1．6 有理数的乘方
第1课时 有理数的乘方
1．理解有理数乘方的意义；(重点)
2．掌握有理数乘方的运算；(难点)
3．能利用数学知识解决实际问题，激发学生学习的兴趣，树立解决问题的信心．
一、情境导入
古希腊数学家阿基米德与国王下棋，国王输了，问阿基米德要什么奖赏．阿基米德对国王说：“我只要在棋盘上第一格放一颗麦子，在第二个格子中放进前一个格子的两倍，每一个格子中都是前一个格子中麦子数量的两倍，一直将棋盘每一个格子摆满．”国王觉得很容易就可以满足他的要求，于是就同意了．但很快国王就发现，即使将国库所有的粮食都给他也不够．你们知道这是为什么吗？
二、合作探究
探究点一：乘方的意义
把下列各式写成乘方的形式，并指出底数和指数各是什么．
(1)(－3.14)×(－3.14)×(－3.14)×(－3.14)×(－3.14)；
(2)×××××；
(3)m·m·m·…·m,\s\up6(,2n个m))．
解析：首先化成幂的形式，再指出底数和指数各是什么．
解：(1)(－3.14)×(－3.14)×(－3.14)×(－3.14)×(－3.14)＝(－3.14)5，其中底数是－3.14，指数是5；
(2)×××××＝，其中底数是，指数是6；
(3)m·m·m·…·m,\s\up6(,2n个m))＝m2n，其中底数是m，指数是2n.
方法总结：此题考查乘方的定义及书写，乘方是一种特殊的乘法运算，幂是乘方的结果，当底数是负数或分数时，要先用括号将底数括起来再写指数．
探究点二：乘方的运算
计算：(1)－(－3)3;
(2)；
(3)；
(4)(－1)2016.
解析：可根据乘方的意义，先把乘方转化为乘法，再根据乘法的运算法则来计算；或者先用符号法则来确定幂的符号，再用乘法求幂的绝对值．
解：(1)－(－3)3＝－(－33)＝33＝3×3×3＝27；
(2)＝×＝；
(3)＝－＝－；
(4)(－1)2016＝1.
方法总结：乘方的运算可以利用乘法的运算来进行．负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数；例如：－1的奇数次幂是－1，－1的偶数次幂是1.
有一张厚度为0.1毫米的纸，将它对折一次后，厚度为2×0.1毫米，求：
(1)对折2次后，厚度为多少毫米？
(2)对折20次后，厚度为多少毫米？
解析：要求每次对折后纸的厚度，应先求出每次折叠后纸的层数，再用每张的厚度乘以纸的层数即可．纸的对折次数与纸的层数关系如下：
对折次数
1
2
3
4
…
20
纸的层数
2
4
8
16
…
21
22
23
24
…
220
解：(1)∵有一张厚度为0.1毫米的纸，将它对折一次后，厚度为2×0.1＝0.2(毫米)，
∴对折2次的厚度是0.1×22＝0.4(毫米)．
答：对折2次的厚度是0.4毫米；
(2)对折20次的厚度是0.1×220＝104857.6(毫米)，
答：对折20次的厚度是104857.6毫米．
方法总结：解决本题的关键是将纸的层数化为幂的形式，找出这些幂与对折次数的对应关系．
探究点三：含乘方的混合运算
计算：(1)－33×；
(2)×.
解析：根据题目的特点，整理变形后，根据有理数混合运算的解题步骤进行解答．
解：(1)原式＝－27×＋(－27)×＝15－8＝7；
(2)原式＝×＝×－××＝－＋5＝3.
方法总结：进行含乘方的混合运算时，先计算乘方，再根据有理数混合运算的解题步骤进行解答，解题过程中可灵活运用运算律．
三、板书设计
1．有理数乘方的意义
2．有理数乘方运算的符号法则：
负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数．正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0.
