-3)(x-7)=x2-10x+21,B=(x-2)(x-8)=x2-10x+16,所以A-B=x2-10x+21-(x2-10x+16)=5>0,所以A>B.故选A.
知识点2
多项式与多项式相乘的应用
11.[2020上海震旦外国语中学月考]若x+y=3,xy=2,则(x+1)(y+1)= .?
答案
11.6 【解析】
因为x+y=3,xy=2,所以(x+1)(y+1)=xy+x+y+1=2+3+1=6.
知识点2
多项式与多项式相乘的应用
12.[2019四川达州通川区期末]如图,长方形ABCD的面积可表示为 .(填序号)?
①(m+n)(a+b);②m(a+b)+n(a+b);③a(m+n)+b(m+n);④ma+mb+na+nb.
答案
12.①②③④
知识点2
多项式与多项式相乘的应用
13.将长为3a+2、宽为2a+3的长方形铁皮剪去一个边长为a-1的小正方形,求剩余部分的面积.
答案
13.【解析】 剩余部分的面积为(3a+2)(2a+3)-(a-1)(a-1)=6a2+13a+6-(a2-2a+1)=5a2+15a+5.
知识点2
多项式与多项式相乘的应用
1.若M是关于x的三次多项式,N是关于x的五次多项式,则下列说法正确的是( )
A.M+N是关于x的八次多项式
B.M-N是关于x的二次多项式
C.M·N是关于x的八次多项式
D.M·N是关于x的十五次多项式
答案
1.C 【解析】 M+N是关于x的五次多项式,故选项A错误;M-N是关于x的五次多项式,故选项B错误;M·N是关于x的八次多项式,故选项C正确,选项D错误.故选C.
2.[2020河南南阳卧龙区期中]一个长方体的长为(a+2)cm,宽为(a+1)cm,高为(a-1)cm,则它的表面积为
( )
A.(3a2+4a-1)cm2
B.(6a2+8a-2)cm2
C.(6a+4)cm2
D.(3a+2)cm2
答案
2.B 【解析】 2[(a+2)(a+1)+(a+2)(a-1)+(a+1)(a-1)]=2(a2+3a+2+a2+a-2+a2-1)=2(3a2+4a-1)=6a2+8a-2,所以它的表面积为(6a2+8a-2)cm2.故选B.
3.易错题[2019福建厦门期中]若x2+cx+6=(x+a)(x+b),其中a,b,c为整数,则c的取值有
( )
A.1个
B.2个
C.4个
D.8个
答案
3.C 【解析】
由(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab=x2+cx+6,得a+b=c,ab=6.因为a,b,c为整数,所以a,b的值可能为1,6;2,3;3,2;
6,1;-1,-6;-2,-3;-3,-2;-6,-1.所以c的值可以是7,-7,5,-5,共4个.故选C.
4.[2020新疆伊犁期末]对于任意数a,b,c,d,规定一种运算=ad-bc,如=1×(-2)-0×2=-2,则当=
27时,x= .?
答案
4.22 【解析】 因为=27,所以(x+1)(x-1)-(x+2)(x-3)=27,所以x2-1-(x2-x-6)=27,所以x2-1-x2+x+6=27,所以x=22.
5.有若干张如图所示的正方形和长方形卡片,如果要拼成一个长为2a+b,宽为a+b的长方形,那么需要A类卡片
张,
B类卡片 张,C类卡片 张.?
答案
5.2 1 3 【解析】 因为(a+b)(2a+b)=2a2+3ab+b2,所以需要A类卡片2张,B类卡片1张,C类卡片3张.
6.已知x2-5x=14,求(x-1)(2x-1)-(x+1)2+1的值.
答案
6.【解析】 (x-1)(2x-1)-(x+1)2+1
=2x2-x-2x+1-(x2+x+x+1)+1
=x2-5x+1,
因为x2-5x=14,所以原式=14+1=15.
7.[2019陕西咸阳秦都区期中]如图,某小区规划在长为3x+4y,宽为2x+3y的长方形场地上修建一横两纵三条宽为x的通道,其余部分为绿地.
(1)求通道的面积;
(2)当x=2,y=5时,求绿地的面积.
答案
7.【解析】 (1)通道的面积为2x(2x+3y)+x(3x+4y)-2x2=5x2+10xy.
(2)绿地的面积为(3x+4y)(2x+3y)-(5x2+10xy)
=6x2+17xy+12y2-5x2-10xy
=x2+7xy+12y2.
因为x=2,y=5,所以原式=4+70+300=374.
8.[2020江苏无锡锡山区期中]先阅读材料,再解答问题:
例:已知x=789×786,y=788×787,试比较x,y的大小.
解:设788=a,则x=(a+1)(a-2)=a2-a-2,y=a(a-1)=a2-a,
因为x-y=(a2-a-2)-(a2-a)=-2<0,
所以x问题:已知x=2
018×2
022-2
019×2
021,y=2
019×2
023-2
020×2
022,试比较x,y的大小.
答案
8.【解析】 设2
019=a,则x=(a-1)(a+3)-a(a+2)=-3,y=a(a+4)-(a+1)(a+3)=-3,
所以x=y.
9.你能化简(a-1)(a99+a98+a97+?+a2+a+1)吗?我们不妨先从简单情况入手,发现规律,归纳结论.
(1)填空:(a-1)(a+1)= ,(a-1)(a2+a+1)= ,(a-1)(a3+a2+a+1)= ,?,由此猜想(a-1)(a99+a98+a97+?+a2+a+
1)= .?
(2)利用上述结论,解决下列问题.
①求2199+2198+2197+?+22+2+1的值.
②若a5+a4+a3+a2+a+1=0,则a6等于多少?
答案
9.【解析】 (1)a2-1 a3-1 a4-1 a100-1
(2)①设x=2199+2198+2197+?+22+2+1,
利用结论:(2-1)x=(2-1)(2199+2198+2197+?+22+2+1)=
2200-1,
所以x=2200-1.
②利用结论:(a-1)(a5+a4+a3+a2+a+1)=a6-1,
所以a6-1=0,
所以a6=1.
此题给出了探究型问题的基本思路:从最简单的情况入手,通过计算、分析、归纳规律,最后应用规律解决问题.此题的规律用公式表示为(a-1)(an+an-1+an-2+?+a2+a+1)=an+1-1(n为正整数).
