(共22张PPT)
第四章 三角形
数学·七年级下册·北师
答案
1.D 【解析】 因为AD是△ABC的高,所以∠ADB=90°.因为∠BAD=42°,所以∠ABD=90°-∠BAD=48°.因为BE是△ABC的角平分线,所以∠DBF=∠ABD=24°,所以∠BFD=90°-24°=66°.故选D.
1.[2020四川成都青羊区期末]如图,AD是△ABC的高,BE是△ABC的角平分线,BE,AD相交于点F,已知∠BAD=42°,则∠BFD=
( )
A.45°
B.54°
C.56°
D.66°
答案
2.C 【解析】 如图,延长CH交AB于点F.因为AD⊥BC于点D,BE⊥AC于点E,在三角形中,三边的高交于一点,所以CF⊥AB.因为∠BAC=75°,所以∠ACF=15°.因为∠ACB=60°,所以∠BCF=45°,所以∠CHD=45°.
2.[2020浙江台州期末]如图,在△ABC中,∠ACB=60°,∠BAC=75°,AD⊥BC于点D,BE⊥AC于点E,AD与BE交于点H,连接CH,则∠CHD=
( )
A.20°
B.30°
C.45°
D.60°
答案
3.A 【解析】 因为BD=CB,BE=CA,∠DBE=∠C,所以△EDB≌△ABC(SAS),所以∠A=∠E.因为∠DBE=62°,
∠BDE=75°,所以∠E=180°-62°-75°=43°,所以∠A=43°.因为∠BDE+∠ADE=180°,所以∠ADE=105°,所以∠AFD=
180°-(∠ADE+∠A)=32°,所以∠AFE=180°-∠AFD=148°.故选A.
3.[2020浙江宁波模拟]如图,BD=BC,BE=CA,∠DBE=∠C=62°,∠BDE=75°,则∠AFE的度数等于
( )
A.148°
B.140°
C.135°
D.128°
答案
4.A 【解析】 因为AB⊥CD,CE⊥AD,所以∠C+∠D=90°,∠A+∠D=90°,所以∠A=∠C.在△ABF和△CDE中,
所以△ABF≌△CDE(AAS),所以DE=BF=6,AF=CE=8,所以AE=AD-DE=10-6=4,所以EF=AF-AE=
8-4=4.故选A.
4.[2020江苏南京江宁区期中]如图,AB⊥CD,且AB=CD,E,F是AD上两点,CE⊥AD,BF⊥AD.若CE=8,BF=6,AD=10,则EF的长为
( )
A.4
B.
C.3
D.
答案
5.3 【解析】 因为AM是△ABC中BC边上的高线,所以S△ABC=BC×AM=×6×4=12.因为D,E分别为线段BC,AC的中点,所以S△ACD=S△ABC=6,所以S△ADE=S△ACD=3.
5.[2019河北石家庄桥西区期末]如图,AM是△ABC中BC边上的高线,D,E分别为线段BC,AC的中点.若BC=6,AM=4,则S△ADE= .?
答案
6.3或 【解析】 设运动时间为t(t>0)s,则AP=3t
cm,BQ=xt
cm.分情况讨论:①若△ACP≌△BPQ,则AP=BQ,所以xt=3t,所以x=3;②若△ACP≌△BQP,则AC=BQ,AP=BP,所以xt=9,12-3t=3t,所以t=2,x=.综上,当x=3或时,△ACP与△BPQ全等.
6.[2019江苏连云港期末]如图,AB=12
cm,∠CAB=∠DBA=60°,AC=BD=9
cm.点P在线段AB上以3
cm/s的速度由点A向点B匀速运动,同时,点Q在线段BD上由点B向点D匀速运动,设点Q的运动速度为x
cm/s.当△BPQ与△ACP全等时,x的值为 .?
答案
7.【解析】 小明的作法正确.理由如下:
在△APC和△CBA中,
所以△APC≌△CBA(SAS),
所以∠APC=∠ABC.
7.[2020河北衡水模拟]阅读下面材料:
在数学课上,老师提出如下问题:
已知:△ABC,如图1,
尺规作图:求作∠APC=∠ABC.
小明同学的主要作法如下:
如图2,①作∠CAD=∠ACB,且点D与点B在AC的异侧;②在射线AD上截取AP=CB,连接CP,则∠APC=∠ABC.
问题:小明的作法正确吗?说明理由.
答案
8.【解析】 因为CF∥AB,
所以∠B=∠FCD,∠BED=∠F,
又因为AD是BC边上的中线,所以BD=CD,
所以△BDE≌△CDF(AAS).
(2)因为△BDE≌△CDF,所以BE=CF=2,
所以AB=AE+BE=1+2=3.
因为AD⊥BC,所以∠ADB=∠ADC=90°.
在△ABD和△ACD中,
所以△ABD≌△ACD(SAS),所以AC=AB=3.
8.[2020浙江温州模拟]如图,在△ABC中,AD是BC边上的中线,E是AB边上一点,过点C作CF∥AB交ED的延长线于点F.
(1)试说明:△BDE≌△CDF.
(2)当AD⊥BC,AE=1,CF=2时,求AC的长.
答案
1.C 【解析】 设第三边长为x
cm,根据三角形的三边关系可得6-3
故选C.
1.[2020江苏徐州中考]若一个三角形的两边长分别为3
cm,6
cm,则它的第三边的长可能是
( )
A.2
cm
B.3
cm
C.6
cm
D.9
cm
答案
2.D 【解析】 因为∠A=60°,∠B=40°,所以∠C=180°-∠A-∠B=80°.因为DE∥BC,所以∠AED=∠C=80°.故选D.
2.[2020辽宁大连中考]如图,△ABC中,∠A=60°,∠B=40°,DE∥BC,则∠AED的度数是
( )
A.50°
B.60°
C.70°
D.80°
答案
3.D 【解析】 在△ABC中,一个内角等于另两个内角的差,设∠A=∠C-∠B,则∠C=∠A+∠B.因为∠A+∠B+∠C=
180°,所以2∠C=180°,所以∠C=90°,所以必有一个内角等于90°.故选D.
3.[2019浙江杭州中考]在△ABC中,若一个内角等于另两个内角的差,则
( )
A.必有一个内角等于30°
B.必有一个内角等于45°
C.必有一个内角等于60°
D.必有一个内角等于90°
答案
4.B 【解析】 如图,因为∠BCD=60°,∠BCA=45°,所以∠ACD=∠BCD-∠BCA=60°-45°=15°,所以∠α=180°-∠D-∠ACD=180°-90°-15°=75°.故选B.
4.[2020吉林中考]将一副三角尺按如图所示的方式摆放,则∠α的大小为
( )
A.85°
B.75°
C.65°
D.60°
答案
5.(答案不唯一)AD=AC(或∠D=∠C,或∠ABD=∠ABC等)
【解析】 因为∠DAB=∠CAB,AB=AB,所以当添加AD=AC时,可根据“SAS”判断△ABD≌△ABC;当添加∠D=∠C时,可根据“AAS”判断△ABD≌△ABC;当添加∠ABD=∠ABC时,可根据“ASA”判断△ABD≌△ABC.
5.[2020黑龙江齐齐哈尔中考]如图,已知在△ABD和△ABC中,∠DAB=∠CAB,点A,B,E在同一条直线上,若使△ABD≌△ABC,则还需添加的一个条件是 .(只填一个即可)?
答案
6.82° 【解析】 因为CA平分∠DCB,所以∠BCA=∠DCA.又因为CB=CD,AC=AC,所以△ABC≌△ADC(SAS),所以∠B=∠D,所以∠B+∠ACB=∠D+∠ACD.因为∠EAC=49°,所以∠CAD=180°-∠EAC=131°,所以∠D+∠ACD=49°,所以∠B+∠ACB=49°,所以∠BAE=180°-∠B-∠ACB-∠EAC=82°.
6.[2020江西中考]如图,CA平分∠DCB,CB=CD,DA的延长线交BC于点E,若∠EAC=49°,则∠BAE的度数为 .?
答案
7.【解析】 因为ED⊥AB,所以∠ADE=90°,所以∠ACB=∠ADE,
又因为∠A=∠A,BC=ED,
所以△ABC≌△AED(AAS),
所以AE=AB,AC=AD,
所以CE=BD.
7.[2020山东菏泽中考]如图,在△ABC中,∠ACB=90°,点E在AC的延长线上,ED⊥AB于点D,若BC=ED,试说明:CE=DB.
答案
8.【解析】 (1)因为AB∥DE,所以∠EAB=∠E=40°.
因为∠DAB=70°,所以∠DAE=30°.
(2)在△ADE与△BCA中,
所以△ADE≌△BCA(ASA),
所以AD=BC.
8.[2020湖北黄石中考]如图,AB=AE,AB∥DE,∠DAB=70°,∠E=40°.
(1)求∠DAE的度数.
(2)若∠B=30°,试说明:AD=BC.
答案
9.【解析】 (1)因为D是BC的中点,所以BD=CD.
在△ABD与△ECD中,
所以△ABD≌△ECD(SAS).
(2)在△ABC中,D是边BC的中点,
所以S△ACD=S△ABD=5,
因为△ABD≌△ECD,所以S△ECD=S△ABD=5,
所以S△ACE=S△ACD+S△ECD=5+5=10.
9.[2020四川宜宾中考]如图,在△ABC中,点D是边BC的中点,连接AD并延长到点E,使DE=AD,连接CE.
(1)试说明:△ABD≌△ECD;
(2)若△ABD的面积为5,求△ACE的面积.(共29张PPT)
第四章 三角形
数学·七年级下册·北师
三角形的相关知识是初中数学几何知识的基础,为今后学习轴对称等知识做了铺垫.而在几何题中经常用到构造全等三角形来证明线段相等或角相等,全等三角形是做一系列复杂几何证明题的前提.通过本章的学习,有助于培养学生的逻辑推理能力、应用意识和创新意识.第1题,利用类比思想探究角之间的关系,关注逻辑推理和几何直观;第2题,利用全等三角形探究线段之间的关系,关注应用意识和创新意识.
1.[与三角形中的重要线段有关的规律探究]在△ABC中.
(1)如图1,∠A=60°,∠ABC,∠ACB的平分线交于点P,求∠BPC的度数;
(2)如图2,∠A=60°,∠ABC,∠ACB的三等分线(即∠1=∠ABC,∠2=∠ACB)交于点P,求∠BPC的度数;
(3)如图3,∠A=x,∠ABC,∠ACB的n(n≥3)等分线(即∠ABP=∠ABC,∠ACP=∠ACB)交于点P,求∠BPC的度数.
答案
1.【解析】 (1)因为BP,CP分别为∠ABC,∠ACB的平分线,
所以2∠PBC=∠ABC,2∠PCB=∠ACB.
因为∠A+∠ABC+∠ACB=180°,
所以∠A+2∠PBC+2∠PCB=180°,
又因为∠A=60°,所以∠PBC+∠PCB=60°,
所以∠BPC=180°-(∠PBC+∠PCB)=120°.
(2)因为∠1=∠ABC,∠2=∠ACB,
所以∠PBC=∠ABC,∠PCB=∠ACB.
因为∠A+∠ABC+∠ACB=180°,
所以∠A+∠PBC+∠PCB=180°,
又因为∠A=60°,所以∠PBC+∠PCB=80°,
所以∠BPC=180°-(∠PBC+∠PCB)=100°.
答案
(3)因为∠ABC,∠ACB的n等分线相交于点P,
所以∠PBC=∠ABC,∠PCB=∠ACB,
又因为∠A=x,
所以∠PBC+∠PCB=∠ABC+
∠ACB=(∠ABC+∠ACB)=(180°-x),
所以∠BPC=180°-(∠PBC+∠PCB)=180°-(180°-x)=.
2.[有关全等三角形的开放探究]已知CD是经过∠BCA的顶点C的一条直线,CA=CB.E,F是直线CD上两点(不重合),且∠BEC=∠CFA=∠α.
(1)若直线CD经过∠BCA的内部,且E,F在射线CD上,请解决下面问题:
①若∠BCA=90°,∠α=90°,请在图1中补全图形,并说明:BE=CF,EF=|BE-AF|;
②如图2,若0°<∠BCA<180°,请添加一个关于∠α与∠BCA关系的条件: ,使①中的两个结论仍然成立;?
(2)如图3,若直线CD除C点外在∠BCA的外部,∠α=∠BCA,试猜想EF,BE,AF的数量关系.(不要求说明理由)
答案
2.【解析】 (1)①当点E在点F的左侧时,如图1所示,
因为∠α=90°,所以∠BEC=∠CFA=90°,
所以∠CBE+∠BCE=90°.
因为∠BCA=90°,所以∠BCE+∠ACF=90°,所以∠CBE=∠ACF.
在△BCE和△CAF中,
所以△BCE≌△CAF(AAS),
所以BE=CF,CE=AF,所以EF=CF-CE=BE-AF.
当点E在点F的右侧时,如图2所示,同理可得BE=CF,EF=AF-BE.
故EF=|BE-AF|.
②∠α+∠BCA=180°
当点E在点F的左侧时,
因为∠BEC=∠CFA=∠α,∠α+∠BCA=180°,
所以∠BCA=180°-∠α,∠CBE=180°-∠α-∠BCE,∠ACF=∠BCA-∠BCE,
答案
所以∠CBE=∠ACF.
在△BCE和△CAF中,
所以△BCE≌△CAF(AAS),所以BE=CF,CE=AF,所以EF=CF-CE=BE-AF.
当点E在点F的右侧时,同理可得BE=CF,EF=AF-BE.
故EF=|BE-AF|.
(2)猜想:EF=BE+AF.
由题意,知∠BEC=∠CFA=∠BCA=∠α,
因为∠EBC+∠BCE+∠BEC=180°,∠BCE+∠FCA+∠BCA=180°,
所以∠EBC=∠FCA.
在△BEC和△CFA中,
所以△BEC≌△CFA(AAS),所以AF=CE,BE=CF.
因为EF=CE+CF,所以EF=BE+AF.
答案
1.C 【解析】 解法一 因为△ABC的三个内角的比为3∶5∶2,所以可设此三角形的三个内角分别为2x°,3x°,
5x°,x>0,则2x°+3x°+5x°=180°,解得x=18,所以5x°=5×18°=90°.所以此三角形是直角三角形.故选C.
解法二 因为△ABC的三个内角的比为3∶5∶2,所以这个三角形的内角度数分别为180°×=54°,180°×=90°,
180°×=36°,所以此三角形为直角三角形.故选C.
一、选择题
1.[2020福建泉州期末]若△ABC的三个内角的比为3∶5∶2,则△ABC是
( )
A.等腰三角形
B.锐角三角形
C.直角三角形
D.钝角三角形
答案
2.D
2.[2020安徽六安裕安区期末]如图,工人师傅做了一个长方形窗框ABCD,E,F,G,H分别是四条边上的中点,为了使它更加稳固,需要在窗框上钉一根木条,这根木条不应钉在
( )
A.A,C两点之间
B.G,H两点之间
C.B,F两点之间
D.E,G两点之间
答案
3.C 【解析】 因为∠B=70°,∠C=26°,所以∠BAC=180°-∠B-∠C=84°.因为△ABC≌△ADE,所以∠DAE=∠BAC=
84°.因为∠DAC=30°,所以∠EAC=84°-30°=54°.故选C.
3.[2020山东临沂河东区期中]如图,△ABC≌△ADE,∠B=70°,∠C=26°,∠DAC=30°,则∠EAC的度数为
( )
A.27°
B.30°
C.54°
D.55°
答案
4.B 【解析】 A项,可以利用“AAS”判定△ABC≌△DEF;B项,不能判定△ABC≌△DEF;C项,可以利用“ASA”判定△ABC≌△DEF;D项,可以利用“SSS”判定△ABC≌△DEF.故选B.
