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第五章
统计概率
5.3.5
随机事件的独立性
1、基础巩固
1．在某次考试中，甲、乙通过的概率分别为0.7，0.4，若两人考试相互独立，则甲未通过而乙通过的概率为
A．0.28
B．0.12
C．0.42
D．0.16
【答案】B
【详解】
甲未通过的概率为0.3，则甲未通过而乙通过的概率为．选B.
2．甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6，0.7，若两人各投2次，则两人投中次数不等的概率是（
）
A．0.6076
B．0.7516
C．0.3924
D．0.2484
【答案】A
【详解】
两人投中次数相等的概率P＝，
故两人投中次数不相等的概率为：1﹣0.3924＝0.6076.
3．现有甲、乙、丙、丁、戊5种在线教学软件，若某学校要从中随机选取3种作为教师“停课不停学”的教学工具，则其中甲、乙、丙至多有2种被选取的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】
甲、乙、丙至多有2种被选取的对立事件为：甲、乙、丙都被选取，记此事件为，
依题意所有基本事件为：（甲，乙，丙），（甲，乙，丁），（甲，乙，戊），（甲，丙，丁），（甲，丙，戊），（甲，丁，戊），（乙，丙，丁），（乙，丙，戊），（乙，丁，戊），（丙，丁，戊），共10种，其中事件所包含的事件数为1，
所以根据古典概型的概率公式可得，
再根据对立事件的概率公式可得所求事件的概率为.
4．书架上有两套我国四大名著，现从中取出两本.设事件表示“两本都是《红楼梦》”；事件表示“一本是《西游记》，一本是《水浒传》”；事件表示“取出的两本中至少有一本《红楼梦》”.下列结论正确的是（
）
A．与是互斥事件
B．与是互斥事件
C．与是对立事件
D．，，两两互斥
【答案】B
【详解】
由于事件包含于事件，与是既不是对立也不是互斥事件，与是互斥事件，与是互斥事件.所以A,C,D三个选项错误.
故选：B
5．把红?蓝?黑?白4张纸牌随机分给甲?乙?丙?丁4个人，每人分得一张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是（
）
A．对立事件
B．必然事件
C．互斥但不对立事件
D．不可能事件
【答案】C
【详解】
事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”不可能同时发生，
也可能都不发生，故它们是互斥但不对立事件
6．从装有两个红球和两个黑球的口袋内任取两个球，现有如下说法：①至少有一个黑球与都是黑球是互斥而不对立的事件；②至少有一个黑球与至少有一个红球不是互斥事件；③恰好有一个黑球与恰好有两个黑球是互斥而不对立的事件；④至少有一个黑球与都是红球是对立事件.在上述说法中，正确的个数为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【详解】
①“至少有一个
黑球”等价于“一个黑球和一个红球或两个黑球”与“都是黑球”可以同时发生，不是互斥事件，故错误.
②“至少有一个黑球”等价于“一个黑球和一个红球或两个黑球”，“至少有一个红球”等价于“一个黑球和一个红球或两个红球”，可以同时发生，故正确.
③“恰好有一个黑球”等价于“一个黑球和一个红球”，与“恰好有两个黑球”，不同时发生，还有可能都是红球，不是对立事件，故正确.
④“至少有一个黑球”等价于“一个黑球和一个红球或两个黑球”，与“都是红球”，不同时发生，但一定会有一个发生，是对立事件，故正确.上述说法中，正确的个数为3.
7．若,,,则事件A与B的关系是(
)
A．事件A与B互斥
B．事件A与B对立
C．事件A与B相互独立
D．事件A与B相互斥又独立
【答案】C
【详解】
，.∴事件A与B相互独立，不是互斥、对立事件.
8．从含有质地均匀且大小相同的2个红球、n个白球的口袋中随机取出一球，若取得红球的概率是，则取得白球的概率等于（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】
∵取得红球与取得白球为对立事件，
∴取得白球的概率P＝.
9．某人练习射击，他脱靶的概率为0.20，命中6环、7环、8环、9环、10环的概率依次为0.10，0.20，0.30，0.15，0.05，则该人射击命中的概率为（
）
A．0.50
B．0.60
C．0.70
D．0.80
【答案】D
【详解】
∵某人练习射击，他脱靶的概率为0.20，
∴该人射击命中的概率.
10．如果事件A与B是互斥事件，且事件的概率是0.8，事件A的概率是事件B的概率的3倍，则事件A的概率为（
）
A．0.2
B．0.4
C．0.6
D．0.7
【答案】C
【详解】
因为事件A与B是互斥事件，所以，
又因为，所以.
