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探究两个互成角度的力的合成规律
一、实验目的和原理
力的合成（或分解）主要体现了力的矢量性，主要应用等效替代的思想方法进行实验探究。在实验中，使用弹簧测力计测量力的大小，并且在测量的过程中标明方向，由于实验条件的限制，往往只探究两个力的合成规律，力的合成遵从平行四边形定则，通过力的图示，分析力的合成规律。这样，我们还能较为完整地定义矢量，既有大小，又有方向，运算遵从平行四边形定则。
二、实验步骤
1．在方木板上用图钉固定一张白纸，如图甲所示，用图钉把橡皮条的一端固定在木板上A点，在橡皮条的另一端拴上两个细绳套。
2．用两个已经调零的弹簧测力计分别钩住两个细绳套，互成适当角度地拉橡皮条将结点拉到某位置O，使橡皮条、弹簧测力计和细绳套位于与纸面平行的同一平面内，用铅笔描下结点的位置、细绳的方向，尽量避免弹簧测力计与纸面产生摩擦，记录两弹簧测力计的读数。
3．用一个弹簧测力计把橡皮条拉到同一位置O，记下弹簧测力计的读数和细绳的方向。
4．如图乙所示，选定合适的标度，按适当的比例作出用两个弹簧测力计拉时的拉力F1和F2的图示以及用一个弹簧测力计拉时的拉力F′的图示，利用刻度尺和三角板，以F1、F2为邻边画出平行四边形，并画出对角线F。
5．比较F与F′的大小和方向，看它们在实验误差允许范围内是否相同，从而验证平行四边形定则。
三、典型题目
【例1】某同学做“验证力的平行四边形定则”的实验情况如图甲所示，其中A为固定橡皮条的图钉，O为橡皮条与细绳的结点，OB和OC为细绳。图乙是在白纸上根据实验结果画出的图。
(1)如果没有操作失误，图乙中的F与F′两力中，方向一定沿AO方向的是________。
(2)本实验采用的科学方法是________。
A．理想实验法
B．等效替代法
C．控制变量法
D．建立物理模型法
(3)实验时，主要的步骤是：
A．在桌上放一块方木板，在方木板上铺一张白纸，用图钉把白纸钉在方木板上；
B．用图钉把橡皮条的一端固定在板上的A点，在橡皮条的另一端拴上两条细绳，细绳的另一端系着绳套；
C．用两个弹簧测力计分别钩住绳套，互成角度地拉橡皮条，使橡皮条伸长，结点到达某一位置O，记录下O点的位置，读出两个弹簧测力计的示数；
D．按选好的标度，用铅笔和刻度尺作出两只弹簧测力计的拉力F1和F2的图示，并用平行四边形定则求出合力F；
E．只用一只弹簧测力计，通过细绳套拉橡皮条使其伸长，读出弹簧测力计的示数，记下细绳的方向，按同一标度作出这个力F′的图示；
F．比较F′和F的大小和方向，看它们是否相同，得出结论。
上述步骤中，①有重要遗漏的步骤的序号是________和________；
②遗漏的内容分别是___________________和___________________。
【练习1】做“探究两个互成角度的力的合成规律”的实验时：
(1)除已有的器材（方木板、白纸、弹簧测力计、细绳套、刻度尺、图钉和铅笔）外，还必须有________和________。
(2)在做上述实验时，在水平放置的木板上垫上一张白纸，把橡皮条的一端固定在板上，另一端结两个细绳套，通过细绳用两个互成角度的弹簧测力计拉橡皮条，使结点移到某一位置O，此时需记下：①______；②________；③________。然后用一个弹簧测力计把橡皮条拉长，使结点到达________，再记下________。
(3)在某次实验中，某同学的实验结果如图所示，其中A为固定橡皮条的图钉，O为橡皮条与细绳结点的位置。图中________是力F1与F2的合力的理论值；________是力F1与F2的合力的实验值．通过把________和______进行比较，验证平行四边形定则。
【例2】某探究小组做“验证力的平行四边形定则”实验，将画有坐标轴（横轴为x轴，纵轴为y轴，最小刻度表示1
mm）的纸贴在水平桌面上，如图(a)所示。将橡皮筋的一端Q固定在y轴上的B点（位于图示部分之外），另一端P位于y轴上的A点时，橡皮筋处于原长。
(1)用一只测力计将橡皮筋的P端沿y轴从A点拉至坐标原点O，此时拉力F的大小可由测力计读出。测力计的示数如图(b)所示，F的大小为________N。
