人教版八年级数学下册19.2.3　一次函数与方程、不等式课件（共41张PPT)

八年级
下册
19.2.3　一次函数与方程、不等式
学习目标
1、理解一次函数与一次方程、一次不等式的关系
2、能根据一次函数的图象求一元一次方程的解和一元一次不等式的解集
3
2
1
2
1
-2
O
x
y
-1
-1
3
　　例1　下面三个方程有什么共同特点？你能从函数
的角度对解这三个方程进行解释吗？
（1）2x+1=3；（2）2x+1=0；（3）2x+1=-1．
　　用函数的观点看：
解一元一次方程
ax
+b
=c就是求当函
数值为c时对应的自
变量的值．
用一用
2x
+1=3
的解
y
=2x+1
2x
+1=0
的解
2x
+1=-1
的解
（3）画出函数y=2x+20的图象，并确定它与x轴的交点坐标.
0
x
y
20
－10
y=2x+20
（思考：直线y=2x+20与x轴交点坐标为（____,_____），这说明方程2χ＋20＝0的解是x=_____）
从“函数图像”上看
-10
0
求ax+b=0（a≠0）的解
x为何值时，y=ax+b的值为0？
确定直线y=ax+b与x轴的交点的横坐标
从形的角度看：
从数的
角度看:
求ax+b=0（a≠0）的解
1、根据下列图像，你能说出哪些一元一次
方程的解？并直接写出相应方程的解？
5x=0的解
其解为X=0
X+2=0的解
其解为X=-2
3x+6=0的解
其解为X=2
X-1=0的解
其解为X=1
2、已知方程ax+b=0的解是-2，下列图像肯定不是直线y=ax+b的是（
）
A
B
C
D
B
1．根据图象你能直接说出一元一次方程x+3=0的解吗？
?3
y=x+3
O
x
y
解：由图象可知x+3=0的解为x=
?3．
2．利用函数图象解出x:
5x?1=
2x+5
解：
　由　　
5x?1=2x+5
，
得　　　　　3x?6=0
．
　
x
y
?6
O
y=3x
?6
２
（1）
由图看出直线y
=
3x?6与x轴的交点为（２，0），得x=２．
1.画出函数y=-x+2的图象，利用图象回答问题：
（1）求x=-1当时，
y的值；
（2）求当y=-1，对应的的值；
（3）求方程-x+2=0的解；
（4）求方程-x+2=3的解
当堂检测
求ax+b=0（a≠0）的解
x为何值时，y=ax+b的值为0？
确定直线y=ax+b与x轴的交点的横坐标
从形的角度看：
从数的
角度看:
求ax+b=0（a≠0）的解
课堂小结
：
　　例2　下面三个不等式有什么共同特点？你能从函
数的角度对解这三个不等式进行解释吗？能把你得到的
结论推广到一般情形吗？
　
（1）3x+2＞2；（2）3x+2＜0；（3）3x+2＜-1．
用一用
　　不等式ax+b＞c的解集就是
使函数y
=ax+b
的函数值大于c
的对应的自变量取值范围；
　　不等式ax+b＜c的解集就是
使函数y
=ax+b
的函数值小于c
的对应的自变量取值范围．
3
2
1
2
1
-2
O
x
y
-1
-1
3
y
=3x+2
y
=2
y
=0
y
=-1
如果
y=-2x-5
,
那么当
x
取何值时
,
y>0
?
你解答此道题,
可有几种方法
?
想一想
法一:
将函数问题转化为不等式问题.
即
解不等式
-2x-
5
>
0
;
法二:
图象法。
x
y
-1
-2
-3
-4
-5
1
-1
-2
-3
-4
-5
-6
1
2
3
由图易知，
当
x
<
-2.5时
y>0
.
