第四章导数的应用水平测试卷及答案（2）

第四章导数的应用水平测试（2）
一、选择题
1. 已知函数y=f(x)=x2+1,则在x=2,Δx=0.1时,Δy的值为
A.0.40 B.0.41 C.0.43 D.0.44
解析:由函数值的增量公式Δy=f(x0+Δx)－f(x0),得Δy=f(2+0.1)－f(2)=(2+0.1)2+1－(22+1)=0.41.
答案:B
2．函数的图象在处的切线的斜率是（ ）
A.3 B.6 C.12 D.
解析：
答案：B
3. （ ）
答案：C
4．函数，在上的最大、最小值分别为（ ）
A. B. C. D.
解析：，讨论点，得答案为B.
答案：B
5．下列结论中正确的是（ ）
A．导数为零的点一定是极值点
B.如果在附近的左侧，右侧，那么是极大值
C. 如果在附近的左侧，右侧，那么是极小值
D. 如果在附近的左侧，右侧，那么是极大值
解析：根据函数的单调性与导数的关系和极值点的定义选B.
答案：B
6. 如图是函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象,则下面判断正确的是
A.在区间(－2,1)内f(x)是增函数 B.在(1,3)内f(x)是减函数
C.在(4,5)内f(x)是增函数 D.在x=2时,f(x)取到极小值
解:在(－2,1)上,导函数的符号有正有负,所以函数f(x)在这个区间上不是单调函数;同理,函数在(1,3)上也不是单调函数.在x=2的左侧,函数在(－,2)上是增函数,在x=2的右侧,函数在(2,4)上是减函数,所以在x=2时,f(x)取到极大值;在(4,5)上导数的符号为正,所以函数在这个区间上为增函数.
答案:C
7．函数在内有极小值，则实数的取值范围为（ ）
A.(0,3) B. C. D.
解析：，由题意知只要
答案：D
8．抛物线到直线的最短距离为（ ）
A. B。 C。 D。以上答案都不对
解析：由，所以抛物线上点到直线的最短距离，最短距离为，故选B
答案：B
9．曲线y=x2－2x在点(1,－)处的切线的倾斜角为 （ ）.
A．120° B. 135° C. 150° D. 45°
解析：y′=x－2, ∴y′|x=1=1－2=－1.由tanα=－1,0°≤α<180°,得α=135°.
答案：B
10.已知函数在处有极大值，在处极小值，则
、的值分别为 （ ）
A． B.
C. D.
解析：由根与系数的关系得，
答案：D
11. 若在区间[－1,1]上单调递增，则的取值范围为 （ ）.
A. B. C. D.
解析：又在区间[－1,1]上单调递增
在[－1,1]上恒成立 即在[－1,1]的最大值为
,故的取值范围为
答案：C
12．已知函数的图象与轴切于非原点的一点，且，那么、的值分别为 （ ）
A． B.
C. D.
解析：，令切点，则有两个相等实根，且，∴
，令得。
，即，
∴
答案：C
二、填空题
13.
解析：
答案：
14.若，则=
解析：
答案：3
15. 已知函数则的值为 。
解析：∵，∴＝
.
答案：
16. 已知函数有极大值又有极小值，则的取值范围是
解析：为三次多项式，从而为二次函数。若无实数根或有重根，则为非负或非正。从而是单调函数，不会有极值。故若有极值，则应是有不同实根、，此时在与在上符号相反，所以在、处取得极值，且一为极大一为极小。综上所述，可知有极大值又有极小值的充分必要条件是有两个不同实根。
，令得方程
由得
答案：
三、解答题
17．（本题满分13分）求的最大值和最小值。
解析：
∴函数上为单调递增函数，
∴ .
18．设函数的图象与轴的交点为P点，曲线在点P处的切线方程为。若函数在处取得极值0，试求函数的单调区间。
解析：∵函数的图象与轴的交点为P点，
∴点
∴曲线在P点处的切线方程为
由题设知，曲线在点P处的切线方程为，
又函数在处取得极值0，
由
所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为。
19．已知函数上的最大值为3，最小值为，求，的值。
解析：，令
若，
则由，
所以从而。由，所以；
若，则由，所以
。由，所以
综上所述，.
20. 某地政府为科技兴市，欲将如图所示的一块不规则的非农业用地规划建成一个矩形高科技工业园区．已知，曲线段是以点为顶点且开口向右的抛物线的一段．如果要使矩形的相邻两边分别落在上，且一个顶点落在曲线段上，问应如何规划才能使矩形工业园区的用地面积最大？并求出最大的用地面积（精确到）．
解：以为原点，所在直线为轴建立直角坐标系，
则抛物线方程令为．而，代入
则有．
令，易求工业区面积．
求导解得．
当时，，是的增函数，
当时，，是的减函数.
所以当时，取得最大值，且 ．
答：把工业园区规划成长为，宽为的矩形时，工业园区的用地面积最大，最大的用地面积约为．
21. 已知二次函数为常数）；.若直线1、2与函数f（x）的图象以及1，y轴与函数f（x）的图象所围成的封闭图形如阴影所示.
（Ⅰ）求、b、c的值
（Ⅱ）求阴影面积S关于t的函数S（t）的解析式；
（Ⅲ）若问是否存在实数m，使得y=f（x）的图象与y=g（x）的图象有且只有两个不同的交点？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由.
解：（I）由图形可知二次函数的图象过点（0，0），（8，0），并且f(x)的最大值为16
则，
∴函数f（x）的解析式为
（Ⅱ）由得
∵0≤t≤2，∴直线l1与f（x）的图象的交点坐标为（
由定积分的几何意义知：
（Ⅲ）令
因为x＞0，要使函数f（x）与函数g（x）有且仅有2个不同的交点，则函数
的图象与x轴的正半轴有且只有两个不同的交点
∴x=1或x=3时，
当x∈（0，1）时，是增函数；
当x∈（1，3）时，是减函数
当x∈（3，+∞）时，是增函数
∴
又因为当x→0时，；当
所以要使有且仅有两个不同的正根，必须且只须
即， ∴m=7或
∴当m=7或时，函数f（x）与g（x）的图象有且只有两个不同交点。
21.（本题满分12分）已知函数.（）
（Ⅰ）当时，求在区间[1，e]上的最大值和最小值；
（Ⅱ）若在区间（1，+∞）上，函数的图象恒在直线下方，求的取值范围．
解析：（Ⅰ）当时，，；
对于[1，e]，有，∴在区间[1，e]上为增函数，
∴，.
（Ⅱ）令，则的定义域为（0，+∞）.
在区间（1，+∞）上，函数的图象恒在直线下方等价于在区间（1，+∞）上恒成立.
∵
① 若，令，得极值点，，
当，即时，在（，+∞)上有，
此时在区间(，+∞)上是增函数，并且在该区间上有
∈(，+∞)，不合题意；
当，即时，同理可知，在区间(1，+∞)上，有
∈(，+∞)，也不合题意；
② 若，则有，此时在区间(1，+∞)上恒有，
从而在区间(1，+∞)上是减函数；
要使在此区间上恒成立，只须满足，
由此求得的范围是[，].
综合①②可知，当∈[，]时，函数的图象恒在直线下方.