名师点睛
5 平方差公式
1.[2020四川遂宁期末]下列多项式相乘,不能用平方差公式计算的是
( )
A.(2x-3y)(3y-2x)
B.(-2x+3y)(-2x-3y)
C.(x-2y)(2y+x)
D.(x+3y)(x-3y)
答案
1.A 【解析】 A项,(2x-3y)(3y-2x)=-(2x-3y)(2x-3y),不能利用平方差公式计算;B项,(-2x+3y)(-2x-3y)=(2x-3y)(2x+3y),能用平方差公式计算;C项,(x-2y)(2y+x)=(x-2y)(x+2y),能用平方差公式计算;易知D项能用平方差公式计算.故选A.
知识点1
平方差公式的认识
2.如图,阴影部分是边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形后所得到的图形,将阴影部分通过割、拼,形成新的图形,给出下列三种割、拼方法,其中能够验证平方差公式的是( )
A.①②
B.②③
C.①③
D.①②③
答案
2.D 【解析】 题中的3组图中,左图的阴影部分面积为a2-b2.①中右图的阴影部分面积可表示为(2a+2b)(a-b)=(a+
b)(a-b),所以(a+b)(a-b)=a2-b2,故①能验证平方差公式;②中右图的阴影部分面积可表示为(a+b)(a-b),所以(a+b)(a-b)=
a2-b2,故②能验证平方差公式;③中右图的阴影部分面积可表示为(a+b)(a-b),所以(a+b)(a-b)=a2-b2,故③能验证平方差公式.故选D.
知识点2
平方差公式的几何解释
3.计算(3a-bc)(-bc-3a)的结果是
( )
A.b2c2+9a2
B.b2c2-3a2
C.-b2c2-9a2
D.-9a2+b2c2
答案
3.D 【解析】
(3a-bc)(-bc-3a)=-(3a-bc)(3a+bc)=-9a2+b2c2.故选D.
知识点3
利用平方差公式计算
4.下列各式中,运算结果是x2-16y2的是
( )
A.(-4y+x)(-4y-x)
B.(-4y+x)(4y-x)
C.(4y+x)(4y-x)
D.(4y-x)(-4y-x)
答案
4.D 【解析】 选项A,(-4y+x)(-4y-x)=(-4y)2-x2=16y2-x2;选项B,(-4y+x)(4y-x)=-16y2+4xy+4xy-x2=-16y2+8xy-x2;选项C,
(4y+x)(4y-x)=16y2-x2;选项D,(4y-x)(-4y-x)=(-x)2-(4y)2=x2-16y2.故选D.
知识点3
利用平方差公式计算
5.[2020河北唐山模拟]用简便方法计算,将99×101变形正确的是
( )
A.99×101=1002+12
B.99×101=(100-1)2
C.99×101=1002-12
D.99×101=(100+1)2
答案
5.C 【解析】 99×101=(100-1)(100+1)=1002-12.故选C.
知识点3
利用平方差公式计算
6.[2020甘肃张掖期末](-5a2+4b2)( )=25a4-16b4,括号内应填
( )
A.5a2+4b2
B.5a2-4b2
C.-5a2-4b2
D.-5a2+4b2
答案
6.C 【解析】 因为(-5a2+4b2)(-5a2-4b2)=(5a2-4b2)(5a2+4b2)=25a4-16b4,所以括号内应填-5a2-4b2
.故选C.
知识点3
利用平方差公式计算
7.[2020浙江衢州中考]定义a※b=a(b+1),例如2※3=2×(3+1)=2×4=8.则(x-1)※x的结果为 .?
答案
7.x2-1 【解析】 根据规定的运算,得(x-1)※x=(x-1)(x+1)=x2-1.
知识点3
利用平方差公式计算
8.(1)当x=-3,y=2
020时,式子(x+y)(x-y)+y2的值是 ;?
(2)已知x2-y2=4,则(x+y)3(x-y)3的值是 .?
答案
8.(1)9;(2)64 【解析】
(1)(x+y)(x-y)+y2=x2-y2+y2=x2=(-3)2=9.(2)(x+y)3(x-y)3=[(x+y)(x-y)]3=(x2-y2)3=43=64.
知识点3
利用平方差公式计算
9.计算:
(1)(-3x2-5y)(3x2-5y);
(2)(9x2+1)(1-3x)(-3x-1).
答案
9.【解析】 (1)(-3x2-5y)(3x2-5y)
=(-5y-3x2)(-5y+3x2)
=(-5y)2-(3x2)2
=25y2-9x4.
(2)(9x2+1)(1-3x)(-3x-1)
=(-3x+1)(-3x-1)(9x2+1)
=[(-3x)2-12](9x2+1)
=(9x2-1)(9x2+1)
=(9x2)2-12
=81x4-1.
知识点3
利用平方差公式计算
10.有一个狡猾的地主,把如图所示的一块边长为a米的正方形土地租给马老汉.过了一年,他对马老汉说:“我把你这块地的一边减少5米,另一边增加5米,继续租给你,你也没吃亏,你看如何?”马老汉一听,觉得好像没吃亏,就答应了.同学们,你们觉得马老汉有没有吃亏?请说明理由.
答案
10.【解析】 马老汉吃亏了.理由如下:
因为a2-(a+5)(a-5)=a2-(a2-25)=25,
所以与原来相比,马老汉的土地面积减少了25米2,
所以马老汉吃亏了.
知识点3
利用平方差公式计算
1.已知n是整数,则代数式(n+3)(n-3)-(n+2)(n-2)的值能被下列哪个数整除
( )
A.4
B.3
C.5
D.2
答案
1.C 【解析】
(n+3)(n-3)-(n+2)(n-2)=(n2-9)-(n2-4)=n2-9-n2+4=-5,-5能被5整除.故选C.
2.[2020江苏淮安中考]如果一个数等于两个连续奇数的平方差,那么我们称这个数为“幸福数”.下列数中为“幸福数”的是
( )
A.205
B.250
C.502
D.520
答案
2.D 【解析】 设较小的奇数为x,则较大的为x+2,根据题意得,(x+2)2-x2=(x+2-x)(x+2+x)=4x+4.若4x+4=205,则x=,不是整数,不符合题意;若4x+4=250,则x=,不是整数,不符合题意;若4x+4=502,则x=,不是整数,不符合题意;若4x+
4=520,则x=129,符合题意.故选D.
3.如图,长方体的体积为 .?
答案
3.a4-b4 【解析】 长方体的体积为(a+b)(a-b)(a2+b2)=(a2-b2)(a2+b2)=a4-b4.
4.如果(2x+2y+1)(2x+2y-1)=15,那么x+y的值是 .
?
答案
4.±2 【解析】
因为(2x+2y+1)(2x+2y-1)=15,所以(2x+2y)2-12=15,所以(2x+2y)2=16,所以2x+2y=±4,所以x+y=±2.