(2)撤去(1)中的拉力，橡皮筋P端回到A点；现使用两个测力计同时拉橡皮筋，再次将P端拉至O点。此时观察到两个拉力分别沿图(a)中两条虚线所示的方向，由测力计的示数读出两个拉力的大小分别为F1＝4.2
N和F2＝5.6
N。
(ⅰ)用5
mm长度的线段表示1
N的力，以O为作用点，在图(a)中画出力F1、F2的图示，然后按平行四边形定则画出它们的合力F合；
(ⅱ)F合的大小为________
N，F合与拉力F的夹角的正切值为________。
若F合与拉力F的大小及方向的偏差均在实验所允许的误差范围之内，则该实验验证了力的平行四边形定则。
【练习2】在“探究求合力的方法”实验中，现有木板、白纸、图钉、橡皮筋、细绳套和一个弹簧测力计。
(1)为完成实验，某同学另找来一根弹簧，先测量其劲度系数，得到的实验数据如表：
弹力F/N
0.50
1.00
1.50
2.00
2.50
3.00
3.50
伸长量x/
(×10－2
m)
0.74
1.80
2.80
3.72
4.60
5.58
6.42
用作图法求得该弹簧的劲度系数k＝________N/m。
(2)某次实验中，弹簧测力计的指针位置如左图所示，其读数为________N；同时利用(1)中结果获得弹簧上的弹力为2.50
N，请在右图中画出这两个共点力的合力F合。
(3)由图得到F合＝________N。
【例3】在“探究求合力的方法”实验中，部分实验步骤如下，请完成有关内容：
A．将一根橡皮条的一端固定在贴有白纸的竖直平整木板上，另一端绑上两根细线。
B．在其中一根细线上挂5个质量相等的钩码，使橡皮条拉伸，如图甲所示，记录：______、______、______。
C．将钩码取下，分别在两根细线上挂上4个和3个质量相等的钩码，用两光滑硬棒B、C使两细线互成角度，如图乙所示，小心调整B、C的位置，使橡皮条与结点的位置与步骤B中结点______的位置__________，记录____________、____________。
【练习3】有同学利用如图所示的装置来探究两个互成角度的力的合成规律：在竖直木板上铺有白纸，固定两个光滑的滑轮A和B，将绳子打一个结点O，每个钩码的重量相等，当系统达到平衡时，根据钩码个数读出三根绳子的拉力TOA、TOB和TOC，回答下列问题：
(1)（多选）改变钩码个数，实验能完成的是( )
A．钩码的个数N1＝N2＝2，N3＝4
B．钩码的个数N1＝N3＝3，N2＝4
C．钩码的个数N1＝N2＝N3＝4
D．钩码的个数N1＝3，N2＝4，N3＝5
(2)在拆下钩码和绳子前，最重要的一个步骤是( )
A．标记结点O的位置，并记录OA、OB、OC三段绳子的方向和钩码个数
B．量出OA、OB、OC三段绳子的长度
C．用量角器量出三段绳子之间的夹角
D．用天平测出钩码的质量
(3)在作图时，你认为图中________（选填“甲”或“乙”）是正确的。
【创新题】某实验小组用一只弹簧测力计和一个量角器等器材验证力的平行四边形定则，设计了如图所示的实验装置，固定在竖直木板上的量角器的直边水平，橡皮筋的一端固定于量角器的圆心O的正上方A处，另一端系绳套1和绳套2。
主要实验步骤如下：
Ⅰ.弹簧测力计挂在绳套1上竖直向下拉橡皮筋，使橡皮筋的结点到达O处，记下弹簧测力计的示数F；
Ⅱ.弹簧测力计挂在绳套1上，手拉着绳套2，缓慢拉橡皮筋，使橡皮筋的结点到达O处，此时绳套1沿0°方向，绳套2沿120°方向，记下弹簧测力计的示数F1；
Ⅲ.根据力的平行四边形定则计算绳套1的拉力F1′＝；
Ⅳ.比较，即可初步验证；
Ⅴ.只改变绳套2的方向，重复上述实验步骤。
回答下列问题：
(1)完成实验步骤：
①______________；
②_________________________________________________。
(2)将绳套1由0°方向缓慢转动到60°方向，同时绳套2由120°方向缓慢转动到180°方向，此过程中保持橡皮筋的结点在O处不动，保持绳套1和绳套2的夹角120°不变。关于绳套1的拉力大小的变化，下列结论正确的是（ ）
A．逐渐增大
B．先增大后减小
C．逐渐减小
