2020-2021学年黑龙江省哈尔滨市南岗区“NF联盟”八年级（上）期中数学试卷（五四学制）（Word版 含解析）
文档属性
| 名称 | 2020-2021学年黑龙江省哈尔滨市南岗区“NF联盟”八年级（上）期中数学试卷（五四学制）（Word版 含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 826.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版（五四学制） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-12-29 05:29:37 | ||
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文档简介
2020-2021学年黑龙江省哈尔滨市南岗区“NF联盟”八年级第一学期期中数学试卷
一、选择题（共10小题）.
1．（3分）如图图形中，轴对称图形的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a2+a2＝a4 B．（a3）3＝a6 C．a3×a3＝a6 D．a2×a3＝a6
3．（3分）点M（3，2）关于y轴对称的点的坐标为（ ）
A．（﹣3，2） B．（3，﹣2） C．（﹣3，﹣2） D．（3，2）
4．（3分）一个等腰三角形的顶角是50°，则它的底角是（ ）
A．100° B．65° C．70° D．75°
5．（3分）如图，已知△ABC中，AB＝AC，BD＝DC，则下列结论错误的是（ ）
A．∠BAC＝∠B B．∠BAD＝∠CAD C．AD⊥BC D．∠B＝∠C
6．（3分）到三角形三个顶点距离相等的是（ ）
A．三边高线的交点 B．三条中线的交点
C．三条垂直平分线的交点 D．三条内角平分线的交点
7．（3分）如图，△ABC中，BE是角平分线，DE∥BC交AB于D，交AC于E，若DE＝8，AD＝5，则AB等于（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
8．（3分）如果x2+kx+6＝（x+2）（x+3），则k＝（ ）
A．1 B．2 C．3 D．5
9．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，若AB＝6，则BC为（ ）
A．2 B．3 C．6 D．8
10．（3分）下列说法正确的有（ ）
①任何数的0次幂都得1；
②等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合；
③有一个角是60°的三角形是等边三角形；
④若△ABC与△DEF成轴对称，则△ABC一定与△DEF全等；
⑤等腰三角形的对称轴是顶角的平分线．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（共10小题）.
11．（3分）计算：（2x）2＝ ．
12．（3分）把多项式3ax2﹣12a分解因式的结果是 ．
13．（3分）（8a3b﹣4a2b2）÷2ab＝ ．
14．（3分）am＝2，an＝3，则am+n＝ ．
15．（3分）等腰三角形的两边长为5cm、2cm，则此三角形的周长为 cm．
16．（3分）如图，DE是AB的垂直平分线，D是垂足，DE交BC于E，若BC＝32cm，AC＝18cm，则△AEC的周长为 cm．
17．（3分）如图，AB＝AC，BD＝CD，AD＝AE，∠EDC＝16°，则∠BAD＝ 度．
18．（3分）已知x2+y2＝10，xy＝4，求（x+y）2的值为 ．
19．（3分）一个等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36°，则此三角形顶角度数为 ．
20．（3分）如图，BH是钝角三角形ABC的高，AD是角平分线，且2∠C＝90°﹣∠ABH，若CD＝4，△ABC的面积为12，则AD＝ ．
三、解答题（其中21-22题各7分，23-24题各分，25-27题各10分，共计60分）
21．（7分）计算：
（1）3a（a+b）；
（2）（x﹣1）（x+4）．
22．（7分）先化简，再求值：（x﹣3）2+（x+1）（x﹣1），其中x＝2．
23．（8分）按要求完成作图：
（1）作△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）直接写出点A1的坐标 ．
（3）直接写出△ABC的面积 ．
24．（8分）如图，点D、E在△ABC的边BC上，AD＝AE，BD＝CE．
（1）求证：AB＝AC；
（2）若∠BAC＝108°，∠DAE＝36°，直接写出图中除△ABC与△ADE外所有的等腰三角形．
25．（10分）如图1是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
（1）请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积．
方法1： ；
方法2： ；