5.先化简,再求值:
(1)(1+a)(1-a)+a(a-2),其中a=;
(2)(a+b)(a-b)+2a2,其中a=-1,b=-2.
答案
5.【解析】 (1)(1+a)(1-a)+a(a-2)
=1-a2+a2-2a
=-2a+1.
当a=时,原式=-2×+1=0.
(2)(a+b)(a-b)+2a2
=a2-b2+2a2
=3a2-b2.
当a=-1,b=-2时,原式=3×(-1)2-(-2)2=-1.
6.王老师写出一道题——先化简,再求值:(a+1)(a-1)+a(1-a)-a,当a=1时,求该代数式的值.小明说该代数式的值与a的取值没有关系.小明说的正确吗?为什么?
答案
6.【解析】 正确.理由如下:
因为(a+1)(a-1)+a(1-a)-a=a2-1+a-a2-a=-1,
所以该代数式的值与a的取值没有关系.
7.计算:
(1)1002-992+982-972+?+42-32+22-12;
(2)(2+1)(22+1)(24+1)·?·(232+1).
答案
7.【解析】 (1)1002-992+982-972+?+42-32+22-12
=(100+99)×(100-99)+(98+97)×(98-97)+?+(4+3)×(4-3)+(2+1)×(2-1)
=100+99+98+97+?+4+3+2+1
=
=5
050.
(2)(2+1)(22+1)(24+1)·?·(232+1)
=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)·?·(232+1)
=(22-1)(22+1)(24+1)·?·(232+1)
=(24-1)(24+1)·?·(232+1)
=264-1.
8.(1)填空:(a-b)(a+b)= ;?
(a-b)(a2+ab+b2)= ;?
(a-b)(a3+a2b+ab2+b3)= .?
(2)猜想:(a-b)(an-1+an-2b+?+abn-2+bn-1)= (其中n为正整数,且n≥2).?
(3)利用(2)中猜想的结论计算:
29-28+27-?+23-22+2.
解答规律探究问题的方法
一般先从题目所给的几个等式出发找到存在的共同规律,再根据这个规律得到一般性的结论,有时还需要验证其正确性.
归纳总结
答案
8.【解析】 (1)a2-b2 a3-b3 a4-b4
(2)an-bn
(3)29-28+27-?+23-22+2
=29-28+27-?+23-22+2-1+1
=×[2-(-1)]×(29-28+27-?+23-22+2-1)+1
=×[210-(-1)10]+1
=×(1
024-1)+1
=342.
6 完全平方公式
课时1 完全平方公式
课时1
1.根据完全平方公式填空:
(1)(x+1)2=( )2+2×( )×( )+( )2= ;?
(2)(2x-y)2=( )2-2×( )×( )+( )2= ;?
(3)(-x+1)2=( )2+2×( )×( )+( )2= ;?
(4)(-2a-b)2=( )2-2×( )×( )+( )2= .?
答案
1.(1)x x 1 1 x2+2x+1;(2)2x 2x y y 4x2-2xy+y2;(3)-x -x 1 1 x2-2x+1;(4)-2a -2a b b
4a2+4ab+b2
知识点1
完全平方公式的认识
2.(1)分别在图1、图2的相应位置写出各部分的面积;
?
(2)根据总面积与各部分面积之间的关系,写出两个等式.由图1写出的等式是(a+b)2= ,由图2写出的等式是(a-b)2= .?
知识点2
完全平方公式的几何解释
答案
2.(1)如图1,图2所示.
(2)a2+2ab+b2 a2-2ab+b2
知识点2
完全平方公式的几何解释
3.[2019湖北宜昌中考]化简(x-3)2-x(x-6)的结果为
( )
A.6x-9
B.-12x+9
C.9
D.3x+9
答案
3.C 【解析】 (x-3)2-x(x-6)=x2-6x+9-
x2+6x=9.故选C.
知识点3
利用完全平方公式计算
4.[2020江苏南通联考]下列计算正确的是
( )
A.(-x-y)2=-x2-2xy-y2
B.(m+2n)2=m2+4n2
C.(-3x+y)2=3x2-6xy+y2
D.(x+5)2=x2+5x+25
答案
4.D 【解析】 (-x-y)2=x2+2xy+y2
,故A错误;(m+2n)2=m2+4mn+4n2,故B错误;(-3x+y)2=9x2-6xy+y2
,故C错误;(x+5)2=
x2+5x+25,故D正确.故选D.
知识点3
利用完全平方公式计算
5.[2020江苏无锡锡山区期中]若(5a+3b)2=(5a-3b)2+A,则A等于
( )
A.12ab
B.15ab
C.30ab
D.60ab
答案
5.D 【解析】 将已知等式整理得,25a2+30ab+9b2=25a2-30ab+9b2+A,化简得,A=60ab.故选D.
知识点3
利用完全平方公式计算
6.[2020江苏淮安洪泽区期中]已知y2+ky+64是一个完全平方式,则k的值是 .?
答案
6.±16 【解析】 因为y2+ky+64是一个完全平方式,64=(±8)2,所以y2+ky+64可化成(y±8)2,展开得y2±16y+64,所以ky=±16y,所以k=±16.
知识点3
利用完全平方公式计算
7.[2020河南南阳期中]若ab=1,a+b=3,则2a2+2b2的值是 .?
答案
7.14 【解析】
因为a+b=3,所以(a+b)2=a2+2ab+b2=9,又因为ab=1,所以a2+b2=7,所以2a2+2b2=2(a2+b2)=14.
知识点3
利用完全平方公式计算
8.计算:
(1)(a-b)2;
(2)(-a+2b)2;
(3)(2a+3)2+(3a-2)2.
答案
8.【解析】 (1)(a-b)2
=(a)2-2×(a)×b+b2
=a2-ab+b2.
(2)(-a+2b)2
=(-a)2+2×(-a)×2b+(2b)2
=a2-ab+4b2.
知识点3
利用完全平方公式计算
(1)切勿把(a+b)2=a2+2ab+b2与(ab)
2
=a2b2混淆,而写成(a+b)
2=a2+b2.(2)切勿把乘积项2ab中的2丢掉.
知识点3
利用完全平方公式计算
运用完全平方公式的技巧
(1)求二项式的平方时,当所给二项式中两项的符号相同时,一般选用“和”的完全平方公式;当二项式中两项的符号相反时,一般选用“差”的完全平方公式;(2)将(-a+2b)2先转化为(2b-a)2或(a-2b)2,便于运用完全平方公式计算,这是一个常用的技巧;(3)遇到(-m-n)2形式时,可先转化为(m+n)2的形式,再按“和”的完全平方公式进行计算.