3．含乘方的混合运算
本节教学以故事引入，提出问题，引导学生积极思考，并归结出答案，由答案的表现形式向学生提出问题，激发学生的求知欲望．在教师的启发诱导下自然过渡到新知识的学习，接着层层设问，引出乘方以及与乘方有关的概念，采用归纳类比的方法把新旧知识联系起来，既有利于复习巩固旧知识，又有利于新知识的理解和掌握．1.６ 有理数的乘方
第1课时 有理数的乘方
教学目标：１．在现实背景下理解有理数乘方的概念；
２．掌握有理数乘方的运算；
３.熟练进行有理数的混合运算．
教学重点：正确理解乘方的意义，能利用乘方的运算法则进行有理数的乘方运算．
教学难点：1．会进行有理数的乘方运算；
2．(－)n与－n的区别；
3．乘方在生活中的应用．
教学程序设计：
一．创设情境 提出问题
问题情景一：边长为２的正方形面积是多少？棱长为２的正方体的体积是多少？
问题情境二：请哪一位吃过兰州拉面的同学说一说拉面的制作过程？
制作过程如下图（多媒体展示）
教者设法引导学生将生活问题用数学的眼光来观察解决．
1．让
学
生
观
察“拉
面”图．
2．猜
一
猜
共
有
多
少
根．
3．让
学
生
用
带
来
的
线
做
“
拉
面
”的活
动．
4．学
生
通
过
实
际
操
作
，搞
清
楚
3
次相
当
于
几
个2相
乘，假
如
是6次、20次呢？分别是几个2相
乘？小组讨论拉次n次，相当于几个2相乘，并全班交流．
5．能否用算式表示这种关系？
引导20个2连加可写成什么？20×2
20个2相乘可写成什么？2
20
在小学我们已经学习过·，记作2，读作的平方(或的二次方)；··作3，读作的立方(或的三次方)；那么，···可以记作什么?读作什么?
····呢?
··……
(
共有n个,
n是正整数)呢?
在小学对于字母我们只能取正数,进入中学后，我们学习了有理数，那么还可以取哪些数呢?请举例说明。
二．分析探索 问题解决
新知一．乘方的定义：
（1）．求n个相同因数的积的运算叫做乘方．
（2）．乘方的结果叫做幂，相同的因数叫做底数，相同因数的个数叫做指数．?
一般地，在n中，取任意有理数，n取正整数，以后我们还要学习取非有理数，n取非正整数的情况．
应当注意，乘方是一种运算，幂是乘方运算的结果，当看作的n次方的结果时，也可以读作的n次幂．
（3）．我们知道，乘方和加、减、乘、除一样，也是一种运算，就是表示n个相乘，所以可以利用有理数的乘法运算来进行有理数乘方的运算．
巩固练习1.
(1)在52中，底数是____，指数是____，52读作____或读作____.
(2)在(-4)2中，底数是____，指数是____，读作____或读作____.
(3)
在-42中，底数是____，指数是____，读作____或读作____.
(4
)
底数是____，指数是____。
2.你会计算下面的题目吗？不妨试一试
(1)2，2，3，24；
(2)-2，2，3，(-2)4；
(3)0，02，03，04
教师指出：2就是21，指数1通常不写。然后让三个学生在黑板上计算。
议一议
引导学生观察、比较、分析这三组计算题中，底数、指数和幂之间有什么关系?（从底数的正负性和指数的奇偶性分析）
新知二.乘方的符号
(1)横向观察
正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，偶次幂是正数；零的任何次幂都是零．
(2)纵向观察
互为相反数的两个数的奇次幂仍互为相反数，偶次幂相等．
(3)任何一个数的偶次幂都是非负数．
(4)当底数是负数或分数时，必须加括号，把它看成一个整体．
你能把上述的结论用数学符号语言表示吗?（生讨论后，师归纳如下）
当＞0时，n＞0(n是正整数)；
当<0，n为偶数（奇数）时,幂的结果为正数（负数）；
当=0时，n=0(n是正整数)。
(以上为有理数乘方运算的符号法则)
三．应用反思 拓展创新
你能再算一下以下各题吗？
(1)(-3)2，(-3)3，［-(-3)］5；
