第2课时 有理数的分类
1．理解有理数的概念，掌握有理数的分类方法；(重点)
2．会把所给的有理数填入相应的集合；(难点)
3．经历对有理数进行分类探索的过程，初步感受分类讨论的数学思想．
一、情境导入
某天毛毛看报纸，见到下面一段内容：冬季的一天，某地的最高气温为6℃，最低气温达到－10℃，平均气温是0℃，而同一天北京的气温－3℃～7℃.这里出现了哪些数？我们到目前为止学过了哪些数？你能试着将它们进行分类吗？今天我们要把大家学过的数进行分类命名．
二、合作探究
探究点一：有理数的概念
【类型一】
有理数的有关概念
下列各数：－，1，8.6，－7，0，，－4，＋101，－0.05，－9中，( )
A．只有1，－7，＋101，－9是整数
B．其中有三个数是正整数
C．非负数有1，8.6，＋101，0
D．只有－，－4，－0.05是负分数
解析：根据有理数的有关概念，整数包括1，－7，0，＋101，－9，故选项A错误；正整数只有两个，即1和＋101，故选项B错误；非负数包括有1，8.6，＋101，0，，故选项C错误；负分数包括－，－4，－0.05，故选项D正确．故选D.
方法总结：当有理数只含有单个符号时，带负号的数即为负数．然后再区分是整数还是分数．
【类型二】
对数“0”的理解
下列对“0”的说法正确的个数是( )
①0是正数和负数的分界点；②0只表示“什么也没有”；③0可以表示特定的意义，如0℃；④0是正数；⑤0是自然数．
A．3
B．4
C．5
D．0
解析：0除了表示“无”的意义，还表示其他的意义，所以②不正确；0既不是正数也不是负数，所以④不正确；其他的都正确．故选A.
方法总结：“0”表示的意义非常广泛，比如：冰水混合物的温度就是0℃，0是正、负数的分界点等．
探究点二：有理数的分类
把下列各数填入相应的括号内：－10，8，－7，3，－10%，，2，0，3.14，－67，，0.618，－1.
正数：{ }；
负数：{ }；
整数：{ }；
分数：{ }．
解析：要将各数填入相应的括号里，首先要弄清楚有理数的分类标准，其次要弄清楚每个数的特征．
解：正数：{8，3，，2，3.14，，0.618}；
负数：{－10，－7，－10%，－67，－1}；
整数：{－10，8，2，0，－67，－1}；
分数：{－7，3，－10%，，3.14，，0.618}．
方法总结：在填数时要逐个考察给出的每一个数，看它是什么数，是否属于某一类数；逐个填写相应括号，从给出的数中找出属于这个类型的数，避免出现漏数的现象．
探究点三：和正、负有关的规律探究问题
观察下面依次排列的一列数，请接着写出后面的3个数，你能说出第10个数、第105个数、第2016个数吗？
(1)一列数：1，－2，3，－4，5，－6，______，______，______，…；
(2)一列数：－1，，－3，，－5，，____，____，____，….
解析：(1)对第n个数，当n为奇数时，此数为n；当n为偶数时，此数为－n；(2)对第n个数，当n为奇数是，此数为－n；当n为偶数时，此数为.
解：(1)7，－8，9；第10个数为－10，第105个数是105，第2016个数是－2016；
(2)－7，，－9；第10个数为，第105个数是－105，第2016个数是.
方法总结：解答探索规律的问题，应全面分析所给的数据，特别要注意观察符号的变化规律，发现数字排列的特征．
三、板书设计
1．有理数的概念
2．有理数的分类
①按定义分类为： ②按性质分类为：
有理数
有理数
本节课是有理数分类的教学，要给学生较大的思维空间，促进学生积极主动地参加学习活动，亲自体验知识的形成过程．避免教师直接分类带来学习的枯燥性．要有意识地突出“分类讨论”数学思想的渗透，明确分类标准不同，分类的结果也不相同，且分类结果应是无遗漏、无重复的．1．1 正数和负数
第1课时 正数和负数
1．了解正数和负数的产生过程以及数学与实际生活的联系；
2．理解正数和负数的意义，会判断一个数是正数还是负数；(重点)
3．能用正数、负数表示生活中具有相反意义的量．(难点)
一、情境导入
今年年初，一股北方的冷空气大规模地向南侵袭我国，造成大范围急剧降温，部分地区降温幅度超过10℃，南方有的地区的温度达到－1℃，北方有的地区甚至达－25℃，给人们生活带来了极大的不便．
这里出现了一种新数——负数，负数有什么特点？你知道它们表示的实际意义吗？
二、合作探究
探究点一：正数和负数的概念
下列各数哪些是正数？哪些是负数？
－1，2.5，＋，0，－3.14，120，－1.732，－中，正数是______________；负数是______________．
解析：区分正数和负数要严格按照正、负数的概念，注意0既不是正数也不是负数．负数有－1，－3.14，－1.732，－；正数有2.5，＋，120；0既不是正数也不是负数．故答案为2.5，＋，120；－1，－3.14，－1.732，－.