（2）观察图2，请你写出下列三个代数式：（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的等量关系： ；
（3）根据（2）题中的等量关系，解决下面的问题：已知a+b＝3，ab＝2，求a3b﹣ab3的值．
26．（10分）已知，在等边△ABC中，D、E分别为AC、BC边上的点，BE＝CD，连接AE、BD相交于点F．
（1）如图1，求∠AFD的度数；
（2）如图2，过点A作AH⊥BD于H，若EF＝HD，求证：BF＝HF；
（3）如图3，在（2）的条件下，延长BD到点M，连接AM，使∠AMB＝∠ABM，若EF＝2，AF＝10，求DM长．
27．（10分）已知在平面直角坐标系中，A（4，0），B（0，3），以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角三角形ABC，AB＝AC，∠BAC＝90°．
（1）在图1中，求点C坐标；
（2）在图2中，动点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度向x轴正方向运动，设点P的运动时间为t，△PAC的面积为S，求S与t的关系式，并写出t的取值范围．
（3）在（2）问条件下，若PB+PC的值最小时，求P点坐标及t的值．
参考答案
一、选择题（每小题3分，共计30分）
1．（3分）如图图形中，轴对称图形的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解：第1个图形，不是轴对称图形，故本选项不合题意；
第2个图形，是轴对称图形，故本选项符合题意；
第3个图形，不是轴对称图形，故本选项不合题意；
第4个图形，是轴对称图形，故本选项符合题意．
故选：B．
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a2+a2＝a4 B．（a3）3＝a6 C．a3×a3＝a6 D．a2×a3＝a6
解：A、a2+a2＝2a2，故本选项不合题意；
B、（a3）3＝a9，故本选项不合题意；
C、a3×a3＝a6 ，故本选项符合题意；
D、a2×a3＝a5，故本选项不合题意；
故选：C．
3．（3分）点M（3，2）关于y轴对称的点的坐标为（ ）
A．（﹣3，2） B．（3，﹣2） C．（﹣3，﹣2） D．（3，2）
解：点M（3，2）关于y轴对称的点的坐标为（﹣3，2）．
故选：A．
4．（3分）一个等腰三角形的顶角是50°，则它的底角是（ ）
A．100° B．65° C．70° D．75°
解：∵三角形为等腰三角形，且顶角为50°，
∴底角＝（180°﹣50°）÷2＝65°．
故选：B．
5．（3分）如图，已知△ABC中，AB＝AC，BD＝DC，则下列结论错误的是（ ）
A．∠BAC＝∠B B．∠BAD＝∠CAD C．AD⊥BC D．∠B＝∠C
解：∵AB＝AC，BD＝DC，AD＝AD，
∴△ADB≌△ADC（SSS），
∴∠B＝∠C，∠BAD＝∠CAD，∠ADB＝∠ADC，
∵∠ADB+∠ADC＝180°，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∴AD⊥BC，
故B，C，D正确，
故选：A．
6．（3分）到三角形三个顶点距离相等的是（ ）
A．三边高线的交点 B．三条中线的交点
C．三条垂直平分线的交点 D．三条内角平分线的交点
解：到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形三边垂直平分线的交点，理由是：
∵P在AB的垂直平分线EF上，
∴PA＝PB，
∵P在AC的垂直平分线MN上，
∴PA＝PC，
∴PA＝PC＝PB，
即P是到三角形三个顶点的距离相等的点．
故选：C．
7．（3分）如图，△ABC中，BE是角平分线，DE∥BC交AB于D，交AC于E，若DE＝8，AD＝5，则AB等于（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
解：∵BE是∠ABC的平分线，
∴∠ABE＝∠CBE，
∵DE∥BC，
∴∠DEB＝∠CBE，
∴∠ABE＝∠DEB，
∴BD＝DE＝8，
∵AB＝AD+BD，
∴AB＝5+8＝13．
故选：B．
8．（3分）如果x2+kx+6＝（x+2）（x+3），则k＝（ ）
A．1 B．2 C．3 D．5
解：由题意得，x2+kx+6＝（x+2）（x+3）＝x2+5x+6，
则可得k＝5．
故选：D．
9．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，若AB＝6，则BC为（ ）
A．2 B．3 C．6 D．8
解：∵在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，
∴BC＝AB＝×6＝3，
故选：B．
10．（3分）下列说法正确的有（ ）
①任何数的0次幂都得1；
②等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合；