4.[2020江苏南京二十九中调研]下列各组条件,不能判定△ABC≌△DEF的是
( )
A.AB=DE,∠B=∠E,∠C=∠F
B.AC=DF,BC=EF,∠A=∠D
C.AB=DE,∠A=∠D,∠B=∠E
D.AB=DE,BC=EF,AC=DF
答案
5.B 【解析】 因为AD⊥CE,BE⊥CE,所以∠ADC=∠BEC=90°,所以∠BCE+∠CBE=90°,又因为∠ACB=∠BCE+
∠DCA=90°,所以∠DCA=∠CBE.在△ACD和△CBE中,所以△ACD≌△CBE(AAS),所以CE=AD=3,
CD=BE=1,所以DE=CE-CD=3-1=2.故选B.
5.[2020广东中山期中]如图,∠ACB=90°,AC=BC,AD⊥CE,BE⊥CE.若AD=3,BE=1,则DE的长为
( )
A.1
B.2
C.3
D.4
答案
6.D 【解析】 在△AOD和△BOC中,∠A=∠B,OA=OB,∠O=∠O,所以△AOD≌△BOC(ASA),故①正确.由△AOD≌△BOC,得OD=CO,所以BD=AC.在△ACE和△BDE中,∠AEC=∠BED,∠A=∠B,AC=BD,所以△ACE≌
△BDE(AAS),故②正确.由△ACE≌△BDE,得AE=BE.连接OE,在△AOE和△BOE中,OA=OB,OE=OE,AE=BE,所以△AOE≌△BOE(SSS),所以∠AOE=∠BOE,所以点E在∠AOB的平分线上,故③正确.综上,正确的结论有3个.故选D.
6.[2020江苏连云港期中]如图,OA=OB,∠A=∠B,给出下列结论:①△AOD≌△BOC;②△ACE≌△BDE;③点E在∠O的平分线上.其中正确的个数是
( )
A.0
B.1
C.2
D.3
答案
7.85 【解析】 因为∠ADF=100°,∠EDF=30°,所以∠MDB=180°-∠ADF-∠EDF=180°-100°-30°=50°,所以∠BMD=
180°-∠B-∠MDB=180°-45°-50°=85°.
二、填空题
7.[2019广东揭阳期末]一副三角板叠在一起如图放置,最小锐角的顶点D恰好放在等腰直角三角板的斜边AB上,BC与DE交于点M.
如果∠ADF=100°,那么∠BMD为 °.?
答案
8.19 【解析】 由题意,得AB=AC+3,因为AD是△ABC的中线,所以BD=DC.因为△ABD的周长为22,所以AB+BD+
AD=AC+3+DC+AD=22,所以AC+DC+AD=19,所以△ACD的周长为19.
8.[2020江西南昌十九中月考]如图,AD是△ABC的中线,已知△ABD的周长为22,AB比AC长3,则△ACD的周长为
.?
答案
9.3 【解析】 因为CD⊥AB,所以∠A+∠ACD=90°.因为∠ACB=90°,所以∠A+∠B=90°,
所以∠B=∠ACD.因为EF⊥
AC,所以∠FEC=90°,所以∠ACB=∠FEC,又因为BC=CE,所以△ACB≌△FEC(ASA),所以AC=EF.因为EC=BC=2,EF=5,所以AE=AC-EC=5-2=3(cm).
9.[2019福建莆田期中]如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=2
cm,CD⊥AB,在AC上取一点E,使EC=BC,过点E作EF⊥AC交CD的延长线于点F,若EF=5
cm,则AE=
cm.?
答案
10.128° 【解析】 因为∠DAB=∠CAE,所以∠DAB+∠BAC=∠CAE+∠BAC,即∠DAC=∠BAE.在△DAC
和△BAE
中,所以△DAC≌△BAE(SAS),所以∠ADC=∠ABE.易知∠BOC=∠BDO+∠ABD+∠ABO=∠BDO+
∠ABD+∠ADC=180°-∠DAB,所以∠BOC=180°-52°=128°.
10.[2020湖北荆州期末]如图,AB=AD,AC=AE,∠DAB=∠CAE=52°,则∠BOC=
.?
答案
11.【解析】 (1)由a=4,b=6,及三角形的三边关系,得2所以周长x的取值范围为12(2)①因为x为小于18的偶数,
所以x=16或x=14.
当x为16时,c=6;当x为14时,c=4.
②当c=6时,b=c,△ABC为等腰三角形;
当c=4时,a=c,△ABC为等腰三角形.
综上,△ABC是等腰三角形.
三、解答题
11.[2019河北保定期中]已知a,b,c是△ABC的三边长,a=4,b=6,设三角形的周长是x.
(1)直接写出c及x的取值范围;
(2)若x是小于18的偶数,
①求c的长;
②判断△ABC的形状.
答案
12.【解析】 (1)因为∠BED=55°,所以∠BEA=125°.
因为∠ABE=15°,
所以∠BAD=180°-∠BEA-∠ABE=40°.
(2)因为AD为△ABC的中线,所以S△ABD=S△ACD=S△ABC,
因为BE为△ABD的中线,所以S△ABE=S△BED=S△ABD,
所以S△BED=S△ABC.
因为S△ABC=20,所以S△BED=BD·EF=5.
因为BD=2.5,所以EF=4.
12.[2020河北唐山路北区期中]如图,AD为△ABC的中线,BE为△ABD的中线.
(1)若∠ABE=15°,∠BED=55°,求∠BAD的度数;
(2)作△BED的边BD上的高EF,若△ABC的面积为20,BD=2.5,求EF的长度.
13.[2020安徽阜阳颍州区期末]如图1,CA=CB,CD=CE,∠ACB=∠DCE=α.
(1)试说明:BE=AD.
(2)当α=90°时,取AD,BE的中点分别为点P,Q,连接CP,CQ,PQ,如图2,判断△CPQ的形状,并说明理由.
答案
13.【解析】 (1)因为∠ACB=∠DCE=α,
所以∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD,即∠ACD=∠BCE.
在△ACD和△BCE中,
所以△ACD≌△BCE(SAS),所以BE=AD.
(2)△CPQ为等腰直角三角形.理由如下:
由(1)知BE=AD,
因为AD,BE的中点分别为点P,Q,所以AP=BQ,
由(1)知△ACD≌△BCE,所以∠CAP=∠CBQ.
在△ACP和△BCQ中,
所以△ACP≌△BCQ(SAS),所以CP=CQ,且∠ACP=∠BCQ,
又因为∠ACP+∠PCB=90°,所以∠BCQ+∠PCB=90°,所以∠PCQ=90°,
所以△CPQ为等腰直角三角形.
14.[2020广东广州期末]如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=9
cm,AC=12
cm,AB=15
cm,现有一动点P,从点A出发,沿着三角形的边AC→CB→BA运动,回到点A停止,速度为3
cm/s,设运动时间为t
s.
?
(1)如图1,当t= 时,△APC的面积等于△ABC面积的一半.?
(2)如图2,在△DEF中,∠E=90°,DE=4
cm,DF=5
cm,∠D=∠A.在△ABC的边上,若另外有一个动点Q,与点P同时从点A出发,沿着边AB→BC→CA运动,回到点A停止.在两点运动过程中的某一时刻,恰好△APQ≌△DEF,求点Q的运动速度.
答案
14.【解析】 (1)或
①当点P在BC上时,如图1,
若△APC的面积等于△ABC面积的一半,则CP=BC=
cm,
此时,点P移动的距离为AC+CP=12+(cm),
移动的时间为÷3=(s).
②当点P在BA上时,如图2,
若△APC的面积等于△ABC面积的一半,则BP=AB=
cm,
此时,点P移动的距离为AC+CB+BP=12+9+(cm),
移动的时间为÷3=(s).
综上所述,当t=或时,△APC的面积等于△ABC面积的一半.
答案
(2)△APQ≌△DEF,对应顶点为A与D,P与E,Q与F.
①当点P在AC上时,如图3所示,此时AP=4
cm,AQ=5
cm,
所以点Q移动的速度为5÷(4÷3)=(cm/s).
②当点P在AB上时,如图4所示,此时AP=4
cm,AQ=5
cm,
点P移动的距离为12+9+15-4=32(cm),点Q移动的距离为15+9+12-5=31(cm),
所以点Q移动的速度为31÷(32÷3)=(cm/s).
综上所述,点Q的运动速为
cm/s或
cm/s.(共216张PPT)
第四章 三角形
数学·七年级下册·北师
1 认识三角形
课时1 三角形及其内角和
课时1
1.下面是一位同学用三根木棒拼成的图形,其中是三角形的是
( )
答案
1.D 【解析】 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形,由此可知A,B,C不是三角形,D是三角形.故选D.
知识点1
三角形的有关概念
2.[2020北京顺义区期末]如图,以BC为边的三角形有
( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
2.C 【解析】 以BC为边的三角形有△BCE,△BAC,△DBC.故选C.
知识点1
三角形的有关概念
3.如图,在△BCE中,边BE所对的角是 ,∠CBE所对的边是 ;在△AEC中,边AE所对的角是 ,
∠AEC所对的边是 ;以∠A为内角的三角形是
.?
答案
3.∠BCE CE ∠ACE AC △ABD,△ABC,△ACE
知识点1
三角形的有关概念
4.[2019浙江绍兴中考]如图,墙上钉着三根木条a,b,c,量得∠1=70°,∠2=100°,那么木条a,b所在直线所夹的锐角是
( )
A.5°
B.10°
C.30°
D.70°
答案
4.B 【解析】 如图,因为∠2=100°,所以∠3=∠2=100°,所以木条a,b所在直线所夹的锐角为180°-∠3-∠1=180°-100°-70°=10°.故选B.
知识点2
三角形的内角和
5.[2019湖北襄阳中考]如图,直线BC∥AE,CD⊥AB于点D,若∠BCD=40°,则∠1的度数是
( )
A.60°
B.50°
C.40°
D.30°
答案
5.B 【解析】 因为CD⊥AB,∠BCD=40°,所以∠DBC=50°.因为BC∥AE,所以∠1=∠DBC=50°.故选B.
知识点2
三角形的内角和
6.[2020山东淄博中考]如图,在四边形ABCD中,CD∥AB,AC⊥BC,若∠B=50°,则∠DCA等于
( )
A.30°
B.35°
C.40°
D.45°
答案
6.C 【解析】 解法一 因为AC⊥BC,所以∠ACB=90°,又因为∠B=50°,所以∠CAB=90°-∠B=40°.因为CD∥AB,所以∠DCA=∠CAB=40°.故选C.
解法二 因为CD∥AB,∠B=50°,所以∠DCB=180°-50°=130°.因为AC⊥BC,所以∠ACB=90°,所以∠DCA=∠DCB-∠ACB=40°.故选C.
知识点2
三角形的内角和
7.如图,∠1+∠2+∠3+∠4的度数为 .?
答案
7.300° 【解析】 由题图,可知∠1+∠2=180°-30°=150°,∠3+∠4=180°-30°=150°,所以∠1+∠2+∠3+∠4=
150°+150°=300°.
知识点2
三角形的内角和
8.[2019黑龙江哈尔滨香坊区期中]如果△ABC的三个内角之比为1∶5∶3,那么△ABC中最大角的度数为 .?
答案
8.100° 【解析】 设△ABC中最小的内角为x°,则另外两角的大小分别为5x°,3x°,由题意,得x+5x+3x=180,解得x=20,所以5x=100,所以△ABC中最大角的度数为100°.
知识点2
三角形的内角和
9.[2020河北保定一模]如图,一个三角形只剩下一个角,这个三角形为
( )
A.锐角三角形
B.钝角三角形
C.直角三角形
D.以上都有可能
答案
9.B 【解析】 从题图中看到的一个角是钝角,所以这个三角形为钝角三角形.故选B.
知识点3
三角形按角的大小分类
10.[2019四川绵阳涪城区月考]在△ABC中,∠A=∠B=∠C,则△ABC是
( )
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.等边三角形
答案
10.B 【解析】 因为∠A=∠B=∠C,所以可设∠A=x,则∠B=2x,∠C=3x,由题意,得x+2x+3x=180°,所以x=30°,所以∠A=30°,∠B=60°,∠C=90°,所以△ABC是直角三角形.故选B.
知识点3
三角形按角的大小分类
11.[2019四川资阳中考]如图,l1∥l2,点O在直线l1上,若∠AOB=90°,∠1=35°,则∠2的度数为
( )
A.65°
B.55°
C.45°
D.35°
答案
11.B 【解析】 解法一 因为l1∥l2,∠1=35°,所以∠OAB=∠1=35°.因为OA⊥OB,所以∠2=∠OBA=90°-∠OAB=55°.故选B.
解法二 因为∠AOB=90°,∠1=35°,l1∥l2,所以∠OBA=180°-(∠AOB+∠1)=55°,所以∠2=∠OBA=55°.故选B.
知识点4
直角三角形的两个锐角互余
12.[2019四川成都武侯区期中]如图,已知∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足是D,则图中与∠A相等的角是
( )
A.∠1
B.∠2
C.∠B
D.∠1,∠2和∠B
答案
12.B 【解析】 因为∠ACB=90°,所以∠1+∠2=90°.因为CD⊥AB,所以△ACD是直角三角形,所以∠A+∠1=90°,所以∠A=∠2.故选B.
知识点4
直角三角形的两个锐角互余
13.如图,在△ABC中,∠C=90°,EF∥AB,分别交AC,BC于点E,F,∠CEF=50°,则∠B的度数是 .?
答案
13.40° 【解析】 因为∠C=90°,所以∠CEF+∠CFE=90°,又因为∠CEF=50°,所以∠CFE=40°.因为EF∥AB,所以∠B=∠CFE=40°.
知识点4
直角三角形的两个锐角互余
1.[2019江苏苏州期中]如图,点D在△ABC内,若∠BDC=120°,∠1+∠2=55°,则∠A的度数为
( )
A.50°
B.60°
C.65°
D.75°
答案
1.C 【解析】 因为∠D=120°,所以∠DBC+∠DCB=60°,因为∠1+∠2=55°,所以∠ABC+∠ACB=60°+55°=115°,所以∠A=180°-115°=65°.故选C.
本题主要考查三角形的内角和,求出∠ABC+∠ACB的值是解决问题的关键.
名师点睛
2.如图是一组按照某种规律摆放成的图形,则第5个图形中三角形的个数是( )
A.8
B.9
C.16
D.17
答案
2.C 【解析】 第1个图形中三角形的个数是1;第2个图形中三角形的个数是1+3=4;第3个图形中三角形的个数是1+
3+4=8;第4个图形中三角形的个数是1+3+4+4=12.由此可知,从第2个图形开始,后一个图形比前一个图形多4个三角形,因此第5个图形中三角形的个数是1+3+4+4+4=16.故选C.
3.[2020吉林长春期末]将一个三角形纸片剪开分成两个三角形,这两个三角形不可能
( )
A.都是锐角三角形
B.都是直角三角形
C.都是钝角三角形
D.是一个锐角三角形和一个钝角三角形
答案
3.A 【解析】 如图1,沿三角形一边上的高剪开即可得到两个直角三角形;如图2,钝角三角形沿虚线剪开即可得到两个钝角三角形;如图3,锐角三角形沿虚线剪开即可得到一个锐角三角形和一个钝角三角形.综上所述,将一个三角形剪成两个三角形,这两个三角形不可能都是锐角三角形.故选A.
4.[2019山东东营中考]将一副三角板(∠A=30°,∠E=45°)按如图所示方式摆放,使得BA∥EF,则∠AOF等于
( )
A.75°
B.90°
C.105°
D.115°
答案
4.A 【解析】 解法一 因为BA∥EF,∠A=30°,所以∠FCA=∠A=30°.因为∠F=∠E=45°,所以∠COF=180°-∠FCA-∠F=105°,所以∠AOF=180°-∠COF=75°.故选A.
解法二 如图,过点O作OM∥EF.因为BA∥EF,所以OM∥EF∥BA.因为∠A=30°,∠F=∠E=45°,所以∠AOM=∠A=30°,
∠FOM=∠F=45°,所以∠AOF=∠AOM+∠FOM=75°.故选A.
5.[2019广西贵港港南区期中]下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是
( )
A.∠A+∠B=∠C
B.∠A-∠B=∠C
C.∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3
D.∠A=∠B=3∠C
答案
5.D 【解析】 A项,因为∠A+∠B=∠C,所以∠A+∠B+∠C=2∠C=180°,所以∠C=90°,△ABC为直角三角形,同理,B项、C项均能得出△ABC为直角三角形;D项,因为∠A=∠B=3∠C,所以∠A+∠B+∠C=7∠C=180°,三个内角中没有直角,故不是直角三角形.故选D.
