人教版八年级数学下册第十九章：19.1.1变量与函数 课件（共45张PPT）

变量与函数
教学目标
了解变量与常量的意义．?
体会运动变化过程中的数量变化．?
从典型实例中抽象概括出函数的概念，了解函数的概念．?
会初步分析简单实际问题中函数关系，讨论变量的变化情况．
教学重点
教学重点
了解变量与常量的意义，充分体会运动变化过程中量的变化．?
概括并理解函数概念中的单值对应关系．??
用解析法和列表法表示函数关系，确定简单实际问题
的自变量取值范围．
理解变量和函数的概念．
万物皆变
如图，小球在斜坡上滚动，请观察这一运动变化过程，你注意到了什么变化？
万物皆变
从数学角度? ? ?研究变化过程
关注其中数量的变化，用数量变化描述变化规律
找一找
下面问题中变化的量和不变的量：
（1）汽车以60 km/h 的速度匀速行驶，行驶时间为 t h，行驶路程为 s km．
找一找
下面问题中变化的量和不变的量：
（2）每张电影票的售价为10 元，设某场电影售出x 张票， 票房收入为y 元．
找一找
下面问题中变化的量和不变的量：
（3）圆形水波慢慢地扩大，在这一过程中，当圆的半径r 分别为10 cm，20 cm，30 cm 时，圆的面积S 分别为多少？在这个过程中，哪些量是变化的？
找一找
下面问题中变化的量和不变的量：
（4）用10 m长的绳子围一个矩形，当矩形的一边长
x 分别为3 m，3.5 m，4 m，4.5 m 时，它的邻边长y 分
别为多少？在矩形改变形状的变化过程中，哪些量是变
化的？哪些量是固定不变的？
说一说
上述运动变化过程中出现的数量，你认为可以怎样分类？
数值不断
变化的量
数值固定
不变的量
变量
常量
例题
指出下列变化过程中的变量和常量：?
（1）汽油的价格是7.4元/升，加油 x L，车主加油付油费 y 元；
（2）小明看一本200 页的小说，看完这本小说需要t 天，平均每天 所看的页数为 n；
（3）用长为40 cm 的绳子围矩形，围成的矩形一边长为 x cm，其面积为 S cm2．
例题
你能确定下列变化过程中的变量吗？
（1）小敏长高了；
（2）在汤中加水，汤变淡了；
（3）小狗越来越可爱了．
练习
指出下列问題中的变量和常量：
(1)某市的自来水价为4元/t。现要抽取若干户居民调查水费支出情况，记某户月用水量为xt，月应交水费为y元
(2)某地手机通话费为0.2元/min。李明在手机话费卡中存入30元，记此后他的手机通话时间为tmin，话费卡中的余额为v元
(3)水中涟漪(圆形水波)不断扩大，记它的半径为r，圆周长为C，圆周率(圆周长与直径之比)为π(4)把10本书随意放入两个抽屉(每个抽屉内都放)，第一个抽屉放入x本第二个抽屉放入y本。?
观察思考 分析变化
补全下表：
（1）汽车以60 km/h 的速度匀速行驶，行驶的时间为t h，行驶的路程为s km；
行驶时间 t/h? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??
……
? 1? ? ? ? ? ? ? 3? ? ? ? ? ? ?3.4? ? ? ? ? ? ? ? 4? ? ? ? ? ? ? 9? ? ? ? ? ? ? ?……
60
180
204
540
240
这个问题中有几个变量？
当t取定一个值时，s有几个值与之对应？
两个
一个
行驶里程s/km
观察思考 分析变化
（2）每张电影票的售价为10 元，设某场电影售出x
张票，票房收入为y 元．
这个问题中有几个变量？
当x取定一个值时，y有几个值与之对应？
两个
一个
观察思考 分析变化
（3）圆形水波慢慢地扩大，圆的半径为r，圆的面积为S．
这个问题中有几个变量？
当r取定一个值时，S有几个值与之对应？
两个
一个
观察思考 分析变化
（4）用10 m长的绳子围一个矩形，设矩形的一边长为
x，它的邻边长y．
这个问题中有几个变量？
当r取定一个值时，S有几个值与之对应？
?
两个
一个
归纳共性 初步概括
上面每个问题中的两个变量互相联系，
当其中一个变量取定一个值时，
另一个变量就有唯一确定的值与其对应．
?
