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第五章
统计与概率
5.3.1
样本空间与事件
1、基础巩固
1．在12本书中，有10本语文书，2本英语书，从中任意抽取3本的必然事件是（
）
A．3本都是语文书
B．至少有一本是英语书
C．3本都是英语书
D．至少有一本是语文书
2．以下现象是随机现象的是
A．标准大气压下，水加热到100℃，必会沸腾
B．长和宽分别为a，b的矩形，其面积为
C．走到十字路口，遇到红灯
D．三角形内角和为180°
3．下列说法正确的是( )
A．甲、乙二人比赛，甲胜的概率为，则比赛5场，甲胜3场
B．某医院治疗一种疾病的治愈率为10%，前9个病人没有治愈，则第10个病人一定治愈
C．随机试验的频率与概率相等
D．天气预报中，预报明天降水概率为90%，是指降水的可能性是90%
4．下列事件中，是必然事件的是（
）
A．任意买一张电影票，座位号是2的倍数
B．13个人中至少有两个人生肖相同
C．车辆随机到达一个路口，遇到红灯
D．明天一定会下雨
5．下列事件：
①任取三条线段，这三条线段恰好组成直角三角形；
②从一个三角形的三个顶点各任画一条射线，这三条射线交于一点；
③实数a，b都不为0，但；
④明年12月28日的最高气温高于今年12月28日的最高气温．
其中为随机事件的是（
）
A．①②③
B．①③④
C．①②④
D．②③④
6．从6个篮球、2个排球中任选3个球，则下列事件中，是必然事件的是（
）.
A．3个都是篮球
B．至少有1个是排球
C．3个都是排球
D．至少有1个是篮球
7．给出下列四个命题：
①“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件
②“当为某一实数时可使”是不可能事件
③“明天全天要下雨”是必然事件
④“从100个灯泡（6个是次品）中取出5个，5个都是次品”是随机事件．
其中正确命题的个数是（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
8．下列说法错误的是（
）
A．任一事件的概率总在内
B．不可能事件的概率一定为0
C．必然事件的概率一定为1
D．概率是随机的，在试验前不能确定
9．下列事件中是随机事件的个数有（
）
①连续两次抛掷两个骰子，两次都出现2点；②在地球上，树上掉下的雪梨不抓住就往下掉；③某人买彩票中奖；④在标准大气压下，水加热到会沸腾.
A．1
B．2
C．3
D．4
10．下列事件中，随机事件的个数为( )
①在学校明年召开的田径运动会上，学生张涛获得100米短跑冠军；
②在体育课上，体育老师随机抽取一名学生去拿体育器材，抽到李凯；
③从标有1，2，3，4的4张号签中任取一张，恰为1号签；
④在标准大气压下，水在4°C时结冰．
A．1
B．2
C．3
D．4
11．有下列事件：①足球运动员点球命中；②在自然数集中任取一个数为偶数；③在标准大气压下，水在100
℃时沸腾；④在洪水到来时，河流水位下降；⑤任意两个奇数之和必为偶数；⑥任意两个奇数之和为奇数.上述事件中为随机事件的有（
）
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
12．质地均匀的骰子六个面分别刻有1到6的点数，掷两次骰子，得到向上一面的两个点数，则下列事件中，发生可能性最大的是（
）
A．点数都是偶数
B．点数的和是奇数
C．点数的和小于13
D．点数的和小于2
13．下列叙述正确的是（
）
A．频率是稳定的，概率是随机的
B．互斥事件一定不是对立事件，但是对立事件一定是互斥事件
C．5张奖券中有1张有奖，甲先抽，乙后抽，那么乙比甲抽到有奖奖券的可能性小
D．若事件A发生的概率为P(A)，则
14．下列事件:①当x是实数时,;②某班一次数学测试,及格率低于;③从分别标有这十个数字的纸团中任取一个,取出的纸团中标的数字是偶数;④体育彩票某期的特等奖号码.其中是随机事件的是(
)
A．①②③
B．①③④
C．②③④
D．①②④
15．下列叙述错误的是（
）．
A．若事件发生的概率为，则
B．互斥事件不一定是对立事件，但是对立事件一定是互斥事件
C．某事件发生的概率是随着试验次数的变化而变化的
D．5张奖券中有一张有奖，甲先抽，乙后抽，则乙与甲中奖的可能性相同
16．下列说法正确的是（
）