判断三角形的形状时,要先根据三角形三个内角的和等于180°求出各角的度数,然后观察三角形中最大角的度数,以此判断三角形的形状.
名师点睛
6.如图,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E等于
( )
A.90°
B.180°
C.270°
D.360°
答案
6.B 【解析】 连接CD,易得∠A+∠B=∠BDC+∠ACD,则∠A+∠B+∠ACE+∠BDE+∠E=∠ACD+∠BDC+∠ACE+
∠BDE+∠E=∠EDC+∠ECD+∠E=180°.故选B.
7.[2019江苏常州金坛区期中]如图,△ABC中,∠B=68°,∠A比∠C大28°,点D,E分别在AB,BC上,连接DE,∠DEB=42°.
(1)求∠A的度数;
(2)判断DE与AC之间的位置关系,并说明理由.
答案
7.【解析】 (1)设∠C的度数为x°,则∠A的度数为(x+28)°,
在△ABC中,∠A+∠B+∠C=180°,∠B=68°,
可得x+x+28+68=180,解得x=42,
所以∠C=42°,∠A=70°.
(2)DE∥AC.理由如下:
因为∠C=42°=∠DEB,
所以DE∥AC.
8.如图,直线AB∥CD,直线EF分别交AB,CD于点E,F,∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P.试判断△EPF的形状,并说明理由.
答案
8.【解析】 △EPF是直角三角形.理由如下:
因为AB∥CD,所以∠BEF+∠DFE=180°.
因为∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P,
所以∠PEF=∠BEF,∠PFE=∠DFE,
所以∠PEF+∠PFE=(∠BEF+∠DFE)=90°,
所以∠EPF=180°-(∠PEF+∠PFE)=180°-90°=90°,
所以△EPF是直角三角形.
9.[2019广东深圳外国语学校期中]如图1,线段AB,CD相交于点O,连接AD,CB.如图2,在图1的条件下,∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P,且与CD,AB分别相交于点M,N.试解答下列问题:
(1)在图1中,请直接写出∠A,∠B,∠C,∠D之间的数量关系;
(2)在图2中,若∠D=40°,∠B=30°,试求∠P的度数;
(3)若图2中∠D和∠B为任意锐角,其他条件不变,试写出∠P与∠D,∠B之间的数量关系,不需要说明理由.
答案
9.【解析】 (1)∠A+∠D=∠B+∠C.
因为∠A+∠D+∠AOD=180°,∠B+∠C+∠BOC=180°,
∠AOD=∠BOC,
所以∠A+∠D=∠B+∠C.
(2)由题意,得∠1+∠D=∠P+∠3,①
∠4+∠B=∠2+∠P.②
因为AP,CP分别为∠DAB和∠BCD的平分线,
所以∠1=∠2,∠3=∠4.
由①+②得∠1+∠D+∠4+∠B=∠P+∠3+∠2+∠P,
所以∠D+∠B=2∠P.
因为∠D=40°,∠B=30°,
所以2∠P=40°+30°=70°,
所以∠P=35°.
(3)∠P=(∠B+∠D).
课时2 三角形的三边关系
课时2
1.下列说法正确的是
( )
①等腰三角形是等边三角形;
②三角形按边可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形;
③等腰三角形至少有两边相等;
④三角形按角应分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形.
A.①②
B.①②③④
C.③④
D.①②④
答案
1.C 【解析】 因为有两边相等的三角形叫做等腰三角形,三边都相等的三角形叫做等边三角形,所以等腰三角形不一定是等边三角形,所以①错误;因为三角形按边可分为等腰三角形和三边都不相等的三角形,其中等腰三角形分为底边和腰不相等的等腰三角形和等边三角形,所以②错误;因为两边相等的三角形叫做等腰三角形,所以③正确;因为三角形按角分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形,所以④正确.故选C.
知识点1
三角形按边分类
2.设M表示直角三角形,N表示等腰三角形,P表示等边三角形,Q表示等腰直角三角形.下列四个选项中,能正确表示它们之间关系的是
( )
答案
2.C
知识点1
三角形按边分类
3.一个等腰三角形的周长为18,若腰长比底边长的2倍少6,求各边长.
答案
3.【解析】 设等腰三角形的底边长为x,则腰长为2x-6.
依题意,得2(2x-6)+x=18,解得x=6,
所以2x-6=2×6-6=6.
所以三角形各边长分别为6,6,6.
知识点1
三角形按边分类
4.[2019北京海淀区期末]有下列长度的三条线段,其中能组成三角形的是
( )
A.3,4,8
B.5,6,11
C.3,1,1
D.3,4,6
答案
4.D 【解析】 A项,3+4<8,不能组成三角形;B项,5+6=11,不能组成三角形;C项,1+1<3,不能组成三角形;D项,3+4>6,能组成三角形.故选D.
知识点2
三角形的三边关系
判断已知长度的三条线段能否组成三角形的方法
当三条线段的长度互不相等时,只需要验证较短的两条线段的长度之和是否大于最长的线段长度,若大于就能组成,否则就不能组成;当有两条线段的长度相等时,只需要验证相等的两条线段的长度之和是否大于另一条线段的长度,若大于就能组成,否则就不能组成;三条长度相等的线段一定可以组成一个三角形.
归纳总结
5.[2020福建漳州期末]如图,为估计池塘岸边A,B之间的距离,小方在池塘的一侧选取一点O,测得OA=15米,OB=10米,则A,B间的距离不可能是
( )
A.5米
B.10米
C.15米
D.20米
答案
5.A 【解析】 设A,B间的距离为x米,由题意,可知15-10知识点2
三角形的三边关系
6.易错题边长为整数并且最大边长是5的三角形共有
( )
A.3个
B.9个
C.11个
D.13个
答案
6.B 【解析】 三条边长都为5,这样的三角形共有1个;当两边长分别为5,5时,第三边的长度可取1,2,3,4,共4个;当两边长为5,4时,第三边的长度可取2,3,4,共3个;当两边长为5,3时,第三边的长度可取3,4,共2个;当两边长为5,2时,第三边的长度可取4,共1个;当两边长为5,1时,第三边的长度应该大于4且小于5,不存在这样的整数;去掉重合的5,4,3;5,4,2这两组,得这样的三角形共有4+3+2+1+1-2=9(个).故选B.
知识点2
三角形的三边关系
7.[2020广东珠海北大附属实验学校月考]若三角形的两边长分别是4,5,则周长C的取值范围是
( )
A.1B.9C.10D.10答案
7.D 【解析】 设该三角形第三边的长为x,则5-4知识点2
三角形的三边关系
8.[2020河南信阳期末]若三角形的两边长是3和7,且第三边的长是偶数,则第三边的长可能为 .?
答案
8.6或8 【解析】 设这个三角形的第三边的长为x,则7-3知识点2
三角形的三边关系
9.七年级(1)班的周祥说大话,被同学们开玩笑地称为“吹牛大王”.一天,他说:“我走起路来步子大,一步能走3米多.”你认为他说的对吗?请你用刚学过的数学知识分析.
答案
9.【解析】 他说的不对.
人在迈步时,两腿及两脚间的线段所组成的图形可看作三角形,若一步迈3米,由三角形的三边关系,可知腿长应在1.5米以上,则身高大约3米,显然不成立,所以他说的不对.
知识点2
三角形的三边关系
10.[2020安徽合肥瑶海区期中]已知△ABC的三边长分别为a,b,c.
(1)若a,b,c满足(a-b)2+(b-c)2=0,试判断△ABC的形状;
(2)若a=5,b=2,且c为整数,求△ABC周长的最大值及最小值.
答案
10.【解析】 (1)因为(a-b)2+(b-c)2=0,
所以a-b=0,b-c=0,所以a=b=c,
所以△ABC是等边三角形.
(2)因为a=5,b=2,
所以5-2因为c为整数,所以c=4,5,6,
所以当c=4时,△ABC的周长最小,最小值为5+2+4=11;
当c=6时,△ABC的周长最大,最大值为5+2+6=13.
知识点2
三角形的三边关系
1.[2019江苏无锡新吴区期中]有长为2
cm,3
cm,4
cm,5
cm的四根木棒,选其中的三根作为三角形的边,可以围成的三角形的个数是
( )
A.1
B.2
C.3
D.4
答案
1.C 【解析】 共有以下方案可围成三角形:①选2
cm,3
cm,4
cm三根木棒,3-2<4<3+2,能构成三角形;②选2
cm,4
cm,
5
cm三根木棒,4-2<5<4+2,能构成三角形;③选3
cm,4
cm,5
cm三根木棒,4-3<5<4+3,能构成三角形.所以可以围成的三角形的个数是3.故选C.
2.[2019湖北武汉江夏区期中]在如图所示的正方形网格中,网格线的交点称为格点.已知A,B是两格点,若C也是图中的格点,且使得△ABC为等腰三角形,则满足条件的点C的个数是
( )
A.6
B.7
C.8
D.9
答案
2.C 【解析】 如图,分情况讨论:当AB为等腰三角形ABC的底边时,符合条件的点C有4个,分别是C1,C2,C3,C4;当AB为等腰三角形ABC的腰时,符合条件的点C有4个,分别是C5,C6,C7,C8.因此满足条件的点C有8个.故选C.
3.[2019贵州遵义月考]已知三角形的三边长分别为a,b,c,化简|a-b+c|-|a-b-c|的结果为
( )
A.2a-2b
B.2a-2c
C.a-2b
D.0
答案
3.A 【解析】 因为三角形的三边长分别是a,b,c,所以a-b+c>0,a-b-c<0,所以|a-b+c|-|a-b-c|=a-b+c+a-b-c=2a-2b.故选A.
解答本题的关键是先根据三角形的三边关系判断绝对值内式子的正负,再去掉绝对值符号,最后合并同类项.
名师点睛
4.[2020浙江绍兴中考]长度分别为2,3,3,4的四根细木棒首尾相连,围成一个三角形(木棒允许连接,但不允许折断),得到的三角形的最长边长为
( )
A.4
B.5
C.6
D.7
答案
4.B 【解析】 三角形有三条边,故有两根细木棒连接成一根新的细木棒.①若长度为2,3的两根细木棒连接,则三边长分别为5,3,4,符合三角形的三边关系,围成的三角形的最长边为5;②若长度为2,4的两根细木棒连接,则三边长分别为3,3,6,不符合三角形的三边关系,不能围成三角形;③若长度为3,3的两根细木棒连接,三边长分别为2,4,6,不符合三角形的三边关系,不能围成三角形;④若长度为3,4的两根细木棒连接,三边长分别为2,3,7,不符合三角形的三边关系,不能围成三角形.综上所述,得到的三角形的最长边长为5.故选B.
5.若一个等腰三角形的周长为18
cm,一边长为7
cm,则其他两边的长为 .?
答案
5.7
cm,4
cm或
cm,
cm 【解析】 若7
cm为腰长,则另一腰长为7
cm,底边长为18-7-7=4(cm),且7+7>4;若7
cm为底边长,则腰长为(cm),且>7.故其他两边的长分别为7
cm,4
cm或
cm,
cm.
6.[2019安徽合肥瑶海区期中]在△ABC中,AB=8,且
BC=2a+2,AC=22.
(1)求a的取值范围;
(2)若△ABC为等腰三角形,求△ABC的周长.
答案
6.【解析】 (1)由题意,得22-8<2a+2<22+8,
解得6(2)因为△ABC为等腰三角形,
所以2a+2=8或2a+2=22,解得a=3或a=10.
由(1)知6所以△ABC的周长等于22+22+8=52.
7.“佳园工艺店”打算制作一批有两边长分别是7分米、3分米,第三边的长为奇数(单位:分米)的不同规格的三角形木框.
(1)满足上述条件的三角形木框共有 种;?
(2)若每种规格的三角形木框只制作1个,制作这种木框的木条的售价为8元/分米,问至少需要多少钱购买木条?(忽略接头)
答案
7.【解析】 (1)3
设三角形木框的第三边的长为x分米,则7-3(2)制作每种规格的三角形木框各1个所需木条的长为3+5+7+3+7+7+3+7+9=51(分米),
51×8=408(元).
答:至少需要408元购买木条.
8.如图,点P是△ABC内部的一点,连接PB,PC.
(1)度量线段AB,AC,PB,PC的长度,根据度量结果比较AB+AC与PB+PC的大小;
(2)改变点P的位置,上述结论还成立吗?
(3)你能说明上述结论为什么正确吗?
答案
8.【解析】 (1)经度量,AB≈1.7
cm,AC≈2.3
cm,PB≈1.4
cm,PC≈2.0
cm,
所以AB+AC>PB+PC.
(2)成立.
(3)延长BP交AC于点D.
在△ABD中,AB+AD>PB+PD,①
在△PDC中,PD+DC>PC,②
①+②,得AB+AD+PD+DC>PB+PD+PC,
所以AB+AC>PB+PC.
9.如图,有4个村庄A,B,C,D,现要建造一座水塔P.问水塔P应建在什么位置,才能使它到4个村庄的距离之和最小.请你找出水塔P的位置,并说明理由.
答案
9.【解析】 水塔P应建在AC和BD的交点处,这样能使它到4个村庄的距离之和最小.理由如下:
连接AC,BD交于点P,不妨任取一点P'(不与点P重合),连接AP',BP',CP',DP',
在△AP'C中,AP'+CP'>AC=AP+CP,①
在△BP'D中,BP'+DP'>BD=BP+DP,②
①+②,得AP'+BP'+CP'+DP'>AP+BP+CP+DP,
所以AC和BD的交点到4个村庄的距离之和最小,所以水塔P应建在AC和BD的交点处.
课时3 三角形的中线、角平分线和高线
课时3
1.如图,D为AC
上一点,AD=DC,E为BC上一点,BE=EC,则下列说法不正确的是
( )
A.DE是△BDC的中线
B.BD是△ABC的中线
C.D为AC的中点,E为BC的中点
D.DE是△ABC的中线
答案
1.D 【解析】 因为BE=EC,所以DE是△BDC的中线,所以选项A说法正确,选项D说法不正确;因为AD=DC,所以BD是△ABC的中线,所以选项B说法正确;因为AD=DC,所以D为AC的中点,因为BE=EC,所以E为BC的中点,所以选项C说法正确.故选D.
知识点1
三角形的中线及重心
2.如图,已知BD是△ABC的中线,AB=5,BC=3,则△ABD和△BCD的周长的差为
( )
A.2
B.3
C.6
D.不能确定
答案
2.A 【解析】 因为BD是△ABC的中线,所以AD=CD,所以△ABD和△BCD的周长的差为(AB+BD+AD)-(BC+BD+CD)=AB-BC=5-3=2.故选A.
知识点1
三角形的中线及重心
三角形中线的作用
一是一条中线平分一条边;二是一条中线将三角形分成面积相等的两个三角形(等底同高).本题考查三角形的周长问题,解题的关键是中线将三角形的一边平分.
归纳总结
3.如图,已知点P是△ABC的重心,连接AP,并延长交BC于点D.若△ABC的面积为20,则△ADC的面积为 .?
答案
3.10 【解析】 因为点P是△ABC的重心,所以AD是△ABC的中线,所以△ADC的面积等于△ABC面积的一半,又因为△ABC的面积为20,所以△ADC的面积为10.
知识点1
三角形的中线及重心
4.[2020河南许昌期中]如图,△ABC中(AB>BC),AB=2AC,AC边上的中线BD把△ABC的周长分成30和20两部分,求AB和BC的长.
答案
4.【解析】 设AC=x,则AB=2x.
因为BD是AC边上的中线,所以AD=DC=x.
由题意,得2x+x=30,解得x=12.
所以AC=12,AB=24,
所以BC=20-×12=14.
知识点1
三角形的中线及重心
5.[2020辽宁锦州中考]如图,在△ABC中,∠A=30°,∠B=50°,CD平分∠ACB,则∠ADC的度数是
( )
A.80°
B.90°
C.100°
D.110°
答案
5.C 【解析】 因为∠A=30°,∠B=50°,所以∠ACB=180°-30°-50°=100°.因为CD平分∠ACB,所以∠ACD=∠BCD=
∠ACB=×100°=50°,所以∠ADC=180°-∠A-∠ACD=180°-30°-50°=100°.故选C.