③有一个角是60°的三角形是等边三角形；
④若△ABC与△DEF成轴对称，则△ABC一定与△DEF全等；
⑤等腰三角形的对称轴是顶角的平分线．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解：①任何数的0次幂都得1，错误，0的0次幂没有意义．
②等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合，错误，应该是等腰三角形的底边上的高、中线、顶角的角平分线互相重合．
③有一个角是60°的三角形是等边三角形，错误，应该是有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
④若△ABC与△DEF成轴对称，则△ABC一定与△DEF全等，正确．
⑤等腰三角形的对称轴是顶角的平分线，错误，应该是等腰三角形的对称轴是顶角的平分线所在的直线．
故选：A．
二、填空题（每小题3分，共计30分）
11．（3分）计算：（2x）2＝ 4x2 ．
解：（2x）2＝4x2．
故答案为：4x2．
12．（3分）把多项式3ax2﹣12a分解因式的结果是 3a（x+2）（x﹣2） ．
解：3ax2﹣12a＝3a（x2﹣4）＝3a（x+2）（x﹣2），
故答案为：3a（x+2）（x﹣2）．
13．（3分）（8a3b﹣4a2b2）÷2ab＝ 4a2﹣2ab ．
解：（8a3b﹣4a2b2）÷2ab
＝8a3b÷2ab﹣4a2b2÷2ab
＝4a2﹣2ab．
故答案为：4a2﹣2ab．
14．（3分）am＝2，an＝3，则am+n＝ 6 ．
解：∵am＝2，an＝3，
∴am?an＝am+n＝2×3＝6．
故答案为：6．
15．（3分）等腰三角形的两边长为5cm、2cm，则此三角形的周长为 12 cm．
解：①5cm为腰，2cm为底，此时周长为12cm；
②5cm为底，2cm为腰，则两边和小于第三边无法构成三角形，故舍去．
所以其周长是12cm．
故答案为：12．
16．（3分）如图，DE是AB的垂直平分线，D是垂足，DE交BC于E，若BC＝32cm，AC＝18cm，则△AEC的周长为 50 cm．
解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE＝BE．
∴△AEC的周长＝AC+CE+AE＝AC+BC＝18+32＝50（cm）．
故填50．
17．（3分）如图，AB＝AC，BD＝CD，AD＝AE，∠EDC＝16°，则∠BAD＝ 32 度．
解：在△ABD和△ACD中，，
∴△ABD≌△ACD（SSS），
∴∠BAD＝∠CAD，∠ADB＝∠ADC＝90°，
∴∠ADE＝90°﹣∠EDC＝90°﹣16°＝74°，
∵AD＝AE，
∴∠AED＝∠ADE＝74°，
∴∠BAD＝∠CAD＝180°﹣2×74°＝32°；
故答案为：32．
18．（3分）已知x2+y2＝10，xy＝4，求（x+y）2的值为 18 ．
解：因为x2+y2＝10，xy＝4，
所以（x+y）2＝x2+2xy+y2＝x2+y2+2xy＝10+2×4＝18．
故答案为：18．
19．（3分）一个等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36°，则此三角形顶角度数为 54°或126° ．
解：当△ABC是锐角三角形时，
∠ACD＝36°，∠ADC＝90°，
∴∠A＝54°，
当△ABC是钝角三角形时，
∴∠ACD＝36°，∠ADC＝90°，
∴∠BAC＝∠ADC+∠ACD＝126°
故答案为：54°或126°
20．（3分）如图，BH是钝角三角形ABC的高，AD是角平分线，且2∠C＝90°﹣∠ABH，若CD＝4，△ABC的面积为12，则AD＝ 3 ．
解：∵BH为△ABC的高，
∴∠AHB＝90°，
∴∠BAH＝90°﹣∠ABH，
而2∠C＝90°﹣∠ABH，
∴∠BAH＝2∠C，
∵∠BAH＝∠C+∠ABC，
∴∠ABC＝∠C，
∴△ABC为等腰三角形，
∵AD是角平分线，
∴AD⊥BC，BD＝CD＝4，
∵△ABC的面积为12，
∴×AD×BC＝12，即×AD×8＝12，
∴AD＝3．
故答案为3．
三、解答题（其中21-22题各7分，23-24题各分，25-27题各10分，共计60分）
21．（7分）计算：
（1）3a（a+b）；
（2）（x﹣1）（x+4）．
解：（1）原式＝3a2+3ab；
（2）原式＝x2+4x﹣x﹣4＝x2+3x﹣4．
22．（7分）先化简，再求值：（x﹣3）2+（x+1）（x﹣1），其中x＝2．
解：原式＝x2﹣6x+9+x2﹣1
＝2x2﹣6x+8，
当x＝2时，原式＝2×4﹣12+8
＝4．
23．（8分）按要求完成作图：
（1）作△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）直接写出点A1的坐标 （4，1） ．
（3）直接写出△ABC的面积 ．
解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；
（2）点A1的坐标为（4，1），