A．由生物学知道生男生女的概率约为0.5，一对夫妇先后生两小孩，则一定为一男一女
B．一次摸奖活动中，中奖概率为0.2，则摸5张票，一定有一张中奖
C．10张票中有1张奖票，10人去摸，谁先摸则谁摸到奖票的可能性大
D．10张票中有1张奖票，10人去摸，无论谁先摸，摸到奖票的概率都是0.1
17．（多选题）在10件同类商品中，有8件红色的，2件白色的，从中任意抽取3件，下列事件是随机事件的是(
)
A．3件都是红色
B．3件都是白色
C．至少有1件红色
D．有1件白色
18．（多选题）下列事件是随机事件的是（
）
A．连续掷一枚硬币两次，两次都出现正面朝上
B．异性电荷相互吸引
C．在标准大气压下，水在1℃结冰
D．买一注彩票中了特等奖
E.掷一次骰子，向上的一面的点数是6
19．（多选题）已知非空集合，且集合是集合的真子集，则下列命题为真命题的是（
）
A．“若，则”是必然事件
B．“若，则”是不可能事件
C．“若，则”是随机事件
D．“若，则”是必然事件
20．（多选题）下列说法错误的有（
）
A．随机事件A发生的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值
B．在同一次试验中，不同的基本事件不可能同时发生
C．任意事件A发生的概率满足
D．若事件A发生的概率趋近于0，则事件A是不可能事件
2、拓展提升
1．从0，1，2这3个数字中，不放回地取两次，每次取一个，构成有序数对，其中x为第1次取到的数字，y为第2次取到的数字.
（1）写出样本空间；
（2）写出“第1次取出的数字是2”这一事件的集合表示.
2．先后两次掷一个均匀的骰子，观察朝上的面的点数，用集合表示事件A：点数之和为6，B：点数之和不超过6，并从直观上判断和的大小（指出或即可）.
3．某转盘被平均分成10份（如图所示）.
转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字.
问题
（1）设事件“转出的数字是5”，事件A是必然事件、不可能事件还是随机事件？
（2）设事件
“转出的数字是0”，事件B是必然事件、不可能事件还是随机事件？
（3）设事件“转出的数字x满足，”，事件C是必然事件、不可能事件还是随机事件？
4．观察一个日光灯的寿命：
（1）用适当的符号表示这个试验的样本空间，并写出其中含有的样本点个数；
（2）用集合表示事件A：寿命大于5000h，B：寿命小于1000h.
5．某大学棋艺协会定期举办“以棋会友”的竞赛活动，分别包括“中国象棋”、“围棋”、“五子棋”、“国际象棋”四种比赛，每位协会会员必须参加其中的两种棋类比赛，且各队员之间参加比赛相互独立；已知甲同学必选“中国象棋”，不选“国际象棋”，乙同学从四种比赛中任选两种参与.
（1）求甲参加围棋比赛的概率；
（2）求甲、乙两人参与的两种比赛都不同的概率.
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第五章
统计与概率
5.3.1
样本空间与事件
1、基础巩固
1．在12本书中，有10本语文书，2本英语书，从中任意抽取3本的必然事件是（
）
A．3本都是语文书
B．至少有一本是英语书
C．3本都是英语书
D．至少有一本是语文书
【答案】D
【详解】
因为12本书中只有2本英语书，从中任取3本，必然至少会有一本语文书，
2．以下现象是随机现象的是
A．标准大气压下，水加热到100℃，必会沸腾
B．长和宽分别为a，b的矩形，其面积为
C．走到十字路口，遇到红灯
D．三角形内角和为180°
【答案】C
【详解】
A.
标准大气压下，水加热到100℃，必会沸腾,是必然事件；
B.
长和宽分别为a，b的矩形，其面积为，是必然事件；
C.
走到十字路口，遇到红灯，是随机事件；
D.
三角形内角和为180°，是必然事件.
3．下列说法正确的是( )
A．甲、乙二人比赛，甲胜的概率为，则比赛5场，甲胜3场
B．某医院治疗一种疾病的治愈率为10%，前9个病人没有治愈，则第10个病人一定治愈
C．随机试验的频率与概率相等
D．天气预报中，预报明天降水概率为90%，是指降水的可能性是90%
【答案】D
【详解】
A选项，此概率只说明发生的可能性大小，具有随机性，并非一定是5场胜3场；
B选项，此治愈率只说明发生的可能性大小，具有随机性，并非10人一定有人治愈；
C选项，试验的频率可以估计概率，并不等于概率；
D选项，概率为90%，即可能性为90%.