(2)-32，-33，-(-3)5；
(3)，
学生做完后小组互相对答案。教师引导学生观察第(1)题和第(2)题的形式和计算结果，让学生自己体会到，(-)n的底数是-，表示n个(-a)相乘，-n是n的相反数，这是(-)n与-n的区别。
教师引导学生横向观察第(3)题的形式和计算结果，让学生自己体会到，写分数的乘方时要加括号，不然就是另一种运算了。
归纳：a2n=(-a)2n(n是正整数)；
=-(-a)2n-1(n是正整数)；
a2n≥0(a是有理数，n是正整数)。
练一练（师注意巡视，发现问题，及时解决）
(1)，，，-，；
(2)(-1)2001，3×22，-42×(-4)2，-23÷(-2)3；
新知三．有理数的混合运算
例：观察：下面算式里有哪几种运算？
3+50÷22×(－)－1
加法和减法叫做第一级运算；乘法和除法叫做第二级运算；乘方和开方叫做第三级运算。
有理数的混合运算，应注意如下运算顺序：
①先算乘方，再算乘除，最后算加减；
②同级运算，按照从左至右的顺序进行；
③如果有括号，就先算小括号里的，再算中括号里的，然后算大括号里的。
练习：计算 １. 34×＋(－22)×÷2
２. 2×(－３)3－4×(－3)＋15
３.
四．总结反思
拓展升华
两个问题：1．
乘方是怎样一种特殊的运算？
2．?负数的幂的符号如何确定？
三个关注：1．?关注生活，用数学眼光观察生活中的实际问题．
２.关注用“一般——特殊——一般”的数学思想方法是研究问题的一种常用方法．
3．括号的作用
４.有理数混合运算的法则．
通过本节课的学习，结合自己的做题体会，说一说这节课中自己容易出现的问题是什么？
五、布置作业
课后相关练习
幂
底数
指数第2课时 科学记数法
1．利用10的乘方，进行科学记数，会用科学记数法表示大于10的数；(重点)
2．能将用科学记数法表示的数还原为原数．(重点)
一、情境导入
生活中，我们常会遇到一些比较大的数．例如：
1．据报载，2014年我国将发展固定宽带接入新用户25000000户．
2．全球每年大约有577000000000000m3的水从海洋和陆地转化为大气中的水汽．
3．拒绝“餐桌浪费”刻不容缓，据统计，全国每年浪费粮食总量约50000000000千克．
像这些较大的数据，书写和阅读都有一定的难度，那么有没有这样一种表示方法，使得这些大数易写、易读、易于计算呢？
二、合作探究
探究点一：用科学记数法表示数
我区深入实施环境污染整治，关停和整改了一些化工企业，使得每年排放的污水减少了167000吨，将167000用科学记数法表示为( )
A．167×103
B．16.7×104
C．1.67×105
D．1.6710×106
解析：根据科学记数法的表示形式，先确定a，再确定n，解此类题的关键是a，n的确定.167000＝1.67×105，故选C.
方法总结：科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为正整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
探究点二：还原用科学记数法表示的数
已知下列用科学记数法表示的数，写出原来的数：
(1)2.01×104；(2)6.070×105；(3)－3×103.
解析：(1)将2.01的小数点向右移动4位即可；(2)将6.070的小数点向右移动5位即可；(3)将－3扩大到1000倍即可．
解：(1)2.01×104＝20100；
(2)6.070×105＝607000；
(3)－3×103＝－3000.
方法总结：将科学记数法a×10n表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向右移动n位所得到的数．
三、板书设计
科学记数法：
(1)把大于10的数表示成a×10n的形式；
(2)a的范围是1≤a<10，n是正整数；
(3)n比原数的整数位数少1.