D．先减小后增大
探究两个互成角度的力的合成规律
一、实验目的和原理
力的合成（或分解）主要体现了力的矢量性，主要应用等效替代的思想方法进行实验探究。在实验中，使用弹簧测力计测量力的大小，并且在测量的过程中标明方向，由于实验条件的限制，往往只探究两个力的合成规律，力的合成遵从平行四边形定则，通过力的图示，分析力的合成规律。这样，我们还能较为完整地定义矢量，既有大小，又有方向，运算遵从平行四边形定则。
二、实验步骤
1．在方木板上用图钉固定一张白纸，如图甲所示，用图钉把橡皮条的一端固定在木板上A点，在橡皮条的另一端拴上两个细绳套。
2．用两个已经调零的弹簧测力计分别钩住两个细绳套，互成适当角度地拉橡皮条将结点拉到某位置O，使橡皮条、弹簧测力计和细绳套位于与纸面平行的同一平面内，用铅笔描下结点的位置、细绳的方向，尽量避免弹簧测力计与纸面产生摩擦，记录两弹簧测力计的读数。
3．用一个弹簧测力计把橡皮条拉到同一位置O，记下弹簧测力计的读数和细绳的方向。
4．如图乙所示，选定合适的标度，按适当的比例作出用两个弹簧测力计拉时的拉力F1和F2的图示以及用一个弹簧测力计拉时的拉力F′的图示，利用刻度尺和三角板，以F1、F2为邻边画出平行四边形，并画出对角线F。
5．比较F与F′的大小和方向，看它们在实验误差允许范围内是否相同，从而验证平行四边形定则。
三、典型题目
【例1】某同学做“验证力的平行四边形定则”的实验情况如图甲所示，其中A为固定橡皮条的图钉，O为橡皮条与细绳的结点，OB和OC为细绳。图乙是在白纸上根据实验结果画出的图。
(1)如果没有操作失误，图乙中的F与F′两力中，方向一定沿AO方向的是________。
(2)本实验采用的科学方法是________。
A．理想实验法
B．等效替代法
C．控制变量法
D．建立物理模型法
(3)实验时，主要的步骤是：
A．在桌上放一块方木板，在方木板上铺一张白纸，用图钉把白纸钉在方木板上；
B．用图钉把橡皮条的一端固定在板上的A点，在橡皮条的另一端拴上两条细绳，细绳的另一端系着绳套；
C．用两个弹簧测力计分别钩住绳套，互成角度地拉橡皮条，使橡皮条伸长，结点到达某一位置O，记录下O点的位置，读出两个弹簧测力计的示数；
D．按选好的标度，用铅笔和刻度尺作出两只弹簧测力计的拉力F1和F2的图示，并用平行四边形定则求出合力F；
E．只用一只弹簧测力计，通过细绳套拉橡皮条使其伸长，读出弹簧测力计的示数，记下细绳的方向，按同一标度作出这个力F′的图示；
F．比较F′和F的大小和方向，看它们是否相同，得出结论。
上述步骤中，①有重要遗漏的步骤的序号是________和________；
②遗漏的内容分别是___________________和___________________。
【答案】(1)
F′；(2)
B；
(3)
①C，E；②C中应加上“记下两条细绳的方向”，E中应说明“把橡皮条的结点拉到同一位置O”
【解析】
(1)F′是一根弹簧作用时，把橡皮条的结点拉到同一位置O的力，故F′必沿OA方向。
(2)合力与分力是等效的，故选B。
(3)力是矢量，需要记录大小和方向。
【练习1】做“探究两个互成角度的力的合成规律”的实验时：
(1)除已有的器材（方木板、白纸、弹簧测力计、细绳套、刻度尺、图钉和铅笔）外，还必须有________和________。
(2)在做上述实验时，在水平放置的木板上垫上一张白纸，把橡皮条的一端固定在板上，另一端结两个细绳套，通过细绳用两个互成角度的弹簧测力计拉橡皮条，使结点移到某一位置O，此时需记下：①______；②________；③________。然后用一个弹簧测力计把橡皮条拉长，使结点到达________，再记下________。
(3)在某次实验中，某同学的实验结果如图所示，其中A为固定橡皮条的图钉，O为橡皮条与细绳结点的位置。图中________是力F1与F2的合力的理论值；________是力F1与F2的合力的实验值．通过把________和______进行比较，验证平行四边形定则。
【答案】(1)三角板，橡皮条
(2)①O点位置，②细绳所指方向，③相应弹簧测力计读数，同一位置O点，弹簧测力计读数
(3)F，F′，F，F′