这些变化过程中，变量之间关系有什么共同特点？
观察思考　再次概括
下图是体检时的心电图，其中图上点的横坐标x表示时间，纵坐标y表示心脏部位的生物电流，它们是两个变量．在心电图中，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应吗？
观察思考　再次概括
如图是北京某天的气温变化图，你能根据
图象说出某一时刻的气温吗？
观察思考　再次概括
下面的我国人口数统计表中，年份与人口数可以分别记作两个变量x与y．对于表中每一个确定的年份x，都对应着一个确定的人口数y吗？
观察思考　再次概括
下面是中国代表团在第23 届至30 届夏季奥运会上获得的金牌数统计表，届数和金牌数可以分别记作 x 和 y，对于表中每一个确定的届数 x，都对应着一个确定的金牌数 y 吗？
届数
x/届
金牌数
y/枚
23? ? ? ? 24?? ? ? 25? ? ?26?? ? ?27?? ? ? 28? ? ? 29? ? ? ?30
15? ? ? ? 5? ? ? ? 16? ? ? 16? ? ? 28? ? ? ?32? ? ? 51? ? ? ?38
观察思考　再次概括
综合以上这些现象，你能再次归纳出上面所有事例的变量之间关系的共同特点吗？
函数的定义：
　　一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量 x 与 y，并且对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 x 是自变量，y 是 x 的函数．
如果当 x =a 时，对应的 y =b，
那么 b 叫做当自变量的值为 a 时的函数值．
例题
下列等式中，y是x的函数的有（? ? ?）
(1)3x?-2y=1;? ? ? (2)y=
(3)?y=? ? ? ? ??;?(4)|y|=x? ?;(5) y=1
?A.2个? ? ? ? ? ? B.3个? ? ? ? ? ? C.4个? ? ? ? ? ? ? ?D.5个
B
x?+3
5x?
例题
下列等式中，y是x的函数的有（? ?）
D
A? ? ? ? ? ? ? ? ??B? ? ? ? ? ? ? ? ? ??C? ??? ? ? ? ? ?? ? ?D.
练习
下列说法正确的是（? ? ?）?
A.变量x，y满足x+3y=1，则y是x的函数
B.变量，y满足|y|=x，则y是的函数
C.变量，y满足? ? ? ?=x，则y是x的函数
D.变量x，y满足? ? ? =? ? ，则y是a的函数?
A
练习
下列曲线中，y不是x的函数是（? ?）
C
A? ? ? ? ? ? ? ? B? ? ? ? ? ? ? ? ?C? ??? ? ? ? ? ?? ?D.
例题
汽车油箱中有汽油50L。如果不再加油，那么油箱中的油量y(单
位：L)随行驶路程x(单位：km)的增加而减少，平均耗油量为0.1L/km。
(1)写出表示y与x的函数关系的式子；
(2)指出自变量x的取值范围
(3)汽车行驶200km时，油箱中还有多少汽油?
解：(1)行驶路程x是自变量，油箱中的油量y是x的函数，它们的关系为y=50—0.1x.
例题
汽车油箱中有汽油50L。如果不再加油，那么油箱中的油量y(单
位：L)随行驶路程x(单位：km)的增加而减少，平均耗油量为0.1L/km。
(1)写出表示y与x的函数关系的式子；
(2)指出自变量x的取值范围
(3)汽车行驶200km时，油箱中还有多少汽油?
(2)仅从式子y=50-0.1x看，x可以取任意实数。但是考虑到x代表的实际意义为行驶路程，因此x不能取负数。行驶中的耗油量为
?0.1x，它不能超过油箱中现有汽油量50，即
0.1x≤50
因此，自变量x的取值范围是0≤x≤500??
确定自变量的取值
范围时，不仅要考虑使
函数关系式有意义，而
且还要注意问题的实际
意义
例题
汽车油箱中有汽油50L。如果不再加油，那么油箱中的油量y(单
位：L)随行驶路程x(单位：km)的增加而减少，平均耗油量为0.1L/km。
(1)写出表示y与x的函数关系的式子；
(2)指出自变量x的取值范围
(3)汽车行驶200km时，油箱中还有多少汽油?
(3)汽车行驶200km时，油箱中的汽油量是函数y=50—0.1x在x=200时的函数值。将x200代入y=50—0.1x，得y=50-0.1×200=30汽车行驶200km时，油箱中还有30L汽油。??
解析式的概念
像y=50-0.1x这样，用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系，
是描述函数的常用方法．
这种式子叫做函数的解析式．
练习
?