用“函数图象法”及“解不等式法”解函数问题
作直线ｙ＝ｘ＋３
ｘ
ｙ
０
０
３
－３
ｙ＝ｘ＋３
ｘ＿＿时，ｙ＞３
ｘ＿＿时，ｙ＜３
ｘ＿＿时，ｙ＝３
＝０
＞０
＜０
作直线ｙ＝ｘ＋３
ｘ
ｙ
０
０
３
－３
ｙ＝ｘ＋３
ｘ＿＿时，ｙ＞２
ｘ＿＿时，ｙ＜２
ｘ＿＿时，ｙ＝２
＝－１
＞－１
＜－１
作直线y
=
２
已知一次函数
y
=
２x－２,根据它的图象回答下列问题.
(1)
x
取什么值时,函数值
y
为4?
(2)
x
取什么值是,函数值
y
大于4?
(3)
x
取什么值时,函数值
y
小于4?
及直线y
=
４
（如图）
y
=
２x
－２
y=
４
从图中可知：
用函数观点看不等式
一次函数与一元一次不等式
解：作出函数
y
=２x－２的图象
（1）当
x
=
３
时，函数值
y
为４。
（2）当x
>
３
时，函数值
y
＞４。
（3）当x
<３
时，函数值
y
＜４。
例题:用画函数图象的方法
　　　　解不等式5x+4＜2x+10
解法1:原不等式化为:3x
-6<0,
画出直线
y
=
3x
-6
(如图)
即这时y
=
3x
-6
<0
用函数观点看不等式
一次函数与一元一次不等式
所以不等式的解集为:x<2
x<2
解法二：画出函数
y
=
2x+10和y
=
5x+4图象
从图中看出：
即直线
y
=
5x
+4
在
y
=
2x
+10
的___方
不等式5x+4
<
2x
+10
∴
不等式
5x+4
<
2
x
+10
的解集是x
<
2
x
<
2
用函数观点看不等式
一次函数与一元一次不等式
思路：不等式5x+4＜2x+10可以看成是两个函数值
y之间的大小比较，具体在图象上是两条直线间的位置关系。
下
y1
y2
当y1=
y2时，x___
当y1>
y2时，x___
当y1<
y2时，x___
看两直线的交点
y1在y2的上方
y1在y2的下方
>1
<1
=1
y1
y2
<1
>1
基础练习，提高能力
（4，0）
x>4
x<4
x>6
4y=2
y=-1
基础练习，提高能力
x<-2
X>-2
X>-2
2.
画出函数y
=
3x－2的图象，并利用图象回答：
(1)当x
取何值时，
y
=
1，y
=
-2，y
=
-5
？
（2）不等式3x-2>1的解？
当堂检测
令x=0,求y
令x=0,求y
令y2=0,求x
令y1=0,求x
令y1=y2,先求x,再把x代入求y
求三角形面积
课堂小结
：
1.我们研究了一次函数与一元一次不等式的关系，请你从两个方面归纳为：
（1）从“数”的角度；（2）从“形”的角度。
y
＞0
。
O
y＜0
O
。
y＜0
y
＞0
一、创设情境，导入新课
问题:1号探测气球从海拔5m处出发，以1m/min的速度上升，上升了1h.
(1)请用式子表示1号探测气球所在位置的海拔y
（单位：m）关于上升时间x（单位：min）的函数关系.
一、创设情境，导入新课
问题:1号探测气球从海拔5m处出发，以1m/min的速度上升，上升了1h.
（2）请写出函数y=x+5的图象上的任意5个点的坐标，你写出的5个点的坐标是否都满足方程y-x=5？你是怎么验证的？
一、创设情境，导入新课
问题:1号探测气球从海拔5m处出发，以1m/min的速度上升，上升了1h.
（3）以方程y-x=5的所有解组成的坐标是否都在一次函数y=x+5的图象上？
二、深入剖析，感悟新知
思考：通过问题（2）、（3）的分析，我们能否概括出二元一次方程的解和一次函数图象上的点的坐标之间是什么关系？

方程的解
一次函数图象上点的坐标
以二元一次方程的解为坐标的点，它都在其相应的一次函数的图象上;一次函数图象上点的坐标，都适合其相应的二元一次方程.
问题:1号探测气球从海拔5m处出发，以1m/min的速度上升.与此同时，2号探测气球从海拔15m处出发，以0.5m/min的速度上升.两个气球都上升了1h.