【解析】
(1)实验需要的器材有方木板、白纸、弹簧测力计（两只）、橡皮条、细绳套（两个）、三角板、刻度尺、图钉（若干）、铅笔
(2)实验中要记录橡皮条拉伸后O点的位置、弹簧测力计的读数及力的方向。
(3)应用平行四边定则作图得到的力F是理论值，沿绳AO方向的力F′是实验值。
【例2】某探究小组做“验证力的平行四边形定则”实验，将画有坐标轴（横轴为x轴，纵轴为y轴，最小刻度表示1
mm）的纸贴在水平桌面上，如图(a)所示。将橡皮筋的一端Q固定在y轴上的B点（位于图示部分之外），另一端P位于y轴上的A点时，橡皮筋处于原长。
(1)用一只测力计将橡皮筋的P端沿y轴从A点拉至坐标原点O，此时拉力F的大小可由测力计读出。测力计的示数如图(b)所示，F的大小为________N。
(2)撤去(1)中的拉力，橡皮筋P端回到A点；现使用两个测力计同时拉橡皮筋，再次将P端拉至O点。此时观察到两个拉力分别沿图(a)中两条虚线所示的方向，由测力计的示数读出两个拉力的大小分别为F1＝4.2
N和F2＝5.6
N。
(ⅰ)用5
mm长度的线段表示1
N的力，以O为作用点，在图(a)中画出力F1、F2的图示，然后按平行四边形定则画出它们的合力F合；
(ⅱ)F合的大小为________
N，F合与拉力F的夹角的正切值为________。
若F合与拉力F的大小及方向的偏差均在实验所允许的误差范围之内，则该实验验证了力的平行四边形定则。
【答案】(1)4.0；(2)(ⅰ)图见解析，(ⅱ)4.0，0.05
【解析】
(1)弹簧测力计的精度为0.2N，本位估读，所以读数为4.0
N。
(2)(ⅰ)利用平行四边形定则作图，如图所示。
(ⅱ)根据标度可知F合＝4.0
N，从F合的顶点向x轴和y轴分别作垂线，顶点的横坐标对应长度为1
mm，顶点的纵坐标长度为20
mm，则可得出F合与拉力F的夹角的正切值为0.05。
【练习2】在“探究求合力的方法”实验中，现有木板、白纸、图钉、橡皮筋、细绳套和一个弹簧测力计。
(1)为完成实验，某同学另找来一根弹簧，先测量其劲度系数，得到的实验数据如表：
弹力F/N
0.50
1.00
1.50
2.00
2.50
3.00
3.50
伸长量x/
(×10－2
m)
0.74
1.80
2.80
3.72
4.60
5.58
6.42
用作图法求得该弹簧的劲度系数k＝________N/m。
(2)某次实验中，弹簧测力计的指针位置如左图所示，其读数为________N；同时利用(1)中结果获得弹簧上的弹力为2.50
N，请在右图中画出这两个共点力的合力F合。
(3)由图得到F合＝________N。
【答案】(1)55(±2内均可)；(2)2.10（说明：有效数字位数正确，±0.02内均可），见解析图；(3)3.3（说明：±0.2内均可）
【解析】
(1)根据表格数据描点，然后连成一条过原点的直线，如图所示
直线的斜率等于弹簧的劲度系数，k＝
N/m≈55
N/m。
(2)弹簧测力计的精度为0.1N，向后估读一位，读数为2.10
N；以O为顶点，画出两弹簧的绳套方向就是两拉力方向，再确定并画好力的标度，画出两拉力的图示，以两拉力为邻边作出平行四边形，画出平行四边形的对角线，即合力F合。
(3)用刻度尺量出合力的长度，根据确定的标度算出合力的大小。
【例3】在“探究求合力的方法”实验中，部分实验步骤如下，请完成有关内容：
A．将一根橡皮条的一端固定在贴有白纸的竖直平整木板上，另一端绑上两根细线。
B．在其中一根细线上挂5个质量相等的钩码，使橡皮条拉伸，如图甲所示，记录：______、______、______。
C．将钩码取下，分别在两根细线上挂上4个和3个质量相等的钩码，用两光滑硬棒B、C使两细线互成角度，如图乙所示，小心调整B、C的位置，使橡皮条与结点的位置与步骤B中结点______的位置__________，记录____________、____________。
【答案】步骤B：钩码个数（或细线拉力），橡皮条与细线结点的位置O，细线的方向（能反映细线方向的其他记录也可以）
步骤C：橡皮条与细线结点的位置与步骤B中结点O的位置重合，钩码个数（或细线拉力），对应的细线方向
【解析】