知识点2
三角形的角平分线
6.[2019湖北武汉武昌区模拟]如图,在△ABC中,AD⊥BC于点D,AE平分∠BAC交BC于点E.若∠1=30°,∠2=20°,则∠B的度数为 .?
答案
6.50° 【解析】 因为AE平分∠BAC,∠1=30°,所以∠CAE=∠1=30°,所以∠DAE=∠CAE-∠2=10°,所以∠BAD=∠1+
∠DAE=40°.因为AD⊥BC,所以∠ADB=90°,所以∠B=180°-∠BAD-∠ADB=50°.
知识点2
三角形的角平分线
7.如图,已知AE平分∠BAC,且∠1=∠2=∠4=15°,计算∠3的度数,并说明AE是△DAF的角平分线.
答案
7.【解析】 因为AE平分∠BAC,所以∠BAE=∠CAE.
因为∠1=∠2=15°,所以∠BAE=∠1+∠2=15°+15°=30°,
所以∠CAE=∠4+∠3=30°,
又因为∠4=15°,所以∠3=15°,
所以∠2=∠3=15°,所以AE是△DAF的角平分线.
知识点2
三角形的角平分线
8.[2020湖南永州期中]下列图形中AD是△ABC的高的是
( )
答案
8.D
知识点3
三角形的高
9.[2019江苏苏州姑苏区期中]如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点,那么这个三角形是
( )
A.直角三角形
B.锐角三角形
C.钝角三角形
D.任意三角形
答案
9.A 【解析】 因为直角三角形的直角所在的顶点正好是三条高的交点,所以可以得出这个三角形是直角三角形.故选A.
知识点3
三角形的高
锐角三角形的三条高在三角形内部,相交于三角形内一点;直角三角形有两条高与直角边重合,另一条高在三角形内部,它们的交点是直角顶点;钝角三角形有两条高在三角形外部,一条高在三角形内部,三条高所在的直线相交于三角形外一点.
名师点睛
10.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠1=∠B.
(1)试说明CD是△ABC的高;
(2)如果AC=8,BC=6,AB=10,求CD的长.
答案
10.【解析】 (1)因为∠ACB=∠1+∠BCD=90°,∠1=∠B,
所以∠B+∠BCD=90°,
所以∠CDB=180°-90°=90°,所以CD⊥AB,
所以CD是△ABC的高.
(2)因为∠ACB=∠CDB=90°,
所以S△ABC=AC·BC=AB·CD,
又因为AC=8,BC=6,AB=10,
所以CD=.
知识点3
三角形的高
1.[2020天津南开区期末]如图,AC⊥BC于C,CD⊥AB于D,图中可以作为三角形高的线段有
( )
A.1条
B.2条
C.3条
D.5条
答案
1.D 【解析】 可以作为△ACD的高的有AD,CD,共2条;可以作为△BCD的高的有BD,CD,共2条;可以作为△ABC的高的有BC,AC,CD,共3条.综上所述,可以作为三角形高的线段有AD,CD,BD,BC,AC,共5条.故选D.
2.原创题将一副直角三角板按如图所示的方式放置,若AD平分∠CAB,则∠1的度数为
( )
A.15°
B.30°
C.
45°
D.60°
答案
2.D 【解析】 解法一 如图,因为AD平分∠CAB,∠CAB=90°,所以∠CAD=
45°,
又因为∠C=45°,所以∠COA=90°,所以∠COD=90°,所以∠1=∠BPD=180°-∠COD-
∠D=180°-90°-30°=60°.
解法二 因为AD平分∠CAB,∠CAB=90°,所以∠CAD=∠DAB=45°,所以∠EAC=
∠EAD-∠CAD=90°-45°=45°.又因为∠C=45°,所以∠EAC=∠C,所以BC∥AE,所以∠1=∠E=60°.
3.[2019四川成都金牛区期中]如图,在△ABC中,∠1=∠2,G为AD的中点,连接BG并延长交AC于点E,CF⊥AD分别交AD,
AB于点H,F.给出下列判断,其中正确的个数是
( )
①BG是△ABD中边AD上的中线;②AD既是△ABC中∠BAC的平分线,也是△ABE中∠BAE的平分线;③CH既是△ACD中AD边上的高线,也是△ACH中AH边上的高线.
A.0
B.1
C.2
D.3
答案
3.D 【解析】 ①因为G为AD的中点,所以BG是△ABD中边AD上的中线,故①正确;②因为∠1=∠2,所以AD既是△ABC中∠BAC的平分线,也是△ABE中∠BAE的平分线,故②正确;③因为CF⊥AD于点H,所以CH既是△ACD中AD边上的高线,也是△ACH中AH边上的高线,故③正确.故选D.
4.[2020浙江温州期中]如图,在△ABC中,已知点D,E,F分别为BC,AD,CE的中点,且S△ABC=8
cm2,则图中阴影部分(△BEF)的面积等于
( )
A.1
cm2
B.2
cm2
C.4
cm2
D.6
cm2
答案
4.B 【解析】 因为点E是AD的中点,所以S△ABE=S△ABD,S△ACE=S△ADC,所以S△ABE+S△ACE=S△ABC=×8=4(cm2),所以S△BCE=8-4=4(cm2).因为点F是CE的中点,所以S△BEF=S△BCE=×4=2(cm2).故选B.
本题考查了三角形面积的求法,解题的关键是掌握三角形的一条中线把三角形分成面积相等的两个三角形,其数学原理为等底同高的两个三角形面积相等.
名师点睛
5.易错题已知AD是△ABC的一条高,如果∠BAD=65°,∠CAD=30°,那么∠BAC的度数为 .?
答案
5.95°或35° 【解析】 当AD在△ABC内部时,如图1,∠BAC=∠BAD+∠CAD=65°+30°=95°;当AD在△ABC外部时,如图2,∠BAC=∠BAD-∠CAD=65°-30°=35°.综上,∠BAC的度数为95°或35°.
6.如图,在钝角三角形ABC中.
(1)作出钝角三角形ABC的高AM,CN;
(2)若CN=3,AM=6,求BC与AB的比值.
答案
6.【分析】 (1)过点A作AM⊥BC交BC的延长线于点M,过点C作CN⊥AB于点N,则AM,CN为△ABC的高;(2)根据三角形的面积公式得到AM·BC=CN·AB,再利用等式的性质求BC与AB的比值.
【解析】 (1)如图,AM,CN即所求.
(2)因为AM,CN为△ABC的高,
所以S△ABC=AM·BC=CN·AB,
所以AM·BC=CN·AB.
因为CN=3,AM=6,所以6BC=3AB,所以.
7.[2020江苏泰州姜堰区期中]如图,在△ABC中,AE为边BC上的高,点D为边BC上的一点,连接AD.
(1)当AD为边BC上的中线时,若AE=4,△ABC的面积为24,求CD的长;
(2)当AD为∠BAC的平分线时.
①若∠B=35°,∠C=65°,求∠DAE的度数;
②若∠C-∠B=20°,则∠DAE= °.?
答案
7.【解析】 (1)因为AE为边BC上的高,AE=4,△ABC的面积为24,
所以BC×AE=24,所以BC=12.
因为AD是边BC上的中线,所以CD=BC=6.
(2)①因为∠B=35°,∠C=65°,
所以∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-35°-65°=80°.
因为AD平分∠BAC,所以∠BAD=∠BAC=40°.
因为AE⊥BC,所以∠AEB=90°,
所以∠BAE=90°-∠B=55°,
所以∠DAE=∠BAE-∠BAD=55°-40°=15°.
②10
由①可得∠DAE=∠BAE-∠BAD=90°-∠B-(180°-∠B-∠C)=(∠C-∠B)=10°.
8.在△ABC中,∠ACB>∠ABC,AD平分∠BAC.
(1)如图1,过点B作BE⊥AD交AD的延长线于点E,则∠ABE与(∠ACB+∠ABC)有何大小关系?请说明理由.
(2)如图2,过点C作CF⊥AD于点F,则∠DCF与∠ACB,∠ABC有怎样的数量关系?写出你的结论(不用说明理由).
(3)如图3,过点A作AM⊥BC于点M,则∠DAM与∠ACB,∠ABC有怎样的数量关系?写出你的结论(不用说明理由).
答案
8.【解析】 (1)∠ABE=(∠ACB+∠ABC).理由如下:
在△ABE中,BE⊥AD,所以∠E=90°.
因为AD平分∠BAC,所以∠BAD=∠BAC,
所以∠ABE=180°-∠E-∠BAD=90°-∠BAC.
在△ABC中,∠BAC=180°-∠ACB-∠ABC,
所以∠ABE=90°-(180°-∠ACB-∠ABC)=(∠ACB+∠ABC).
(2)∠DCF=(∠ACB-∠ABC).
(3)∠DAM=(∠ACB-∠ABC).
专项4 三角形中三条重
要线段的应用
1.易错题已知一个三角形的三边长之比为3∶4∶5,则这三条边上的高之比为( )
A.3∶4∶5
B.5∶4∶3
C.20∶15∶12
D.5∶4∶1
答案
1.C 【解析】 由三边长之比为3∶4∶5,3,4,5的最小公倍数为60,再结合同一个三角形的面积相等,得这三边上的高之比为20∶15∶12.故选C.
2.[2019山东枣庄模拟]如图,△ABC中,AD是BC边上的高,AE,BF分别是∠BAC,∠ABC的平分线,∠BAC=50°,∠ABC=60°,则∠EAD+∠ACD=( )
A.75°
B.80°
C.85°
D.90°
答案
2.A 【解析】 根据三角形内角和定理,得∠ACD=180°-(∠BAC+∠ABC)=70°.因为AD是BC边上的高,所以∠ADC=
90°,所以∠CAD=90°-∠ACD=20°.因为AE是∠BAC的平分线,所以∠CAE=∠BAC=25°,所以∠EAD=∠CAE-∠CAD=
25°-20°=5°,所以∠EAD+∠ACD=5°+70°=75°.故选A.
3.[2020天津西青区期末]如图,AD是△ABC的高,BE平分∠ABC交AD于点E.若∠C=76°,∠BED=64°,求∠BAC的度数.
答案
3.【解析】 因为AD是△ABC的高,∠BED=64°,
所以∠EBD=180°-90°-64°=26°.
因为BE平分∠ABC,
所以∠ABC=2∠EBD=52°.
所以∠BAC=180°-∠ABC-∠C=180°-52°-76°=52°.
4.[2020广东深圳福田区期末]如图,AD为△ABC的中线,BE为△ABD的中线.
(1)若∠ABE=15°,∠BAD=35°,求∠BED的度数;
(2)作△BED中BD边上的高;
(3)若△ABC的面积为60,BD=5,求点E到BC边的距离.
答案
4.【解析】 (1)因为∠ABE=15°,∠BAD=35°,
所以∠BEA=180°-15°-35°=130°,
所以∠BED=180°-130°=50°.
(2)如图所示,EF即△BED的边BD上的高.
(3)因为AD为△ABC的中线,BE为△ABD的中线,
所以S△ABD=S△ABC,S△BED=S△ABD,
所以×60=15.
因为BD=5,S△BED=EF·BD,所以EF==6,
即点E到BC边的距离为6.
5.在△ABC中,∠C>∠B,AE平分∠BAC,F为射线AE上一点(不与点E重合),且FD⊥BC于点D.
(1)如图1,当点F与点A重合,且∠C=50°,∠B=30°时,求∠EFD的度数,并直接写出∠EFD与(∠C-∠B)之间的数量关系.
(2)如图2,当点F在线段AE上(不与点A重合)时,∠EFD与∠C-∠B有怎样的数量关系?并说明理由.
(3)当点F在△ABC外部时,在图3中画出符合题意的图形,并直接写出∠EFD与∠C-∠B的数量关系.
答案
5.【解析】 (1)因为∠B=30°,∠C=50°,
所以∠BAC=180°-∠B-∠C=100°.
因为AE是∠BAC的平分线,
所以∠CAE=∠BAC=50°.
因为FD⊥BC,所以∠FDC=90°,
答案
又因为∠C=50°,所以∠CAD=180°-90°-50°=40°,
所以∠EFD=∠CAE-∠CAD=50°-40°=10°.
∠EFD=(∠C-∠B).
(2)∠EFD=(∠C-∠B).理由如下:
如图1,过点A作AM⊥BC于点M,
因为∠BAC+∠B+∠C=180°,所以∠BAC=180°-∠B-∠C.
因为AE是∠BAC的平分线,
所以∠CAE=∠BAC=90°-(∠B+∠C).
因为AM⊥BC,所以∠AMC=90°,
所以∠CAM=180°-90°-∠C=90°-∠C,
所以∠EAM=∠CAE-∠CAM=[90°-(∠B+∠C)]-(90°-∠C)=(∠C-∠B).
因为AM⊥BC,FD⊥BC,所以AM∥FD,
所以∠EFD=∠EAM=(∠C-∠B).
答案
(3)符合题意的图形如图2所示,∠EFD=(∠C-∠B).
如图2,过点A作AN⊥BC于点N,
由(2)可知,∠EAN=(∠C-∠B).
因为AN⊥BC,FD⊥BC,所以AN∥FD,
所以∠EFD=∠EAN=(∠C-∠B).
2 图形的全等
1.[2019湖南邵阳期中]下列各组图形是全等图形的是
( )
答案
1.D 【解析】 能够完全重合的两个图形称为全等图形.结合选项,知只有D项中的两个图形能够完全重合.故选D.
知识点1
全等图形
判断两个图形是不是全等图形的方法
通过平移、翻折、旋转等方法,将两个图形叠合在一起观察是否完全重合,若重合,则是全等图形,否则不是.有时还可以借助网格背景来观察比较.
归纳总结
2.下列说法不正确的是
( )
A.用一张底片冲洗出来的10张一寸照片是全等图形
B.我国国旗上的4颗小五角星是全等图形
C.全等图形的面积一定相等
D.所有的正方形都是全等图形
答案
2.D 【解析】 根据全等图形的概念,知A,B,C项说法正确;因为所有的正方形的边长不一定都相等,所以它们不一定是全等图形,故D项说法不正确.故选D.
知识点1
全等图形
3.若如图所示的两个三角形能够完全重合,则下列说法正确的是
( )
A.△ABE≌△AFB
B.△ABE≌△ABF
C.△ABE≌△FBA
D.△ABE≌△FAB
答案
3.B 【解析】 观察题中图形可知,两个三角形的对应顶点分别是点A与点A、点B与点B、点E与点F,所以△ABE≌
△ABF.故选B.
知识点2
全等三角形的概念及表示方法
4.如图,已知△ABE≌△ACD,∠AEB=∠ADC,∠B=∠C,指出对应边和其他的对应角.
答案
4.【解析】 因为△ABE≌△ACD,所以这两个三角形的对应边为AB与AC,AE与AD,BE与CD,其他的对应角为∠BAE与∠CAD.
知识点2
全等三角形的概念及表示方法
确定全等三角形对应元素的方法
(1)全等三角形对应角所对的边是对应边,两对对应角所夹的边是对应边;(2)全等三角形对应边所对的角是对应角,两组对应边所夹的角是对应角;(3)全等三角形中有公共边的,公共边一定是对应边;(4)全等三角形中有公共角的,公共角一定是对应角;(5)全等三角形中有对顶角的,对顶角一定是对应角;(6)两个全等三角形中,一对最长的边(或最大的角)是对应边(或对应角),一对最短的边(或最小的角)是对应边(或对应角).
归纳总结
5.[2020广东珠海香洲区期末]如图,△ABC≌△ADE,∠B=20°,∠C=110°,则∠EAD的度数为
( )
A.50°
B.20°
C.110°
D.70°
答案
5.A 【解析】 因为∠B=20°,∠C=110°,所以∠CAB=180°-20°-110°=50°.因为△ABC≌△ADE,所以∠EAD=∠CAB=
50°.故选A.