2.梯形的上底长2cm，高3cm，下底长xcm大于上底长但不超过5cm。写出梯形面积S关于x的函数解析式及自变量x的取值范围。
练习
小明想用最大刻度为100℃的温度计测量食用油的沸点温度（远高于100℃），显然不能直接测量，于是他想到了另一种方法，把常温10℃的食用油放在锅内用煤气灶均匀地加热，开始加热后，每隔10 s 测量一次油温，共测量了4次，测得的数据如下：
请你按下面的问题进行思考：
（1）在这个测量过程中，锅中油的温度w 是加热时间t 的函数吗？
练习
小明想用最大刻度为100℃的温度计测量食用油的沸点温度（远高于100℃），显然不能直接测量，于是他想到了另一种方法，把常温10℃的食用油放在锅内用煤气灶均匀地加热，开始加热后，每隔10 s 测量一次油温，共测量了4次，测得的数据如下：
请你按下面的问题进行思考：?
（2）能写出w 与t 的函数解析式吗？?
练习
小明想用最大刻度为100℃的温度计测量食用油的沸点温度（远高于100℃），显然不能直接测量，于是他想到了另一种方法，把常温10℃的食用油放在锅内用煤气灶均匀地加热，开始加热后，每隔10 s 测量一次油温，共测量了4次，测得的数据如下：
请你按下面的问题进行思考：
（3）求这种食用油沸点的温度．??
练习
请用含自变量的式子表示下列问题中的函数关系：
（1）汽车以60 km/h 的速度匀速行驶，行驶的时间为 t（单位：h），行驶的路程为 s（单位：km）；
（2）多边形的边数为 n，内角和的度数为 y．
练习
下列问题中，一个变量是否是另一个变量的函数？请说明理由．
（1）向一水池每分钟注水0.1? ? ，注水量 y（单位：? ? ?）
? ? ? ? ? 随注水时间 x（单位：min）的变化而变化；?
（2）改变正方形的边长 x，正方形的面积 S 随之变化；
（3）秀水村的耕地面积是106 m2，这个村人均占有耕地
? ? ? ? ? 面积 y （单位：? ? ? ）随这个村人数 n 的变化而变化；
（4）P是数轴上的一个动点，它到原点的距离记为 x，
? ? ? ? ? 它的坐标记为 y，y 随 x 的变化而变化．
练习
你能用含自变量的式子表示下列函数，并说出自变量的取值范围吗？?
（1）等腰三角形的面积为12，底边长为 x，底边上的高为 y，y 随着 x 的变化而变化；?
（2）把边长为10 cm 的正方形纸板的四个角都截去一个边长为 x 的小正方形，做成一个无盖的长方体，该长方体的体积 V（单位：cm3）随 x（单位：cm）的变化而变化．
练习
下图是一只蚂蚁在竖直的墙面上的爬行图，请问：蚂蚁离地高度 h 是离起点的水平距离 t 的函数吗？为什么？
蚂蚁离起点的水平距离 t 是离地高度 h 的函数吗？为什么？
补充题
某市出租车价格是这样规定的：不超过25千米，付车费5元，超过的部分按每千米13元收费已知某人乘坐出租车行驶了m(x>25)千米，付车费y元，请写出出租车行驶的路程x(千米)与所付车费y(元)之间的函数关系式，并求出x=15时的函数值
答案：? ? ? ? ? ?
y=5(x≤2.5) 当x=15时,y=5+1.3×(15-25)=21.25
补充题
已知等腰三角形的周长为 50 cm，若设底边长为x cm，腰长为y cm，求 y 关于 x 的函数解析式及自变量 x 的取值范围．
答案：?
例题
求函数? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 中自变量的取值范围。
答案：x≥1且x≠3
练习
求下列函数中自变量x的取值范围。
（1）
（2）
（3）
答案：（1）x为全体实数；
? ? ? ? ? ? （2）x-3≠0，x≠3；
? ? ? ? ? ? （3）2x+3≥0，x?≥-1.5
练习
求下列函数中自变量x的取值范围。
（1）? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??（2）? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??（3）
答案：（1）x>0.5? ? ? ；
? ? ? ? ? ? （2）x为全体实数；
? ? ? ? ? ? （3）x≥-3，且x≠-2．
总结
变量和常量：
函数的定义：
自变量的取值范围：
变化的量就是变量，不变的量就是常量
一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量 x 与 y，并且对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 x 是自变量，y 是 x 的函数．
考虑自变量的取值范围时，既要考虑数学意义，
也要考虑实际意义．