11．某射手在一次射击中，射中10环，9环，8环的概率分别是0.20,
0.30,
0.10.则此射手在一次射击中不够8环的概率为（
）
A．0.30
B．0.40
C．0.60
D．0.90
【答案】B
【详解】
记“此射手在一次射击中大于等于8环”为事件，
由题意可得，
所以，此射手在一次射击中不够8环的概率为.
12．已知随机事件中，与互斥，与对立，且，则（
）
A．0.3
B．0.6
C．0.7
D．0.9
【答案】C
【详解】
因为，事件B与C对立，所以，又，A与B互斥，所以，故选C.
13．袋中装有10个红球，5个黑球，每次随机抽取一个球，若取到黑球，则放入袋中，直到取到红球为止，若抽取的次数为，则表示“放入袋中4回小球”的事件为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
根据题意可知，如果没有抽到红球，则将黑球放回，然后继续抽取，所以“放入袋中4回小球”也即是前4次都是抽到黑球，第5次抽到了红球，故.
故选：B.
14．甲、乙两个气象站同时作气象预报，如果甲站、乙站预报的准确率分别为和，那么在一次预报中两站恰有一次准确预报的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】
因为甲、乙两个气象站同时作气象预报，甲站、乙站预报的准确率分别为和，
所以在一次预报中两站恰有一次准确预报的概率为：
.
故选：D．
15．甲射击命中目标的概率是，乙命中目标的概率是，丙命中目标的概率是.现在三人同时射击目标，则目标被击中的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
由于甲、乙、丙射击一次命中目标的概率分别为，，，
三人同时射击目标一次，则目标不被击中的概率为：，
由对立事件的概率公式可得目标被击中的概率为：.
16．分别独立的扔一枚骰子和硬币，并记下骰子向上的点数和硬币朝上的面，则结果中含有“点或正面向上”的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】
分别独立的扔一枚骰子和硬币,所以的基本事件是：正面向上，反面向上，正面向上，反面向上，正面向上，反面向上，正面向上，反面向上，正面向上，反面向上，正面向上，反面向上.共个基本事件.
含有“点或正面向上”有正面向上，反面向上，正面向上，正面向上，
正面向上，
正面向上，正面向上，共个基本事件，
结果中含有“点或正面向上”的概率为：.
17．围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为，都是白子的概率是则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是（
）
A．
B．
C．
D．1
【答案】C
【详解】
从中取出2粒恰好是同一色包含都是黑子或都是白子两个事件，这两个事件是互斥事件，设两粒是同一色为事件，同为黑子为事件，同为白子为事件，
则.
18．（多选题）0甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，下面结论正确的是（
）
A．甲不输的概率
B．乙不输的概率
C．乙获胜的概率
D．乙输的概率
【答案】ABCD
【详解】
因为甲、乙两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，
所以甲不输的概率，故A正确；
所以乙不输的概率，故B正确；
所以乙获胜的概率，故C正确；
所以乙输的概率即为甲获胜的概率是，故D正确；
19．（多选题）下列说法错误的有（
）
A．将A，B，C，D四个人平均分成两组，则“A，B两人恰好在同一组”的概率为
B．抛掷一枚骰子一次，“向上的点数是3的倍数”与“向上的点数是2的倍数”是互斥事件
C．口袋中有5个大小形状相同的小球，2白3黑，一次取2个小球，两球都是白球的概率为
D．口袋中有5个大小形状相同的小球，2白3黑，一次取2个小球，则“至少有1个白球”与“恰好取到1个白球”是互斥事件
【答案】ABD
【详解】
（1）对于A，将A，B，C，D四个人平均分成两组，共有AB，AC，AD，BC，BD，CD，6种情况，“A，B两人恰好在同一组”的有一种，故“A，B两人恰好在同一组”的概率为，
故A错误；
（2）对于B，因为6既是3的倍数，也是2的倍数，所以向上的点数是6的的时候两个事件同时发生，故不是互斥事件，
故B错误；
（3）对于C，两球都是白球的概率为，
故C正确；
（4）对于D，当取到的两个球是一白一黑时，事件“至少有1个白球”与“恰好取到1个白球”同时发生，故不是互斥事件，
故D错误；
20．（多选题）一个袋子中装有2件正品和2件次品，按以下要求抽取2件，其中结论正确的是（
）
A．任取2件，则取出的2件中恰有1件次品的概率为
B．每次抽取1件，有放回的抽取两次，基本事件数为16
C．任取2件，“两件都是正品”与“两件都是次品”是互斥事件
D．任取2件，“两件都是正品”与“至少有1件是次品”是对立事件
【答案】BCD
【详解】
解：
对于A；从中任取两件恰有一件是次品的概率，故A错误；
对于B；每次抽取1件，有放回的抽取两次，则基本事件总数为，故B正确；
对于C；任取两件，其可能结果有2件次品、1件次品1件正品、2件正品，“两件都是正品”与“两件都是次品”其中一个发生另外一个一定不发生，当然也可以都不发生，故为互斥事件，
故C正确；
对于D；“至少有1件是次品”包含两种情况2件次品、1件次品1件正品，故“两件都是正品”与“至少有1件是次品”是对立事件，故D正确；
2、拓展提升
1．甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有5题，选择题3个，判断题2个，甲、乙两人各抽一题.