知识点3
全等三角形的性质
6.[2020山东淄博中考]如图,若△ABC≌△ADE,则下列结论中一定成立的是
( )
A.AC=DE
B.∠BAD=∠CAE
C.AB=AE
D.∠ABC=∠AED
答案
6.B 【解析】 因为△ABC≌△ADE,所以AC=AE,AB=AD,∠ABC=∠ADE,∠BAC=∠DAE,所以∠BAC-∠DAC=
∠DAE-∠DAC,即∠BAD=∠CAE.由题中所给条件无法得到A,C,D选项中的结论,B选项一定成立.
故选B.
知识点3
全等三角形的性质
7.[2020湖南长沙明德教育集团期中]已知△ABC≌△DEF,△ABC的周长为12,AC=3,EF=4,则AB= .?
答案
7.5 【解析】 因为△ABC≌△DEF,所以BC=EF=4.因为△ABC的周长为12,所以AB+BC+AC=12,所以AB=12-3-4=5.
知识点3
全等三角形的性质
8.已知△ABC≌△DEF,BC=6
cm,△ABC的面积是18
cm2,则EF边上的高是 cm.?
答案
8.6 【解析】 因为△ABC≌△DEF,BC=6
cm,△ABC的面积是18
cm2,所以EF=BC=6
cm,△DEF的面积是18
cm2,由三角形的面积公式,得EF边上的高为6
cm.
知识点3
全等三角形的性质
9.如图,△ABC≌△DEF,且点B,E,C,F在同一条直线上.
(1)试说明:AC∥DF.
(2)若∠D+∠F=90°,试判断AB与BC的位置关系,并说明理由.
答案
9.【解析】 (1)因为△ABC≌△DEF,
所以∠ACB=∠F,
所以AC∥DF.
(2)AB⊥BC.理由如下:
在△DEF中,∠D+∠F=90°,所以∠DEF=90°.
因为△ABC≌△DEF,
所以∠B=∠DEF=90°,
所以AB⊥BC.
知识点3
全等三角形的性质
10.[2020四川眉山期末]如图,已知△ABC≌△DEB,点E在AB上,DE与AC相交于点F.
(1)当DE=8,BC=5时,求线段AE的长.
(2)已知∠D=35°,∠C=60°,求∠DBC的度数.
答案
10.【解析】 (1)因为△ABC≌△DEB,DE=8,BC=5,
所以AB=DE=8,BE=BC=5.
所以AE=AB-BE=8-5=3.
(2)因为△ABC≌△DEB,
所以∠A=∠D=35°,∠DBE=∠C=60°.
因为∠A+∠ABC+∠C=180°,
所以∠ABC=180°-∠A-∠C=85°.
所以∠DBC=∠ABC-∠DBE=85°-60°=25°.
知识点3
全等三角形的性质
1.[2020江西南昌十九中月考]如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,D,E分别是AC,BC上的点.若△ADB≌△EDB≌△EDC,则∠C的度数是
( )
A.15°
B.20°
C.25°
D.30°
答案
1.D 【解析】 因为△ADB≌△EDB≌△EDC,所以∠ABD=∠EBD=∠C.因为∠BAC=90°,所以∠ABD+∠EBD+
∠C=90°,即3∠C=90°,所以∠C=30°.故选D.
2.[2020河南周口期末]如图,在△ABC和△A'B'C中,△ABC≌△A'B'C,AA'∥BC,∠ACB=α,∠BCB'=β,则α,β满足关系
( )
A.α+β=90°
B.α+2β=180°
C.2α+β=180°
D.α+β=180°
答案
2.C 【解析】 因为△ABC≌△A'B'C,所以AC=A'C,易得∠AA'C=∠A'AC.因为AA'∥BC,所以∠A'AC=∠ACB=α,所以∠AA'C=∠A'AC=α,所以∠BCB'=∠ACA'=180°-∠A'AC-∠AA'C=180°-2α=β,所以2α+β=180°.故选C.
3.已知△ABC≌△DEF,AB=2,BC=4.若△DEF的周长为偶数,则DF的长为
( )
A.3
B.4
C.5
D.3,4或5
答案
3.B 【解析】 因为△ABC≌△DEF,AB=2,BC=4,所以DE=AB=2,EF=BC=4,所以4-2EF=4,△DEF的周长为偶数,所以DF的长为偶数,所以DF=4.故选B.
4.[2020江苏镇江市外国语学校月考]已知△ABC的三边长分别为3,5,7,△DEF的三边长分别为3,3x-2,2x-1.若这两个三角形全等,则x为
( )
A.
B.4
C.3
D.2
答案
4.C 【解析】 因为△ABC与△DEF全等,所以3x-2=5,2x-1=7或3x-2=7,2x-1=5.当3x-2=5,2x-1=7时,x不存在;当3x-2=7,
2x-1=5时,x=3.故选C.
5.[2020福建莆田期末]如图,在孔雀开屏般漂亮的4×4正方形网格中,∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7= .?
答案
5.315°
【解析】 由题意,得△AEF≌△LBA,所以∠7=∠EAF.
所以∠1+∠7=90°.同理可得∠2+∠6=90°,∠3+∠5=
90°,易知∠4=45°,所以∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=90°+90°+90°+45°=315°.
6.如图,请分别画两条直线,把这个“+”图案分成四个全等的图形.
答案
6.【解析】 如图所示.(答案不唯一)
7.[2019北京海淀区期末]如图,已知△ABC≌△ADE,∠DAE=80°,∠C=30°,∠DAC=35°,AC,DE交于点F,求∠CFE的度数.
答案
7.【解析】 因为∠DAE=80°,∠DAC=35°,
所以∠FAE=∠DAE-∠DAC=45°.
因为△ABC≌△ADE,所以∠E=∠C=30°,
所以∠CFE=180°-∠AFE=180°-(180°-∠FAE-∠E)=75°.
8.[2020河南南阳期末]如图,已知△ABF≌△CDE.
(1)若∠B=30°,∠DCF=45°,求∠EFC的度数;
(2)若BD=10,EF=2,求BF的长.
答案
8.【解析】 (1)因为△ABF≌△CDE,所以∠D=∠B=30°,
又因为∠DCF=45°,
所以∠DFC=180°-∠D-∠DCF=105°,
所以∠EFC=180°-∠DFC=75°.
(2)由△ABF≌△CDE,可知BF=DE,
所以BF-EF=DE-EF,所以BE=DF,
又因为BD=10,EF=2,
所以BE=(BD-EF)=×(10-2)=4,
所以BF=BE+EF=4+2=6.
9.[2019湖南常德鼎城区期中]如图,A,D,E三点在同一直线上,且△BAD≌△ACE.
(1)试说明:BD=DE+CE.
(2)△ABD满足什么条件时,BD∥CE?
答案
9.【解析】 (1)因为△BAD≌△ACE,所以BD=AE,AD=CE,
所以BD=AE=AD+DE=CE+DE,即BD=DE+CE.
(2)△ABD满足∠ADB=90°时,BD∥CE.理由如下:
当∠ADB=90°时,∠BDE=180°-90°=90°.
因为△BAD≌△ACE,所以∠E=∠ADB=90°,
所以∠BDE=∠E,所以BD∥CE.
解答探究条件类题目的方法
可先猜想出条件,利用猜想的条件推出题目的结论;也可先将题目中的结论当作条件进行推理,推出题目中要探究的条件.
归纳总结
3 探索三角形全等的条件
课时1 三角形全等的条件——边边边
课时1
1.如图,下列三角形中,与△ABC全等的是
( )
A.①
B.②
C.③
D.④
答案
1.C 【解析】 根据三边分别相等的两个三角形全等,可知与△ABC全等的是③.故选C.
知识点1
“边边边”(SSS)
2.如图,在△ABC和△FED中,AC=FD,BC=ED,要利用“SSS”判定△ABC≌△FED,给出下面4个条件:①AE=FB,②AB=FE,③AE=BE,④BF=BE.符合要求的是
( )
A.①②
B.②③
C.①③
D.①④
答案
2.A 【解析】 由题意,得要用“SSS”判定△ABC≌△FED,还需要AB=FE,故②符合题意;若AE=FB,则可得AE+BE=
FB+BE,即AB=FE,故①符合题意;由AE=BE或BF=BE,均不能得出AB=FE,故③④不符合题意.故选A.
知识点1
“边边边”(SSS)
3.如图,在△ABC中,AB=AC,点E,D,F是BC边的四等分点,AE=AF,则图中全等三角形共有
( )
A.1对
B.2对
C.3对
D.4对
答案
3.D 【解析】 在△ABD和△ACD中,所以△ABD≌△ACD(SSS);同理可得△ADE≌△ADF;
在△ABF和△ACE中,所以△ABF≌△ACE(SSS);在△ABE和△ACF中,所以△ABE≌
△ACF(SSS).因此共有4对全等三角形.故选D.
知识点1
“边边边”(SSS)
4.如图,AB=AD,BE=DE,应用“SSS”可判定△ ≌△ .?
答案
4.ABE ADE 【解析】 在△ABE和△ADE中,所以△ABE≌△ADE(SSS).
知识点1
“边边边”(SSS)
5.[2020吉林白山期中]如图,已知点A,E,F,C在同一条直线上,AB=CD,BF=DE,AE=CF.
试说明:△ABF≌△CDE.
答案
5.【解析】 因为AE=CF,
所以AE+EF=CF+EF,即AF=CE.
在△ABF和△CDE中,
所以△ABF≌△CDE(SSS).
知识点1
“边边边”(SSS)
6.[2020广东潮州潮安区月考]如图,在△ABC和△DBC中,已知AB=DB,AC=DC,则下列结论中不一定正确的是
( )
A.△ABC≌△DBC
B.∠A=∠D
C.CB是∠ACD的平分线
D.∠A=∠BCD
答案
6.D 【解析】 在△ABC和△DBC中,所以△ABC≌△DBC(SSS),所以∠A=∠D,∠ACB=∠DCB,所以CB
是∠ACD的平分线.由已知条件判断不出∠A=∠BCD.故选D.
知识点2
“边边边”的运用
7.如图,已知AB=DC,AC=DB,试说明:∠A=∠D.
知识点2
“边边边”的运用
利用全等三角形说明角相等的一般思路
①观察图形,找出要说明的角在哪两个可能全等的三角形中;②分析欲说明全等的两个三角形,已知什么条件,还缺什么条件;③设法得到所缺条件.若这样的三角形找不到,则要考虑添加适当的辅助线,构造出全等的三角形.
知识点2
“边边边”的运用
归纳总结
答案
7.【解析】 如图,连接BC.
在△ABC和△DCB中,
所以△ABC≌△DCB(SSS),
所以∠A=∠D.
8.如图,在四边形ABCD中,已知AB=CD,AD=CB,判断∠A与∠C的关系,并说明理由.
知识点2
“边边边”的运用
答案
8.【解析】 ∠A=∠C.理由如下:
如图,连接BD.
在△BAD和△DCB中,
所以△BAD≌△DCB(SSS),所以∠A=∠C.
知识点2
“边边边”的运用
“全等三角形的对应角相等”是说明角相等的重要方法,当两个角不在两个三角形中时,可适当添加辅助线构造两个三角形,再说明它们全等.在利用“边边边”判定三角形全等时,若所给相等的边不是要判定的三角形的边,往往利用等式的性质,在相等线段的两边加上或减去同一(或相等)线段,转化为两个三角形的边.
名师点睛
9.[2019湖南株洲期末]在实际生活中,我们经常利用一些几何图形的稳定性或不稳定性,下列实物图中利用了稳定性的是
( )
答案
9.C
知识点3
三角形的稳定性
10.当空调安装在墙上时,一般都会用如图所示的方法固定在墙上.这种方法应用的数学知识是 .?
答案
10.三角形的稳定性
知识点3
三角形的稳定性
1.[2019江苏常州期中]如图,在四边形ABCD中,E是BC的中点,连接AC,AE.若AB=AC,AE=CD,AD=CE,则图中的全等三角形有( )
A.0对
B.1对
C.2对
D.3对
答案
1.D 【解析】 在△ABE和△ACE中,所以△ABE≌△ACE(SSS);在△ACE和△CAD中,所以
△ACE≌△CAD(SSS),所以△ABE≌△CAD.故选D.
2.[2019河北唐山开平区一模]如图是一个五边形木架,要保证它不变形,至少要再钉上木条的根数为
( )
A.4
B.3
C.2
D.1
答案
2.C 【解析】 如图,要保证它不变形,至少还要再钉上2根木条.故选C.
3.如图,B,C,E三点在同一直线上,且AB=AD,AC=AE,BC=DE.若∠1+∠2+∠3=94°,则∠3的度数为
( )
A.49°
B.47°
C.45°
D.43°
答案
3.B 【解析】 在△ABC和△ADE中,所以△ABC≌△ADE(SSS),所以∠ABC=∠1,∠BAC=∠2.因为∠3+
∠ACB=180°=∠ABC+∠BAC+∠ACB,所以∠3=∠ABC+∠BAC,所以∠3=∠1+∠2.因为∠1+∠2+∠3=94°,所以2∠3=
94°,所以∠3=47°.故选B.
4.[2020湖南怀化中考]如图,在△ABC和△ADC中,AB=AD,BC=DC,∠B=130°,则∠D= °.?
答案
4.130 【解析】 因为在△ADC和△ABC中,所以△ADC≌△ABC(SSS).所以∠D=∠B=130°.
5.如图,在五边形ABCDE中,AC=AD,AB=DE,BC=EA,∠CAD=60°,∠B=110°,则∠BAE的度数是 .?
答案
5.130° 【解析】 在△ABC和△DEA中,
所以△ABC≌△DEA(SSS),所以∠BCA=∠DAE.因为∠B+
∠BAC+∠BCA=180°,且∠B=110°,所以∠BAC+∠BCA=70°,所以∠BAC+∠DAE=70°,所以∠BAE=∠BAC+∠CAD+
∠DAE=130°.
6.[2019重庆万州区期中]如图,C,E分别为△ABD的边BD,AB上的点,且AE=AD,CE=CD,∠D=70°,∠ECD=150°,求∠B的度数.
答案
6.【解析】 如图,连接AC.
在△AEC和△ADC中,
所以△AEC≌△ADC(SSS),
所以∠AEC=∠D=70°,所以∠BEC=180°-70°=110°,
因为∠ECD=150°,所以∠BCE=180°-∠ECD=180°-150°=30°.
所以∠B=180°-∠BEC-∠BCE=180°-110°-30°=40°.
7.[2019陕西西安莲湖区期末]如图,点A,D,C,F在同一条直线上,AD=CF,AB=DE,BC=EF.
(1)试说明:△ABC≌△DEF.
(2)若∠A=55°,∠B=88°,求∠F的度数.
答案
7.【解析】 (1)因为AC=AD+DC,DF=DC+CF,AD=CF,
所以AC=DF.
在△ABC和△DEF中,
所以△ABC≌△DEF(SSS).
(2)因为△ABC≌△DEF,所以∠F=∠ACB.
因为∠A=55°,∠B=88°,
所以∠ACB=180°-(∠A+∠B)=180°-(55°+88°)=37°,
所以∠F=∠ACB=37°.
8.某种雨伞的截面图如图所示,当O沿AD滑动时,雨伞合拢.雨伞合拢的过程中,要求保持∠BAD=∠CAD.给出下面的设计:伞骨AB=AC,支撑杆OE=OF,AE=AB,AF=AC.你认为这样设计能达到要求吗?请说明理由.
答案
8.【解析】 能达到要求.理由如下:
因为AE=AB,AF=AC,AB=AC,所以AE=AF.
在△AEO和△AFO中,
所以△AEO≌△AFO(SSS),所以∠BAD=∠CAD,
所以这样设计能达到要求.
9.工人师傅要检查人字梁的∠B和∠C是否相等,但他手边没有量角器,只有一个卷尺.他通过如下操作:①分别在BA和CA上取BE=CG;②在BC上取BD=CF;③测量出DE的长为a米,FG的长为b米.若a=b,则说明∠B和∠C是相等的.工人师傅的操作是否合理?请说明理由.
答案
9.【解析】 工人师傅的操作合理.理由如下:
在△BDE和△CFG中,
所以△BDE≌△CFG(SSS),所以∠B=∠C.