4．下列事件中，是必然事件的是（
）
A．任意买一张电影票，座位号是2的倍数
B．13个人中至少有两个人生肖相同
C．车辆随机到达一个路口，遇到红灯
D．明天一定会下雨
【答案】B
【详解】
买一张电影票，座位号可以是2的倍数，也可以不是2的倍数，故A不正确；
13个人中至少有两个人生肖相同，这是必然事件，故B正确；
车辆随机到达一个路口，可以遇到红灯，也可以遇到绿灯或者黄灯，故C不正确；
明天可能下雨也可能不下雨，故D不正确.
5．下列事件：
①任取三条线段，这三条线段恰好组成直角三角形；
②从一个三角形的三个顶点各任画一条射线，这三条射线交于一点；
③实数a，b都不为0，但；
④明年12月28日的最高气温高于今年12月28日的最高气温．
其中为随机事件的是（
）
A．①②③
B．①③④
C．①②④
D．②③④
【答案】C
【详解】
任取三条线段，这三条线段不一定能组成直角三角形，所以①为随机事件；
从一个三角形的三个顶点各任画一条射线，这三条射线不一定交于一点，所以②为随机事件；
因为当实数a，b都不为0时，所以③为不可能事件；
明年12月28日的最高气温可能高于今年12月28日的最高气温，所以④为随机事件；
6．从6个篮球、2个排球中任选3个球，则下列事件中，是必然事件的是（
）.
A．3个都是篮球
B．至少有1个是排球
C．3个都是排球
D．至少有1个是篮球
【答案】D
【详解】
解析：从6个篮球、2个排球中任选3个球，A，B是随机事件，C是不可能事件，D是必然事件，故选D.
7．给出下列四个命题：
①“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件
②“当为某一实数时可使”是不可能事件
③“明天全天要下雨”是必然事件
④“从100个灯泡（6个是次品）中取出5个，5个都是次品”是随机事件．
其中正确命题的个数是（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】D
【详解】
对于①，三个球分为两组，有两种情况，和，所以①是正确的命题；
对于②，任意实数都有，所以②是正确的命题；
对于③，“明天全天要下雨”是偶然事件，所以③是错误的命题；
对于④，“从100个灯泡中取出5个，5个都是次品”，发生与否是随机的，所以④是正确的命题．
8．下列说法错误的是（
）
A．任一事件的概率总在内
B．不可能事件的概率一定为0
C．必然事件的概率一定为1
D．概率是随机的，在试验前不能确定
【答案】D
【详解】
解：任一事件的概率总在内，不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1，概率是客观存在的，是一个确定值．
9．下列事件中是随机事件的个数有（
）
①连续两次抛掷两个骰子，两次都出现2点；②在地球上，树上掉下的雪梨不抓住就往下掉；③某人买彩票中奖；④在标准大气压下，水加热到会沸腾.
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【详解】
连续两次抛掷两个骰子，两次都出现2点，可能发生可能不发生，则①为随机事件
在地球上，树上掉下的雪梨不抓住就往下落，则②为必然事件
某人买彩票中奖，可能发生可能不发生，则③为随机事件
在标准大气压下，水加热到会沸腾，则④为不可能事件
10．下列事件中，随机事件的个数为( )
①在学校明年召开的田径运动会上，学生张涛获得100米短跑冠军；
②在体育课上，体育老师随机抽取一名学生去拿体育器材，抽到李凯；
③从标有1，2，3，4的4张号签中任取一张，恰为1号签；
④在标准大气压下，水在4°C时结冰．
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【详解】
①张涛获得冠军有可能发生也有可能不发生，所以为随机事件；
②抽到的学生有可能是李凯，也有可能不是，所以为随机事件；
③有可能抽到1号签也有可能抽不到，所以为随机事件；
④标准大气压下，水在4°C时不会结冰，所以是不可能事件，不是随机事件.
11．有下列事件：①足球运动员点球命中；②在自然数集中任取一个数为偶数；③在标准大气压下，水在100
℃时沸腾；④在洪水到来时，河流水位下降；⑤任意两个奇数之和必为偶数；⑥任意两个奇数之和为奇数.上述事件中为随机事件的有（
）
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
【答案】C
【详解】
①足球运动员点球命中，是随机的，故是随机事件；
②在自然数集中任取一个数为偶数，是随机的，故是随机事件；
③在标准大气压下，水在100
℃时沸腾；是必然的，故是必然事件；
④在洪水到来时，河流水位下降，是不可能的，故是不可能事件；
⑤任意两个奇数之和必为偶数，是必然的，故是必然事件；
⑥任意两个奇数之和为奇数，是不可能的，故是不可能事件.