故答案为：（4，1）；
（3）△ABC的面积＝2×3﹣﹣﹣＝，
故答案为：．
24．（8分）如图，点D、E在△ABC的边BC上，AD＝AE，BD＝CE．
（1）求证：AB＝AC；
（2）若∠BAC＝108°，∠DAE＝36°，直接写出图中除△ABC与△ADE外所有的等腰三角形．
【解答】证明：（1）过点A作AF⊥BC于点F，
∵AD＝AE，
∴DF＝EF，
∵BD＝CE，
∴BF＝CF，
∴AB＝AC．
（2）∵∠B＝∠BAD，∠C＝∠EAC，∠BAE＝∠BEA，∠ADC＝∠DAC，
∴除△ABC与△ADE外所有的等腰三角形为：△ABD、△AEC、△ABE、△ADC，
25．（10分）如图1是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
（1）请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积．
方法1： （m﹣n）2 ；
方法2： （m+n）2﹣4mn ；
（2）观察图2，请你写出下列三个代数式：（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的等量关系： （m+n）2﹣4mn＝（m﹣n）2 ；
（3）根据（2）题中的等量关系，解决下面的问题：已知a+b＝3，ab＝2，求a3b﹣ab3的值．
解：（1）方法1：由图可得小正方形的边长为m﹣n，则阴影部分的面积为（m﹣n）2；
故答案为：（m﹣n）2；
方法2：阴影部分＝（m+n）2﹣4mn，
故答案为：（m+n）2﹣4mn；
（2）由阴影部分的面积的两种不同算法，可得等式（m+n）2﹣4mn＝（m﹣n）2；
（3）∵a+b＝3，ab＝2，
∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝9﹣8＝1，
∴a﹣b＝±1，
∵a3b﹣ab3＝ab（a2﹣b2）＝ab（a﹣b）（a+b）
∴a3b﹣ab3＝±6
26．（10分）已知，在等边△ABC中，D、E分别为AC、BC边上的点，BE＝CD，连接AE、BD相交于点F．
（1）如图1，求∠AFD的度数；
（2）如图2，过点A作AH⊥BD于H，若EF＝HD，求证：BF＝HF；
（3）如图3，在（2）的条件下，延长BD到点M，连接AM，使∠AMB＝∠ABM，若EF＝2，AF＝10，求DM长．
【解答】（1）解：∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝BC，∠ABC＝∠C＝60°．
在△ABE和△BCD中，
，
∴△ABE≌△BCD（SAS）．
∴∠BAE＝∠CBD．
∴∠AFD＝∠ABF+∠BAF＝∠ABF+∠CBD＝∠ABC＝60°．
（2）证明：由（1）得：△ABE≌△BCD，
∴∠BAE＝∠CBD，AE＝BD，
∴∠AFH＝∠BAE+∠ABF＝∠CBD+∠ABF＝∠ABC＝60°，
∵AH⊥BD，
∴∠FAH＝30°，
∴HF＝AF，
∵EF＝HD，
∴AF＝BH，
∴HF＝BH，
∴BF＝HF；
（3）解：由（2）得：BH＝AF＝10，HF＝AF＝5，BD＝AE＝AF+EF＝12，
∵∠AMB＝∠ABM，
∴AB＝AM，
∵AH⊥BD，
∴MH＝BH＝10，
∴BM＝2BH＝20，
∴DM＝BM﹣BD＝20﹣12＝8．
27．（10分）已知在平面直角坐标系中，A（4，0），B（0，3），以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角三角形ABC，AB＝AC，∠BAC＝90°．
（1）在图1中，求点C坐标；
（2）在图2中，动点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度向x轴正方向运动，设点P的运动时间为t，△PAC的面积为S，求S与t的关系式，并写出t的取值范围．
（3）在（2）问条件下，若PB+PC的值最小时，求P点坐标及t的值．
【解答】（1）解：过点C作CH⊥x轴于点H，如图1，
则∠AHC＝90°．
∴∠AOB＝∠BAC＝∠AHC＝90°，
∴∠OAB＝180°﹣90°﹣∠HAC＝90°﹣∠HAC＝∠HCA．
在△AOB和△CHA中，
，
∴△AOB≌△CHA（AAS），
∴AO＝CH＝4，OB＝HA＝3，
∴OH＝OA+AH＝7，
∴点C的坐标为（7，4）；
（2）当0≤t＜2时，点P在点A的左侧，
∴PA＝4﹣2t，
∴S△PAC＝＝＝8﹣4t．
当t＞2时，点P在点A的右侧，
∴PA＝2t﹣4，
∴S△PAC＝＝×4＝4t﹣8．
综合以上可得S与t的关系式为；
（3）作点B关于x轴的对称点E，连接EC交x轴于点P，则PB+PC的值最小，
过点E作y轴的垂线，过点C作x轴的垂线，交于点F，
∵B（0，3），
∴E（0，﹣3），
∵C（7，4），
∴CF＝4+3＝7，
∴EF＝CF，
∴△CEF为等腰直角三角形，
∴∠CEF＝45°，
∴∠OEP＝45°，
∵∠EOP＝90°，
∴∠OEP＝∠OPE，
∴OE＝OP＝3，
∴P（3，0），t＝．
一、选择题（共10小题）.