名师点睛
归纳总结
答案
(3)(2a+3)2+(3a-2)2
=4a2+12a+9+9a2-12a+4
=13a2+13.
9.用完全平方公式计算:
(1)9992; (2)2
0012.
答案
9.【解析】 (1)9992=(1
000-1)2
=1
0002-2×1
000×1+12
=1
000
000-2
000+1
=998
001.
(2)2
0012=(2
000+1)2
=2
0002+2×2
000×1+12
=4
004
001.
知识点3
利用完全平方公式计算
10.先化简,再求值:(a+b)(a-b)-(a-2b)2,其中a=2,b=-1.
答案
10.【解析】 (a+b)(a-b)-(a-2b)2
=a2-b2-(a2-4ab+4b2)
=4ab-5b2,
当a=2,b=-1时,原式=4×2×(-1)-5×1=-13.
知识点3
利用完全平方公式计算
1.下列计算结果为2ab-a2-b2的是
( )
A.(a-b)2
B.(-a-b)2
C.-(a+b)2
D.-(a-b)2
答案
1.D 【解析】 (a-b)2=a2-2ab+b2,(-a-b)2=(a+b)2=a2+2ab+b2,-(a+b)2=-a2-2ab-b2,-(a-b)2=-a2+2ab-b2.故选D.
2.[2020山东枣庄中考]如图1是一个长为2a、宽为2b(a>b)的长方形,用剪刀沿图中虚线剪开,把它分成四块形状和大小都一样的小长方形,然后按图2那样拼成一个正方形,则中间空余的部分的面积是
( )
A.ab
B.a2+2ab+b2
C.a2-2ab+b2
D.a2-b2
答案
2.C 【解析】 中间部分的四边形是正方形,边长是a+b-2b=a-b,则面积是(a-b)2=a2-2ab+b2.故选C.
3.[2020湖北襄阳襄州区期末]已知(m-n)2=40,(m+n)2=4
000,则m2+n2的值是 .?
答案
3.2
020 【解析】 (m-n)2=m2-2mn+n2=40,(m+n)2=
m2+2mn+n2=4
000,两等式相加,得2(m2+n2)=4
040,所以m2+n2=
2
020.
4.[2020黑龙江绥化期末]有两个正方形A,B,现将B放在A的内部得图1,将A,B并列放置后构造新的正方形得图2.若图1和图2中阴影部分的面积分别为1和12,则正方形A,B的边长之和为 .?
答案
4.5 【解析】 设正方形A,B的边长分别为a,b.由题图1,得(a-b)2=1.由题图2,得(a+b)2-a2-b2=12,所以ab=6,所以(a+b)2=
(a-b)2+4ab=1+24=25.因为a+b>0,所以a+b=5.
5.[2020江苏南京鼓楼区期中]要说明(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc成立,三位同学分别提供了一种思路,请根据他们的思路写出推理过程.
(1)小刚:可以根据乘方的意义来说明等式成立.
(2)小王:可以将其转化为两数和的平方来说明等式成立.
(3)小丽:可以构造图形,通过计算面积来说明等式成立.
答案
5.【解析】 (1)小刚:(a+b+c)2=(a+b+c)(a+b+c)=a2+ab+ac+ab+b2+bc+ac+bc+c2=
a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac.
(2)小王:(a+b+c)2=[(a+b)+c]2=(a+b)2+2(a+b)c+c2=a2+b2+2ab+2ac+2bc+c2.
(3)小丽:如图,(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc.
6.[2019山西运城期末]阅读材料:若x满足(9-x)(x-4)=4,求(9-x)2+(x-4)2的值.
解:设9-x=a,x-4=b,则(9-x)(x-4)=ab=4,a+b=(9-x)+(x-4)=5,
所以(9-x)2+(x-4)2=a2+b2=(a+b)2-2ab=52-2×4=17.
请仿照上面的方法求解下面的问题:
若x满足(5-x)(x-2)=2,求(x-5)2+(2-x)2的值.
答案
6.【解析】 设5-x=a,x-2=b,
则ab=2,a+b=3,
所以(x-5)2+(2-x)2=a2+b2=(a+b)2-2ab=32-2×2=5.
7.【阅读理解】已知m2-2mn+2n2-8n+16=0,求m,n的值.
解:因为m2-2mn+2n2-8n+16=0,
所以(m2-2mn+n2)+(n2-8n+16)=0,
所以(m-n)2+(n-4)2=0,
所以(m-n)2=0,(n-4)2=0,
所以n=4,m=4.
【方法应用】(1)已知a2+b2-10a+4b+29=0,求a,b的值.
(2)已知x+4y=4.
①用含y的式子表示x: .?
②若xy-z2-6z=10,求yx+z的值.
答案
7.【解析】 (1)因为a2+b2-10a+4b+29=0,
所以(a2-10a+25)+(b2+4b+4)=0,
所以(a-5)2+(b+2)2=0,
所以(a-5)2=0,(b+2)2=0,
所以a=5,b=-2.
(2)①x=4-4y
②因为xy-z2-6z=10,
所以y(4-4y)-z2-6z=10,
所以4y-4y2-z2-6z=10,
所以4y2-4y+z2+6z+10=0,
所以(2y-1)2+(z+3)2=0,
所以y=,z=-3,所以x=2,
所以yx+z的值为()2-3=2.
课时2 乘法公式的综合运用
课时2
1.[2019山东济南槐荫区期末]在下列多项式中,与-x-y相乘的结果为x2-y2的是
( )
A.x-y
B.x+y
C.-x+y
D.-x-y
答案
1.C 【解析】 (x-y)(-x-y)=y2-x2,故A不符合题意;(-x-y)(x+y)=-x2-2xy-y2,故B不符合题意;(-x+y)(-x-y)=x2-y2,故C符合题意;(-x-y)(-x-y)=x2+2xy+y2,故D不符合题意.故选C.
2.计算(a+1)2(a-1)2的结果是
( )
A.a2+1
B.a2-1
C.a2-2a+1
D.a4-2a2+1
答案
2.D 【解析】 (a+1)2(a-1)2=[(a+1)(a-1)]
2=(a2-1)
2=
a4-2a2+1.故选D.