课时2 三角形全等的条件
——角边角、角角边
课时2
1.[2019辽宁大连普兰店区期中]下列选项中能判定△ABC≌△DEF的是
( )
A.AB=DE,BC=EF,∠A=∠D
B.AB=DE,BC=EF,∠C=∠E
C.∠A=∠D,AB=EF,∠B=∠E
D.∠A=∠D,AB=DE,∠B=∠E
答案
1.D 【解析】 选项D,在△ABC和△DEF中,所以△ABC≌△DEF(ASA).故选D.
知识点1
“角边角”(ASA)
2.[2020重庆璧山区期中]如图,某同学把一块三角形玻璃打碎成了三块,现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃,那么最省事的办法是
( )
A.带①去
B.带②去
C.带③去
D.带①和②去
答案
2.C
知识点1
“角边角”(ASA)
3.[2020陕西西安雁塔区一模]如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,点M为对角线AC上一点,连接BM,若AC=BC,∠AMB=
∠BCD,试说明:△ADC≌△CMB.
答案
3.【解析】 因为AD∥BC,
所以∠DAC=∠MCB.
因为∠BMC=180°-(∠CBM+∠ACB),∠AMB=180°-∠BMC,
所以∠AMB=∠CBM+∠ACB,
又因为∠BCD=∠ACB+∠ACD,∠AMB=∠BCD,
所以∠ACD=∠CBM.
在△ADC和△CMB中,
所以△ADC≌△CMB(ASA).
知识点1
“角边角”(ASA)
4.根据图中所给的条件,能够判定三角形全等的是
( )
A.(1)和(2)
B.(2)和(4)
C.(1)和(3)
D.(3)和(4)
答案
4.D 【解析】 观察题图,知(4)中三角形的两个内角为28°和70°,所以第三个内角为82°,所以依据“角角边”可判定(3)和(4)中的两个三角形全等.故选D.
知识点2
“角角边”(AAS)
5.[2020广东中山期末]如图,BC∥EF,AC∥DF,添加一个条件 ,使得△ABC≌△DEF.?
答案
5.BC=EF(或AB=DE或AC=DF或AD=BE) 【解析】 因为BC∥EF,所以∠ABC=∠E.因为AC∥DF,所以∠A=
∠EDF.当添加BC=EF或AC=DF时,可根据“AAS”判定△ABC≌△DEF;当添加AB=DE或AD=BE时,可根据“ASA”判定△ABC≌△DEF.
知识点2
“角角边”(AAS)
6.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,点E在AC
上,CE=BC,过点E作AC的垂线,交CD的延长线于点F.试说明:
△ABC≌△FCE.
答案
6.【解析】 因为FE⊥AC,
所以∠FEC=90°,所以∠F+∠ECF=90°.
因为CD⊥AB,所以∠CDA=90°,
所以∠A+∠ECF=90°,所以∠A=∠F.
在△ABC和△FCE中,
所以△ABC≌△FCE(AAS).
知识点2
“角角边”(AAS)
7.如图,水平海岸上有A,B两个观测点,点B在点A的正东方向,海岛C在观测点A的正北方向,海岛D在观测点B的正北方向.如果从观测点A测得海岛C,D的视角∠CAD与从观测点B测得海岛C,D的视角∠CBD相等,那么观测点A到海岛C的距离与观测点B到海岛D的距离相等.为什么?
知识点3
“角边角”及“角角边”的运用
答案
7.【解析】 如图,因为∠CAD=∠CBD,∠1=∠2,所以∠C=∠D.
由题意知∠CAB=∠ABD=90°.
在△ABC和△BAD中,
所以△ABC≌△BAD(AAS),所以AC=BD,即观测点A到海岛C的距离与观测点B到海岛D的距离相等.
知识点3
“角边角”及“角角边”的运用
8.杨阳同学沿一段笔直的人行道行走,在由A步行到达B处的过程中,通过隔离带的空隙O,刚好浏览完对面人行道宣传墙上的社会主义核心价值观标语.其具体信息汇集如下.
如图,AB∥OH∥CD,相邻两平行线间的距离相等,AC,BD相交于点O,OD⊥CD,垂足为D.已知AB=20米.请根据上述信息求标语CD的长度.
知识点3
“角边角”及“角角边”的运用
答案
8.【解析】 因为AB∥CD,所以∠ABO=∠CDO,
又因为OD⊥CD,所以∠CDO=90°,
所以∠ABO=90°,即OB⊥AB.
因为相邻两平行线间的距离相等,所以OB=OD.
在△ABO和△CDO中,
所以△ABO≌△CDO(ASA),
所以CD=AB=20
米.
知识点3
“角边角”及“角角边”的运用
1.如图,OP平分∠AOB,PA⊥OA,PB⊥OB,垂足分别为A,B,下列结论不成立的是
( )
A.PA=PB
B.PO平分∠APB
C.OA=OB
D.OA=OP
答案
1.D 【解析】 因为PA⊥OA,PB⊥OB,所以∠OAP=∠OBP=90°.因为OP平分∠AOB,所以∠AOP=∠BOP,又因为OP=OP,所以△AOP≌△BOP(AAS),所以PA=PB,OA=OB,∠APO=∠BPO,即PO平分∠APB,所以A,B,C均成立,D不成立.故选D.
2.如图,已知∠ABC=∠EBD,AB=EB,使△ABC≌△EBD,若以“ASA”为依据,则要添加的一个条件为 ;若以“AAS”为依据,则要添加的一个条件为 .?
答案
2.∠A=∠E ∠C=∠D 【解析】 因为∠ABC=∠EBD,AB=EB,所以当∠A=∠E时,△ABC≌△EBD(ASA);当∠C=
∠D时,△ABC≌△EBD(AAS).
3.[2019天津南开翔宇学校期中]如图,已知AB∥CF,E为DF的中点.若AB=6
cm,CF=4
cm,则BD= cm.?
答案
3.2 【解析】 因为AB∥FC,所以∠ADE=∠EFC,因为E是DF的中点,所以DE=EF.在△ADE与△CFE中,
所以△ADE≌△CFE(ASA),所以AD=CF.因为AB=6
cm,CF=4
cm,所以AD=4
cm,所以BD=
AB-AD=6-4=2(cm).
4.[2020江苏无锡锡山区期中]如图,在四边形ABCD中,∠ABC=90°,AD∥BC,以B为圆心,BC长为半径画弧,与AD相交于点E,连接BE,过点C作CF⊥BE,垂足为F.若AE=8,BC=10,则EF的长为 .?
答案
4.2 【解析】 因为∠ABC=90°,AD∥BC,所以∠A=180°-∠ABC=90°,∠AEB=∠FBC.因为CF⊥BE,所以∠BFC=90°,
所以∠A=∠BFC.在△AEB和△FBC中,所以△AEB≌△FBC(AAS),所以BF=AE=8,所以EF=BE-BF=
10-8=2.
5.[2019江西抚州临川一中月考]如图,已知△ABC≌△ADE,AB与ED交于点M,BC与ED,AD分别交于点F,N.请再写出图中两对全等三角形(△ABC≌△ADE除外),并选择其中的一对加以说明.
答案
5.【解析】 △AEM≌△ACN,△BMF≌△DNF,△ABN≌△ADM.(任选两对即可)
选择△AEM≌△ACN,理由如下:
因为△ABC≌△ADE,
所以AE=AC,∠E=∠C,∠EAD=∠CAB,
所以∠EAM=∠CAN.
在△AEM和△ACN中,
所以△AEM≌△ACN(ASA).
(任选一对说明即可)
6.[2020湖北孝感期末]如图,在△ABC中,∠A=90°,AB=AC,∠ABC的平分线BD交AC于点D,CE⊥BD,交BD的延长线于点E,若BD=8,求CE的长.
答案
6.【解析】 如图,延长BA,CE相交于点F.
因为BD平分∠ABC,所以∠ABD=∠CBD.
在△BFE和△BCE中,
所以△BFE≌△BCE(ASA),所以EF=CE.
因为∠BAC=∠BEC=90°,所以∠ACF+∠F=90°,∠ABD+∠F=90°,所以∠ABD=∠ACF.
在△ABD和△ACF中,
所以△ABD≌△ACF(ASA),所以BD=CF.
因为CF=CE+EF=2CE,所以BD=2CE=8,
所以CE=4.
7.在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC.
(1)如图1,过点C在△ABC外作直线MN,AM⊥MN于点M,BN⊥MN于点N,试说明:MN=AM+BN.
(2)如图2,若过点C作直线MN与线段AB相交,AM⊥MN于点M,BN⊥MN于点N,(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请说明理由.若不成立,请写出正确结论并说明理由.
答案
7.【解析】 (1)因为∠ACB=90°,所以∠ACM+∠BCN=90°,
又因为AM⊥MN,BN⊥MN,所以∠AMC=∠CNB=90°,
所以∠BCN+∠CBN=90°,所以∠ACM=∠CBN.
在△ACM和△CBN中,
所以△ACM≌△CBN(AAS),
所以CM=BN,AM=CN,
所以MN=CN+CM=AM+BN.
(2)(1)中的结论不成立,正确的结论为MN=AM-BN.
理由如下:同(1)可证△ACM≌△CBN(AAS),
所以CM=BN,AM=CN,
所以MN=CN-CM=AM-BN.
课时3 三角形全等的条件
——边角边
课时3
1.[2020广东揭阳期末]下列各图中a,b,c为三角形的边长,则甲、乙、丙三个三角形和△ABC全等的是
( )
A.甲和乙
B.乙和丙
C.甲和丙
D.只有丙
答案
1.B 【解析】 △ABC和题图乙的三角形,满足三角形全等的判定方法:SAS,所以乙和△ABC全等.△ABC和题图丙的三角形,满足三角形全等的判定方法:AAS,所以丙和△ABC全等.不能判定甲与△ABC全等.故选B.
知识点1
“边角边”(SAS)
2.[2020湖南永州中考]如图,已知AB=DC,∠ABC=∠DCB,能直接判断△ABC≌△DCB的方法是
( )
A.SAS
B.AAS
C.SSS
D.ASA
答案
2.A 【解析】 因为AB=DC,∠ABC=∠DCB,BC=CB,所以△ABC≌△DCB(SAS).
故选A.
知识点1
“边角边”(SAS)
3.[2020吉林中考]如图,在△ABC中,AB>AC,点D在边AB上,且BD=CA,过点D作DE∥AC,并截取DE=AB,且点C,E在AB同侧,连接BE.试说明:△DEB≌△ABC.
答案
3.【解析】 因为DE∥AC,所以∠EDB=∠A.
在△DEB与△ABC中,
所以△DEB≌△ABC(SAS).
知识点1
“边角边”(SAS)
4.[2020湖南娄底期末]如图,在△ABC中,AB=6,BC=5,AC=4,AD平分∠BAC交BC于点D,在AB上截取AE=AC,则△BDE的周长为
( )
A.8
B.7
C.6
D.5
答案
4.B 【解析】 因为AD是∠BAC的平分线,所以∠EAD=∠CAD.在△ADE和△ADC中,所以
△ADE≌△ADC(SAS),所以ED=CD,所以BC=BD+CD=BD+DE=5,所以△BDE的周长为BE+BD+ED=(6-4)+5=7.故选B.
知识点2
“边角边”的运用
5.[2019湖北天门五校一模]如图,已知∠BAC=∠DAM,AB=AN,AD=AM.试说明:∠B=∠ANM.
答案
5.【解析】 因为∠BAC=∠DAM,
所以∠BAC-∠DAC=∠DAM-∠DAC,即∠BAD=∠NAM.
在△ABD和△ANM中,
所以△ABD≌△ANM(SAS),所以∠B=∠ANM.
知识点2
“边角边”的运用
6.[2020江苏常州中考]已知:如图,点A,B,C,D在一条直线上,EA∥FB,EA=FB,AB=CD.
(1)试说明:∠E=∠F.
(2)若∠A=40°,∠D=80°,求∠E的度数.
答案
6.【解析】 (1)因为EA∥FB,所以∠A=∠FBD.
因为AB=CD,所以AB+BC=CD+BC,即AC=BD.
在△EAC与△FBD中,
所以△EAC≌△FBD(SAS),所以∠E=∠F.
(2)因为△EAC≌△FBD,所以∠ECA=∠D=80°.
因为∠A=40°,所以∠E=180°-∠A-∠ECA=180°-40°-80°=60°.
知识点2
“边角边”的运用
7.如图,已知CD⊥AB于点D,BE⊥AC于点E,CD,BE交于点O,且AO平分∠BAC,则图中的全等三角形共有
对.?
答案
7.4 【解析】 因为CD⊥AB,BE⊥AC,AO平分∠BAC,所以∠ADO=∠AEO=90°,∠DAO=∠EAO,又因为AO=AO,
所以△ADO≌△AEO(AAS),所以OD=OE,AD=AE.在△BOD和△COE中,所以△BOD≌
△COE(ASA),
所以BD=CE,OB=OC.在△ADC和△AEB中,所以△ADC≌△AEB(ASA).因
为AD=AE,BD=CE,所以AB=AC,又因为OB=OC,AO=AO,所以△ABO≌△ACO(SSS).所以共有4对全等三角形.
知识点3
三角形全等判定的综合运用
判定两个三角形全等的常用思路
知识点3
三角形全等判定的综合运用
?
已知对应相等的元素
可选择的判定方法
需寻找的条件
锐角三角
形或钝角
三角形
两边
SSS或SAS
第三边对应相等或两边的夹角相等
一边及其邻角
SAS或ASA
已知角的另一边对应相等或已知边的另一邻角对应相等
一边及其对角
AAS
另一角对应相等
两角
ASA或AAS
两角的夹边相等或相等一角的对边对应相等
归纳总结
8.如图,E,F是BD上两点,AB=CD,BF=DE,AE=CF.试说明:AC与BD互相平分.
答案
8.【解析】 因为BF=DE,所以BF-EF=DE-EF,即BE=DF,
又因为AB=CD,AE=CF,所以△ABE≌△CDF(SSS),
所以∠B=∠D,
又因为∠AOB=∠COD,AB=CD,
所以△ABO≌△CDO(AAS),所以OA=OC,OB=OD,
所以AC与BD互相平分.
知识点3
三角形全等判定的综合运用
9.[2020湖南常德期中]如图,在△ABC中,D是BC的中点,过点D的直线GF交AC于点F,交AC的平行线BG于点G,DE⊥DF,交AB于点E,连接EG,EF.
(1)试说明:BG=CF.
(2)请你判断BE+CF与EF的大小,并说明理由.
知识点3
三角形全等判定的综合运用
答案
9.【解析】 (1)因为BG∥AC,所以∠DBG=∠DCF.
因为D为BC的中点,所以BD=CD.
在△BGD和△CFD中,
所以△BGD≌△CFD(ASA),所以BG=CF.
(2)BE+CF>EF.理由如下:
由(1)知△BGD≌△CFD,BG=CF,所以GD=FD.
因为DE⊥DF,即DE⊥GF,所以∠EDG=∠EDF=90°.
在△EGD和△EFD中,
所以△EGD≌△EFD(SAS),所以EG=EF.
因为在△EBG中,BE+BG>EG,所以BE+CF>EF.
知识点3
三角形全等判定的综合运用
1.[2020安徽宣城期末]如图,在△ABC和△DEC中,AC=DC.添加下列条件后不能使得△ABC≌△DEC的是
( )
A.BC=EC,∠BCE=∠DCA
B.BC=EC,AB=DE
C.∠B=∠E,∠A=∠D
D.BC=EC,∠A=∠D
答案
1.D 【解析】 A项,添加BC=EC,∠BCE=∠DCA,结合AC=DC,可用“SAS”判定两个三角形全等,故A项不符合题意;B项,添加BC=EC,AB=DE,结合AC=DC,可用“SSS”判定两个三角形全等,故B项不符合题意;C项,添加∠B=∠E,∠A=∠D,结合AC=DC,可用“AAS”判定两个三角形全等,故C项不符合题意;D项,添加BC=EC,∠A=∠D后无法判定两个三角形全等,故D项符合题意.故选D.