方法总结：对于正数和负数不能简单地理解为：带“＋”号的数是正数，带“－”号的数是负数，要看其本质是正数还是负数.0既不是正数也不是负数．
探究点二：用正数和负数表示具有相反意义的量
【类型一】
学会用正、负数表示具有相反意义的量
如果温泉河的水位升高0.8m时水位变化记作＋0.8m，那么水位下降0.5m时水位变化记作( )
A．0m
B．0.5m
C．－0.8m
D．－0.5m
解析：由水位升高0.8m时水位变化记作＋0.8m，根据相反意义的量的含义，则水位下降0.5m时水位变化就记作－0.5m，故选D.
方法总结：用正、负数表示相反意义的量时，要抓住基准，比基准量多多少记为“＋”的多少，少多少记为“－”的多少．
【类型二】
用正、负数表示误差范围
某饮料公司的一种瓶装饮料外包装上有“500±30(mL)”字样，请问“500±30(mL)”是什么含义？质检局对该产品抽查5瓶，容量分别为503mL，511mL，489mL，473mL，527mL，问抽查产品的容量是否合格？
解析：＋30mL表示比标准容量多30mL，－30mL表示比标准容量少30mL，则合格范围是指容量在470～530(mL)之间．
解：“500±30(mL)”是指500mL为标准容量，470～530(mL)为合格范围，因此503mL，511mL，489mL，473mL，527mL在合格范围内，抽查产品的容量是合格的．
方法总结：解决此类问题的关键是理解“500±30(mL)”的含义，即500是标准，“＋”表示比标准多，“－”表示比标准少．
三、板书设计
正数和负数
本节课通过学生身边熟悉的事物，让学生感受到负数的引入确实是实际生活的需要，数学与我们的生活密不可分；让学生经历讨论、探索、交流、合作等过程获得新知，并能用所学的新知识来解决实际问题．第1章
有理数
1.1
正数和负数
第1课时
正数和负数
教学目标
1.借助生活实例使学生了解正数与负数是从实际需要中产生的，体会和认识引入负数的必要性和有理数应用的广泛性．
２．使学生理解正数与负数的概念，会判断一个数是正数还是负数．
３．初步学会用正、负数表示具有相反意义的量．
４．在负数的形成过程中，培养学生的观察、猜想、归纳与概括的能力．
教学重点：正、负数的概念，理解用正、负数表示两种相反意义的量．
教学难点：正、负数的意义和对基准的理解．
教学程序设计：
一．温故知新
上课开始时，教师应通过具体的例子，简要说明在前两个学段我们已经学过的数，并由此请学生思考：生活中仅有这些“以前学过的数”够用了吗？下面的例子仅供参考.
师：我们的班级是14班，有54个同学，其中男同学有29个，占全班总人数的…
问题1：老师刚才的介绍中出现了几个数？分别是什么？你能将这些数按以前学过的数
的分类方法进行分类吗？
学生活动：思考，交流
师：以前学过的数，实际上主要有两大类，分别是整数和分数（包括小数）．
问题2：在生活中，仅有整数和分数够用了吗？
二．设置情境引入新知
1.
引入负数
问题1：请同学们看书第2页（观察本节前面的几幅图中用到了什么数，让学生感受引入负数的必要性）并思考讨论，然后进行交流.
学生交流后，教师归纳：以前学过的数已经不够用了，图（１）中上海的气温6℃～9℃，北京的气温是-3℃～7℃各表示什么意思？
图2中，珠穆朗玛峰高8844米，吐鲁番盆地高-155米又是什么意思?
有时候需要一种前面带有“－”的新数.