本节课的特点是实际性强，和我们的日常生活联系紧密，从学生的生活经验和已有的知识出发，创设生动有趣的情境，引导学生开展观察、讨论、交流等活动．把学生被动接受知识的过程变为主动探究发现的过程，使知识的发生与发展在每一位学生各自的体验和自主学习中逐渐展现．1.6
有理数的乘方
第2课时
科学计数法
教学目标：
1．借助身边熟悉的事物进一步体会大数．
2．了解科学记数法的意义，并会用科学记数法表示比10大的数．
3．通过用科学记数法表示大数的学习，让学生从多种角度感受大数，促使学生重视大数的现实意义，以发展学生的数感．
教学重点：正确使用科学记数法表示大于10的数。
教学难点：正确掌握10n的特征以及科学计数法中n与数位的关系教学方法。
教学程序设计：
一．创设问题情境
引入新课
1．太阳的半径约696
000千米；
2．富士山可能爆发,
这将造成至少25
000亿日元的损失；
3.光的速度大约是300
000
000米/秒；
4.全世界人口数大约是6
100
000
000.
这样的大数，读、写都不方便，如何用简洁的方法来表示它们？
二．攻克新知
方法一：用更大的数量级单位表示：如将 300
000
000表示为3亿．
观察与探索：1．计算，，，，并讨论表示什么?指数与运算结果中的0的个数有什么关系?与运算结果的数位有什么关系?
2．练习：
（1）把下面各数写成10的幂的形式：1000，10000000，10000000000
（2）指出下列各数中是几位数：，，，
思考：利用前面的知识，你能把一个比10大的数表示成整数位是一位数的乘以的形式吗?试试看．
100＝1×________；3000＝3×________；25000＝2.5×________．
方法二：科学记数法
科学记数法定义：一个大于10的数可以表示成的形式，其中1≤a＜10，n是正整数，这种记数方法叫科学记数法．
科学记数法也就是把一个数表示成的形式，其中1≤a＜10，n的值等于整数部分的位数减1.
三．应用迁移 巩固提高
例1
用科学记数法记出下列各数:
(1)1
000
000；(2)57
000
000；(3)123
000
000
000
解：(1)1
000
000=1×106.
(2)57
000
000=5.7×107
（3）123
000
000
000＝1.23×1011.
注意：用科学记数法表示一个数时，首先要确定这个数的整数部分的位数.
一个数的科学记数法中，10的指数比原数的整数位数少1，如原数有6位整数，指数就是5.
说明：在实际生活中有非常大的数，同样也有非常小的数。本节课强调的是大数可以用科学记数法来表示，实际上非常小的数也同样可以用科学记数法表示，如本章引言中有1纳米＝米，意思是1米是1纳米的10亿倍，也就是说1纳米是1米的十亿分一．
变式练习：
１.判断下列数据的记数方法是科学记数法吗？（是打“√”、否打“×”）
（1）3.5×103
（
）；
（2）0.5×106
（
）；
（3）30.3×108
（
）；
（4）10×102
（
）.
（自主练习，学生讲评）
２.用科学记数法表示下列各数
51000000000=
； 3705000=
；
572．5=
； 100000=
．
３．下列用科学记数法表示的数的原数是什么?
（1） （2） （3）
（４）某整数用科学记数法表示为，整数位是
位．
４.
怎样用科学记数法表示我们身边的数据呢？
（1）我们会场有3百人，用科学记数法表示为：
；
（2）我们学校有2千人，用科学记数法表示为：
；
（3）13亿又该怎样表示？
.
四．总结反思
拓展升华
1．生活中我们会遇到读、写都有困难的较大的数，我们可用科学记数法表示它们：任何一个大于10的数都可记成的形式，其中1≤a＜10，n为自然数．
2．科学记数法中，n与数位的关系是：n＝数位－1，利用这一关系可以将一个较大的数用科学记数法表示出来，也可以把科学记数法表示的数的原数写出来．
五．作业
课本相关习题
1．用科学记数法表示下列各数：7400000=
，40亿=
；
2．写出下列各数据的原数:
（1）一天的时间为8.64×104秒，原数为
；
（2）全球每年约有5.77×1014立方米水转化为大气中的水蒸气，
原数
；
３.我国陆地面积居世界第三位，约为959.7万平方千米，用科学计数法表示为
平方千米，
又可以表示为
平方米.