（1）请用式子分别表示两个气球所在位置的海拔y（单位：m）关于上升时间x（单位：min）的函数关系；
二、深入剖析，感悟新知
问题:1号探测气球从海拔5m处出发，以1m/min的速度上升.与此同时，2号探测气球从海拔15m处出发，以0.5m/min的速度上升.两个气球都上升了1h.
（2）在某一时刻两个气球能否位于同一高度？如果能，这时气球上升了多长时间？位于什么高度？
二、深入剖析，感悟新知
在同一直角坐标系内分别画出一次函数y=x+5和y=0.5x+15的图象(如右图).
问题:1号探测气球从海拔5m处出发，以1m/min的速度上升.与此同时，2号探测气球从海拔15m处出发，以0.5m/min的速度上升.两个气球都上升了1h.
（2）在某一时刻两个气球能否位于同一高度？如果能，这时气球上升了多长时间？位于什么高度？
二、深入剖析，感悟新知
你能读出这两个图象的交点坐标吗？
方程组的解和它对应的两条直线的交点坐标有什么关系呢？
二、深入剖析，感悟新知
方程组的解
直线上点的坐标.
问题:1号探测气球从海拔5m处出发，以1m/min的速度上升.与此同时，2号探测气球从海拔15m处出发，以0.5m/min的速度上升.两个气球都上升了1h.
（2）在某一时刻两个气球能否位于同一高度？如果能，这时气球上升了多长时间？位于什么高度？
二、深入剖析，感悟新知
由这个交点坐标，你能确定二
元一次方程组
的解吗？为什么？
y
x
O
y=2x?12
6
?12
方程2x?12=0的解
变式:方程3x?10=x+2的解
解kx+b=0
等价于哪两个问题?
(1)可以转化为求一次函数
y
=kx+b
(2)从图象上看，这相当于求已知直线y=kx+b与___轴交点的___坐标的值．
x
横
0
用函数观点看方程
一次函数与一元一次方程
ax+by+c=0
(a
≠
0,b
≠0)
二元一次方程的一般式:
一次函数的解析式:
y=kx+b
(k
≠0)
转化
过(0,
),(
,0)
点的直线。
b
直线
一次函数
二元一次
方程
直
线
图像是
.
用图象法解方程组:
把方程组化为:
即：两直线无交点
∴方程组无解
在直角坐标系中画出这两条直线的图像
由图得，两直线平行
巩固练习:
用图象法解:
解:原方程组可转化为两个函数:
两个函数图象的交点就是原方程组的解.
y
x
0
1
-2
2
如图:两函数图象的交点是(3,0)
所以原方程组的解是
(
)
no
P
A
B
等价于：
）
)的交点坐标（m，n
k
(k
b
x
k
与直线y
b
x
k
直线y
2
1
2
2
1
1
?
+
=
+
=
b
x
y
k
的解是
b
x
k
y
2
2
1
1
?
í
ì
+
=
+
=
方程组
即：方程组的解
两条直线的______
交点
小明和小慧在长为50m的游泳池内练习游泳,小明每分游50m,小慧每分游20m,他们同时从一边出发游向对面,并且到达对面后立即转身返回(转身时间不计)。
问：小慧游完一个来回与小明在途中共相遇几次?
小明
小慧
由图象得小慧与小明在途中共相遇4次
2.实践题
2.5
“数形结合”思想
o
1
2
3
4
5
50
y(m)
x(分)
小东从A地出发以某一速度向B地前进，同时小明从B地出发以另一速度向A地前进(见下图)，图中的线段y1,y2分别表示小东、小明离B地的距离(km)与所用时间(h)的关系.
(1)试用文字说明：
交点P所表示的实际意义.
(2)试求出A,B两地之间的距离.
(小东)
解：（1）小东和小明出发2.5小时相遇，并且离B地7.5千米
解：（2）设直线y1=kx+b
(k≠0）
∵过（2.5，7.5），（4，0）
∴
7.5=2.5k+b
0=4k+b
∴
k=－5
b=20
∴
y1=－5x+20
当x=0时，y1=20
∴A，B两地的距离为20千米
3.综合题
(小明)