（1）甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题的概率是多少？
（2）甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？
【详解】
把3个选择题记为，2个判断题记为“甲抽到选择题，乙抽到判断题”的情况有，，，，，，共6种；“甲抽到判断题，乙抽到选择题”的情况有，，，，，，共6种；“甲、乙都抽到选择题”的情况有，，，，，，共6种；“甲、乙都抽到判断题”的情况有，，共2种.
因此基本事件的总数为.
（1）记“甲抽到选择题，乙抽到判断题”为事件A，则.记“甲抽到判断题，乙抽到选择题”为事件B，则，故“甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题”的概率为.
（2）记“甲、乙两人至少有一人抽到选择题”为事件C，则为“甲、乙两人都抽到判断题”，由题意，故“甲、乙两人至少有一人抽到选择题”的概率为.
2．在掷骰子的试验中，记一枚骰子向上的点数为样本点，则样本空间，的子集可以确定一系列随机事件.
问题
（1）此随机试验中的基本事件有哪些？
（2）设事件出现的点数大于3}，如何用基本事件表示事件D？
（3）设事件出现的点数大于3}，事件出现的点数小于5}，如何用基本事件表示事件？
【详解】
（1）基本事件有，，，，，，共6个.
（2）事件D可由基本事件的和表示，即.
（3）.
3．根据某省的高考改革方案，考生应在3门理科学科（物理、化学、生物）和3门文科学科（历史、政治、地理）的6门学科中选择3门学科参加考试.根据以往统计资料，1位同学选择生物的概率为0.5，选择物理但不选择生物的概率为0.2，考生选择各门学科是相互独立的.
（1）求1位考生至少选择生物、物理两门学科中的1门的概率；
（2）某校高二段400名学生中，选择生物但不选择物理的人数为140，求1位考生同时选择生物、物理两门学科的概率.
【详解】
记表示事件：考生选择生物学科
表示事件：考生选择物理但不选择生物学科;
表示事件：考生至少选择生物、物理两门学科中的1门学科;
表示事件：选择生物但不选择物理
表示事件：同时选择生物、物理两门学科
（1）,,,
（2）由某校高二段400名学生中,选择生物但不选择物理的人数为140,
可知
因为
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统计概率
5.3.5
随机事件的独立性
1、基础巩固
1．在某次考试中，甲、乙通过的概率分别为0.7，0.4，若两人考试相互独立，则甲未通过而乙通过的概率为
A．0.28
B．0.12
C．0.42
D．0.16
2．甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6，0.7，若两人各投2次，则两人投中次数不等的概率是（
）
A．0.6076
B．0.7516
C．0.3924
D．0.2484
3．现有甲、乙、丙、丁、戊5种在线教学软件，若某学校要从中随机选取3种作为教师“停课不停学”的教学工具，则其中甲、乙、丙至多有2种被选取的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
4．书架上有两套我国四大名著，现从中取出两本.设事件表示“两本都是《红楼梦》”；事件表示“一本是《西游记》，一本是《水浒传》”；事件表示“取出的两本中至少有一本《红楼梦》”.下列结论正确的是（
）
A．与是互斥事件
B．与是互斥事件
C．与是对立事件
D．，，两两互斥
5．把红?蓝?黑?白4张纸牌随机分给甲?乙?丙?丁4个人，每人分得一张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是（
）
A．对立事件
B．必然事件
C．互斥但不对立事件
D．不可能事件
6．从装有两个红球和两个黑球的口袋内任取两个球，现有如下说法：①至少有一个黑球与都是黑球是互斥而不对立的事件；②至少有一个黑球与至少有一个红球不是互斥事件；③恰好有一个黑球与恰好有两个黑球是互斥而不对立的事件；④至少有一个黑球与都是红球是对立事件.在上述说法中，正确的个数为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
7．若,,,则事件A与B的关系是(
)
A．事件A与B互斥
B．事件A与B对立
C．事件A与B相互独立
D．事件A与B相互斥又独立
8．从含有质地均匀且大小相同的2个红球、n个白球的口袋中随机取出一球，若取得红球的概率是，则取得白球的概率等于（
）
A．
B．
