北八上专题七 二元一次方程组与一次函数

北八上专题七 二元一次方程组与一次函数
本专题主要包括利用一次函数的图象解二元一次方程组和列二元一次方程组求一次函数关系式两个重要方面，利用一次函数图象解二元一次方程组，则需要将方程组中的两个方程转化为一次函数，作出每个函数的图象，求到交点坐标即求到方程组的解；列二元一次方程组求一次函数关系式，则需要根据已知条件构造两个二元一次方程组成方程组．
例1 利用图象法解方程组．
分析：用一次函数的图象解二元一次方程组，一般分为以下几个步骤：
（1）将方程组中的每个方程分别转化为一次函数表达式；
（2）在同一坐标系内分别画出转化后的两个一次函数的图象；
（3）根据两个函数图象交点的坐标写出方程组的解．
解：方程，变形为，过两点（0，-5）和（5，0），画函数的图象；方程变形为，过两点（0，3）和（3，0），画函数的图象，这两个函数图象的交点坐标是（4，－1），如上图．
所以方程组的解为．
例2 为迎接“五一”劳动节，我市某中学组织了甲、乙两个义务劳动小组，甲组x人，乙组y人，到“中华路”和“青年路”打扫卫生，根据打扫卫生的进度，学校随时调整两组人数，如果从甲组调50人去乙组，则乙组人数为甲组人数的2倍；如果从乙组调m人去甲组，则甲组人数为乙组人数的3倍．
（1）求出x与m之间的关系式；
（2）问当m为何值时，甲组人数最少，最少是多少人？
分析：本题是一道与确定函数关系式有关的实际问题，根据实际问题确定相等关系，把m看作常数，构造关于x、y的方程组，通过解方程组确定x与m之间的关系式，根据一次函数的性质解决最少人数问题．
解：（1）由题意得方程组．
整理，得
①×3-②，得，所以．
（2）由知x随m增大而增大，又因x，m，y均为正整数，所以当m=5时，
x取得最小值．其最小值为×5+90=94，此时y=38，适合题意．
所以当m=5时，甲组人数最少，最少为94人．
练习：
1．利用图象法解二元一次方程组：．
2．某水果经销商上月份销售一种新上市的水果，平均售价为10元／千克，月销售量为1000千克．经市场调查，若将该种水果价格调低至x元／千克，则本月份销售量y（千克）与x（元／千克）之间满足一次函数关系．且当x=7时，y=2000；x=5时，y=4000．求y与x之间的函数关系式．
3．某产品每件的成本是120元，为了解市场规律，试销阶段按两种方案进行销售，结果如下：
方案甲：保持每件150元的售价不变，此时日销售量为50件；
方案乙：不断地调整售价，此时发现日销售量y（件）是售价x（元）的一次函数，且前三天的销售情况如下表：
x（元） 130 150 160
y（件） 70 50 40
如果方案乙中的第四天、第五天售价均为180元，那么前五天中，哪种方案的销售总利润大？
参考答案：
1．由x+y=1，可得x=0时，y=1；y=0时，x=1．画出过（0，1）、（1，0）两点的直线．由y－2x= 4，可得x=0时，y=4；y=0时，x=－2．
画出过（0，4），（－2，0）两点的直线，如右图．
两条直线的交点坐标为（－1，2）．所以二元一次方程组的解为．
2．由已知得．
解得．
所以y=－1000x+9000．
3．（1）设y与x之间的函数关系式为y=kx+b，把x=130，y=70和x=150，y=50，代入函数关系式，得．
解得．
所以函数关系式为y=－x+200．
当x=180时，y=20．
则甲方案的总利润是（150－120）×50×5=7500（元）；
乙方案的总利润是10×70+30×50+40×40+60×20+60×20=6200（元）．
由此可知前5天甲种销售方案获得的利润大．