2.[2020河北邯郸三模]如图,有一张三角形纸片ABC,已知∠B=∠C=x°,按下列方案用剪刀沿着箭头方向剪开,可能得不到全等三角形纸片的是
( )
答案
2.C 【解析】 A项,由“SAS”可得两个小三角形全等,故A项不符合题意;B项,由“SAS”可得两个小三角形全等,故B项不符合题意;C项,如图1,因为∠B+∠BDE+∠BED=180°,∠BED+∠DEC=180°,所以∠DEC=∠B+∠BDE,所以x°+
∠FEC=x°+∠BDE,所以∠FEC=∠BDE,所以BE和CF是对应边,而已知的是BD=CF=3,所以不能判定两个小三角形全等,故C项符合题意;D项,如图2,因为∠B+∠BDE+∠BED=180°,∠BED+∠DEC=180°,所以∠DEC=∠B+∠BDE,所以x°+∠FEC=x°+∠BDE,所以∠FEC=∠BDE,又因为BD=CE=2,∠B=∠C,所以△BDE≌△CEF(ASA),故D项不符合题意.故选C.
3.[2020北京东城区二模]在如图所示的边长均为1的小正方形网格中,点A,B,C,D均落在格点(小正方形的顶点)上,则∠BAC+∠ACD= °.?
答案
3.90 【解析】 如图,在△DCE和△ABD中,所以△DCE≌△ABD(SAS),所以
∠CDE=∠DAB.因为∠CDE+∠ADC=90°,所以∠DAB+∠ADC=90°,所以∠AFD=90°,所以∠AFC=
90°,所以∠BAC+∠ACD=90°.
4.[2020河南安阳期中]△ABC中,AB=5,AC=3,AD是△ABC的中线,设AD的长为m,则m的取值范围是 .?
答案
4.1△ABC的中线,所以BD=CD.在△ADB和△EDC中,所以△ADB≌
△EDC(SAS),所以EC=AB=5.在△AEC中,EC-AC 利用“倍长中线法”构造全等三角形解决问题
(1)中线是三角形中的重要线段之一,在利用中线解决几何问题时,常常采用“倍长中线法”添加辅助线.(2)所谓“倍长中线法”,就是将三角形的中线延长一倍,以便构造出全等三角形,从而运用全等三角形的有关知识解决问题的方法.(3)“倍长中线法”的过程:延长已知中线到某点,使新线段(延长的那一条)的长度等于已知中线的长度,用“SAS”说明三角形全等(对顶角相等).
名师点睛
5.如图,在△ABC中,AD,CE分别是边BC,AB上的高,AD与CE交于点F,连接BF,延长AD到点G,使得AG=BC,连接BG,若CF=AB.
(1)试判断BG与FB之间的数量关系,并说明理由;
(2)求∠FBG的度数.
答案
5.【解析】 (1)BG=FB.理由如下:
因为AD,CE分别是边BC,AB上的高,
所以∠BAD+∠AFE=∠BCF+∠CFD=90°,
又因为∠AFE=∠CFD,所以∠BAD=∠BCF.
在△ABG和△CFB中,
所以△ABG≌△CFB(SAS),所以BG=FB.
(2)由(1)知△ABG≌△CFB,所以∠G=∠FBD.
因为∠G+∠DBG=90°,
所以∠FBG=∠FBD+∠DBG=∠G+∠DBG=90°,
即∠FBG的度数为90°.
6.如图,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,D是AB的中点,E是AD边上一点(不与点A,D重合),BF⊥CE于点F,交CD于点G.试说明:AE=CG.
答案
6.【解析】 因为D是AB的中点,所以AD=BD.
在△ACD和△BCD中,
所以△ACD≌△BCD(SSS),所以∠ADC=∠BDC=90°,
∠ACD=∠BCD=∠ACB=45°,
所以∠A=∠CBD=45°,所以∠A=∠BCG.
答案
因为BF⊥CE,所以∠CBG+∠BCF=90°.
因为∠ACB=90°,所以∠ACE+∠BCF=90°,
所以∠ACE=∠CBG.
在△AEC和△CGB中,
所以△AEC≌△CGB(ASA),所以AE=CG.
说明两条线段相等的方法
若能将两条线段划归到两个三角形中,则可根据已知条件,选用合适的方法说明三角形全等,再利用全等三角形的性质得出结论.在说明全等时,要认真分析给出的条件和图形特征,还要善于利用隐含条件,如公共边、公共角、对顶角等.
归纳总结
7.[2020重庆南岸区期末]在∠MAN内有一点D,过点D分别作DB⊥AM,DC⊥AN,垂足分别为B,C,且BD=CD,点E,F分别在边AM和AN上.
(1)如图1,若∠BED=∠CFD,请说明DE=DF;
(2)如图2,若∠BDC=120°,∠EDF=60°,猜想EF,BE,CF具有的数量关系,并说明你的结论成立的理由.
答案
7.【解析】 (1)因为DB⊥AM,DC⊥AN,
所以∠DBE=∠DCF=90°,
在△BDE和△CDF中,
所以△BDE≌△CDF(AAS),
所以DE=DF.
(2)EF=FC+BE,理由如下:
如图,过点D作∠CDG=∠BDE,交AN于点G,
在△BDE和△CDG中,
所以△BDE≌△CDG(ASA),
所以DE=DG,BE=CG.
因为∠BDC=120°,∠EDF=60°,
所以∠BDE+∠CDF=60°,
答案
所以∠FDG=∠CDG+∠CDF=60°,
所以∠EDF=∠GDF.
在△EDF和△GDF中,
所以△EDF≌△GDF(SAS),
所以EF=GF,
所以EF=FC+CG=FC+BE.
专项5 构造全等三角形
的常用方法
1.如图,AB=AE,AB⊥AE,AD=AC,AD⊥AC,点M为BC的中点.试说明:DE=2AM.
类型1
“倍长中线法”构造全等三角形
答案
1.【解析】 如图,延长AM至点N,使MN=AM,连接BN.
因为点M为BC的中点,所以BM=CM.
在△AMC和△NMB中,
所以△AMC≌△NMB(SAS),所以AC=NB,∠C=∠NBM,
所以∠ABN=∠ABC+∠NBM=∠ABC+∠C=180°-∠BAC=∠EAD.
因为AD=AC,所以AD=BN.
在△ABN和△EAD中,
所以△ABN≌△EAD(SAS),所以DE=NA,
所以DE=2AM.
类型1
“倍长中线法”构造全等三角形
2.如图,CE,CB分别是△ABC与△ADC的中线,且AB=AC.试说明:CD=2CE.
类型1
“倍长中线法”构造全等三角形
答案
2.【解析】 如图,延长CE到点F,使CE=EF,连接FB.
因为CE是△ABC的中线,所以AE=BE.
在△ACE和△BFE中,
所以△ACE≌△BFE(SAS),
所以∠A=∠EBF,AC=BF.
已知AB=AC,易得∠ABC=∠ACB,
所以∠DBC=180°-(180°-∠A-∠ACB)=∠A+∠ACB=∠EBF+∠ABC=∠CBF.
因为AB=AC,CB是△ADC的中线,所以AC=AB=BD=BF.
在△DBC和△FBC中,
所以△DBC≌△FBC(SAS),
所以CD=CF=2CE.
类型1
“倍长中线法”构造全等三角形
3.如图,在△ABC和△A'B'C'中,AM,A'M'分别是边BC,B'C'上的中线,AB=A'B',AC=A'C',AM=A'M'.试说明:
△ABC≌△A'B'C'.
类型1
“倍长中线法”构造全等三角形
答案
3.【解析】 如图,分别延长AM和A'M'到点E和E',使ME=AM,M'E'=A'M',连接BE,B'E'.
因为AM,A'M'分别是边BC,B'C'上的中线,所以BM=CM,B'M'=C'M'.
在△AMC和△EMB中,
所以△AMC≌△EMB(SAS),所以BE=AC,∠MAC=∠E.
同理,可得△A'M'C'≌△E'M'B',所以B'E'=A'C',∠M'A'C'=∠E'.
因为AC=A'C',所以BE=B'E'.
因为AE=2AM,A'E'=2A'M',且AM=A'M',
所以AE=A'E'.
在△ABE和△A'B'E'中,
所以△ABE≌△A'B'E'(SSS),
类型1
“倍长中线法”构造全等三角形
答案
所以∠BAE=∠B'A'E',∠E=∠E',
所以∠MAC=∠M'A'C',
所以∠BAM+∠MAC=∠B'A'M'+∠M'A'C',
即∠BAC=∠B'A'C'.
在△ABC和△A'B'C'中,
所以△ABC≌△A'B'C'(SAS).
类型1
“倍长中线法”构造全等三角形
4.如图,在△ABC中,AB>AC,∠1=∠2,P为AD上任意一点.试说明:AB-AC>PB-PC.
答案
4.【解析】 如图,延长AC至点M,使AM=AB,连接PM,
在△ABP和△AMP中,
所以△ABP≌△AMP(SAS),所以PB=PM.
在△PCM中,根据三角形的三边关系,得CM>PM-PC,
所以AM-AC>PB-PC,所以AB-AC>PB-PC.
类型2
“截长补短法”构造全等三角形
5.如图,AB∥CD,BE平分∠ABC,CE平分∠BCD,点E在AD上.试说明:BC=AB+CD.
类型2
“截长补短法”构造全等三角形
答案
5.【解析】 如图,在BC上截取BF=AB,连接EF.
因为∠ABC,∠BCD的平分线交于点E,
所以∠ABE=∠FBE,∠FCE=∠DCE.
在△ABE和△FBE中,
所以△ABE≌△FBE(SAS),所以∠A=∠BFE.
因为AB∥CD,所以∠A+∠D=180°,所以∠BFE+∠D=180°.
因为∠BFE+∠CFE=180°,所以∠CFE=∠D.
在△FCE和△DCE中,
所以△FCE≌△DCE(AAS),所以CF=CD,
所以BC=BF+CF=AB+CD.
类型2
“截长补短法”构造全等三角形
易错疑难集训
集训
1.在△ABC中,AB=AC,边AC上的中线BD把△ABC分成周长之差为6的两个小三角形.若△ABC的周长为24,则△ABC的各边长分别为
( )
A.10,10,4
B.6,6,12
C.4,7,13
D.10,10,4或6,6,12
答案
1.A 【解析】 分两种情况:(1)若AB>BC,则AB-BC=6
①,由△ABC的周长为24,得2AB+BC=24
②,由①②,得AB=10,
BC=4,因为10,10,4符合三角形的三边关系,所以能构成三角形;
(2)若AB③,由△ABC的周长为24,得2AB+BC=24
④,由③④,得AB=6,BC=12,因为6,6,12不符合三角形的三边关系,所以不能构成三角形.综上可得△ABC的各边长分别为10,10,4.故选A.
易错点1
构成三角形的条件
2.已知a,b,c为△ABC的三边长,且b,c满足(b-5)2+(c-7)2=0,a为方程|a-3|=2的解,求△ABC的周长,并判断△ABC的形状.
答案
2.【解析】 因为(b-5)2+(c-7)2=0,
所以b-5=0,c-7=0,解得b=5,c=7.
因为a为方程|a-3|=2的解,所以a=5或1.
当a=1时,1+5<7,不能构成三角形,
所以a=1不符合题意;
当a=5时,5+5>7,能构成三角形,
此时,△ABC的周长为5+5+7=17.
综上,△ABC的周长为17.
因为a=b=5,所以△ABC是等腰三角形.
易错点1
构成三角形的条件
3.[2020浙江杭州市公益中学期中改编]已知△ABC和△DEF全等,AB与DE是对应边,AB=2,BC=4.若△DEF的周长为奇数,则DF=
( )
A.3
B.4
C.3或5
D.3,4或5
答案
3.D 【解析】 因为△ABC和△DEF全等,所以△ABC和△DEF的周长相等,所以△ABC的周长为奇数,又因为AB=2,
BC=4,所以AC的长为奇数.根据三角形的三边关系,得4-2易错点2
全等三角形边的对应关系
本题的易错之处是没有进行分类讨论,虽然AB与DE是对应边,但另两边的对应关系不明确,因此需要分类讨论求解.“全等”与“≌”意义不一样,“≌”表示对应关系已经确定,而“全等”中的对应关系不确定,因此,当题中出现“全等”时,应分类讨论进行解答,否则容易漏解.
易错分析
4.[2020山东烟台蓬莱区期末]如图,在长方形ABCD中,AB=4,AD=6,延长BC到点E,使CE=2,连接DE,动点P从点B出发,以每秒2个单位长度的速度沿BC
CD
DA运动.设点P的运动时间为t秒,则当t= 时,△ABP和△DCE全等.?
答案
4.1或7 【解析】 易知AB=CD,∠DCE=90°.若∠ABP=∠DCE=90°,则当BP=CE=2时,△ABP≌△DCE,由题意,得BP=2t,所以2t=2,解得t=1;若∠BAP=∠DCE=90°,则当AP=CE=2时,△BAP≌△DCE,由题意,得AP=16-2t,所以16-2t=
2,解得t=7.综上,当t=1或7时,△ABP和△DCE全等.
易错点2
全等三角形边的对应关系
5.已知一个等腰三角形的腰长为5,底边长为4,底角为β.满足下列条件的三角形不一定与已知三角形全等的是
( )
A.两条边长分别为4,5,它们的夹角为β
B.两个角是β,它们的夹边为4
C.三条边长分别是4,5,5
D.两条边长是5,一个角是β
答案
5.D 【解析】 A项中给出的条件满足全等三角形的判定条件“SAS”,B项中给出的条件满足全等三角形的判定条件“ASA”,C项中给出的条件满足全等三角形的判定条件“SSS”,所以A,B,C均不符合题意.当一个三角形的两条边长为5,其夹角为β时,该三角形与原三角形不全等,所以D符合题意.故选D.
易错点3
全等三角形的判定方法
6.如图,已知△ABC中,AB=AC,D,E分别是边AB,AC的中点,且CD=BE,则△ADC与△AEB全等吗?小明是这样分析的:因为AC=AB,CD=BE,∠CAD=∠BAE,所以△ADC≌△AEB(SSA).他的思路正确吗?如果正确,请说明理由;如果不正确,请写出正确的解答过程.
答案
6.【解析】 小明的思路不正确.
正确的解答过程如下:
因为AB=AC,D,E分别为AB,AC的中点,所以AD=AE.
在△ADC和△AEB中,
所以△ADC≌△AEB(SAS).
易错点3
全等三角形的判定方法
7.如图,∠DAC=∠CBD,∠CAB=∠DBA,AD=BC,试说明:△ABD≌△BAC.
答案
7.【解析】 因为∠CAB=∠DBA,∠DAC=∠CBD,
所以∠DAB=∠CBA.
在△ABD与△BAC中,
所以△ABD≌△BAC(SAS).
易错点3
全等三角形的判定方法
本题易错之处是直接利用∠CAB=∠DBA,再结合AD=BC和AB=BA,说明△ABD≌△BAC.注意∠CAB,∠DBA并不是AD与AB和BC与BA的夹角.
易错分析
1.已知AD是△ABC的高,∠BAD=62°,∠CAD=28°,则△ABC按角分类是 三角形.?
答案
1.直角或钝角 【解析】 如图1,当AD在△ABC的内部时,因为∠BAC=∠BAD+∠CAD=62°+28°=90°,所以△ABC是直角三角形.如图2,当AD在△ABC的外部时,因为∠BAC=∠BAD-∠CAD=62°-28°=34°,∠ABC=90°-∠BAD=90°-62°=
28°,所以∠ACB=180°-∠ABC-∠BAC=180°-28°-34°=118°.所以△ABC为钝角三角形.综上可知,△ABC是直角三角形或钝角三角形.
疑难点1
分类讨论思想在三角形中的运用
2.在△ABC中,∠A=47°,高BE,CF所在直线交于点O,且点E,F不与点C,B重合,求∠BOC的度数.
答案
2.【分析】 本题中由于“高BE,CF所在直线交于点O,且点E,F不与点C,B重合”,因此可排除三角形是直角三角形的可能,故可分两种情况讨论.
【解析】 (1)如图1,当交点O在△ABC内部时,
在△AFC中,∠A=47°,∠AFC=90°,
所以∠ACF=180°-47°-90°=43°.
