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第六章
平面向量初步
6.1.5
向量的线性运算
1、基础巩固
1．已知向量，是两个不共线的向量，若与共线，则（
）
A．2
B．-2
C．
D．
【答案】C
【详解】
由，可设，
则
解得：，故选：C
2．已知非零不共线向量，，若，，，且A?B?D三点共线，则的值为（
）
A．3
B．-3
C．2
D．-2
【答案】A
【详解】
由题意，
∵A?B?D三点共线，
∴，∴，故选：A.
3．点是所在平面内一点，，则的位置（
）
A．AB边上
B．AC边上
C．三角形ABC内部
D．三角形ABC外部
【答案】B
【详解】
解：因为是所在平面内一点，，
则,
则,
则,
即三点共线，
即点在AC边上，
故选：B.
4．在中，，且为的中点，则(
)
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】
解：
，
故选：．
5．已知正六边形，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
如图所示，
6．已知中，，设，，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】
因为
所以
7．在平面直角坐标系中，为坐标原点，且满足，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
由，则，得，
故.
8．在所在的平面上有一点，满足，设，，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】
解：∵，
∴；
即；
故点是边上的第二个三等分点；
；
9．在中，点在线段上，且，为的中点，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】
解：根据题意画出图形，如图所示：
由题意可得，
因为为的中点，所以，
故．
10．设D为△ABC所在平面内一点，＝－4，则＝（
）
A．－
B．＋
C．－
D．＋
【答案】B
【详解】
设＝x＋y，由＝－4可得，＋＝－4－4，即－－3＝－4x－4y，则
，解得，
即=＋，故选B.
11．如图，中，已知，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】
依题意.
12．已知为所在平面内一点，且满足，则点的轨迹一定通过的（
）
A．外心
B．内心
C．重心
D．垂心
【答案】D
【详解】
试题分析：由已知可得，即
，则有
，又因为，，所以有，即，同理可证得，又垂心的性质可知点的轨迹一定通过的垂心．故本题正确选项为D.
13．设为所在平面内一点，，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】
由题意作出图形，如图：
则.
故选：A.
14．已知A，B，C三点不共线，且点O满足则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】
∵，∴，整理得．
15．设为所在平面内一点，若，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】
∵，
∴．
16．在中，AD为BC边上的中线，且，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】
为边上的中线，由可得，
解得，
17．(多选题)已知正方形的边长为，向量，满足，，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【详解】
由条件可，所以，A正确；
，与不垂直，B错误；
，C错误；
，根据正方形的性质有，所以，D正确.
18．(多选题)下列命题中正确的是(
)
A．对于实数m和向量,恒有
B．对于实数和向量,恒有
C．若,则有
D．若,则
【答案】ABD
【详解】
解：对于：对于实数和向量、，根据向量的数乘满足分配律，故恒有：，故正确．
对于：对于实数，和向量，根据向量的数乘运算律，恒有，故
正确．
对于：若，当
时，无法得到，故不正确．
对于：若，则成立，故正确．
19．(多选题)等边三角形中，，，与交于，则下列结论正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【详解】
由于，，所以：
，A选项正确.
，B选项错误.
由于三点共线，所以且
，所以，解得.所以C选项正确.
，所以D选项不正确.
故选：AC
20．(多选题)瑞士数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：“三角形的外心垂心和重心都在同一直线上，而且外心和重心的距离是垂心和重心距离之半”这就是著名的欧拉线定理设中，点O、H、G分别是外心、垂心、重心下列四个选项中结论错误的是（
）
A．
B．
C．设BC边中点为D，则有
D．
【答案】CD
【详解】
如图，
A.由题得,OD⊥BC,AH⊥BC,所以OD||AH,所以,所以该选项正确；
B.所以，所以该选项正确；
C.∵D为BC中点，G为的重心，
∴，，，
∴，
∴，故C选项错误；
D.向量，，的模相等，方向不同，故D选项错误.
故选：CD
二、能力提升
1．化简下列各式：
①；
②；③.
【详解】
①；
②；
③.
2．如图,判断向量是否可以写成数与向量相乘.如果可以,写出表达式;如果不可以,说明理由.
【详解】
根据图形知：方向相同，且，故；
方向相反，且，故；
向量和向量不共线，故不能写成数与向量相乘.
3．若，，其中，是已知向量，求，.
【详解】
把已知中的两个等式看作关于，的方程
联立得方程组解得
4．已知是单位向量，且，，求，
，.
【详解】
∵，，
∴，，.
5．如图，在三角形中，M是的中点，为的三等分点.若与，分别交于两点，试求三条线段的长度比.
【详解】
解：易知，，
过点M作MN平行AP交BC于N,则CN=NP,
所以，则，同理可得，
所以，，
所以.
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平面向量初步
6.1.5
向量的线性运算
1、基础巩固
1．已知向量，是两个不共线的向量，若与共线，则（
）
A．2
B．-2
C．
D．
2．已知非零不共线向量，，若，，，且A?B?D三点共线，则的值为（
）
A．3
B．-3
C．2
D．-2
3．点是所在平面内一点，，则的位置（
）
A．AB边上
B．AC边上
C．三角形ABC内部
D．三角形ABC外部
4．在中，，且为的中点，则(
)
A．
B．
C．
D．
5．已知正六边形，则（
）
A．
B．
C．
D．
6．已知中，，设，，则（
）
A．
B．
C．
D．
7．在平面直角坐标系中，为坐标原点，且满足，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
8．在所在的平面上有一点，满足，设，，则（
）
A．
B．
C．
D．
9．在中，点在线段上，且，为的中点，则（
）
A．
B．
C．
D．
10．设D为△ABC所在平面内一点，＝－4，则＝（
）
A．－
B．＋
C．－
D．＋
11．如图，中，已知，则（
）
A．
B．
C．
D．
12．已知为所在平面内一点，且满足，则点的轨迹一定通过的（
）
A．外心
B．内心
C．重心
D．垂心
13．设为所在平面内一点，，则（
）
A．
B．
C．
D．
14．已知A，B，C三点不共线，且点O满足则（
）
A．
B．
C．
D．
15．设为所在平面内一点，若，则（
）
A．
B．
C．
D．
16．在中，AD为BC边上的中线，且，则（
）
A．
B．
C．
D．
17．（多选题）已知正方形的边长为，向量，满足，，则（
）
A．
B．
C．
D．
18．（多选题）下列命题中正确的是(
)
A．对于实数m和向量,恒有
B．对于实数和向量,恒有
C．若,则有
D．若,则
19．（多选题）等边三角形中，，，与交于，则下列结论正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
20．（多选题）瑞士数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：“三角形的外心垂心和重心都在同一直线上，而且外心和重心的距离是垂心和重心距离之半”这就是著名的欧拉线定理设中，点O、H、G分别是外心、垂心、重心下列四个选项中结论错误的是（
）
A．
B．
C．设BC边中点为D，则有
D．
二、能力提升
1．化简下列各式：
①；
②；③.
2．如图,判断向量是否可以写成数与向量相乘.如果可以,写出表达式;如果不可以,说明理由.
3．若，，其中，是已知向量，求，.
4．已知是单位向量，且，，求，
，.
5．如图，在三角形中，M是的中点，为的三等分点.若与，分别交于两点，试求三条线段的长度比.
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