12．质地均匀的骰子六个面分别刻有1到6的点数，掷两次骰子，得到向上一面的两个点数，则下列事件中，发生可能性最大的是（
）
A．点数都是偶数
B．点数的和是奇数
C．点数的和小于13
D．点数的和小于2
【答案】C
【详解】
由已知，投掷两次骰子共有种不同的结果，点数是偶数包含的基本事件有
，，，，，，，，共9个，所以
点数都是偶数的概率为；点数的和是奇数包含的基本事件有，，，
，，，，，，，，，，，
，，，共18个，所以点数的和是奇数的概率为；点数的和
小于13是必然事件，其概率为1；点数的和小于2是不可能事件，其概率为0.
13．下列叙述正确的是（
）
A．频率是稳定的，概率是随机的
B．互斥事件一定不是对立事件，但是对立事件一定是互斥事件
C．5张奖券中有1张有奖，甲先抽，乙后抽，那么乙比甲抽到有奖奖券的可能性小
D．若事件A发生的概率为P(A)，则
【答案】D
【详解】
频率是随机变化的，概率是频率的稳定值，A错；
互斥事件也可能是对立事件，对立事件一定是互斥事件，B错；
5张奖券中有1张有奖，甲先抽，乙后抽，那么乙、甲抽到有奖奖券的可能性一样大，都是，C错；
由概率的定义，随机事件的概率在上，D正确．
14．下列事件:①当x是实数时,;②某班一次数学测试,及格率低于;③从分别标有这十个数字的纸团中任取一个,取出的纸团中标的数字是偶数;④体育彩票某期的特等奖号码.其中是随机事件的是(
)
A．①②③
B．①③④
C．②③④
D．①②④
【答案】C
【详解】
对于①,当x是实数时,,方程:无解,故①不可能事件.
对于②,某班一次数学测试,及格率低于是随机事件.
对于③,从分别标有这十个数字的纸团中任取一个,取出的纸团中标的数字是偶数是随机事件.
对于④,体育彩票某期的特等奖号码是随机事件.
故随机事件为:②③④
15．下列叙述错误的是（
）．
A．若事件发生的概率为，则
B．互斥事件不一定是对立事件，但是对立事件一定是互斥事件
C．某事件发生的概率是随着试验次数的变化而变化的
D．5张奖券中有一张有奖，甲先抽，乙后抽，则乙与甲中奖的可能性相同
【答案】C
【详解】
根据概率的定义可得若事件发生的概率为，则，故A正确；
根据互斥事件和对立事件的定义可得，互斥事件不一定是对立事件，但是对立事件一定是互斥事件，
且两个对立事件的概率之和为1，故B正确；
某事件发生的概率不会随着试验次数的变化而变化，故C错误；
5张奖券中有一张有奖，先抽，后抽中奖的可能性相同，与次序无关，故D正确，
16．下列说法正确的是（
）
A．由生物学知道生男生女的概率约为0.5，一对夫妇先后生两小孩，则一定为一男一女
B．一次摸奖活动中，中奖概率为0.2，则摸5张票，一定有一张中奖
C．10张票中有1张奖票，10人去摸，谁先摸则谁摸到奖票的可能性大
D．10张票中有1张奖票，10人去摸，无论谁先摸，摸到奖票的概率都是0.1
【答案】D
【详解】
一对夫妇生两小孩可能是（男，男），（男，女），（女，男），（女，女），所以A不正确；中奖概率为0.2是说中奖的可能性为0.2，当摸5张票时，可能都中奖，也可能中一张、两张、三张、四张，或者都不中奖，所以B不正确；10张票中有1张奖票，10人去摸，每人摸到的可能性是相同的，即无论谁先摸，摸到的奖票的概率都是0.1，所以C不正确；D正确．
17．在10件同类商品中，有8件红色的，2件白色的，从中任意抽取3件，下列事件是随机事件的是(
)
A．3件都是红色
B．3件都是白色
C．至少有1件红色
D．有1件白色
【答案】AD
【详解】
在10件同类商品中，有8件红色的，2件白色的，从中任意抽取3件，
对于A，抽取3件有可能都是红色，也有可能出现白色，所以A是随机事件；
对于B，因为只有2件是白色，所以不可能出现3件是白色，即B为不可能事件，所以B不是随机事件，
对于C，因为只有2件是白色，所以取出的3件中至少有1件是红色，所以C为必然事件，所以C不是随机事件，
对于D，抽出3件中白色可能有0，1，2三种可能，所以有1件白色是随机事件，即D为随机事件，
综上可知，随机事件为AD，
18．下列事件是随机事件的是（
）
A．连续掷一枚硬币两次，两次都出现正面朝上
B．异性电荷相互吸引
C．在标准大气压下，水在1℃结冰
D．买一注彩票中了特等奖
E.掷一次骰子，向上的一面的点数是6
【答案】ADE
【详解】
根据题意得：A，D，E是随机事件，B为必然事件，C为不可能事件.
