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第五章
统计与概率
5.1.2
数据的数字特征
1、基础巩固
1．在某次测量中得到的A样本数据如下17，25，11，27，18，19，31，27，41，16，若，B样本数据恰好是A样本数据都减2后所得数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是（
）
A．平均数
B．众数
C．方差
D．中位数
2．有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶7次，每次命中的环数如下：
甲
7
8
10
9
8
8
6
乙
9
10
7
8
7
7
8
则下列判断正确的是（
）
A．甲射击的平均成绩比乙好
B．乙射击的平均成绩比甲好
C．甲射击的成绩的众数小于乙射击的成绩的众数
D．甲射击的成绩的极差大于乙射击的成绩的极差
3．甲、乙两支曲棍球队在去年的国际比赛中，甲队的平均每场进球数为，全年比赛进球个数的标准差为3；乙队的平均每场进球数为，全年比赛进球个数的标准差为．下列说法正确的个数为（
）
①甲队的技术比乙队好；
②乙队发挥比甲队稳定；③甲队的表现时好时坏．
A．0
B．3
C．2
D．1
4．下列说法正确的是（
）
A．为了解我国中学生课外阅读的情况，应采取全面调查的方式
B．一组数据1、2、5、5、5、3、3的中位数和众数都是5
C．投掷一枚硬币100次，一定有50次“正面朝上”
D．若甲组数据的方差是0.03，乙组数据的方差是0.1，则甲组数据比乙组数据稳定
5．.某次体检，5位同学的身高（单位：米）分别为1.72，1.78，1.80，1.69，1.76，则这组数据的中位数为（
）（米）.
A．1.21
B．1.32
C．1.76
D．1.66
6．某校8位学生的本次月考成绩恰好都比上一次的月考成绩高出50分，则以该8位学生这两次的月考成绩各自组成样本，则这两个样本不变的数字特征是（
）
A．方差
B．中位数
C．众数
D．平均数
7．已知甲组数据：156，，165，174，162，乙组数据：159，178，，161，167，其中，.若这两组数据的中位数相等，平均数也相等，则（
）
A．8
B．10
C．11
D．12
8．10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12.设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有（
）.
A．
B．
C．
D．
9．16位参加百米半决赛同学的成绩各不相同，按成绩取前8位进入决赛，如果小刘知道了自己的成绩后，要判断他能否进入决赛.则其他15位同学成绩的下列数据中，能使他得出结论的是（
）
A．平均数
B．极差
C．中位数
D．方差
10．下列说法中，不正确的是（
）.
A．数据2，4，6，8的中位数是4，6
B．数据1，2，2，3，4，4的众数是2，4
C．一组数据的平均数、众数、中位数有可能是同一个数据
D．8个数据的平均数为5，另3个数据的平均数为7，则这11个数据的平均数是
11．一组观察值4，3，5，6出现的次数分别为3，2，4，2，则样本平均值为（
）.