3.[2020北京十一中月考]小淇将(2
021x+2
022)2展开后得到a1x2+b1x+c1,小尧将(2
022x-2
021)2展开后得到a2x2+b2x+c2,若两人计算过程无误,则c1-c2的值为
( )
A.2
021
B.2
022
C.4
043
D.1
答案
3.C 【解析】 因为(2
021x+2
022)2展开后得到a1x2+b1x+c1,所以c1=2
0222.因为(2
022x-2
021)2展开后得到a2x2+b2x+
c2,所以c2=2
0212,所以c1-c2=2
0222-2
0212=(2
022+2
021)(2
022-2
021)=4
043.故选C.
4.计算:
(1)(a+2b)(a-2b)+2(a-b)2;
(2)(2x-y)(3x-2y)+(x-3y)(x+3y)-(2x-3y)2.
答案
4.【解析】 (1)(a+2b)(a-2b)+2(a-b)2
=a2-4b2+2(a2-2ab+b2)
=3a2-2b2-4ab.
(2)(2x-y)(3x-2y)+(x-3y)(x+3y)-(2x-3y)2
=6x2-4xy-3xy+2y2+x2-9y2-(4x2-12xy+9y2)
=6x2-4xy-3xy+2y2+x2-9y2-4x2+12xy-9y2
=3x2+5xy-16y2.
5.[2019河南洛阳期末]已知(x+a)(x-)的结果中不含x的一次项,求(a+2)2-(1-a)(-a-1)的值.
答案
5.【解析】 (x+a)(x-)=x2+(a-)x-a,
因为其结果中不含x的一次项,
所以a-=0,所以a=,
所以(a+2)2-(1-a)(-a-1)
=a2+4a+4-(a2-1)
=4a+5
=4×+5
=11.
6.[2019山东淄博淄川区期中]平方差公式和完全平方公式应用非常广泛,灵活利用公式往往能化繁为简,巧妙解题.请阅读并解决下列问题.
问题一:已知(x+y-z)(x-y+z)=(A+B)(A-B),
(1)则A= ,B= ;?
(2)计算:(2a-b+3)(2a-3+b).
问题二:已知x2+y2=(x+y)2-P=(x-y)2+Q.
(1)则P= ,Q= .?
(2)如图,已知长和宽分别为a,b的长方形,它的周长为14,面积为10,求a2+b2+ab的值.
答案
6.【解析】 问题一:(1)x y-z
因为(x+y-z)(x-y+z)=[x+(y-z)][x-(y-z)]=(A+B)(A-B),所以A=x,B=y-z.
(2)(2a-b+3)(2a-3+b)
=[2a-(b-3)][2a+(b-3)]
=4a2-(b-3)2
=4a2-b2+6b-9.
问题二:(1)2xy 2xy
因为x2+y2=(x+y)2-2xy=(x-y)2+2xy,所以P=2xy,Q=2xy.
(2)由题意得,a+b=7,ab=10,
所以a2+b2+ab=a2+b2+2ab-ab=(a+b)2-ab=49-10=39.
7.[2020安徽蚌埠期末]我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”,如图所示,此图揭示了(a+b)n(n为非负整数)展开式的项数及各项系数的有关规律.例如:(a+b)0=1,它只有1项,系数为1;(a+b)1=a+b,它有2项,系数分别为1,1,系数和为2;(a+b)2=a2+2ab+b2,它有3项,系数分别为1,2,1,系数和为4;(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3,它有4项,系数分别为1,3,3,1,系数和为8??
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
?
根据以上规律,解答下列问题.
(1)(a+b)4的展开式共有 项,系数分别为 .?
(2)(a+b)n的展开式共有 项,系数和为 .?
(3)计算:25+5×24+10×23+10×22+5×2+1.
答案
7.【解析】 (1)5 1,4,6,4,1
根据题意,知将(a+b)4展开后,共有5项,各项系数分别为1,1+3,3+3,3+1,1,即1,4,6,4,1.
(2)n+1 2n
根据题意,得(a+b)n的展开式共有(n+1)项,(a+b)0的系数和为1=20,(a+b)1的系数和为2=21,(a+b)2的系数和为4=22,(a+b)3的系数和为8=23??由此规律可得,(a+b)n的系数和为2n.
(3)25+5×24+10×23+10×22+5×2+1=(2+1)5=243.
7 整式的除法
课时1
单项式除以单项式
课时1
1.[2019吉林长春期末]计算24a3b2÷3ab的结果为
( )
A.8a3b2
B.8a2b2
C.8a2b
D.8ab
答案
1.C 【解析】 24a3b2÷3ab=8a3-1b2-1=8a2b.故选C.
知识点1
单项式除以单项式
2.计算(2a3b2)2÷ab2的结果是
( )
A.2a2
B.2a5b2
C.4a4b2
D.4a5b2
答案
2.D 【解析】 (2a3b2)2÷ab2=4a6b4÷ab2=4a5b2.故选D.
知识点1
单项式除以单项式
3.[2019海南海口一模]若( )·(-xy)2=4x2y3,则括号里应填的单项式是
( )
A.-4y
B.4y
C.4xy
D.-2xy
答案
3.B
【解析】
4x2y3÷(-xy)2=4x2y3÷x2y2=4y.故选B.
知识点1
单项式除以单项式
4.[2019山东威海期中]给出下列等式:①(-3x)4÷(-3x)3=-3x;②6a6÷2a2=3a3;③a8b6÷(a3b3)2=a2b;④8xn+2y4÷(-2xy2)2=2xn.其中运算错误的有
( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
4.B 【解析】 (-3x)4÷(-3x)3=-3x,故①计算正确;6a6÷2a2=3a4,故②计算错误;a8b6÷(a3b3)2=a8b6÷a6b6=a2,故③计算错误;8xn+2y4÷(-2xy2)2=8xn+2y4÷(4x2y4)=2xn,故④计算正确.故选B.
知识点1
单项式除以单项式
5.已知a3b6÷a2b2=3,则a2b8的值为
( )
A.6
B.9
C.12
D.81
答案
5.B 【解析】 因为a3b6÷a2b2=ab4=3,所以a2b8=(ab4)2=9.故选B.
知识点1
单项式除以单项式
6.已知18a8b3c÷6ambn=3a3c,则m= ,n= .?
答案
6.5 3 【解析】 因为18a8b3c÷6ambn=3a8-mb3-nc=3a3c,所以8-m=3,3-n=0,所以m=5,n=3.
知识点1
单项式除以单项式
7.我国发射的海洋1号气象卫星,进入预定轨道2×102秒后运行的路程是1.58×106米,那么该卫星绕地球运行的速度是
米/秒.?
答案
7.7.9×103 【解析】 由题意,得该卫星绕地球运行的速度为1.58×106÷(2×102)=0.79×104=7.9×103(米/秒).
