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第六章
平面向量初步
6.1.1
向量的概念
1、基础巩固
1．下列各量中是向量的是（
）
A．时间
B．速度
C．面积
D．长度
2．下列说法中正确的是（
）．
A．零向量没有方向
B．平行向量不一定是共线向量
C．若向量与同向且，则
D．若向量，满足且与同向，则
3．给出下列结论：
①数轴上相等的向量，它们的坐标相等；反之，若数轴上两个向量的坐标相等，则这两个向量相等；
②对于任何一个实数，数轴上存在一个确定的点与之对应；
③数轴上向量的坐标是一个实数，实数的绝对值为线段AB的长度，若起点指向终点的方向与数轴同方向，则这个实数取正数，反之取负数；
④数轴上起点和终点重合的向量是零向量，它的方向不确定，它的坐标是0.
其中正确结论的个数是(
)
A．1
B．2
C．3
D．4
4．有下列命题：①若向量与同向，且，则；②若四边形是平行四边形，则；③若，，则；④零向量都相等.其中假命题的个数是（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
5．下面结论正确的是（
）
A．若四边形内一点满足，则是平行四边形
B．若，是单位向量，
C．，则和可以作为一组基底.
D．若，则
6．下列说法错误的是（
）
A．向量的长度与向量的长度相等
B．零向量与任意非零向量平行
C．长度相等方向相反的向量共线
D．方向相反的向量可能相等
7．下列命题正确的是（
）
A．若都是单位向量，则
B．两个向量相等的充要条件是它们的起点和终点都相同
C．向量与是两个平行向量
D．若，则四点是平行四边形的四个顶点
8．如果，是两个单位向量，则与一定（
）
A．相等
B．平行
C．方向相同
D．长度相等
9．下列说法中正确的是（
）
A．平行向量就是向量所在的直线平行的向量
B．长度相等的向量叫相等向量
C．零向量的长度为零
D．共线向量是在一条直线上的向量
10．下面说法正确的是（
）
A．平面内的单位向量是唯一的
B．所有单位向量的终点的集合为一个单位圆
C．所有的单位向量都是共线的
D．所有单位向量的模相等
11．下列说法中，正确的个数是（
）
①时间、摩擦力、重力都是向量；②向量的模是一个正实数；③相等向量一定是平行向量；④向量与不共线，则与都是非零向量（
）
A．
B．
C．
D．
12．等腰梯形ABCD中，对角线AC与BD相交于点P，点E，F分别在两腰AB，CD上，EF过点P，且EF//AD，则下列等式正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
13．下列命题正确的是（
）
A．若向量，则与的方向相同或相反
B．若向量，，则
C．若两个单位向量互相平行，则这两个单位向量相等
D．若向量，，则
14．下列说法中错误的是（ ）
A．零向量与任一向量平行
B．方向相反的两个非零向量不一定共线
C．零向量的长度为0
D．方向相反的两个非零向量必不相等
15．下列说法正确的是（
）
A．若，则或
B．若、为相反向量，则
C．零向量是没有方向的向量
D．若、是两个单位向量，则
16．已知向量与共线，下列说法正确的是（
）
A．或
B．与平行
C．与方向相同或相反
D．存在实数，使得
17．下列关于向量的概念叙述正确的是（
）
A．方向相同或相反的向量是共线向量
B．若，，则
C．若和都是单位向量，则
D．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合
18．（多选题）0以下说法正确的是（
）
A．零向量与任一非零向量平行
B．零向量与单位向量的模不相等
C．平行向量方向相同
D．平行向量一定是共线向量
19．（多选题）已知、是任意两个向量，下列条件能判定向量与平行的是（
）
A．
B．
C．与的方向相反
D．与都是单位向量
20．（多选题）如图所示，梯形为等腰梯形，则下列关系正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
2、拓展提升
1．如图，某人上午从A到达了B，下午从B到达了C，请在图上用有向线段表示出该人上午的位移、下午的位移以及这一天内的位移.
2．已知D，E，F分别为△ABC各边AB，BC，CA的中点，以图中字母为始点或终点，分别写出与向量，，相等的向量.