1．（3分）如图图形中，轴对称图形的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a2+a2＝a4 B．（a3）3＝a6 C．a3×a3＝a6 D．a2×a3＝a6
3．（3分）点M（3，2）关于y轴对称的点的坐标为（ ）
A．（﹣3，2） B．（3，﹣2） C．（﹣3，﹣2） D．（3，2）
4．（3分）一个等腰三角形的顶角是50°，则它的底角是（ ）
A．100° B．65° C．70° D．75°
5．（3分）如图，已知△ABC中，AB＝AC，BD＝DC，则下列结论错误的是（ ）
A．∠BAC＝∠B B．∠BAD＝∠CAD C．AD⊥BC D．∠B＝∠C
6．（3分）到三角形三个顶点距离相等的是（ ）
A．三边高线的交点 B．三条中线的交点
C．三条垂直平分线的交点 D．三条内角平分线的交点
7．（3分）如图，△ABC中，BE是角平分线，DE∥BC交AB于D，交AC于E，若DE＝8，AD＝5，则AB等于（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
8．（3分）如果x2+kx+6＝（x+2）（x+3），则k＝（ ）
A．1 B．2 C．3 D．5
9．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，若AB＝6，则BC为（ ）
A．2 B．3 C．6 D．8
10．（3分）下列说法正确的有（ ）
①任何数的0次幂都得1；
②等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合；
③有一个角是60°的三角形是等边三角形；
④若△ABC与△DEF成轴对称，则△ABC一定与△DEF全等；
⑤等腰三角形的对称轴是顶角的平分线．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（共10小题）.
11．（3分）计算：（2x）2＝ ．
12．（3分）把多项式3ax2﹣12a分解因式的结果是 ．
13．（3分）（8a3b﹣4a2b2）÷2ab＝ ．
14．（3分）am＝2，an＝3，则am+n＝ ．
15．（3分）等腰三角形的两边长为5cm、2cm，则此三角形的周长为 cm．
16．（3分）如图，DE是AB的垂直平分线，D是垂足，DE交BC于E，若BC＝32cm，AC＝18cm，则△AEC的周长为 cm．
17．（3分）如图，AB＝AC，BD＝CD，AD＝AE，∠EDC＝16°，则∠BAD＝ 度．
18．（3分）已知x2+y2＝10，xy＝4，求（x+y）2的值为 ．
19．（3分）一个等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36°，则此三角形顶角度数为 ．
20．（3分）如图，BH是钝角三角形ABC的高，AD是角平分线，且2∠C＝90°﹣∠ABH，若CD＝4，△ABC的面积为12，则AD＝ ．
三、解答题（其中21-22题各7分，23-24题各分，25-27题各10分，共计60分）
21．（7分）计算：
（1）3a（a+b）；
（2）（x﹣1）（x+4）．
22．（7分）先化简，再求值：（x﹣3）2+（x+1）（x﹣1），其中x＝2．
23．（8分）按要求完成作图：
（1）作△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）直接写出点A1的坐标 ．
（3）直接写出△ABC的面积 ．
24．（8分）如图，点D、E在△ABC的边BC上，AD＝AE，BD＝CE．
（1）求证：AB＝AC；
（2）若∠BAC＝108°，∠DAE＝36°，直接写出图中除△ABC与△ADE外所有的等腰三角形．
25．（10分）如图1是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
（1）请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积．
方法1： ；
方法2： ；
（2）观察图2，请你写出下列三个代数式：（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的等量关系： ；
（3）根据（2）题中的等量关系，解决下面的问题：已知a+b＝3，ab＝2，求a3b﹣ab3的值．
26．（10分）已知，在等边△ABC中，D、E分别为AC、BC边上的点，BE＝CD，连接AE、BD相交于点F．
（1）如图1，求∠AFD的度数；
（2）如图2，过点A作AH⊥BD于H，若EF＝HD，求证：BF＝HF；
（3）如图3，在（2）的条件下，延长BD到点M，连接AM，使∠AMB＝∠ABM，若EF＝2，AF＝10，求DM长．