每个钩码的重力相同，钩码的个数能够表示力的大小，细线的方向表示力的方向。
【练习3】有同学利用如图所示的装置来探究两个互成角度的力的合成规律：在竖直木板上铺有白纸，固定两个光滑的滑轮A和B，将绳子打一个结点O，每个钩码的重量相等，当系统达到平衡时，根据钩码个数读出三根绳子的拉力TOA、TOB和TOC，回答下列问题：
(1)（多选）改变钩码个数，实验能完成的是( )
A．钩码的个数N1＝N2＝2，N3＝4
B．钩码的个数N1＝N3＝3，N2＝4
C．钩码的个数N1＝N2＝N3＝4
D．钩码的个数N1＝3，N2＝4，N3＝5
(2)在拆下钩码和绳子前，最重要的一个步骤是( )
A．标记结点O的位置，并记录OA、OB、OC三段绳子的方向和钩码个数
B．量出OA、OB、OC三段绳子的长度
C．用量角器量出三段绳子之间的夹角
D．用天平测出钩码的质量
(3)在作图时，你认为图中________（选填“甲”或“乙”）是正确的。
【答案】(1)BCD；(2)A；(3)甲
【解析】
(1)对O点受力分析如图所示
OA、OB、OC分别表示TOA、TOB、TOC的大小，由于三个共点力处于平衡，所以TOA、TOB的合力大小等于TOC，且TOC(2)为探究两个互成角度的力的合成规律，必须作受力图，所以先明确受力点，即标记结点O的位置，其次要作出力的方向并读出力的大小，最后作出力的图示，因此要做好记录，应从力的三要素角度出发，要记录钩码的个数和记录OA、OB、OC三段绳子的方向，故A正确，BCD错误。
(3)以O点为研究对象，F3的实际作用效果在OC这条线上，由于误差的存在，F1、F2的合力的理论值与实际值有一定偏差，故题图甲符合实际，题图乙不符合实际。
【创新题】某实验小组用一只弹簧测力计和一个量角器等器材验证力的平行四边形定则，设计了如图所示的实验装置，固定在竖直木板上的量角器的直边水平，橡皮筋的一端固定于量角器的圆心O的正上方A处，另一端系绳套1和绳套2。
主要实验步骤如下：
Ⅰ.弹簧测力计挂在绳套1上竖直向下拉橡皮筋，使橡皮筋的结点到达O处，记下弹簧测力计的示数F；
Ⅱ.弹簧测力计挂在绳套1上，手拉着绳套2，缓慢拉橡皮筋，使橡皮筋的结点到达O处，此时绳套1沿0°方向，绳套2沿120°方向，记下弹簧测力计的示数F1；
Ⅲ.根据力的平行四边形定则计算绳套1的拉力F1′＝；
Ⅳ.比较，即可初步验证；
Ⅴ.只改变绳套2的方向，重复上述实验步骤。
回答下列问题：
(1)完成实验步骤：
①______________；
②_________________________________________________。
(2)将绳套1由0°方向缓慢转动到60°方向，同时绳套2由120°方向缓慢转动到180°方向，此过程中保持橡皮筋的结点在O处不动，保持绳套1和绳套2的夹角120°不变。关于绳套1的拉力大小的变化，下列结论正确的是（ ）
A．逐渐增大
B．先增大后减小
C．逐渐减小
D．先减小后增大
【答案】(1)
F；F1和F1′，在误差允许范围内相同；(2)
A
【解析】
(1)①根据平行四边形定则计算绳套1的拉力F1′＝Ftan30°＝F；②通过比较F1和F1′，在误差允许范围内相同，则可初步验证。
(2)两个绳套在转动过程中，合力保持不变，根据平行四边形定则画出图像，如图所示
根据图像可知，绳套1的拉力大小逐渐增大，故A正确。
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探究两个互成角度的
力的合成规律
人教版（2019）必修第一册
一、实验目的和原理
力的合成（或分解）主要体现了力的矢量性，主要应用等效替代的思想方法进行实验探究。在实验中，使用弹簧测力计测量力的大小，并且在测量的过程中标明方向，由于实验条件的限制，往往只探究两个力的合成规律，力的合成遵从平行四边形定则，通过力的图示，分析力的合成规律。这样，我们还能较为完整地定义矢量，既有大小，又有方向，运算遵从平行四边形定则。
二、实验步骤
三、典型题目
三、典型题目
三、典型题目
三、典型题目
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