知识点1
单项式除以单项式
8.一个三角形的面积为(x3y)2,它的一条边长为(2xy)2,那么这条边上的高为 .?
答案
8.x4 【解析】 设这条边上的高为h,由三角形的面积公式得,×h×(2xy)2=x6y2,可得h=x4.
知识点1
单项式除以单项式
9.计算:
(1)-20a2b2c÷10a2b2;
(2)100(ab)6c2÷;
(3)(4x2y)3÷x3y2.
答案
9.【解析】 (1)-20a2b2c÷10a2b2
=[(-20)÷10]a2-2b2-2c
=-2c.
(2)100(ab)6c2÷
=100a6b6c2÷25a4b2
=(100÷25)a6-4b6-2c2
=4a2b4c2.
知识点1
单项式除以单项式
答案
(3)÷x3y2
=64x6y3÷x3y2
=64x6-3y3-2
=64x3y.
知识点1
单项式除以单项式
(1)要注意运算顺序,被除式和除式中含有乘方运算时,应先进行乘方运算,再进行除法运算.
(2)不要遗漏只在被除式中出现而除式中没有的字母及它的指数.
名师点睛
10.计算2x5y3÷x4y2·xy的结果是
( )
A.2xy
B.2
C.2x2y2
D.3xy
答案
10.C 【解析】 2x5y3÷x4y2·xy=2xy·xy=2x2y2.故选C.
知识点2
单项式的乘、除混合运算
11.在等式6a2·÷( )=中,括号内应填入的是
( )
A.9a2b6
B.-9a2b6
C.-9a2b5
D.9a2b5
答案
11.A 【解析】 由题意,得6a2b6÷( )=,则括号内应填入的是6a2b6÷=9a2b6.故选A.
知识点2
单项式的乘、除混合运算
12.计算:
(1)7x3y2÷[(-7x5y3)÷(-x3y2)];
(2)(x4y)3÷(-x2y)2+(-x2y)3·x2÷y2.
答案
12.【解析】 (1)7x3y2÷[(-7x5y3)÷(-x3y2)]
=7x3y2÷21x2y
=xy.
(2)(x4y)3÷(-x2y)2+(-x2y)3·x2÷y2
=x12y3÷x4y2+(-x6y3)·x2÷y2
=x8y+(-x8y3)÷y2
=x8y+(-x8y)
=0.
知识点2
单项式的乘、除混合运算
13.[2020湖南长沙开福区期中]先化简,再求值:
(2+a)(2-a)+a(a-5b)+3a5b3÷,其中ab=-.
答案
13.【解析】 (2+a)(2-a)+a(a-5b)+3a5b3÷
=4-a2+a2-5ab+3a5b3÷a4b2
=4-5ab+3ab
=4-2ab.
当ab=-时,原式=4-2×(-)=5.
知识点2
单项式的乘、除混合运算
课时2 多项式除以单项式
课时2
1.[2020湖北武汉江汉区期中]计算(-4a2+12a3b)÷(-4a2)
的结果是
( )
A.1-3ab
B.-3ab
C.1+3ab
D.-1-3ab
答案
1.A 【解析】 (-4a2+12a3b)÷(-4a2)=-4a2÷(-4a2)+12a3b÷(-4a2)=1-3ab.故选A.
知识点1
多项式除以单项式
2.如果a=,那么代数式(28a3-28a2+7a)÷7a的值是
( )
A.
B.
C.-
D.-4
答案
2.B 【解析】
(28a3-28a2+7a)÷7a=28a3÷7a-28a2÷7a+7a÷7a=4a2-4a+1.当a=时,原式=4×()2-4×+1=.故选B.
知识点1
多项式除以单项式
3.计算[]÷(-2a2b2)的结果是
( )
A.a3b2+4ab4
B.-a4b2+3ab4
C.-a4b2+4ab4
D.-a3b2+4ab3
答案
3.C 【解析】 []÷(-2a2b2)=(a6b4-8a3b6)÷(-2a2b2)=a6b4÷(-2a2b2)-8a3b6÷(-2a2b2)=-a4b2+4ab4.故选C.
知识点1
多项式除以单项式
4.计算:
(1)(12x3+4x2-2x)÷2x;
(2)(a5b8-2a2b6)÷(ab3)
2;
(3)(m6n2+m5n4-m4n2)÷(-m2n)
2.
答案
4.【解析】 (1)(12x3+4x2-2x)÷2x
=12x3÷2x+4x2÷2x-2x÷2x
=6x2+2x-1.
(2)(a5b8-2a2b6)÷(ab3)
2
=(a5b8-2a2b6)÷a2b6
=a5b8÷a2b6-2a2b6÷a2b6
知识点1
多项式除以单项式
答案
=6a3b2-18.
(3)(m6n2+m5n4-m4n2)÷(-m2n)
2
=(m6n2+m5n4-m4n2)÷m4n2
=m6n2÷m4n2+m5n4÷m4n2-m4n2÷m4n2
=m2+2mn2-.
知识点1
多项式除以单项式
5.计算:
(1)[a2(a+b)-3a2b]÷2a;
(2)xy2(3x+4y)÷2xy;
(3)[(x+y)(x-2y)-x2]÷(-2y);
(4)[6y2-(2x+3y)(-3x+2y)]÷3x.
答案
5.【解析】 (1)[a2(a+b)-3a2b]÷2a
=(a3+a2b-3a2b)÷2a
=(a3-2a2b)÷2a
=a2-ab.
知识点2
整式的乘、除混合运算
答案
(2)xy2(3x+4y)÷2xy
=(3x2y2+4xy3)÷2xy
=xy+2y2.
(3)[(x+y)(x-2y)-x2]÷(-2y)
=(x2-2xy+xy-2y2-x2)÷(-2y)
=(-xy-2y2)÷(-2y)
=x+y.
(4)[6y2-(2x+3y)(-3x+2y)]÷3x
=[6y2-(-6x2+4xy-9xy+6y2)]÷3x
=(6x2+5xy)÷3x
=2x+y.
知识点2
整式的乘、除混合运算
6.[2019陕西西安莲湖区期末]先化简,再求值:
[(x+2y)2-(3x+y)(3x-y)-5y2]÷2x,其中x=-,y=1.
答案
6.【解析】 [(x+2y)2-(3x+y)(3x-y)-5y2]÷2x
=(x2+4xy+4y2-9x2+y2-5y2)÷2x
=(-8x2+4xy)÷2x
=-4x+2y.
当x=-,y=1时,
原式=-4×(-)+2×1=2+2=4.