A．4.55
B．4.50
C．12.50
D．1.64
12．已知一组数据的平均数是3，方差是，那么另一组数据，的平均数，方差分别是（
）
A．5，
B．5,2
C．3,2
D．3，
13．某地区某村的前三年的经济收入分别为万元，其统计数据的中位数为，平均数为；经过今年政府新农村建设后，该村经济收入在上年基础上翻番，则在这年里收入的统计数据中，下列说法正确的是（）
A．中位数为，平均数为
B．中位数为，平均数为
C．中位数为，平均数为
D．中位数为，平均数为
14．为了解某种轮胎的性能，随机抽取了8个进行测试，其最远里程数（单位：1000
km）为：96，112，97，108，99，104，86，98，则他们的中位数是（
）
A．100
km
B．99
km
C．98.5
km
D．98
km
15．已知一组数据、、、、的平均数是，则这组数据的中位数是（
）
A．
B．
C．
D．不确定
16．在某次测量中得到的A样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88.若B样本数据恰好是A样本数据都加2后所得数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是
A．众数
B．平均数
C．中位数
D．标准差
17．一组数据中的每个数据都减去80，得一组新数据，若求得新数据的平均数是1.2，方差是4.4，则原来数据的平均数和方差分别是（
）
A．81.2，84.4
B．78.8，4.4
C．81.2，4.4
D．78.8，75.6
18．如果，…的方差为2，则，，…的方差为（
）
A．2
B．4
C．8
D．16
19．新莽铜嘉量是由王莽国师刘歆等人设计制造的标准量器，它包括了龠（yuè）、合、升、斗、斛这五个容量单位.每一个量又有详细的分铭，记录了各器的径、深、底面积和容积.根据铭文不但可以直接测得各个容量单位的量值，而且可以通过对径、深各个部位的测量，得到精确的计算容积，从而推算出当时的标准尺度.现根据铭文计算，当时制造容器时所用的圆周率分别为3.1547，3.1992，3.1498，3.2031，比径一周三的古率已有所进步，则上面四个数与祖冲之给出的约率（）、密率（）这6个数据的中位数与极差分别为（
）
A．3.1429，0.0615
B．3.1523，0.0615
C．3.1498，0.0484
D．3.1547，0.0484
20．在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”.根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是
A．甲地：总体均值为3，中位数为4
B．乙地：总体均值为1，总体方差大于0
C．丙地：中位数为2，众数为3
D．丁地：总体均值为2，总体方差为3
21．（多选题）某篮球爱好者在一次篮球训练中，需进行五轮投篮，每轮投篮5次.统计各轮投进球的个数，获知其前四轮投中的个数分别为2，3，4，4，则第五轮结束后下列数字特征有可能发生的是（
）
A．平均数为3，极差是3
B．中位数是3，极差是3
C．平均数为3，方差是0.8
D．中位数是3，方差是0.56
22．（多选题）在去年的足球甲A联赛上，一队每场比赛平均失球数是1.6，全年比赛失球个数的标准差为1.2；二队每场比赛平均失球数是2.2，全年失球个数的标准差是0.5.下列说法正确的是（
）.
A．平均说来，一队比二队防守技术好
B．二队比一队技术水平更稳定
C．一队有时表现很差，有时表现又非常好
D．二队很少不失球
23．（多选题）乐乐家共有七人，已知今年这七人年龄的众数为35，平均数为44，中位数为55，标准差为19，则5年后，下列说法中正确的是（
）.
A．这七人岁数的众数变为40
B．这七人岁数的平均数变为49
C．这七人岁数的中位数变为60
D．这七人岁数的标准差变为24
2、拓展提升
1．给出下列两组数据：甲：12，13，11，10，14.乙：10，17，10，13，10.
（1）分别计算两组数据的平均差，并根据计算结果判断哪组数据波动大.
（2）分别计算两组数据的方差，并根据计算结果判断哪组数据波动大.
（3）以上两种判断方法的结果是否一致？
2．某小区所有263户家庭人口数分组表示如下：
家庭人口数
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
家庭数
20
29
48
50
46
36
19
8
4
3
（1）若将上述家庭人口数的263个数据分布记作，平均值记作，写出人口数方差的计算公式（只要计算公式，不必计算结果）；
（2）写出他们家庭人口数的中位数（直接给出结果即可）；
（3）计算家庭人口数的平均数与标准差.（写出公式，再利用计算器计算，精确到0.01）
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第五章
统计与概率
5.1.2
数据的数字特征
1、基础巩固
1．在某次测量中得到的A样本数据如下17，25，11，27，18，19，31，27，41，16，若，B样本数据恰好是A样本数据都减2后所得数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是（
）
A．平均数
B．众数
C．方差
D．中位数
【答案】C
【详解】当A样本数据都减，每个数据大小改变，则数据的中位数、众数都发生变化，
设A样本数据的平均数为，则B样本数据的平均数变为，
所以B样本数据中保持不变，
根据方差的计算公式可知，B样本数据的方差保持不变.