在△COE中,∠CEO=90°,∠OCE=43°,
所以∠COE=180°-90°-43°=47°,所以∠BOC=180°-47°=133°.
(2)如图2,当交点O在△ABC外部时,
在△AFC中,∠A=47°,∠AFC=90°,
所以∠1=180°-90°-47°=43°.
所以∠OCE=∠1=43°.
疑难点1
分类讨论思想在三角形中的运用
答案
在△CEO中,∠OCE=43°,∠CEO=90°,
所以∠EOC=180°-90°-43°=47°,即∠BOC=47°.
综上,∠BOC的度数为47°或133°.
疑难点1
分类讨论思想在三角形中的运用
熟记三角形的高相对于三角形的三种位置关系是解题的关键.
名师点睛
3.如图,在△ABC中,E是BC上的一点,EC=2BE,D是AC的中点.若S△ABC=12,则S△ADF-S△BEF= .?
答案
3.2 【解析】 因为D是AC的中点,S△ABC=12,所以S△ABD=S△ABC=×12=6.因为EC=2BE,所以BE=BC,故S△ABE=
S△ABC=×12=4.因为S△ABE-S△ABF=S△BEF,S△ABD-S△ABF=S△ADF,所以S△ADF-S△BEF=S△ABD-S△ABE=2.
疑难点2
数形结合思想在三角形中的运用
解题关键是利用三角形的面积关系,在高相同的情况下,三角形的面积之间的关系就是底之间的关系,注意数形结合及转化思想方法的应用.
名师点睛
4.[2020河南周口期中]如图,在等边三角形ABC中,点D在边AB上,点E在边AC上,将△ADE折叠,使点A落在BC边上的点F处,求∠BDF+∠CEF的值.
答案
4.【解析】 因为△ABC
为等边三角形,
所以∠A=∠B=∠C=60°.
因为△FDE是由△ADE翻折得到的,
所以△FDE≌△ADE,所以∠DFE=∠A=60°.
因为∠B+∠BDF+∠BFD=180°,∠DFE+∠BFD+∠CFE=180°,
所以∠BDF+∠BFD=120°,∠BFD+∠CFE=120°,
所以∠BDF=∠CFE.
因为∠CFE+∠CEF+∠C=180°,
所以∠CFE+∠CEF=120°,
所以∠BDF+∠CEF=120°.
疑难点2
数形结合思想在三角形中的运用
5.[2019河北唐山路北区期中]如图,∠BAE=∠CAF=90°,EC,BF相交于点M,AE=AB,AC=AF.
(1)试说明:EC=BF.
(2)试说明:EC⊥BF.
(3)若∠BAE=∠CAF=m°(m≠90),则(1)(2)中的结论还成立吗?请说明理由.
答案
5.【解析】 (1)因为∠BAE=∠CAF=90°,
所以∠BAE+∠BAC=∠CAF+∠BAC,即∠CAE=∠BAF.
在△CAE和△FAB中,
所以△CAE≌△FAB(SAS),所以EC=BF.
(2)设AC与BF交于点O.
由(1)知△CAE≌△FAB,所以∠AFO=∠OCM,
又因为∠AOF=∠COM,所以∠OMC=∠OAF=90°,
疑难点3
转化思想在三角形中的运用
答案
所以EC⊥BF.
(3)(1)中的结论成立,(2)中的结论不成立.理由如下:
因为∠BAE=∠CAF=m°,
所以∠BAE+∠BAC=∠CAF+∠BAC,即∠EAC=∠BAF.
在△CAE和△FAB中,
所以△CAE≌△FAB(SAS),所以EC=BF.
所以(1)中的结论成立.
设AC与BF交于点N,
由△CAE≌△FAB,得∠AFN=∠MCN,
又因为∠ANF=∠CNM,所以∠CMN=∠NAF=m°,
所以(2)中的结论不成立.
疑难点3
转化思想在三角形中的运用
6.在△ABC中,∠ABC=∠BAC,∠ACB=90°,D为AB的中点,∠EDF=90°,将∠EDF绕点D旋转,它的两边分别交AC,CB(或它们的延长线)于点E,F.当∠EDF绕点D旋转到DE⊥AC于点E时(如图1),易得出结论S△DEF+S△CEF=S△ABC.当∠EDF绕点D旋转到DE和AC不垂直时(如图2和图3),上述结论是否成立?若成立,请给予说明;若不成立,S△DEF,S△CEF,S△ABC又有怎样的数量关系?请写出你的猜想,不需说明理由.
疑难点3
转化思想在三角形中的运用
答案
6.【解析】 在题图2中,结论仍成立.理由如下:
过点D作DM⊥AC于点M,DN⊥BC于点N.
则∠AMD=∠DME=∠DNF=∠MDN=90°.
因为D为AB的中点,所以AD=BD.
在△ADM和△BDN中,
所以△ADM≌△BDN(AAS),所以DM=DN.
因为∠MDN=∠EDF=90°,
所以∠MDN-∠EDN=∠EDF-∠EDN,即∠MDE=∠NDF.
在△DME和△DNF中,
所以△DME≌△DNF(ASA),所以S△DME=S△DNF,
疑难点3
转化思想在三角形中的运用
答案
所以S四边形DMCN=S四边形DECF=S△DEF+S△CEF.
由题意,易知S四边形DMCN=S△ABC,
所以S△DEF+S△CEF=S△ABC,故在题图2中结论成立.
在题图3中结论不成立,S△DEF,S△CEF,S△ABC的数量关系是S△DEF-S△CEF=S△ABC.
疑难点3
转化思想在三角形中的运用
4 用尺规作三角形
1.已知三角形的三边作三角形,用到的基本作图是
( )
A.作一个角等于已知角
B.作已知直线的垂线
C.作一条线段等于已知线段
D.作一条线段等于已知线段的和
答案
1.C
知识点
用尺规作三角形
2.[2020福建厦门外国语学校月考]下列各条件中,不能作出唯一的三角形的是
( )
A.已知两边和夹角
B.已知两边和其中一条边所对的角
C.已知两角和夹边
D.已知两角和其中一角的对边
答案
2.B
知识点
用尺规作三角形
3.[2019江西南昌二中月考]回顾尺规作图法作一个角等于已知角的过程(如图)不难发现,我们首先作一个三角形与另一个三角形全等,再根据全等三角形的对应角相等即可完成.那么这两个三角形全等的理论依据是
( )
A.SSS
B.SAS
C.ASA
D.AAS
答案
3.A 【解析】 如图,根据作图过程可得,在△ABC与△DEF中,所以△ABC≌△DEF(SSS).故选A.
知识点
用尺规作三角形
4.已知线段a,b和m,求作△ABC,使BC=a,AC=b,BC边上的中线AD=m,则作法合理的顺序为 .(填序号)?
①延长CD到B,使BD=CD;②连接AB;③作△ADC,使DC=a,AC=b,AD=m.
答案
4.③①②
知识点
用尺规作三角形
5.如图,△ABC被墨迹污染了,请你重新作一个△A1B1C1,使△A1B1C1≌△ABC.(要求:用尺规作图,不写作法,但要保留作图痕迹)
答案
5.【解析】 如图所示,△A1B1C1即所求.
知识点
用尺规作三角形
6.[2019甘肃白银平川区期末]如图,已知线段c和∠α.求作:△ABC,使AB=c,∠A=∠α,∠B=2∠α.
答案
6.【解析】 作法:(1)作∠DAE=∠α;
(2)在射线AE上截取AB=c;
(3)以点B为顶点在AB的同侧作∠ABF=2∠α,BF交AD于点C,则△ABC就是所求作的三角形,如图所示.
知识点
用尺规作三角形
7.如图,已知线段c和∠α.求作:等腰三角形ABC,使其底角∠B=∠α,腰长AB=c.
答案
7.【解析】 作法:(1)作射线BP,再作∠PBQ=∠α;
(2)在射线BQ上截取BA=c;
(3)以点A为圆心,线段c为半径作弧交BP于点C;
(4)连接AC,则所求作的等腰三角形ABC如图所示.
知识点
用尺规作三角形
对于作图题,要知道作图的工具、依据是什么,不能盲目作图,关键是分清相关三角形中的边与角的关系.
名师点睛
5 利用三角形全等测距离
1.[2020重庆南岸区期末]如图所示,为了测量出A,B两点之间的距离,在地面上找到一点C,连接BC,AC,使∠ACB=90°,然后在BC的延长线上确定D,使CD=BC,那么只要测量出AD的长度也就得到了A,B两点之间的距离,这样测量的依据是
( )
A.AAS
B.SAS
C.ASA
D.SSS
答案
1.B
知识点
利用三角形全等测距离
2.[2020湖南张家界期中]如图,要在湖两岸A,B两点之间修建一座观赏桥,由于条件限制,无法直接测量A,B两点间的距离,于是小明想出来这样一种方法:在AB的垂线BF上取两点C,D,使BC=CD,再定出BF的垂线DE,使A,C,E三点在一条直线上,这时测得DE=50米,则AB为
( )
A.25米
B.50米
C.75米
D.100米
答案
2.B 【解析】 根据题意可知∠B=∠CDE=90°,BC=CD,∠ACB=∠ECD,所以△ABC≌△EDC(ASA),所以AB=DE=
50米.故选B.
知识点
利用三角形全等测距离
3.[2020甘肃酒泉肃州区期末]在测量一个小口圆形容器的壁厚时,小明用“X型转动钳”按如图方法进行测量,其中OA=
OD,OB=OC,测得AB=a,EF=b,则圆形容器的壁厚为
( )
A.a
B.b
C.b-a
D.(b-a)
答案
3.D 【解析】 在△AOB和△DOC中,所以△AOB≌△DOC(SAS),所以AB=CD=a,因为EF=b,所以
圆形容器的壁厚为(b-a).故选D.
知识点
利用三角形全等测距离
4.如图,小明站在点C处看甲、乙两楼楼顶上的点A和点E.已知C,E,A三点在同一条直线上,B,C相距20米,D,C相距40米,乙楼高BE为15米,小明身高忽略不计,EF∥BC,EF⊥AD,则甲楼高AD为
( )
A.20米
B.30米
C.40米
D.45米
答案
4.B 【解析】 根据题意,得AD∥BE,所以∠DAE=∠BEC.因为EF∥BC,所以∠AEF=∠ECB.易知EF=DB=DC-BC=
20
米,所以EF=BC,所以△AEF≌△ECB(AAS),所以FA=BE=15
米,因为FD=BE=15米,所以AD=FA+FD=30
米.故选B.
知识点
利用三角形全等测距离
5.如图,A,B,C,D是四个村庄,B,D,C在同一条东西走向公路的沿线上,BD=1千米,CD=1千米,村庄A,C和A,D间也有公路相连且AC=3千米,AD⊥BC,A,B之间间隔了一个小湖泊,所以无直接相连的公路.现决定在湖面上建一座斜拉桥EF,测得AE=1.2千米,BF=0.7千米,则建造的斜拉桥EF的长至少为 千米.?
答案
5.1.1 【解析】 由题意知,BD=CD,∠BDA=∠CDA=90°,在△ADB和△ADC中,所以△ADB≌
△ADC(SAS),所以AB=AC=3千米,故建造的斜拉桥EF的长至少为3-1.2-0.7=1.1(千米).
知识点
利用三角形全等测距离
6.如图,传说一位将军率部队在一河边与敌军激战,为了使炮弹准确落在河对岸的敌军阵地上,需要知道河宽,所以将军站在河边点B处,将帽子压低,使视线沿着帽檐(点A)恰好落在河对岸的边线上的点C处,然后他保持视线方向不变,一步步后退,一直退到视线落在河岸边B处,这时他后退的距离B'B就是河的宽度BC,请你说明理由.
答案
6.【解析】 由题意可知,∠B'=∠ABC=90°,
在△A'B'B和△ABC中,
所以△A'B'B≌△ABC(ASA),所以B'B=BC.
知识点
利用三角形全等测距离
7.如图,在一条河的两岸各耸立着一座宝塔,在无任何过河工具的情况下,你能测量出两座宝塔间的距离吗?说说你的方法和理由.
答案
7.【解析】 能.方法:如图,把两宝塔分别看作A,B两点,连接AB,作射线BF,使BF⊥AB,在BF上截取BC=CD,过点D作DE⊥BF,使E,C,A在同一条直线上,则ED的长即两座宝塔之间的距离.理由如下:
在△ACB和△ECD中,所以△ACB≌△ECD(ASA),
所以AB=ED.(方法合理即可)
知识点
利用三角形全等测距离
1.某大学计划为新生配备如图1所示的折叠凳.图2是折叠凳撑开后的侧面示意图(木条等材料宽度忽略不计),其中凳腿AB和CD的长相等,O是它们的中点.为了使折叠凳坐着舒适,厂家将撑开后的折叠凳宽度AD设计为30
cm.由以上信息可推得△AOD≌△BOC,从而得到CB的长度也为30
cm,则判定△AOD≌△BOC的依据是
( )
A.SSS
B.ASA
C.AAS
D.SAS
答案
1.D 【解析】 因为O是AB,CD的中点,所以OA=OB,OC=OD.在△AOD和△BOC中,所以△AOD≌
△BOC(SAS).故选D.
2.[2020湖北荆州期末]王强同学用10块高度都是2
cm的相同长方体小木块,垒了两堵与地面垂直的木墙,木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板(AC=BC,∠ACB=90°),点C在DE上,点A和B分别与木墙的顶端重合(如图),则两堵木墙之间的距离为
cm.?
答案
2.20 【解析】 由题意,得AC=CB,∠ACB=90°,AD⊥DE,BE⊥DE,AD=6
cm,BE=14
cm,所以∠ADC=∠CEB=90°,所以∠ACD+∠DAC=90°,∠ACD+∠ECB=90°,所以∠DAC=∠ECB,所以△ADC≌△CEB(AAS),所以CE=AD=6
cm,DC=BE=
14
cm,所以DE=DC+CE=20
cm.
3.小强为了测量一幢高楼的高度AB,在旗杆CD与楼之间选定一点P(如图),测得PC与地面夹角∠DPC=36°,测得PA与地面夹角∠APB=54°,量得点P到楼底的距离PB与旗杆CD的高度相等,等于10
m,量得旗杆与楼之间的距离DB=36
m,则楼高AB是多少米?
答案
3.【解析】 因为∠CPD=36°,∠APB=54°,∠CDP=∠ABP=90°,
所以∠DCP=∠APB=54°.
在△CPD和△PAB中,
所以△CPD≌△PAB(ASA),
所以DP=AB.
因为DB=36
m,PB=10
m,
所以AB=DP=DB-PB=36-10=26(m).
答:楼高AB是26
m.
4.[2020河南焦作期末]如图,小刚站在河边的A点处,在河的对面(小刚的正北方向)的B处有一电线塔,他想知道电线塔离他有多远,于是他向正西方向以相同的步子走了30步到达一棵树C处,接着向前走了30步到达D处,然后向正南方向直行,当小刚看到电线塔、树与自己现处的位置E在一条直线时,共走了140步.
(1)根据题意,画出示意图;
(2)如果小刚一步大约50厘米,估计小刚在点A处时他与电线塔的距离,并说明理由.
答案
4.【解析】 (1)画出示意图如图所示.
(2)在△ABC和△DEC中,
所以△ABC≌△DEC(ASA),所以AB=DE.
因为小刚共走了140步,其中在AD走了60步,
所以走完DE用了80步,
小刚一步大约50厘米,即DE≈80×50=4
000(厘米)=40(米),
所以小刚在点A处时他与电线塔的距离约为40米.
5.如图,要测水池中一荷花E与岸边A和岸边D的距离.作法如下:
(1)任作线段AB,取其中点O;
(2)连接DO并延长,使DO=CO;
(3)连接BC;
(4)用仪器测得E,O在一条直线上,并交CB于点F.A,D,E共线,要测AE,DE,测量BF,CF即可,为什么?
答案
5.【解析】 因为O是AB的中点,所以AO=BO.
在△AOD和△BOC中,
所以△AOD≌△BOC(SAS),所以∠A=∠B.
因为E,O,F在一条直线上,所以∠AOE=∠BOF.
在△AOE和△BOF中,
所以△AOE≌△BOF(ASA),
所以AE=BF.
同理可证DE=CF.