人教版八年级数学下册第十八章18.2.3 正方形（第二课时）正方形的判定课件 (共31张PPT)

泮水中学八年级数学课件
第十八章 平行四边形
18.2.3 正方形
第2课时 正方形的判定
学习目标
1．探索并证明正方形的判定，并了解平行四边形、
矩形、菱形之间的联系和区别；(重点、难点)
2．会运用正方形的判定条件进行有关的论证和计算(难点)
你觉得什么样的四边形是正方形呢?( 判断一个四边形是正方形有哪些方法？）
新课问题引入
问题1 什么是正方形？正方形有哪些性质？
A
B
C
D
正方形：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形.
正方形性质：①四个角都是直角; ②四条边都相等;
③对角线相等且互相垂直平分.
O
提出问题
问题2 你是如何判断是矩形、菱形？
平行四边形
矩形
菱形
四边形
三个角是直角
四条边相等
定义
四个判定定理
定义
对角线相等
定义
对角线垂直
思考 怎样判定一个四边形是正方形呢？
活动1 准备一张矩形的纸片，按照下图折叠,然后展开，折叠部分得到一个正方形，可量一量验证验证.
正方形
猜想 满足怎样条件的矩形是正方形？
矩形
正方形
一组邻边相等
对角线互相垂直
提出猜想
已知：如图,在矩形ABCD中,AC , DB是它的两条对角线,
AC⊥DB.
求证：四边形ABCD是正方形.
证明：∵四边形ABCD是矩形,
∴ AO=CO=BO=DO ，∠ADC=90°.
∵AC⊥DB,
∴ AD=AB=BC=CD,
∴四边形ABCD是正方形.
A
B
C
D
O
对角线互相垂直的矩形是正方形.
判定方法证明
活动2 把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，观察这时菱形框架的形状.量量看是不是正方形.
正方形
菱形
猜想 满足怎样条件的菱形是正方形？
正方形
一个角是直角
对角线相等
提出猜想
已知：如图,在菱形ABCD中,AC , DB是它的两条对角线,
AC=DB.
求证：四边形ABCD是正方形.
证明：∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=BC=CD=AD,AC⊥DB.
∵AC=DB,
∴ AO=BO=CO=DO,
∴△AOD,△AOB,△COD,△BOC是等腰直角三角形，
∴∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°,
∴四边形ABCD是正方形.
A
B
C
D
O
对角线相等的菱形是正方形.
判定方法证明
正方形判定的几条途径：
正方形
正方形
+
+
先判定菱形
先判定矩形
矩形条件(二选一)
菱形条件(二选一)
一个直角，
一组邻边相等，
对角线相等
对角线垂直
平行四边形
正方形
一组邻边相等
一内角是直角
总结判定方法
正方形的4个判定定理
1、有一个组邻边相等的矩形是正方形
2、有一个角是直角的菱形是正方形.
3、对角线互相垂直的矩形是正方形.
4、对角线相等的菱形是正方形.
总结判定定理
√
√
√
×
(1)对角线互相垂直且相等的四边形是正方形（ ）
(2)如果一个菱形的对角线相等，那么它一定
是正方形 （ ）
(3)如果一个矩形的对角线互相垂直，那么它
一定是正方形 （ ）
(4)四条边相等，且有一个角是直角的四边形
是正方形（ ）
(5)四个角都相等的四边形是正方形 ( )
(6)四条边都相等的四边形是正方形 ( )
×
×
判定方法即时应用
1、下列命题正确的是（ ）
A、四个角都相等的四边形是正方形
B、四条边都相等的四边形是正方形
C、对角线相等的平行四边形是正方形
D、对角线互相垂直的矩形是正方形
D
判定方法即时应用
2．四个内角都相等的四边形一定是（ ）
A、正方形 B、菱形 C、矩形 D、平行四边形
3．在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正 方形的是：（ ）
A．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD　
B．AD∥BC ∠A＝∠C　
C．AO＝CO　BO＝DO　AB＝BC
D．AC＝BD
C
A
判定方法即时应用
4、已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD相交于点O。
⑴若AB=BC，则四边形ABCD是（ ）
⑵若AC=BD，则四边形ABCD是（ ）
⑶若∠BCD=900，则四边形ABCD是（ ）
⑷若OA=OB，则四边形ABCD是（ ）
⑸若AB=BC，且AC=BD，则四边形ABCD是（ ）
菱形
矩形
矩形
矩形
正方形
判定方法即时应用
例1 在正方形ABCD中，点E、F、M、N分别在各边上，且AE=BF=CM=DN．四边形EFMN是正方形吗?为什么?
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=DA，∠A=∠B=∠C=∠D=90°.
∵AE=BF=CM=DN，
∴AN=BE=CF=DM.
分析：由已知可证△AEN≌△BFE≌
△CMF≌△DNM，得四边形EFMN是菱形，再证有一个角是直角即可.