19．已知非空集合，且集合是集合的真子集，则下列命题为真命题的是（
）
A．“若，则”是必然事件
B．“若，则”是不可能事件
C．“若，则”是随机事件
D．“若，则”是必然事件
【答案】ACD
【详解】
对A，符合真子集的定义，故A正确；
对B，
“若，则”也可能成立，故B错误；
对C，“若，则成立，也可能，故C正确；
对D，
“若，则”，由文氏图可以理解，故D正确；
20．下列说法错误的有（
）
A．随机事件A发生的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值
B．在同一次试验中，不同的基本事件不可能同时发生
C．任意事件A发生的概率满足
D．若事件A发生的概率趋近于0，则事件A是不可能事件
【答案】CD
【详解】
∵随机事件A发生的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值，∴A中说法正确；
基本事件的特点是任意两个基本事件是互斥的，∴在同一次试验中，不同的基本事件不可能同时发生，∴B中说法正确；
必然事件发生的概率为1，不可能事件发生的概率为0，随机事件发生的概率大于0且小于1.∴任意事件A发生的概率P（A）满足.∴C中说法错误；
若事件A发生的概率趋近于0，则事件A是小概率事件，但不是不可能事件，∴D中说法错误.
2、拓展提升
1．从0，1，2这3个数字中，不放回地取两次，每次取一个，构成有序数对，其中x为第1次取到的数字，y为第2次取到的数字.
（1）写出样本空间；
（2）写出“第1次取出的数字是2”这一事件的集合表示.
【详解】
（1）用有序数对表示事件，所以．
（2）根据题意可知，0，1，2这3个数字中，不放回地取两次，第一次取出2，则第二次取出的只能是0或1，所以“第1次取出的数字是2”这一事件为：．
2．先后两次掷一个均匀的骰子，观察朝上的面的点数，用集合表示事件A：点数之和为6，B：点数之和不超过6，并从直观上判断和的大小（指出或即可）.
【详解】
用有序实数对表示事件，所以，
.
因为事件A发生，事件B一定发生，所以．
3．某转盘被平均分成10份（如图所示）.
转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字.
问题
（1）设事件“转出的数字是5”，事件A是必然事件、不可能事件还是随机事件？
（2）设事件
“转出的数字是0”，事件B是必然事件、不可能事件还是随机事件？
（3）设事件“转出的数字x满足，”，事件C是必然事件、不可能事件还是随机事件？
【详解】
（1）“转出的数字是5”可能发生，也可能不发生，故事件A是随机事件.
（2）
“转出的数字是0”，即，不是样本空间的子集，故事件B是不可能事件.
（3），故事件C是必然事件.
4．观察一个日光灯的寿命：
（1）用适当的符号表示这个试验的样本空间，并写出其中含有的样本点个数；
（2）用集合表示事件A：寿命大于5000h，B：寿命小于1000h.
【详解】
（1）因为日光灯的寿命不可列举，所以，其中t为日光灯的寿命（单位；h），样本点个数是无限的.
（2），
5．某大学棋艺协会定期举办“以棋会友”的竞赛活动，分别包括“中国象棋”、“围棋”、“五子棋”、“国际象棋”四种比赛，每位协会会员必须参加其中的两种棋类比赛，且各队员之间参加比赛相互独立；已知甲同学必选“中国象棋”，不选“国际象棋”，乙同学从四种比赛中任选两种参与.
（1）求甲参加围棋比赛的概率；
（2）求甲、乙两人参与的两种比赛都不同的概率.
【详解】
（1）依题意，甲同学必选“中国象棋”，不选“国际象棋”，
所以甲同学选择的情况有“中国象棋”和“围棋”，或“中国象棋”和“五子棋”，
故甲参加围棋比赛的概率为；
（2）记“中国象棋”、“围棋”、“五子棋”、“国际象棋”分别为1,2,3,4，
则所有的可能为，，，，，，，，，，，，
其中满足条件的有，两种，
故所求概率.
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