3．一辆汽车从A点出发向西行驶了100千米到达B点，然后改变方向，向北偏西40°方向行驶了200千米到达C点，最后改变方向，向东行驶了100千米到达D点.作出向量.
4．如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，且＝，＝，＝.
（1）与的长度相等、方向相反的向量有哪些？
（2）与共线的向量有哪些？
（3）请一一列出与，，.相等的向量．
5．如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=3,AD=2,AA1=1,以长方体的八个顶点中的两点为起点和终点的向量中.
(1)单位向量共有多少个?
(2)试写出模为的所有向量.
(3)试写出与相等的所有向量.
(4)试写出的相反向量.
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第六章
平面向量初步
6.1.1
向量的概念
1、基础巩固
1．下列各量中是向量的是（
）
A．时间
B．速度
C．面积
D．长度
【答案】B
【详解】
解：既有大小，又有方向的量叫做向量；
时间、面积、长度只有大小没有方向，因此不是向量．
而速度既有大小，又有方向，因此速度是向量．
2．下列说法中正确的是（
）．
A．零向量没有方向
B．平行向量不一定是共线向量
C．若向量与同向且，则
D．若向量，满足且与同向，则
【答案】C
【详解】
对于A，零向量的方向是任意的，故A错误；
对于B，平行向量就是共线向量，故B错误；
对于C，由相等向量的定义：两向量的方向相同，大小相等可知，C正确；
对于D，两个向量不能比较大小，故D错误．
3．给出下列结论：
①数轴上相等的向量，它们的坐标相等；反之，若数轴上两个向量的坐标相等，则这两个向量相等；
②对于任何一个实数，数轴上存在一个确定的点与之对应；
③数轴上向量的坐标是一个实数，实数的绝对值为线段AB的长度，若起点指向终点的方向与数轴同方向，则这个实数取正数，反之取负数；
④数轴上起点和终点重合的向量是零向量，它的方向不确定，它的坐标是0.
其中正确结论的个数是(
)
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】D
【详解】
①向量相等，则它们的坐标相等，坐标相等，则向量相等，①正确；
②实数和数轴上的点是一一对应的关系，即有一个实数就有一个点跟它对应，有一个点也就有一个实数与它对应，②正确；
③数轴用一个实数来表示向量，正负决定其方向，绝对值决定其长度，③正确；
④数轴上零向量其起点和终点重合，方向不确定，大小为0，其坐标也为0，④正确.
故选：D.
4．有下列命题：①若向量与同向，且，则；②若四边形是平行四边形，则；③若，，则；④零向量都相等.其中假命题的个数是（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【详解】
对于①，因为向量是既有大小又有方向的量，不能比较大小，故①是假命题；
对于②，在平行四边形中，是大小相等，方向相反的向量，即，故②是假命题；
对于③，显然若，，则，故③是真命题；
对于④，因为大小相等，方向相同的向量是相等向量，而零向量的方向任意，故④是假命题.
5．下面结论正确的是（
）
A．若四边形内一点满足，则是平行四边形
B．若，是单位向量，
C．，则和可以作为一组基底.
D．若，则
【答案】A
【详解】
由，得，故四边形是平行四边形，A正确；
单位向量未规定方向，故不一定相等，B错误；
，则，和共线，不能作为一组基底，C错误；
若，则，即在方向的投影与在方向的投影相等，不一定有，D错误.
6．下列说法错误的是（
）
A．向量的长度与向量的长度相等
B．零向量与任意非零向量平行
C．长度相等方向相反的向量共线
D．方向相反的向量可能相等
【答案】D
【详解】
A.向量与向量的方向相反，长度相等，故A正确；
B.规定零向量与任意非零向量平行，故B正确；
C.能平移到同一条直线的向量是共线向量，所以长度相等，方向相反的向量是共线向量，故C正确；
D.长度相等，方向相同的向量才是相等向量，所以方向相反的向量不可能相等，故D不正确.