27．（10分）已知在平面直角坐标系中，A（4，0），B（0，3），以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角三角形ABC，AB＝AC，∠BAC＝90°．
（1）在图1中，求点C坐标；
（2）在图2中，动点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度向x轴正方向运动，设点P的运动时间为t，△PAC的面积为S，求S与t的关系式，并写出t的取值范围．
（3）在（2）问条件下，若PB+PC的值最小时，求P点坐标及t的值．
参考答案
一、选择题（每小题3分，共计30分）
1．（3分）如图图形中，轴对称图形的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解：第1个图形，不是轴对称图形，故本选项不合题意；
第2个图形，是轴对称图形，故本选项符合题意；
第3个图形，不是轴对称图形，故本选项不合题意；
第4个图形，是轴对称图形，故本选项符合题意．
故选：B．
2．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．a2+a2＝a4 B．（a3）3＝a6 C．a3×a3＝a6 D．a2×a3＝a6
解：A、a2+a2＝2a2，故本选项不合题意；
B、（a3）3＝a9，故本选项不合题意；
C、a3×a3＝a6 ，故本选项符合题意；
D、a2×a3＝a5，故本选项不合题意；
故选：C．
3．（3分）点M（3，2）关于y轴对称的点的坐标为（ ）
A．（﹣3，2） B．（3，﹣2） C．（﹣3，﹣2） D．（3，2）
解：点M（3，2）关于y轴对称的点的坐标为（﹣3，2）．
故选：A．
4．（3分）一个等腰三角形的顶角是50°，则它的底角是（ ）
A．100° B．65° C．70° D．75°
解：∵三角形为等腰三角形，且顶角为50°，
∴底角＝（180°﹣50°）÷2＝65°．
故选：B．
5．（3分）如图，已知△ABC中，AB＝AC，BD＝DC，则下列结论错误的是（ ）
A．∠BAC＝∠B B．∠BAD＝∠CAD C．AD⊥BC D．∠B＝∠C
解：∵AB＝AC，BD＝DC，AD＝AD，
∴△ADB≌△ADC（SSS），
∴∠B＝∠C，∠BAD＝∠CAD，∠ADB＝∠ADC，
∵∠ADB+∠ADC＝180°，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∴AD⊥BC，
故B，C，D正确，
故选：A．
6．（3分）到三角形三个顶点距离相等的是（ ）
A．三边高线的交点 B．三条中线的交点
C．三条垂直平分线的交点 D．三条内角平分线的交点
解：到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形三边垂直平分线的交点，理由是：
∵P在AB的垂直平分线EF上，
∴PA＝PB，
∵P在AC的垂直平分线MN上，
∴PA＝PC，
∴PA＝PC＝PB，
即P是到三角形三个顶点的距离相等的点．
故选：C．
7．（3分）如图，△ABC中，BE是角平分线，DE∥BC交AB于D，交AC于E，若DE＝8，AD＝5，则AB等于（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
解：∵BE是∠ABC的平分线，
∴∠ABE＝∠CBE，
∵DE∥BC，
∴∠DEB＝∠CBE，
∴∠ABE＝∠DEB，
∴BD＝DE＝8，
∵AB＝AD+BD，
∴AB＝5+8＝13．
故选：B．
8．（3分）如果x2+kx+6＝（x+2）（x+3），则k＝（ ）
A．1 B．2 C．3 D．5
解：由题意得，x2+kx+6＝（x+2）（x+3）＝x2+5x+6，
则可得k＝5．
故选：D．
9．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，若AB＝6，则BC为（ ）
A．2 B．3 C．6 D．8
解：∵在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，
∴BC＝AB＝×6＝3，
故选：B．
10．（3分）下列说法正确的有（ ）
①任何数的0次幂都得1；
②等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合；
③有一个角是60°的三角形是等边三角形；
④若△ABC与△DEF成轴对称，则△ABC一定与△DEF全等；
⑤等腰三角形的对称轴是顶角的平分线．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解：①任何数的0次幂都得1，错误，0的0次幂没有意义．
②等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合，错误，应该是等腰三角形的底边上的高、中线、顶角的角平分线互相重合．