问题2：前面带有“一”号的新数我们应怎样命名它呢？为什么要引人负数呢？通常在日常生活中我们用正数和负数分别表示怎样的量呢？
这些问题都必须要求学生理解．
学生带着这些问题看书自学，然后师生交流．
这阶段主要是让学生学会正数和负数的表示．
２.正数和负数的含义
（１）像７，，0.5，17﹪等这样的数叫正数（为了强调正数，前面也可加上“+”号）
（2）像-７，-，-0.5，-17﹪等这样的数叫负数，负数前面的“-”不能省略．
（３）０既不是正数，也不是负数．０是正数、负数的的界限，是表示“基准”的数．
例１：下列各数，哪些是正数，哪些是负数？
-2，3.5，+，０，-1.75，150，－，1.5
解析：根据正数、负数的概念进行判断，特别注意０的分类．
３.用正数和负数表示相反意义的量
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如果马鞍山的某一天的最高气温5℃，最低气温5℃，如何表示这两个具有相反意义的量呢？得分与失分是两个具有相反意义的量，你还能举一些具有相反意义量的例子吗？
强调：用正，负数表示实际问题中具有相反意义的量，而相反意义的量包含两个要素：一是它们的意义相反，如向东与向西，收人与支出；二是它们都是数量，而且是同类的量．
我们把一种意义的量规定为正的，把与它意义相反的量规定为负的．
例２：（１）规定向东为正，向东走20ｍ记为 ，向西走15米记为
，原地不动记为 ；－１６ｍ表示向 走16ｍ，+13ｍ表示
向 走13ｍ；
（２）如果-20元表示亏本20元，那么+35元表示 ．
例３：用正数和负数表示下列具有相反意义的量
（１）温度上升8℃和下降5℃；
（２）运出800箱和运进500箱；
（３）增加20﹪和减少16﹪.
解：（１）规定温度上升８℃，记作＋８℃，则温度下降５℃，记作-5℃ ；
例４：（１）与去年相比，某乡今年的水稻种植面积扩大了10公顷，小麦的种植面积减少了５公顷，油菜的种植面积不变，写出这三种农作物今年种植面积的增加量；
（２）某市＂12345＂中心2005年国庆期间受理消费投诉件事的增长率：日用百货类比上年同期增加了10﹪，家用电器类比上年同期减少了20﹪．写出这两类消费商品投诉件事的增长率．
三．举一反三思维拓展
经过上面的讨论交流，学生对为什么要引人负数，对怎样用正数和负数表示两种相反意义的量有了初步的理解，教师可以要求学生举出实际生活中类似的例子，以加深对正数和负数概念的理解，并开拓思维．
问题3：请同学们举出用正数和负数表示相反意义的量的例子．
四．课堂反馈：课本第５页练习．
五．总结反思
拓展升华
1．引入负数可以简明的表示相反意义的量，对于相反意义的量，如果其中一种量用正数表示，那么另一种量可以用负数表示．
2．在表示具有相反意义的量时，把哪一种意义的量规定为正，可根据实际情况决定．
3．要特别注意零既不是正数也不是负数，建立正负数概念后，当考虑一个数时，一定要考虑它的符号，这与小学里学过的数有很大的区别．
六．作业：课本第5、6页第１、２、３、４、５题
补充：一、填空：
1．吐鲁番盆地海拔高度为－155米的意义是：___________________________
2．前进了3米记作+3米，那么后退5米记作：________________________
3．气球上升10米，记作+10米，那么－3米表示_________________________，
不升不降记作：________________________
4．某班男生平均身高165cm，若高于平均身高记为正，低于平均身高记为负，
甲、乙的身高分别记为－3cm，+4cm，则甲比乙矮___________cm。
5．下列各数+6，―0.25，―2，，210，，0，3.14中，正数有___________，
负整数有_____________，分数有________________。
6．给―2005赋予实际意义：___________________________________
7．“一只手表一昼夜的时间误差不超过±5秒”这句话的含义是：____________。
8．体育课上，对七年级男生进行引体向上的测试，以能做6次为标准，超过的
次数用正数表示，不足的次数用负数表示，其中8名男生的成绩分别为：2，
―1，0，3，―2，―3，1，0，则这8名男生的达标率是：______________。
二、选择题
9．某天温度上升了―4℃的意义是(
)
A、上升了4℃
B、没有变化
C、下降了4℃
D、下降了―4℃
10．下列说法中错误的是(
)
A、一个正数的前面加上负号就是负数
B、不是正数的数一定是负数
C、0既不是正数，也不是负数
D、正负数可以用来表示具有相反意义的量
11．巴黎与北京的时差为―7(正数表示同一时刻比北京时间早的小时数)，如果
北京时间是5月3日10∶00，那么巴黎时间是
(
)
A、5月3日3∶00
B、5月3日17∶00
C、5月2日13∶00
D、5月4日10∶00
1２．一潜水艇所在的高度是―100米，一条鲸鱼在它上方20米处，鲸鱼所在的
高度是(
)
A、－120米 B、80米 C、－80米 D、20米1.1
正数和负数
第2课时
有理数的分类
教学目标：
１．使学生理解有理数的意义，能对有理数进行正确的分类；
２．在学习有理数分类的过程中，培养学生树立分类讨论的数学思想．
教学重点：有理数的概念和对有理数进行正确的分类．
教学难点：对有理数进行正确的分类及分类的标准．
教学程序设计：
一．
温故知新
问题１：请你举出一对具有相反意义的量，并用正、负数表示它们．数０表示的意义是什么？
二．创设情景 导入新课
问题２：小学所学的整数，可以怎样称呼？（０和正整数）引入正、负数后，还可以怎样称呼？（整数包括正整数、０、负整数）小学小学所学的分数，可以怎样称呼？（正分数）引入正、负数后，还可以怎样称呼？（分数包括正分数和负分数）
交流：小学还学过小数，那么小数可属于有理数？
结论：小学中的小数如果是有限小数或无限循环小数，那么它属于有理数，因为有限小数或无限循环小数都可以化为分数形式．如果是无限不循环小数，那么它不属于有理数，因为无限不循环小数不能化为分数形式．
探索：为什么不是分数?如果说所有的分数都是小数,对吗?所有的小数都是分数,对吗?