7．下列命题正确的是（
）
A．若都是单位向量，则
B．两个向量相等的充要条件是它们的起点和终点都相同
C．向量与是两个平行向量
D．若，则四点是平行四边形的四个顶点
【答案】C
【详解】
对于A，单位长度为的向量为单位向量，
都是单位向量，但方向可能不同，故A不正确；
对于B，模相等，方向相同的向量为相等向量，故B不正确；
对于C，向量与为相反向量，所以两个为平行向量，故C正确；
对于D，，若四点在同一条直线上，
不能构成平行四边形，故D不正确；
8．如果，是两个单位向量，则与一定（
）
A．相等
B．平行
C．方向相同
D．长度相等
【答案】D
【详解】
因为，是两个单位向量；
所以其模长相等，方向不定；
9．下列说法中正确的是（
）
A．平行向量就是向量所在的直线平行的向量
B．长度相等的向量叫相等向量
C．零向量的长度为零
D．共线向量是在一条直线上的向量
【答案】C
【详解】
解：平行向量也叫共线向量，是指方向相同或相反的两个向量，另外规定零向量与任意向量平行，故A，D错；
相等向量是指长度相等、方向相同的向量，故B错；
长度为零的向量叫零向量，故C对；
10．下面说法正确的是（
）
A．平面内的单位向量是唯一的
B．所有单位向量的终点的集合为一个单位圆
C．所有的单位向量都是共线的
D．所有单位向量的模相等
【答案】D
【详解】
对A：单位向量有无数个，错误；
对B：单位向量的起点不一定在同一点，终点的集合不一定是一个单位圆，错误；
对C：单位向量的方向不一定相同或相反，故C错误；
对D:由单位向量的定义，正确.
11．下列说法中，正确的个数是（
）
①时间、摩擦力、重力都是向量；②向量的模是一个正实数；③相等向量一定是平行向量；④向量与不共线，则与都是非零向量（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
①时间没有方向，不是向量，摩擦力，重力都是向量，故①错误；
②零向量的模为零，故②错；
③相等向量的方向相同，模相等，所以一定是平行向量，故③正确；
④零向量与任意向量都共线，因此若向量与不共线，则与都是非零向量，即④正确.
12．等腰梯形ABCD中，对角线AC与BD相交于点P，点E，F分别在两腰AB，CD上，EF过点P，且EF//AD，则下列等式正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】
解：依题意可得如下图形，
是等腰梯形，
，
，，
，故正确；
对于：，但，故错误；
对于：
的长度相等但方向不相同或相反，故，故错误；
对于：的长度相等但方向相反，故，故错误；
13．下列命题正确的是（
）
A．若向量，则与的方向相同或相反
B．若向量，，则
C．若两个单位向量互相平行，则这两个单位向量相等
D．若向量，，则
【答案】D
【详解】
对于A选项，向量，可能，此时不能得到与的方向相同或相反，故A选项错误.
对于B选项，向量，，可能，此时不能得到，故B选项错误.
对于C选项，两个单位向量相互平行，可能方向相反，此时不能得到两个向量相等，故C选项错误.
对于D选项，根据向量相等的知识可知D选项正确.
14．下列说法中错误的是（ ）
A．零向量与任一向量平行
B．方向相反的两个非零向量不一定共线
C．零向量的长度为0
D．方向相反的两个非零向量必不相等
【答案】B
【详解】
零向量的定义：零向量与任一向量平行，与任意向量共线.零向量的方向不确定，但模的大小确定为0,故A与C都是对的；
设方向相反的两个非零向量为和，满足
，所以方向相反的两个非零向量一定共线，故B错；
对于D，因为向量相等的定义是：长度相等且方向相同的向量相等，所以方向相反的两个非零向量必不相等，故D对.