C．
D．
9．某人练习射击，他脱靶的概率为0.20，命中6环、7环、8环、9环、10环的概率依次为0.10，0.20，0.30，0.15，0.05，则该人射击命中的概率为（
）
A．0.50
B．0.60
C．0.70
D．0.80
10．如果事件A与B是互斥事件，且事件的概率是0.8，事件A的概率是事件B的概率的3倍，则事件A的概率为（
）
A．0.2
B．0.4
C．0.6
D．0.7
11．某射手在一次射击中，射中10环，9环，8环的概率分别是0.20,
0.30,
0.10.则此射手在一次射击中不够8环的概率为（
）
A．0.30
B．0.40
C．0.60
D．0.90
12．已知随机事件中，与互斥，与对立，且，则（
）
A．0.3
B．0.6
C．0.7
D．0.9
13．袋中装有10个红球，5个黑球，每次随机抽取一个球，若取到黑球，则放入袋中，直到取到红球为止，若抽取的次数为，则表示“放入袋中4回小球”的事件为（
）
A．
B．
C．
D．
14．甲、乙两个气象站同时作气象预报，如果甲站、乙站预报的准确率分别为和，那么在一次预报中两站恰有一次准确预报的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
15．甲射击命中目标的概率是，乙命中目标的概率是，丙命中目标的概率是.现在三人同时射击目标，则目标被击中的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
16．分别独立的扔一枚骰子和硬币，并记下骰子向上的点数和硬币朝上的面，则结果中含有“点或正面向上”的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
17．围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为，都是白子的概率是则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是（
）
A．
B．
C．
D．1
18．（多选题）甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，下面结论正确的是（
）
A．甲不输的概率
B．乙不输的概率
C．乙获胜的概率
D．乙输的概率
19．（多选题）下列说法错误的有（
）
A．将A，B，C，D四个人平均分成两组，则“A，B两人恰好在同一组”的概率为
B．抛掷一枚骰子一次，“向上的点数是3的倍数”与“向上的点数是2的倍数”是互斥事件
C．口袋中有5个大小形状相同的小球，2白3黑，一次取2个小球，两球都是白球的概率为
D．口袋中有5个大小形状相同的小球，2白3黑，一次取2个小球，则“至少有1个白球”与“恰好取到1个白球”是互斥事件
20．（多选题）一个袋子中装有2件正品和2件次品，按以下要求抽取2件，其中结论正确的是（
）
A．任取2件，则取出的2件中恰有1件次品的概率为
B．每次抽取1件，有放回的抽取两次，基本事件数为16
C．任取2件，“两件都是正品”与“两件都是次品”是互斥事件
D．任取2件，“两件都是正品”与“至少有1件是次品”是对立事件
2、拓展提升
1．甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有5题，选择题3个，判断题2个，甲、乙两人各抽一题.
（1）甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题的概率是多少？
（2）甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？
2．在掷骰子的试验中，记一枚骰子向上的点数为样本点，则样本空间，的子集可以确定一系列随机事件.
问题
（1）此随机试验中的基本事件有哪些？
（2）设事件出现的点数大于3}，如何用基本事件表示事件D？
（3）设事件出现的点数大于3}，事件出现的点数小于5}，如何用基本事件表示事件？
3．根据某省的高考改革方案，考生应在3门理科学科（物理、化学、生物）和3门文科学科（历史、政治、地理）的6门学科中选择3门学科参加考试.根据以往统计资料，1位同学选择生物的概率为0.5，选择物理但不选择生物的概率为0.2，考生选择各门学科是相互独立的.
（1）求1位考生至少选择生物、物理两门学科中的1门的概率；
（2）某校高二段400名学生中，选择生物但不选择物理的人数为140，求1位考生同时选择生物、物理两门学科的概率.
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