判定方法典例精讲
在△AEN、△BFE、△CMF、△DNM中，
AE=BF=CM=DN,
∠A=∠B=∠C=∠D,
AN=BE=CF=DM,
∴△AEN≌△BFE≌△CMF≌△DNM,
∴EN=FE=MF=NM，∠ANE=∠BEF,
∴四边形EFMN是菱形，
∠NEF=180°－（∠AEN+∠BEF）
=180°－（∠AEN+∠ANE）
=180°－90°=90°.
∴四边形EFMN是正方形 .
例2、直角三角形ABC中，CD平分∠ACB交AB于D，DE⊥AC，DF⊥AB。求证：四边形CEDF是正方形。
A
B
C
D
E
F
∴四边形ABCD是正方形（ )
∴ DE=DF( )
DE⊥AC， DF⊥BC
∵ CD平分∠ACB
∴ 四边形ABCD为矩形( )
而∠ACB=90°
∴ ∠DEC=90°， ∠DFC=90°
证明：∵ DE⊥AC，DF⊥AB
有三个角是直角的四边形是矩形
角平分线的定理
有一组邻边相等的矩形是正方形
判定方法典例精讲
例3 如图，正方形ABCD，动点E在AC上，AF⊥AC，垂足为A，AF=AE．
（1）求证：BF=DE；
（2）当点E运动到AC中点时(其他条件都保持不变)，
问四边形AFBE是什么特殊四边形？说明理由．
（1）证明：∵正方形ABCD，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∵AF⊥AC，∴∠EAF=90°，
∴∠BAF=∠EAD，
在△ADE和△ABF中，
AD＝AB ，∠DAE＝∠BAF ，AE＝AF ,
∴△ADE≌△ABF（SAS），∴BF=DE；
判定方法典例精讲
（2）解：当点E运动到AC的中点时四边形AFBE是正方形，
理由：∵点E运动到AC的中点，AB=BC，
∴BE⊥AC，BE=AE= AC，
∵AF=AE，
∴BE=AF=AE.
又∵BE⊥AC，∠FAE=∠BEC=90°，
∴BE∥AF，
∵BE=AF，
∴得平行四边形AFBE，
∵∠FAE=90°，AF=AE，
∴四边形AFBE是正方形．
1.下列命题正确的是（ ）
A.四个角都相等的四边形是正方形
B.四条边都相等的四边形是正方形
C.对角线相等的平行四边形是正方形
D.对角线互相垂直的矩形是正方形
D
课堂反馈训练
2.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（　　）
A．当AB=BC时，四边形ABCD是菱形
B．当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形
C．当∠ABC=90°时，四边形ABCD是矩形
D．当AC=BD时，四边形ABCD是正方形
D
课堂反馈训练
3.如图，四边形ABCD中，∠ABC=∠BCD=∠CDA
=90°，请添加一个条件____________________，可得出该四边形是正方形．
AB=BC(答案不唯一)
A
B
C
D
O
4.已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，其中错误的是___________（只填写序号）．
②③或①④
课堂反馈训练
1、在正方形ABCD中，AC=10，P是AB上任意一点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，求PE+PF的值。
A
B
C
D
E
P
F
O
核心素养培养
2. 如图正方形ABCD的对角线相交于点O，O又是另一个正方形OEFG的一个顶点，若正方形OEFG绕点O旋转，在旋转的过程中.
探究2:若正方形OEFG与正方形ABCD两边分别相交于M N，试判断线段AM于BN之间的关系.
探究1:两个正方形重叠部分的面积是否会发生变化？
探究3:若正方形ABCD的边长为1，则阴影部分面积BMON为多少？
核心素养培养
3.如图，点M是矩形ABCD边AD的中点，2AB＝AD，点P是边BC上一动点，PE⊥MC，PF⊥MB，垂足分别为E、F，求点P运动到什么位置时，四边形PEMF为正方形？
核心素养培养
4.已知，如图在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN垂足为点E，
①求证：四边形ADCE是矩形。
②当△ABC满足什么条件时，四边形
ADCE是正方形，说明理由。
A
B
C
E
M
N
D
核心素养培养
5.如图B、C、E是同一直线上的三个点，四边形ABCD与CEFG是正方形，连接BG、DE
（1）观察、猜想BG与DE之间的大小关系，并说明理由。
（2）正方形CEFG在绕点C旋转过程中，BG与DE之间的关系是否仍然成立。
A
B
C
E
F
D
G
A
D
B
G
F
E
C
核心素养培养
6.如图，M为正方形ABCD边AB的中点，E是AB延长线上一点，MN⊥DM，且交∠CBE的平分线于点N。
（1）求证：MD=MN
（2）若将上述条件中的“M是AB的中点”改为“M为AB上任意一点”，其它条件不变，问结论MD=MN是否仍然成立。
A
B
C
D
M
E
N
F
A
B
C
D
E
N
M
P
●
●
核心素养培养
5种判定方法
三个角是直角
四条边相等
一个角是直角
或对角线相等
一组邻边相等
或对角线垂直
一组邻边相等
或对角线垂直
一个角是直角
或对角线相等
一个角是直角且一组邻边相等
平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定小结
本节小结
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