③有一个角是60°的三角形是等边三角形，错误，应该是有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
④若△ABC与△DEF成轴对称，则△ABC一定与△DEF全等，正确．
⑤等腰三角形的对称轴是顶角的平分线，错误，应该是等腰三角形的对称轴是顶角的平分线所在的直线．
故选：A．
二、填空题（每小题3分，共计30分）
11．（3分）计算：（2x）2＝ 4x2 ．
解：（2x）2＝4x2．
故答案为：4x2．
12．（3分）把多项式3ax2﹣12a分解因式的结果是 3a（x+2）（x﹣2） ．
解：3ax2﹣12a＝3a（x2﹣4）＝3a（x+2）（x﹣2），
故答案为：3a（x+2）（x﹣2）．
13．（3分）（8a3b﹣4a2b2）÷2ab＝ 4a2﹣2ab ．
解：（8a3b﹣4a2b2）÷2ab
＝8a3b÷2ab﹣4a2b2÷2ab
＝4a2﹣2ab．
故答案为：4a2﹣2ab．
14．（3分）am＝2，an＝3，则am+n＝ 6 ．
解：∵am＝2，an＝3，
∴am?an＝am+n＝2×3＝6．
故答案为：6．
15．（3分）等腰三角形的两边长为5cm、2cm，则此三角形的周长为 12 cm．
解：①5cm为腰，2cm为底，此时周长为12cm；
②5cm为底，2cm为腰，则两边和小于第三边无法构成三角形，故舍去．
所以其周长是12cm．
故答案为：12．
16．（3分）如图，DE是AB的垂直平分线，D是垂足，DE交BC于E，若BC＝32cm，AC＝18cm，则△AEC的周长为 50 cm．
解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE＝BE．
∴△AEC的周长＝AC+CE+AE＝AC+BC＝18+32＝50（cm）．
故填50．
17．（3分）如图，AB＝AC，BD＝CD，AD＝AE，∠EDC＝16°，则∠BAD＝ 32 度．
解：在△ABD和△ACD中，，
∴△ABD≌△ACD（SSS），
∴∠BAD＝∠CAD，∠ADB＝∠ADC＝90°，
∴∠ADE＝90°﹣∠EDC＝90°﹣16°＝74°，
∵AD＝AE，
∴∠AED＝∠ADE＝74°，
∴∠BAD＝∠CAD＝180°﹣2×74°＝32°；
故答案为：32．
18．（3分）已知x2+y2＝10，xy＝4，求（x+y）2的值为 18 ．
解：因为x2+y2＝10，xy＝4，
所以（x+y）2＝x2+2xy+y2＝x2+y2+2xy＝10+2×4＝18．
故答案为：18．
19．（3分）一个等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36°，则此三角形顶角度数为 54°或126° ．
解：当△ABC是锐角三角形时，
∠ACD＝36°，∠ADC＝90°，
∴∠A＝54°，
当△ABC是钝角三角形时，
∴∠ACD＝36°，∠ADC＝90°，
∴∠BAC＝∠ADC+∠ACD＝126°
故答案为：54°或126°
20．（3分）如图，BH是钝角三角形ABC的高，AD是角平分线，且2∠C＝90°﹣∠ABH，若CD＝4，△ABC的面积为12，则AD＝ 3 ．
解：∵BH为△ABC的高，
∴∠AHB＝90°，
∴∠BAH＝90°﹣∠ABH，
而2∠C＝90°﹣∠ABH，
∴∠BAH＝2∠C，
∵∠BAH＝∠C+∠ABC，
∴∠ABC＝∠C，
∴△ABC为等腰三角形，
∵AD是角平分线，
∴AD⊥BC，BD＝CD＝4，
∵△ABC的面积为12，
∴×AD×BC＝12，即×AD×8＝12，
∴AD＝3．
故答案为3．
三、解答题（其中21-22题各7分，23-24题各分，25-27题各10分，共计60分）
21．（7分）计算：
（1）3a（a+b）；
（2）（x﹣1）（x+4）．
解：（1）原式＝3a2+3ab；
（2）原式＝x2+4x﹣x﹣4＝x2+3x﹣4．
22．（7分）先化简，再求值：（x﹣3）2+（x+1）（x﹣1），其中x＝2．
解：原式＝x2﹣6x+9+x2﹣1
＝2x2﹣6x+8，
当x＝2时，原式＝2×4﹣12+8
＝4．
23．（8分）按要求完成作图：
（1）作△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）直接写出点A1的坐标 （4，1） ．
（3）直接写出△ABC的面积 ．
解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；
（2）点A1的坐标为（4，1），
故答案为：（4，1）；
（3）△ABC的面积＝2×3﹣﹣﹣＝，
故答案为：．
24．（8分）如图，点D、E在△ABC的边BC上，AD＝AE，BD＝CE．
（1）求证：AB＝AC；
（2）若∠BAC＝108°，∠DAE＝36°，直接写出图中除△ABC与△ADE外所有的等腰三角形．
