人教版八年级下册数学 18.2.3 正方形 课件(共38张PPT)

(1)平行四边形有哪些性质?矩形与平行四边形比较有哪些特殊的性质?
平行四边形
边:
角:
对角线:
对边平行且相等
对角相等,邻角互补
对角线互相平分
矩形
角:
四个角是直角
对角线:
对角线相等且互相平分
边
对边平行且相等
菱形的性质
菱形的性质
边:
四条边相等
对角线:
互相垂直平分
分别平分两组对角
角:
具有平行四边形一切性质
对角相等,邻角互补
创设情景一
?
问题:
从这个图形中你能得到什么？
你是怎样想到的？
?
┓
90°
当? =90°时,这个四边形还是菱形,但它是特殊的菱形是一个内角为直角的菱形也是正方形.
问题:
情景二
图中CD在移动时，这个图形始终是怎样的图形？（CD在移动的过程中始终保持与AB平行）
当CD移动到C?D?位置，且 AD? ＝AB时，此
时的图形还是矩形吗？
A
B
C
D
A
B
C?
D?
当AD＝AB这个四边形是矩形,它是特殊的矩形是一组邻边相等的矩形也是正方形.
你能从这个变化过程中给正方形下定义吗?
有一个角是直角的菱形叫做正方形。
有一组邻边相等的矩形叫做正方形。
有一个角是直角一组邻边相等的平行四边形叫做正方形。
是直角
有一个角
边相等
有一组邻
边相等
有一组邻
是直角
有一个角
正方形的概念：
_______________________________ 的平行四边形是正方形。
_______________的菱形是正方形
_________________的矩形是正方形
定义法
菱形法
矩形法
有一组邻边相等且有一个角是直角的
有一个角是直角
有一组邻边相等
正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形，也是特殊的菱形。
有一个角是直角
有一组邻边相等
有一组邻边相等
有一个角是直角
有一组邻边相等且有一个角是直角
正方形、矩形、菱形及平行四边形四者之间的关系
平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系
平行四边形
矩形
菱形
正方形
八年级 数学
第十九章 四边形
(2)正方形是轴对称图形吗?如果是,它有几条对称轴?
正方形是轴对称图形，它有四条对称轴.即两条对角线，两组对边的中垂线.
对称性
特征
正方形是中心对称图形,对称中心为点O
它也是轴对称图形,有4条对称轴
(1)它具有平行四边形的一切性质
两组对边分别平行且相等，两组对角相等，对角线互相平分
(2)具有矩形的一切性质
四个角都是直角，对角线相等
(3)具有菱形的一切性质
四条边相等；对角线互相垂直，每条对角线平分一组对角
O
A
B
C
D
(A)
(B)
(C)
(D)
正方形的 两条对角线互相垂直平分且相等,每条对角线平分一组对角
四条边都相等，对边平行
四个角都是直角
边
对角线
角
正方形的性质
O
A
B
C
D
小试牛刀
1.正方形ABCD，对角线交于0，
1)若AB=2㎝，则AC=_____,OA=_____,周长____，面积_____。
2)若OB=2㎝，则AC=_____,AB=_____,周长____，面积_____。
3)若AC+BD=8㎝，则AC=_____,AB=_____,正方形面积_____。
2.已知正方形的面积为9cm,它的周长为 _______________.
3.正方形的边长为a,当边长增加1时,其面积增加了__________.
O
A
B
C
D
4.正方形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）
A、四个角相等.
B、对角线互相垂直.
C、对角互补.
D、对角线相等.
5.正方形具有而菱形不一定具有的性质（ ）
A、四条边相等.
B、对角线互相垂直平分.
C、对角线平分一组对角.
D、对角线相等.
B
D
随堂练习
议一议
用10米长的篱笆围成一个四边形菜地，如何确定面积最大的四边形的形状，面积为多少？
在长度给定的情况下，围成的四边形中，
正方形的面积最大。
6.
7、如图，四边形ABCD是正方形，延长BC到E，使CE=AC，连接AE，交CD于F，求∠E， ∠AFC的度数.
A
B
D
C
E
F
8.、如图，正方形ABCD中，BE=BD，求∠E
A
B
C
D
E
练:正方形ABCD中，M为AD中点，ME⊥BD于E，MF⊥AC于F,若ME+MF =8cm，则AC=________.
课堂练习
10.已知正方形ABCD中,AC=10,P是AB上一点,PE⊥AC于E，PF⊥BD于F,则PE+PF=______________.
5
30°
16cm
9.以正方形ABCD的一边DC向外作等边△DCE,则∠AEB=_____.
P
A
B
C
D
E
F
O
E
A
B
C
D
M
A
B
C
D
E
F
O
分析：PE=AE，PF=OE
PE＋PF＝OA
学一学
?
