1.1正弦定理和余弦定理水平测试题（1）

1.1正弦定理和余弦定理水平测试题（1）
一、选择题
1.在△ABC中，下列关系一定成立的是（ ）
A.absinA D.a≥bsinA
答案：D 提示：结合图形即知.
2.如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为（ ）
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.由增加的长度决定
答案：A 提示：设三角形三边长分别为,且当三边长均增加时，，从而说明其最大角为锐角，∴此时三角形为锐角三角形.
3. 若△ABC的边角满足，则△ABC的形状是（ ）
A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形
答案：D 提示：解法1 利用余弦定理将条件化为边之间的关系可得
，所以或，故△ABC是等腰或直角三角形.
解法2 利用正弦定理化为角的关系可得
，
所以，
即，
即，
所以，结合角的范围知或，即或，即或，可知△ABC为等腰或直角三角形.
4.如果满足，，的△ABC恰有一个，那么的取值范围是（　 ）
A. 　 B.
C. D.或
答案：D 提示：当即时，三角形只有一个；当时，三角形也只有一个.
二、填空题
5.在△ABC中，已知A=45°，B=30°，c=10，则b=______________.
答案： 提示：利用正弦定理.
6.如果△ABC满足，∠B=30°，且其面积为，那么b=____________.
答案： 提示：联立即可求得b=.
三、解答题
7.如图，已知
求的长.
解：解法一：
连结，在△ABC中，由余弦定理得
7
在△ABC中，由正弦定理得
又
在△BCD中，由正弦定理得
在Rt△ABD中，由勾股定理得
解法二：
四点共圆，且为直径.
在△ABC中，由正弦定理得
由解法一知.
8.已知分别是△ABC中的角对边，且.
（1）求角的大小；
（2），求的值.
解：（1）由余弦定理知，又.
(2)解法1（利用余弦定理）
将代入得.
.
又
.
解法2（利用正弦定理＋余弦定理）
将代入得.
由正弦定理得.
又∴为锐角.
，
.
解法3（利用正弦定理）
即
解得.
备用题
1. 若一个三角形的三边之比为，则该三角形最大内角的度数为（ ）
A.30° B.120° C.135° D.150°
答案：B 提示：利用余弦定理.
2.若，则△ABC的形状为（ ）
A.等边三角形 B.等腰直角三角形
C.有一个角为30°的直角三角形 D.有一个角为30°的等腰三角形
答案：B 提示：由题意知，又，故，同理，所以△ABC为等腰直角三角形.
3.在△ABC中，已知A=30°，a=8，b=则三角形的面积为（ ）
A. B.16 C.或16 D.或
答案：D 提示：利用正弦定理，注意此题有两解.
4.在△ABC中，若，则C=（ ）
A.60° B.30° C.120° D.45°或135°
答案：D
提示：由可得，故.
5.在△ABC中，AB=3，BC=，AC= 4，则边AC上的高为______.
答案： 提示：由余弦定理，∴所以边AC上的高.
6.在△ABC中，已知，，，则_______.
答案： 提示：由三角形面积公式，得，
由余弦定理，，∴，
∴.
7.在锐角中，则的值等于 ____，的取值范围为 ___________.
答案：2， 提示： 设由正弦定理得
由锐角得，
又，故，
8.在△ABC中，，b+c=4，试确定边a的取值范围.
解：由正弦定理得，所以，
故有==，
而==，当B=时，取得最大值1，此时a取得最小值2.
9.已知a、b、c为三角形ABC中角A、B、C的对边，且，求这个三角形的最大内角.
解：因为，所以
所以
因为b>0,所以所以a>3,所以
即b所以c>a ② 由①②可得c边最大.
在三角形ABC中，有余弦定理得：
.
所以C=1200,即三角形的最大内角为1200.
B
D
C
A