2．有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶7次，每次命中的环数如下：
甲
7
8
10
9
8
8
6
乙
9
10
7
8
7
7
8
则下列判断正确的是（
）
A．甲射击的平均成绩比乙好
B．乙射击的平均成绩比甲好
C．甲射击的成绩的众数小于乙射击的成绩的众数
D．甲射击的成绩的极差大于乙射击的成绩的极差
【答案】D
【解析】由题意得，甲射击的平均成绩为，众数为，极差为；乙射击的平均成绩为，众数为，极差为，故甲射击的平均成绩等于乙射击的平均成绩，甲射击的成绩的众数大于乙射击的成绩的众数，甲射击的成绩的极差大于乙射击的成绩的极差，故选D.
3．甲、乙两支曲棍球队在去年的国际比赛中，甲队的平均每场进球数为，全年比赛进球个数的标准差为3；乙队的平均每场进球数为，全年比赛进球个数的标准差为．下列说法正确的个数为（
）
①甲队的技术比乙队好；
②乙队发挥比甲队稳定；③甲队的表现时好时坏．
A．0
B．3
C．2
D．1
【答案】B
【详解】
∵甲队平均数大于乙队的平均数，∴甲队的技术比乙队好，
又∵甲队的标准差大于乙队的标准差，∴乙队发挥比甲队稳定，甲队的表现时好时坏，故①②③都对．
4．下列说法正确的是（
）
A．为了解我国中学生课外阅读的情况，应采取全面调查的方式
B．一组数据1、2、5、5、5、3、3的中位数和众数都是5
C．投掷一枚硬币100次，一定有50次“正面朝上”
D．若甲组数据的方差是0.03，乙组数据的方差是0.1，则甲组数据比乙组数据稳定
【答案】D
【详解】
对于A，为了解我国中学生课外阅读的情况，应采取抽样调查的方式，故A错误；
对于B，数据1、2、5、5、5、3、3按从小到大排列后为1、2、3、3、5、5、5，则其中位数为3，故B错误；
对于C，因为每次抛掷硬币都是随机事件，所以不一定有50次“正面朝上”，故C错误；
对于D，因为方差越小越稳定，故D正确.
5．.某次体检，5位同学的身高（单位：米）分别为1.72，1.78，1.80，1.69，1.76，则这组数据的中位数为（
）（米）.
A．1.21
B．1.32
C．1.76
D．1.66
【答案】C
【详解】
将数据从小到大排列后分别为：1.69，1.72，1.76，1.78，1.80，
则中位数为1.76.
6．某校8位学生的本次月考成绩恰好都比上一次的月考成绩高出50分，则以该8位学生这两次的月考成绩各自组成样本，则这两个样本不变的数字特征是（
）
A．方差
B．中位数
C．众数
D．平均数
【答案】A
【详解】
由题可知，中位数和众数、平均数都有变化.
本次和上次的月考成绩相比，成绩和平均数都增加了50，所以没有改变，
根据方差公式可知方差不变.
7．已知甲组数据：156，，165，174，162，乙组数据：159，178，，161，167，其中，.若这两组数据的中位数相等，平均数也相等，则（
）
A．8
B．10
C．11
D．12
【答案】A
【详解】
由题知：，，
将甲组数据从小到大排列得：156，162，165，，174，故中位数为165；
要使两组数据的中位数相同，将乙组数据从小到大排列得：159，161，，167，178，所以，故；
所以乙组数据为：159，178，165，161，167，平均数为，
甲组数据的平均数为
，解之得：，
所以.
8．10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12.设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有（
）.
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
，
中位数为，
众数为.
9．16位参加百米半决赛同学的成绩各不相同，按成绩取前8位进入决赛，如果小刘知道了自己的成绩后，要判断他能否进入决赛.则其他15位同学成绩的下列数据中，能使他得出结论的是（
）
A．平均数
B．极差
C．中位数
D．方差
【答案】C
【详解】剩下的15位同学，求出其中位数，如果小刘的成绩小于中位数，则小刘不能进入决赛.如果小刘的成绩大于其中位数，则小刘能进入决赛.
故选：C
10．下列说法中，不正确的是（
）.
A．数据2，4，6，8的中位数是4，6
B．数据1，2，2，3，4，4的众数是2，4
C．一组数据的平均数、众数、中位数有可能是同一个数据
D．8个数据的平均数为5，另3个数据的平均数为7，则这11个数据的平均数是
【答案】A
【详解】
数据2，4，6，8的中位数为，显然选项A中说法是错误的，选项B，C，D中说法都是正确的.