11. 如图，在正方ABCD中，对角线AC、BD相交于O，
1)图中有多少个等腰直角三角形
2)说出图中相等的线段、相等的角。
3)求∠ABD、∠DAC、∠DOC的度数。
O
A
B
C
D
答案：1、八个 △ABC△BCD △CDA △DAB △AOB △AOD △BOC △COD
2 AB=BC=CD=DA AC=BD
OA=OB=OC=OD
3答案见课本107页
12.如图四边形ABCD和DEFG都是正方形，试说明AE=CG
解：
因为四边形ABCD是正方形
根据正方形的四边相等，得
AD=CD
又知四边形DEFG也是正方形
所以 DE=DG
又因为正方形的每个内角为90°
所以∠ADE＋∠EDC＝∠CDG＋∠EDC
所以∠ADE＝∠CDG
所以三角形ADE可以看成是由三角形CDG绕着点D顺时针
旋转 90° 得到。⊿AED≌ ⊿CGD
所以AE=CG
A
B
C
D
E
F
G
13：如图，点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB的延长线上一点，且DE=BF．求证：（1）AE=AF；（2）EA⊥AF．
1
2
3
练一练
证明：（1）∵ ABCD是正方形
∴AD=AB，∠ADE=∠ABF=90°
在△ABF与△ADC中
AD=AB
∠ADE=∠ABF=90°
DE=BF
∴ △ABF≌△ADE（SAS）
∴ FA=EA ,∠1=∠3
（2）∵∠2+∠3=90 °
∴∠1+∠2=90 °
∴ EA⊥FA
1
2
3
14.如图，正方形ABCD中，点E是CD边上一点，连接AE交对角线BD于点F，则图中全等三角形共有（ ）
A B
C D
E
F
C
A.1对
B.2对
C.3对
D.4对
15.如图，在AB上取一点C，以AC、BC为正方形的一边在同一侧作正方形AEDC和BCFG连结AF、BD延长BD交AF于H。
求证：(1) △ACF≌△DCB
(2) BH⊥AF　　　　　　　　　　　　　　
证明：
16.如图，正方形OPQR的一个顶点O是边长为2的正方形ABCD对角线AC与BD的交点，则两
正方形重合部分的
面积是
A D
B C
O
P
Q
R
17、如图，四边形ABCD.DEFG都是正方形，连接AE.CG。
（1）求证：AE=CG
（2）观察图形，
猜想AE与CG的位置
关系，并证明你的
猜想。
A
B D E
C
G F
正方形ABCD中∠DAF=25°,AF交对角线BD于E,交CD于F,求∠ BEC的度数.
A
B
C
D
E
F
若∠DCE=30°则∠DAF=
思考
小结
1 .正方形是中心对称图形，轴对称图形。
2.正方形的四条边都相等。
3.正方形的四个角都相等。
4.正方形的对角线互相垂直平分且相等，
且每一条对角线平分一组对角。
O
A
B
C
D
平行四边形
菱形
矩形
正方形
一组邻边相等
有一个角是直角
有一个角是直角
一组邻边相等
正方形既是菱形，又是矩形，因此正方形有下列性质：
正方形是轴对称图形，两条对角线所在直线，以及过每一组中点的直线都是它的对称轴.
正方形的四条边都相等，四个角都是直角
正方形的对角线相等，且互相垂直平分；每条对角线平分一组对角．
正方形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心.
根据图形所具有的性质,在下表中相应的空格里打“ √ ”
√ √ √ √
√ √
√ √
√ √ √ √
√ √
√ √
√ √
A
B
C
D
O
本题还有其他解法吗?
解: ∵正方形ABCD是菱形.
∴AC ⊥BD
∴ ∠AOB= 90°
又 ∵正方形ABCD既是矩形又是菱形.
∴ ∠BAD= 90°, 且AC平分∠BAD
∴ ∠OAB= 45°
例：如图，四边形ABCD是正方形，两条对角线相交于点O，求∠AOB，∠OAB的度数。
（1）边长为2cm 的正方形，对角线的长是______cm
A
B
C
D
O
（2）正方形ABCD，对角线AC、BD相交于点O，问图中有____个等腰直角三角形
解:以正方形的四个顶点为直角顶点,共有四个等腰直角三角形,以正方形两条对角线的交点为顶点的等腰直角三角形也有四个,因而共有八个等到腰直角三角形.分别是:
8
正方形ABCD中，E是BC延长线上一点，且CE=AC, AE交DC于点F,试求∠E, ∠AFC的度数
解：
∵正方形ABCD的四个角均为直角，且对角线平分一组对角。
∵CE=AC
∴∠E=∠CAE
∵∠ACB是⊿ACE的一个外角
∴∠ACB=∠E+∠CAE=2∠E
∵∠AFC是⊿CEF的一个外角
∴∠AFC=∠E+∠FCE=22.5°+90°=112.5°
∴∠E=22.5°, ∠AFC=112.5°
j
F
E
A
B
D
C
例3如图所示，正方形ABCD中，P为BD上一点，PE⊥BC于E， PF⊥DC于F。试说明：AP=EF
A
B
C
D
P
E
F
解:
连接PC
∵PE⊥BC ， PF⊥DC
而四边形ABCD是正方形
∴∠FCE=90°
∴四边形PECF是矩形
∴PC=EF
又∵四边形BAPC是以BD为轴的轴对称图形
∴AP=PC
∴AP=EF
如图，将一张长方形纸对折两次，然后剪下一个角，打开，怎样才能剪出一个正方形？
只要保证剪口线与折痕成45°角即可
正方形、矩形、菱形以及平行四边形四者之间有什么关系？
数一数图中正方形的个数，你发现了什么？
多
多
多
（　）个（　）个　　（　）个　　　　 （　）个
第n个图中正方形有 个
3n-1
长见识
八年级 数学
第十九章 四边形
边
角
对角线
平行四边形
对边平行且相等.
对角相等.
对角线互相平分.
矩形
对边平行且相等.
四个角都是直角.
对角线互相平分、相等.
菱形
对边平行,
四条边相等.
对角相等
对角线互相垂直、平分. 每一条对角线平分一组对角.
正方形
对边平行.
四条边相等.
四个角都是直角.
对角线互相垂直、平分且相等. 每一条对角线平分一组对角.