知识点2
整式的乘、除混合运算
7.已知(a-1)2+|b+1|=0,求(a2b-2ab2-b3)÷b-(a-2b)(b-2a)的值.
答案
7.【解析】 因为(a-1)2+|b+1|=0,
所以a-1=0,b+1=0,解得a=1,b=-1.
(a2b-2ab2-b3)÷b-(a-2b)(b-2a)
=a2-2ab-b2-(ab-2a2-2b2+4ab)
=a2-2ab-b2-ab+2a2+2b2-4ab
=3a2-7ab+b2.
当a=1,b=-1时,
原式=3×12-7×1×(-1)+(-1)2=11.
知识点2
整式的乘、除混合运算
1.下列运算正确的是
( )
A.=ab2
B.(a2+b2)÷(a+b)=a+b
C.(6x4-5x2+3x)÷(-3x)=-2x3+x-1
D.(3x2y-3xy2+x)÷x=3xy-3y2
答案
1.C 【解析】 A项,=-ab2;B项应为(a+b)2÷(a+b)=a+b;D项,(3x2y-3xy2+x)÷x=3xy-3y2+1.故选C.
2.一长方形的面积为4a2-6ab+2a,若它的一边长为2a,则它的周长为
( )
A.4a-3b
B.8a-4b
C.4a-3b+1
D.8a-6b+2
答案
2.D 【解析】 它的另一边长为(4a2-6ab+2a)÷2a=2a-3b+1,所以它的周长为2(2a+2a-3b+1)=8a-6b+2.故选D.
3.已知-5x与一个整式的积是25x2+15x3y-20x4,则这个整式是 .?
答案
3.-5x-3x2y+4x3 【解析】 依题意,知所求整式为(25x2+15x3y-20x4)÷(-5x)=-5x-3x2y+4x3.
4.已知n为奇数且a≠0,化简(8an+3-6an+2-5an+1)÷(-a)n= .?
答案
4.-8a3+6a2+5a 【解析】 因为n为奇数,所以(8an+3-6an+2-5an+1)÷(-a)n=(8an+3-6an+2-5an+1)÷(-an)=-8a3+6a2+5a.
5.计算:[a2b2(a3b-a2b2)-a3b2]÷(-0.5a3b).
答案
5.【解析】 [a2b2(a3b-a2b2)-a3b2]÷(-0.5a3b)
=(a5b3-a4b4-a3b2)÷(-a3b)
=-a2b2+ab3+2b.
6.[2019山西太原期中]李老师在黑板上书写了一个正确的演算过程,随后用手掌捂住了一个多项式,形式如下:
×(-xy)=3x2y-xy2+xy.
(1)求所捂住的多项式;
(2)若x=,y=,求所捂住的多项式的值.
答案
6.【解析】 (1)设所捂住的多项式为A,
则A=(3x2y-xy2+xy)÷(-xy)=-6x+2y-1.
(2)因为x=,y=,
所以所捂住的多项式的值为-6×+2×-1=-4+1-1=-4.
7.先化简,再求值:(2+a)(1-a)+a(a-5b+1)+3a5b3÷(-a2b)2,其中ab=-.
答案
7.【解析】 (2+a)(1-a)+a(a-5b+1)+3a5b3÷
=(2+a)(1-a)+a(a-5b+1)+3a5b3÷a4b2
=2-2a+a-a2+a2-5ab+a+3ab
=2-2ab.
把ab=-代入,得原式=2+1=3.
8.小明在做练习册上的一道多项式除以单项式的习题时,一不小心,一滴墨水污染了这道习题,只看见了被除式最后一项是“-3x2y”和中间的“÷”,污染后的习题形式如下:(
-3x2y)÷
.小明翻看了书后的答案是“4x2y2-3xy+6x”,你能够复原这个算式吗?
答案
8.【解析】 能复原这个算式.
分两种情况:
①原算式的除式是-3x2y÷6x=-xy,
所以被除式是(4x2y2-3xy+6x)·(-xy)=-2x3y3+x2y2-3x2y,
所以原算式为(-2x3y3+x2y2-3x2y)÷(-xy).
②原算式的除式是-3x2y÷(-3xy)=x,
所以被除式是4x3y2-3x2y+6x2,
所以原算式为(4x3y2-3x2y+6x2)÷x.
9.黄老师给学生出了一道题:当x=2
019,y=2
021时,求[2x(x2y-xy2)+xy(2xy-x2)]÷x2y的值.题目出完后,李明说:“老师给的条件y=2
021是多余的.”小颖说:“不给这个条件,就不能求出结果,所以不是多余的.”你认为他们谁说的有道理?为什么?
答案
9.【解析】 李明说的有道理.理由如下:
[2x(x2y-xy2)+xy(2xy-x2)]÷x2y
=(2x3y-2x2y2+2x2y2-x3y)÷x2y
=x3y÷x2y
=x.
因为化简后的结果不含y,所以最后的结果与y的值无关,所以李明说的有道理.
专项2 整式的运算
1.若-2x2(3x2-ax-6)-3x3+x2中不含x的三次项,则a= .?
答案
1. 【解析】 -2x2(3x2-ax-6)-3x3+x2=-6x4+2ax3+12x2-3x3+x2=-6x4+(2a-3)x3+13x2,因为-2x2(3x2-ax-6)-3x3+x2中不含x的三次项,所以2a-3=0,解得a=.
类型1
整式的混合运算
2.计算下列各题:
(1)(a+1)(2-b)-a(1-b)-2;
(2)[x(x2y2-xy)-y(x2-x3y)]÷x2y.
答案
2.【解析】 (1)(a+1)(2-b)-a(1-b)-2
=2a-ab+2-b-a+ab-2
=a-b.
(2)[x(x2y2-xy)-y(x2-x3y)]÷x2y
=[(x3y2-x2y)-(x2y-x3y2)]÷x2y
=(x3y2-x2y-x2y+x3y2)÷x2y
=(2x3y2-2x2y)÷x2y
=2xy-2.
类型1
整式的混合运算
3.是否存在m,k,使(x+m)(2x2-kx-3)=2x3-3x2-5x+6成立?若存在,求出m,k的值;若不存在,请说明理由.
答案
3.【解析】 存在.
因为(x+m)(2x2-kx-3)=2x3-3x2-5x+6,
所以2x3-kx2-3x+2mx2-kmx-3m=2x3-3x2-5x+6,
所以2x3+(-k+2m)x2+(-3-km)x-3m=2x3-3x2-5x+6,
所以-3m=6,-k+2m=-3,所以m=-2,k=-1.