11．一组观察值4，3，5，6出现的次数分别为3，2，4，2，则样本平均值为（
）.
A．4.55
B．4.50
C．12.50
D．1.64
【答案】A
【详解】
.
12．已知一组数据的平均数是3，方差是，那么另一组数据，的平均数，方差分别是（
）
A．5，
B．5,2
C．3,2
D．3，
【答案】B
【详解】
因为数据的平均数是3，方差是，所以，因此数据，
的平均数为，方差为.选B.
13．某地区某村的前三年的经济收入分别为万元，其统计数据的中位数为，平均数为；经过今年政府新农村建设后，该村经济收入在上年基础上翻番，则在这年里收入的统计数据中，下列说法正确的是（）
A．中位数为，平均数为
B．中位数为，平均数为
C．中位数为，平均数为
D．中位数为，平均数为
【答案】C
【详解】
依题意，前三年中位数，平均数，第四年收入为万元，故中位数为，平均数为，故选C.
14．为了解某种轮胎的性能，随机抽取了8个进行测试，其最远里程数（单位：1000
km）为：96，112，97，108，99，104，86，98，则他们的中位数是（
）
A．100
km
B．99
km
C．98.5
km
D．98
km
【答案】C
【详解】
从小到大排列此数据为：86，96，97，98，99，104，108，112，
中间两个数是98，99，
所以中位数为，故选C．
15．已知一组数据、、、、的平均数是，则这组数据的中位数是（
）
A．
B．
C．
D．不确定
【答案】B
【详解】
因为，得，
若，则，此时中位数为，
若，则中位数为，
综上所述，这组数据的中位数为.
16．在某次测量中得到的A样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88.若B样本数据恰好是A样本数据都加2后所得数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是
A．众数
B．平均数
C．中位数
D．标准差
【答案】D
【详解】
试题分析：A样本数据：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88．
B样本数据84，86，86，88，88，88，90，90，90，90
众数分别为88，90，不相等，A错．
平均数86，88不相等，B错．
中位数分别为86，88，不相等，C错
A样本方差=4，标准差S=2，
B样本方差=4，标准差S=2，D正确
17．一组数据中的每个数据都减去80，得一组新数据，若求得新数据的平均数是1.2，方差是4.4，则原来数据的平均数和方差分别是（
）
A．81.2，84.4
B．78.8，4.4
C．81.2，4.4
D．78.8，75.6
【答案】C
【详解】
原来数据的平均数为,方差不改变为.
18．如果，…的方差为2，则，，…的方差为（
）
A．2
B．4
C．8
D．16
【答案】C
【详解】
设原数据的平均数为，则新数据的平均数为，
则原数据的方差为,
新数据的方差为:
，
故新数据的方差为：8.
19．新莽铜嘉量是由王莽国师刘歆等人设计制造的标准量器，它包括了龠（yuè）、合、升、斗、斛这五个容量单位.每一个量又有详细的分铭，记录了各器的径、深、底面积和容积.根据铭文不但可以直接测得各个容量单位的量值，而且可以通过对径、深各个部位的测量，得到精确的计算容积，从而推算出当时的标准尺度.现根据铭文计算，当时制造容器时所用的圆周率分别为3.1547，3.1992，3.1498，3.2031，比径一周三的古率已有所进步，则上面四个数与祖冲之给出的约率（）、密率（）这6个数据的中位数与极差分别为（
）
A．3.1429，0.0615
B．3.1523，0.0615
C．3.1498，0.0484
D．3.1547，0.0484
【答案】B
【详解】
所给数据按顺序排列为：，，3.1498，3.1547，3.1992，3.2031，所以这6个数据的中位数为，极差为.