【解答】证明：（1）过点A作AF⊥BC于点F，
∵AD＝AE，
∴DF＝EF，
∵BD＝CE，
∴BF＝CF，
∴AB＝AC．
（2）∵∠B＝∠BAD，∠C＝∠EAC，∠BAE＝∠BEA，∠ADC＝∠DAC，
∴除△ABC与△ADE外所有的等腰三角形为：△ABD、△AEC、△ABE、△ADC，
25．（10分）如图1是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
（1）请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积．
方法1： （m﹣n）2 ；
方法2： （m+n）2﹣4mn ；
（2）观察图2，请你写出下列三个代数式：（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的等量关系： （m+n）2﹣4mn＝（m﹣n）2 ；
（3）根据（2）题中的等量关系，解决下面的问题：已知a+b＝3，ab＝2，求a3b﹣ab3的值．
解：（1）方法1：由图可得小正方形的边长为m﹣n，则阴影部分的面积为（m﹣n）2；
故答案为：（m﹣n）2；
方法2：阴影部分＝（m+n）2﹣4mn，
故答案为：（m+n）2﹣4mn；
（2）由阴影部分的面积的两种不同算法，可得等式（m+n）2﹣4mn＝（m﹣n）2；
（3）∵a+b＝3，ab＝2，
∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝9﹣8＝1，
∴a﹣b＝±1，
∵a3b﹣ab3＝ab（a2﹣b2）＝ab（a﹣b）（a+b）
∴a3b﹣ab3＝±6
26．（10分）已知，在等边△ABC中，D、E分别为AC、BC边上的点，BE＝CD，连接AE、BD相交于点F．
（1）如图1，求∠AFD的度数；
（2）如图2，过点A作AH⊥BD于H，若EF＝HD，求证：BF＝HF；
（3）如图3，在（2）的条件下，延长BD到点M，连接AM，使∠AMB＝∠ABM，若EF＝2，AF＝10，求DM长．
【解答】（1）解：∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝BC，∠ABC＝∠C＝60°．
在△ABE和△BCD中，
，
∴△ABE≌△BCD（SAS）．
∴∠BAE＝∠CBD．
∴∠AFD＝∠ABF+∠BAF＝∠ABF+∠CBD＝∠ABC＝60°．
（2）证明：由（1）得：△ABE≌△BCD，
∴∠BAE＝∠CBD，AE＝BD，
∴∠AFH＝∠BAE+∠ABF＝∠CBD+∠ABF＝∠ABC＝60°，
∵AH⊥BD，
∴∠FAH＝30°，
∴HF＝AF，
∵EF＝HD，
∴AF＝BH，
∴HF＝BH，
∴BF＝HF；
（3）解：由（2）得：BH＝AF＝10，HF＝AF＝5，BD＝AE＝AF+EF＝12，
∵∠AMB＝∠ABM，
∴AB＝AM，
∵AH⊥BD，
∴MH＝BH＝10，
∴BM＝2BH＝20，
∴DM＝BM﹣BD＝20﹣12＝8．
27．（10分）已知在平面直角坐标系中，A（4，0），B（0，3），以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角三角形ABC，AB＝AC，∠BAC＝90°．
（1）在图1中，求点C坐标；
（2）在图2中，动点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度向x轴正方向运动，设点P的运动时间为t，△PAC的面积为S，求S与t的关系式，并写出t的取值范围．
（3）在（2）问条件下，若PB+PC的值最小时，求P点坐标及t的值．
【解答】（1）解：过点C作CH⊥x轴于点H，如图1，
则∠AHC＝90°．
∴∠AOB＝∠BAC＝∠AHC＝90°，
∴∠OAB＝180°﹣90°﹣∠HAC＝90°﹣∠HAC＝∠HCA．
在△AOB和△CHA中，
，
∴△AOB≌△CHA（AAS），
∴AO＝CH＝4，OB＝HA＝3，
∴OH＝OA+AH＝7，
∴点C的坐标为（7，4）；
（2）当0≤t＜2时，点P在点A的左侧，
∴PA＝4﹣2t，
∴S△PAC＝＝＝8﹣4t．
当t＞2时，点P在点A的右侧，
∴PA＝2t﹣4，
∴S△PAC＝＝×4＝4t﹣8．
综合以上可得S与t的关系式为；
（3）作点B关于x轴的对称点E，连接EC交x轴于点P，则PB+PC的值最小，
过点E作y轴的垂线，过点C作x轴的垂线，交于点F，
∵B（0，3），
∴E（0，﹣3），
∵C（7，4），
∴CF＝4+3＝7，
∴EF＝CF，
∴△CEF为等腰直角三角形，
∴∠CEF＝45°，
∴∠OEP＝45°，
∵∠EOP＝90°，
∴∠OEP＝∠OPE，
∴OE＝OP＝3，
∴P（3，0），t＝．
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