类型1
整式的混合运算
4.计算下列各题:
(1)(2x-y)2+(2x+y)(2x-y)+4xy;
(2)(x+y-1)(x+y+1)-(x-2y)(x+2y);
(3)(a-b)(a+b)(a2+b2)(a4+b4)·?·(a2n+b2n);
(4)(x-)2(x2+)2(x+)2.
答案
4.【解析】 (1)(2x-y)2+(2x+y)(2x-y)+4xy
=4x2-4xy+y2+4x2-y2+4xy
=8x2.
(2)(x+y-1)(x+y+1)-(x-2y)(x+2y)
=(x+y)2-1-(x2-4y2)
=x2+2xy+y2-1-x2+4y2
=5y2+2xy-1.
类型2
乘法公式的应用
答案
(3)(a-b)(a+b)(a2+b2)(a4+b4)·?·(a2n+b2n)
=(a2-b2)(a2+b2)(a4+b4)·?·(a2n+b2n)
=(a4-b4)(a4+b4)·?·(a2n+b2n)
=(a8-b8)·?·(a2n+b2n)
?
=a4n-b4n.
(4)(x-)2(x2+)2(x+)2
=(x-)2(x+)2(x2+)2
=(x2-)2(x2+)2
=[(x2-)(x2+)]2
=(x4-)2
=x8-x4+.
类型2
乘法公式的应用
5.[2019浙江宁波海曙区期中]已知xy2=-2,则-xy(x2y5-xy3-y)的值为
( )
A.2
B.6
C.10
D.14
答案
5.C 【解析】 因为xy2=-2,所以-xy(x2y5-xy3-y)=-x3y6+x2y4+xy2=-(xy2)3+(xy2)2+xy2=-(-2)3+(-2)2+(-2)=8+4-2=10.故选C.
类型3
整式的化简求值
6.先化简,再求值:(a+b)2+b(a-b)-4ab,其中a=2,b=-.
答案
6.【解析】 (a+b)2+b(a-b)-4ab
=a2+2ab+b2+ab-b2-4ab
=a2-ab.
当a=2,b=-时,原式=22-2×(-)=5.
类型3
整式的化简求值
整式的混合运算的顺序
先做整式的乘除,再做整式的加减.整式加减的实质就是合并同类项.关于整式求值的试题,即使题中没有“先化简”的要求,为简化运算过程,一般也要先化简,再代入求值.
归纳总结
7.若x2-3x-7=0,求x(x-1)(x-2)(x-3)的值.
答案
7.【解析】 因为x2-3x-7=0,所以x2-3x=7,
所以x(x-1)(x-2)(x-3)=[x(x-3)][(x-1)(x-2)]=(x2-3x)(x2-3x+2)=7×(7+2)=63.
类型3
整式的化简求值
易错疑难集训
集训
1.计算:(x-3y)(x+6y)-(3x+y)(x-y).
答案
1.【解析】 (x-3y)(x+6y)-(3x+y)(x-y)
=x2+6xy-3xy-18y2-(3x2-3xy+xy-y2)
=x2+6xy-3xy-18y2-3x2+3xy-xy+y2
=-2x2+5xy-17y2.
易错点1
去括号时的符号问题
解题时重要的步骤不可省略,省略易出现错误.本题中重要的步骤有:第一步,进行乘法的运算;第二步,去括号;第三步,合并同类项.如果把第二步省略,容易出现符号的错误.
名师点睛
2.计算:
(1)(a-2b)(-a+2b);
(2)(a-b-c)(a+b-c).
答案
2.【解析】 (1)(a-2b)(-a+2b)
=(a-2b)[-(a-2b)]
=-(a-2b)2
=-(a2-4ab+4b2)
=-a2+4ab-4b2.
(2)(a-b-c)(a+b-c)
=[(a-c)-b][(a-c)+b]
=(a-c)2-b2
=a2-2ac+c2-b2.
易错点2
如何找准平方差公式和完全平方公式中的a,b
3.计算:
(1)-xy3z·3x2y;
(2)16x3y5z÷(-2x2y4).
答案
3.【解析】 (1)-xy3z·3x2y
=(-×3)(x·x2)(y3·y)z
=-x3y4z.
(2)16x3y5z÷(-2x2y4)
=[16÷(-2)](x3÷x2)(y5÷y4)z
=-8xyz.
易错点3
在进行单项式的乘、除运算时,只在一个单项式中出现的字母怎么处理
单项式乘以单项式或单项式除以单项式时,只在一个单项式中出现的字母,必须连同它的指数一起作为积或商的一部分.
易错分析
1.化简:(x+y)5÷(-x-y)2÷(x+y).
答案
1.【解析】 (x+y)5÷(-x-y)2÷(x+y)
=(x+y)5÷(x+y)2÷(x+y)
=(x+y)5-2-1
=(x+y)2.
疑难点1
整体思想或转化思想在整式的运算中的应用
2.若2m÷8n=4,求2m-6n的值.
答案
2.【解析】 因为2m÷8n=2m÷23n=2m-3n=4=22,
所以m-3n=2,所以2m-6n=2(m-3n)=4.
疑难点1
整体思想或转化思想在整式的运算中的应用
3.小明在解答“先化简,再求值:(x+y)(x-y)+(x-y)2-(6x2y-3xy2)÷3y,其中x=-2,y=3”时,误把x=-2,y=3抄成了x=2,y=-3,但他的计算结果是正确的,你能解释这是怎么回事吗?
答案
3.【解析】 能.
(x+y)(x-y)+(x-y)2-(6x2y-3xy2)÷3y
=x2-y2+x2-2xy+y2-(2x2-xy)
=-xy.
当x=-2,y=3或x=2,y=-3时,原式的结果都是6,
所以他的计算结果是正确的.
疑难点2
灵活运用乘法公式解决相关问题
4.计算:(1-)×(1-)×(1-)×?×(1-)×(1-).
答案
4.【解析】 (1-)×(1-)×(1-)×?×(1-)×(1-)
=(1+)×(1-)×(1+)×(1-)×(1+)×(1-)×?×(1+)×(1-)×(1+)×(1-)
=×?×
=
=.
疑难点2
灵活运用乘法公式解决相关问题
5.试说明:(n+7)2-(n-5)2(n为正整数)能被24整除.
答案
5.【解析】 (n+7)2-(n-5)2
=n2+14n+49-(n2-10n+25)
=24n+24
=24(n+1).
因为n为正整数,所以n+1为正整数,所以(n+7)2-(n-5)2能被24整除.
疑难点2
灵活运用乘法公式解决相关问题