20．在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”.根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是
A．甲地：总体均值为3，中位数为4
B．乙地：总体均值为1，总体方差大于0
C．丙地：中位数为2，众数为3
D．丁地：总体均值为2，总体方差为3
【答案】D
【解析】
试题分析：由于甲地总体均值为，中位数为，即中间两个数（第天）人数的平均数为，因此后面的人数可以大于，故甲地不符合.乙地中总体均值为，因此这天的感染人数总数为，又由于方差大于，故这天中不可能每天都是，可以有一天大于，故乙地不符合，丙地中中位数为，众数为，出现的最多，并且可以出现，故丙地不符合，故丁地符合.
2、拓展提升
1．某篮球爱好者在一次篮球训练中，需进行五轮投篮，每轮投篮5次.统计各轮投进球的个数，获知其前四轮投中的个数分别为2，3，4，4，则第五轮结束后下列数字特征有可能发生的是（
）
A．平均数为3，极差是3
B．中位数是3，极差是3
C．平均数为3，方差是0.8
D．中位数是3，方差是0.56
【答案】BCD
【详解】
2+3+4+4＝13，
①若平均数为3，则第五轮投中的个数为2，
所以极差为4﹣2＝2，方差为，
即选项A错误，C正确；
②若中位数为3，则第五轮投中的个数为0或1或2或3，
当投中的个数为0时，极差为4，方差为
当投中的个数为1时，极差为3，方差为；
当投中的个数为2时，极差为2，方差为0.8；
当投中的个数为3时，极差为2，方差为
即选项B和D均正确．
2．在去年的足球甲A联赛上，一队每场比赛平均失球数是1.6，全年比赛失球个数的标准差为1.2；二队每场比赛平均失球数是2.2，全年失球个数的标准差是0.5.下列说法正确的是（
）.
A．平均说来，一队比二队防守技术好
B．二队比一队技术水平更稳定
C．一队有时表现很差，有时表现又非常好
D．二队很少不失球
【答案】ABCD
【详解】
一队每场比赛平均失球数是1.6，二队每场比赛平均失球数是2.2，所以从平均数的角度来说一队比二队防守技术好，A正确.
一队全年比赛失球个数的标准差为1.2，二队全年失球个数的标准差是0.5，所以二队比一队技术水平更稳定，B正确.
一队全年比赛失球个数的标准差为1.2，二队全年失球个数的标准差是0.5，所以一队有时表现很差，有时表现又非常好，C正确.二队每场比赛平均失球数是2.2，全年失球个数的标准差是0.5，所以二队很少不失球，D正确.
3．乐乐家共有七人，已知今年这七人年龄的众数为35，平均数为44，中位数为55，标准差为19，则5年后，下列说法中正确的是（
）.
A．这七人岁数的众数变为40
B．这七人岁数的平均数变为49
C．这七人岁数的中位数变为60
D．这七人岁数的标准差变为24
【答案】ABC
【详解】
根据众数、平均数、中位数的概念得5年后，每人的年龄相应增加5，而标准差不变，所以这七人年龄的众数变为40；平均数变为49；中位数变为60；标准差不变，为19.
故选ABC.
4．给出下列两组数据：甲：12，13，11，10，14.乙：10，17，10，13，10.
（1）分别计算两组数据的平均差，并根据计算结果判断哪组数据波动大.
（2）分别计算两组数据的方差，并根据计算结果判断哪组数据波动大.
（3）以上两种判断方法的结果是否一致？
【详解】
（1）由已知可得，.
甲的平均差：，
乙的平均差：.
乙的平均差较大，因此乙组数据波动较大。
（2），
.
所以乙的方差较大，因此乙组数据波动较大.
（3）两种判断方法的结果一致.
5．某小区所有263户家庭人口数分组表示如下：
家庭人口数
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
家庭数
20
29
48
50
46
36
19
8
4
3
（1）若将上述家庭人口数的263个数据分布记作，平均值记作，写出人口数方差的计算公式（只要计算公式，不必计算结果）；
（2）写出他们家庭人口数的中位数（直接给出结果即可）；
（3）计算家庭人口数的平均数与标准差.（写出公式，再利用计算器计算，精确到0.01）
【详解】
解：（1）由方差的计算公式得：
人口数方差为；
（2）263户家庭，则中位数为第户家庭的人口数，
，，
所以中位数为4；
（3）平均数：
，
标准差：
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