结论:
(1)小数可以分为无限小数和有限小数两类,而无限小数又可分为(无限)循环小数和无限不循环小数两类;
(2)分数一定是小数,小数不一定是分数.
新
课
标第
一网
(?http:?/??/?www.xkb1.com?/??)
规定：整数和分数统称为有理数．
有理数的分类：
或
三.
应用迁移 巩固提高
例 所有正数组成正数集合，所有负数组成负数集合，把下列各数分别填入表示相应数集中：-7，3.01，300﹪,-0.142587,0.1,0,,-,32，，－１５﹪
（１）正整数集合：﹛ …﹜ （２）分数集合：﹛ …﹜
（３）正有理数集合：﹛ …﹜ （４）负有理数集合：﹛ …﹜
解析：（１）根据有理数的分类，如果一个数能化简，则化简后进行归类，如300﹪,
；
（２）如果小数能化成分数，则小数作为分数进行归类．
变式题１ 把下列各数分别填入表示相应数集的圈子中：
０，-85,
,
112,
-8.7,
0.3,
,
-3,
-,
.
变式题２ 所有正整数组成正整数集合,
所有负整数组成负整数集合.请把下列各数填入它所属于的集合的大括号里:
1,
0.0708,
-700,
-π,
-3.88,
0,
,
3.14159265,
,.
正整数集合:{
…}
负整数集合:{
…}
整数集合:{
…}
正分数集合:{
…}
负分数集合:{
…}
四.
总结反思
拓展升华
教师引导学生回答如下问题：本节课学习了哪些基本内容？学习了什么数学方法？应注意什么问题？（本节课学习了有理数的分类，学习了分类讨论的数学思想．强调注意：数的分类可以根据不同需要，用不同的分类标准，但必须对讨论对象不重不漏地分类．０是整数，但不是正数，也不是负数．数的集合注意加上省略号．
五．作业 课本第6页第６、７题
补充：１．把下列各数填在相应的集合中：
―3，，3.6，，0，+235，―0.75，+3，―2005，，76
正数集合：｛ ｝，负数集合：｛ ｝
整数集合：｛ ｝，分数集合：｛ ｝
负整数集合：｛ ｝，非负数集合：｛ ｝
２.请将下列数值填入相应的圈内：
EMBED
Equation.3
，5，0，1.5，+2，―3。你能说出这两个圈的重叠部分表示的数的集合吗？
正数集合
整数集合
３.从西向东走7m记作+7m，有一个人从A地先走+20m，再走－15m，又走+16m，最后走―23m，请说明此人所在的位置与A处相距多少米？在A处什么方向上？
４.把下列各数进行适当的分类(至少两种分类方法)：
―3.5，，－4，0，1.6，7，，+15，－3.1
５．5分钟内背过5个单词为过关，超过的记为正，现有五名同学的记录如下：－3，0，+1，+2，－1
(1)这五个人中有几个人过关？
(2)他们分别背过了几个单词？
(3)记录中的五个数都属于哪类有理数？
６.观察下面一列数，然后与同伴一起探求规律：
－1，，……
(1)写出紧接后面的三个数；
(2)第2005个数是什么？
(3)如果这一列数无限排列下去，与哪个数越来越接近？
(4)1，2，－3，―4，5，6，―7，―8……写出这列数的第100个和第2005个
数分别是______________．
