第四章导数的应用水平测试卷及答案（1）

第四章导数的应用水平测试（1）
一．选择题(本大题共12道小题，每小题5分，共60分)
1．下列有关导数的说法错误的是（　　）
（A）就是曲线在点的切线的斜率；
（B）与意义是一样的；
（C）设是位移函数，则表示物体在时刻的瞬时速度；
（D）设是速度函数，则表示物体在时刻的加速度。
2．将半径为R的球加热，若球的半径增加，则球的体积增加（　　）
（A）　　　（B）　　　（C）4　　　（D）
3．若，则等于（　　）
（A）－1　　　　　　（B）－2　　　　　　（C）1　　　　　（D）
4．下列四组函数中，导数相等的是 ( )
(A)与 (B)与
(C) 与 (D)与
5．某汽车启动阶段的路程函数为，则秒时，汽车的加速度是（　　）
（A）14　　　　　　 （B）4 (C)10 (D)6
6.点P在曲线上移动，过点P的切线的倾斜角的取值范围是　　　（　　）
（A）　（B）　（C）　（D）
7.函数的极大值为6，则的值为　（　　）
　　（A）1　　　（B）0　　　　　（C）5　　　　　（D）6
8．函数在区间上的最大值为（　　）
（A）－1　　（B）0　　　　　（C）1　　　　　（D）4
9．已知在区间[－2,2]上的最大值为3，那么此函数在区
间[－2,2]上的最小值是（　　）
　　（A）－37　　（B）－29　　　（C）－5　　　　（D）－11
10．设底为等边三角形的直棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为　　（　　）
（A）　　（B）　　（C）　　　（D）
11．函数在区间上的值域为　　　　　　　　　　　（　　）
（A）　（B）　（C）　（D）
12．抛物线上点A处的切线与直线的夹角为，则点A的坐标为
（　）
（A）（－1,1）　　（B）　　（C）　　（D）（－1,1）或
二．填空题(本大题共4道小题，每小题4分，共16分)
13．函数的单调减区间为 。
14．函数在处有极值10，则 。
15．函数在区间[－2,3]上的最大值与最小值分别是　　　　　　　。
16．抛物线和直线在处相切，则　　　　；　　　　。
三．解答题(本大题有6道小题，共74分)
17（12分）．已知抛物线与直线
（1）求两曲线的交点；
（2）求抛物线在交点处的切线方程。
18（12分）．设，当时，恒成立，求实数的取值范围。
19（12分）．设a为实数,函数
(Ⅰ)求的极值.
(Ⅱ)当a在什么范围内取值时,曲线轴仅有一个交点.
20（12分）．用长为90cm,宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四角分别截去一个小正方形,然后把四边翻转90°角,再焊接而成(如图),问该容器的高为多少时,容器的容积最大 最大容积是多少
21（12分）．已知函数f(x)=－x3＋3x2＋9x＋a,
（I）求f(x)的单调递减区间；
（II）若f(x)在区间[－2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．
22（14分）．已知函数，
（1）求的单调区间和值域；
（2）设，函数，若对于任意，总存在，使得成立，求的取值范围
参考答案
1．B　2.B 3.A 4.D 5.A 6.B 7.D 8.B 9.A 10.C 11.A 12.D
13．　14. 4　15.　32，　　16.－2,4
17．解：（1）由，求得交点A（－2,0），B（3,5） （2）因为，则
所以抛物线在A、B两点处的切线方程分别为与即与。
18．解：，由得，即或；
由得即，所以函数单调增区间是，；
函数的单调减区间是。由恒成立，大于的最大值。当时，(1)当时，为增函数，所以；(2)当时，为减函数，所以；(3)当时，为增函数，所以；因为，从而。
19．解：（1），若，则当变化时，的变化情况如下表：
＋ 0 － 0 ＋
极大值 极小值
所以的极大值是，极小值是；
（2）函数，由此可知取足够大的正数时，有；取足够小的负数时，有，所以曲线与轴至少有一个交点。
结合的单调性可知：(1)当的极大值，即时，它的极值也小于0，因此曲线与轴只有一个交点，它在上；(2)当的极小值时，即时，它的极大值也大于0，因此曲线与轴只有一个交点，它在上；所以当时，曲线与轴仅有一个交点。
20．解：设容器的高为x，容器的体积为V，
则V=（90-2x）（48-2x）x,(0∵V′=12 x2-552x+4320 由V′=12 x2-552x+4320=0得x1=10，x2=36
∵x<10 时，V′>0, 1036时，V′>0,
所以,当x=10,V有极大值V(10)=1960 又V(0)=0,V(24)=0,
所以当x=10,V有最大值V(10)=1960
21．解：（I） f ’(x)＝－3x2＋6x＋9．令f ‘(x)<0，解得x<－1或x>3，所以函数f(x)的单调递减区间为（－∞，－1），（3，＋∞）．
（II）因为f(－2)＝8＋12－18＋a=2＋a，f(2)＝－8＋12＋18＋a＝22＋a，
所以f(2)>f(－2)．因为在（－1，3）上f ‘(x)>0，所以f(x)在[－1, 2]上单调递增，又由于f(x)在[－2，－1]上单调递减，因此f(2)和f(－1)分别是f(x)在区间[－2，2]上的最大值和最小值，于是有 22＋a＝20，解得 a＝－2.故f(x)=－x3＋3x2＋9x－2，因此f(－1)＝1＋3－9－2＝－7，即函数f(x)在区间[－2，2]上的最小值为－7．
22．解：（1）对函数求导，得，令解得 或，当变化时，、的变化情况如下表：
x 0
0
所以，当时，是减函数；当时，是增函数； 当时，的值域为
（2）对函数求导，得 ,因此，当时， ,因此当时，为减函数，从而当时有.又，，即当时有任给，，存在使得，则
即；解式得 或；解式得
又，故：的取值范围为