15．下列说法正确的是（
）
A．若，则或
B．若、为相反向量，则
C．零向量是没有方向的向量
D．若、是两个单位向量，则
【答案】B
【详解】
对选项A，若，只能表示和的长度相等，不能说明方向相同或相反，故
A错；
对选项B，若、为相反向量，则它们的和为零向量，故B对；
对选项C，零向量的方向是任意的，故C错；
对选项D，两个单位向量只是模都为1，但方向不一定相同，故D错．
故选：B
16．已知向量与共线，下列说法正确的是（
）
A．或
B．与平行
C．与方向相同或相反
D．存在实数，使得
【答案】B
【详解】
向量与共线，不能判定向量模之间的关系，故A错；
向量与共线，则与平行，故B正确；
为零向量，则满足与共线，方向不一定相同或相反；故C错；
当，时，满足与共线，但不存在实数，使得，故D错.
17．下列关于向量的概念叙述正确的是（
）
A．方向相同或相反的向量是共线向量
B．若，，则
C．若和都是单位向量，则
D．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合
【答案】A
【详解】
由向量共线的定义可知，A正确；
当时，可知B不正确；
单位向量，方向不确定，故C不正确；
向量是自由的，向量相等，只需大小和方向相同即可，不需起点终点重合，故D不正确.
18．(多选题)以下说法正确的是（
）
A．零向量与任一非零向量平行
B．零向量与单位向量的模不相等
C．平行向量方向相同
D．平行向量一定是共线向量
【答案】ABD
【详解】
解：对于A，根据零向量的性质，可知A是正确的；
对于B，由零向量的模是0，单位向量的模是1，所以B是正确的；
对于C，平行向量的方向相同或相反，所以C是不正确的；
对于D，由平行向量的性质可知，平行向量就是共线向量，所以D是正确的，
19．(多选题)已知、是任意两个向量，下列条件能判定向量与平行的是（
）
A．
B．
C．与的方向相反
D．与都是单位向量
【答案】AC
【详解】
对于A选项，若，则与平行，A选项合乎题意；
对于B选项，若，但与的方向不确定，则与不一定平行，B选项不合乎题意；
对于C选项，若与的方向相反，则与平行，C选项合乎题意；
对于D选项，与都是单位向量，这两个向量长度相等，但方向不确定，则与不一定平行，D选项不合乎题意.
20．(多选题)如图所示，梯形为等腰梯形，则下列关系正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【详解】
解：与显然方向不相同，故不是相等向量，故错误；
与表示等腰梯形两腰的长度，所以，故正确；
向量无法比较大小，只能比较向量模的大小，故错误；
等腰梯形的上底与下底平行，所以，故正确；
2、拓展提升
1．如图，某人上午从A到达了B，下午从B到达了C，请在图上用有向线段表示出该人上午的位移、下午的位移以及这一天内的位移.
【详解】
解：如图，表示此人上午的位移；表示此人下午的位移；表示此人这一天内的位移.
2．已知D，E，F分别为△ABC各边AB，BC，CA的中点，以图中字母为始点或终点，分别写出与向量，，相等的向量.
【详解】
解：∵D，E，F分别是△ABC各边的中点，
∴，，，，，
∴；；.
3．一辆汽车从A点出发向西行驶了100千米到达B点，然后改变方向，向北偏西40°方向行驶了200千米到达C点，最后改变方向，向东行驶了100千米到达D点.作出向量.
【详解】
解：记千米，如图所示：
4．如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，且＝，＝，＝.
（1）与的长度相等、方向相反的向量有哪些？
（2）与共线的向量有哪些？
（3）请一一列出与，，.相等的向量．
【详解】
（1）因为正六边形中各线段长度都相等，且方向相反的有：，，，
.（2）由共线向量定理得：，，，，，，，，.与共线.
（3）由相等向量的定义得：与
相等的向量有，，；与
相等的向量有，，；与
相等的向量有，，.
5．如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=3,AD=2,AA1=1,以长方体的八个顶点中的两点为起点和终点的向量中.
(1)单位向量共有多少个?
(2)试写出模为的所有向量.
(3)试写出与相等的所有向量.
(4)试写出的相反向量.
【详解】
(1)模为1的向量有,共8个单位向量.
(2)由于这个长方体的左右两侧的对角线长均为,因此模为的向量为
.
(3)与向量相等的向量(除它自身之外)为.
(4)向量的相反向量为.
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