人教版八年级下册数学 18.2.2菱形课件(共40张PPT)

18.2.2 菱形
A
B
C
D
O
2、理解并掌握菱形的定义及性质，会用这些性质进行有关的证明和计算，会计算菱形的面积.
1、掌握菱形概念，知道菱形与平行四边形的关系.
3、理解并掌握菱形的定义及两个判定方法,会用这些判定方法进行有关的证明和计算.
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
AB=BC
四边形ABCD是菱形.
□ ABCD
菱形的定义
小明是这样做的：将一张长方形的纸对折、再对折，然后沿图中的虚线剪下，打开即可.你知道其中的道理吗？
如何利用折纸、剪切的方法，既快又准确地剪出一个菱形的纸片？
1、图中有哪些相等的线段？
2、图中有哪些相等的角？
3、图中有哪些等腰三角形？
4、图中有哪些直角三角形？
5、菱形是轴对称图形吗？它有几条对称轴？分别是什么？对称轴间有什么关系？
已知四边形ABCD是菱形
A
B
C
D
O
1
2
3
4
5
6
7
8
已知四边形ABCD是菱形
A
B
C
D
O
1、相等的线段：
AB=CD=AD=BC，
OA=OC， OB=OD.
已知四边形ABCD是菱形
A
B
C
D
O
1
2
3
4
5
6
7
8
2、相等的角：
∠DAB=∠BCD， ∠ABC =∠CDA，
∠AOB=∠DOC=∠AOD=∠BOC =90°，
∠1=∠2=∠3=∠4， ∠5=∠6=∠7=∠8.
已知四边形ABCD是菱形
3、等腰三角形有：
△ABC， △DBC， △ACD， △ABD.
A
B
C
D
O
1
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8
已知四边形ABCD是菱形
A
B
C
D
O
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4、直角三角形有：
Rt△AOB, Rt△BOC, Rt△COD, Rt△DOA.
B
C
D
菱形的性质：
（1）菱形具有平行四边形的一切性质.
（2）菱形的四条边都相等.
（3）菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.
（4）菱形是轴对称图形,也是中心对称图形.
A
已知：菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O.
证明：∵四边形ABCD是菱形,
A
B
C
D
O
在△ABD中，又∵BO=DO.
∴AB=AD.（菱形的四条边都相等）
∴AC⊥BD，AC平分∠BAD.
求证：AC⊥BD ； AC平分∠BAD和
∠BCD ；BD平分∠ABC和∠ADC .
命题：菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角.
同理：AC平分∠BCD；BD平分
∠ABC和∠ADC.
上述的命题也是一个定理
菱形的两组对边平行且相等
边
对角线
角
菱形的四条边相等
菱形的两组对角分别相等
菱形的邻角互补
菱形的两条对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角.
A
D
C
B
O
菱形的性质
【菱形的面积公式】
菱
形
A
B
C
D
O
E
S菱形=BC·AE
思考:计算菱形的面积除了上式方法外,利用对角线能计算菱形的面积吗?
= S△ABD+S△BCD = AC×BD
S菱形ABCD
菱形的面积=底×高=对角线乘积的一半
A
B
C
D
O
【例题】
两
一
【跟踪训练】
·
·
·
·
,而
所以菱形的
边长为4.
4
根据菱形的定义,可得菱形的第一个判定方法:
AB=AD,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴四边形ABCD是菱形.
符号表示：
一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
菱形的判定
求证： 是菱形.
命题：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
已知：在 中，AC ⊥ BD,
证明：
∴□ABCD是菱形.
又∵ AC ⊥ BD,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=OC.
∴BA=BC,
A
B
C
D
O
定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
□ ABCD
□ ABCD
1、一组邻边相等的平行四边形是菱形.
2、对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
3、四条边相等的四边形是菱形.
菱形常用的判定方法
【跟踪训练】
·
·
·
·
2.□ ABCD的对角线AC与BD相交于点O，
（1）若AB=AD，则□ABCD是 形；
（2）若AC=BD，则□ABCD是 形；
（3）若∠ABC是直角，则□ABCD是 形；
（4）若∠BAO=∠DAO，则□ABCD是 形.
A
B
C
D
O
矩
菱
矩
菱
，
，
即四边形AFCE是菱形.
4.
在
5.把两张等宽的纸条交叉重叠在一起，你能判断重叠部分ABCD的形状吗？
A
C
D
B
菱形
1.（陕西·中考）若一个菱形的边长为2，则这个菱形两条对角线的平方和为（ ）
A.16 B.8 C.4 D.1
【解析】选A.设这个菱形两条对角线长分别为a,b.由菱形对角线互相垂直且平分，则
即a2+b2=16.
2.（连云港·中考）如图，四边形ABCD的对角线AC,BD互相垂直，则下列条件能判定四边形ABCD为菱形的
是（ ）
A.BA=BC B.AC、BD互相平分
C.AC=BD D.AB∥CD
【解析】选B.对角线互相垂直且平分的四边形是菱形.
3. （茂名·中考）如图，两条笔直的公路 , 相
交于点O，村庄C的村民在公路的旁边建三个加工厂A,
B,D，已知AB=BC=CD=DA=5公里，村庄C到公路 的距离
为4公里，则村庄C到公路 的距离是
A．3公里 B．4公里
C．5公里 D．6公里
【解析】选B，连接AC，由题意知四边形ABCD是菱形，所
以AC为∠DAB的平分线，所以点C到 ， 的距离相等，
故选B.
4.（珠海·中考）如图，P是菱形ABCD对角线BD上
一点，PE⊥AB于点E，PE=4 cm，则点P到BC的距离
是____cm.
【解析】菱形对角线平分一组对角，且角平分线上的点到角两边的距离相等，故点P到BC的距离是4 cm.
答案：4
5.（温州·中考）如图，在
□ ABCD中，EF∥BD，分别交BC，CD于
点P，Q，交AB，AD的延长线于点E，F.
已知BE=BP.
求证：（1）∠E=∠F.
（2）□ ABCD是菱形.
【证明】(1)在□ABCD中，BC∥AD，
∴∠1=∠F.∵BE=BP,∴∠E=∠1,∴∠E=∠F.
（2）∵BD∥EF,
∴∠2=∠E，∠3=∠F.
∵∠E=∠F,
∴∠2=∠3,
∴AB=AD,
∴□ ABCD是菱形.
6.（郴州·中考）一种千斤顶利用了四边形的不稳定性.
如图，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动
手柄可改变∠ADC的大小（菱形的边长不变），从而改变
千斤顶的高度（即A，C之间的距离）.若AB=40 cm,当∠ADC
从60°变为120°时，千斤顶升高了多少？（ ≈1.414,
≈1.732，结果保留整数）
【解析】连接AC，与BD相交于点O，
∵四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD，∠ADB=∠CDB，AC=2AO.
当∠ADC=60°时，△ADC是等边三角形.
∴AC=AD=AB=40cm.
当∠ADC=120°时，
∴∠ADO=60°，∠OAD=30°,
又AD=40,∴OD=20.

本节课主要学习了菱形的定义、性质、判定：

1、掌握菱形的定义、性质、判定.
2、弄清菱形的性质、判定的区别与联系.
3、会应用菱形的知识解决有关计算和证明问题
一、菱形的定义
有一组_____相等的平行四边形叫做菱形.
二、菱形的性质
1.菱形的四条边都_____.
2.菱形的两条对角线互相_____,并且每一条对角线_____
一组对角.
菱形的面积等于它的两条对角线之积的一半.
邻边
相等
垂直
平分