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第六章
平面向量初步
6.3
平面向量线性运算的应用
1、基础巩固
1．已知向量，且，则（
）
A．
B．
C．
D．
2．作用于原点的两个力，，为使它们平衡需要增加力，则力的大小为(
)
A．
B．
C．5
D．25
3．过内部一点任作一条直线，于，于，于，都有，则点是的(
)
A．三条高的交点
B．三条中线的交点
C．三边中垂线的交点
D．三个内角平分线的交点
4．两个大小相等的共点力,当它们的夹角为90°时,合力大小为20N,当它们的夹角为120°时,合力大小为(
)
A．40N
B．
C．
D．
5．若,且,则四边形是(
)
A．平行四边形
B．菱形
C．等腰梯形
D．非等腰梯形
6．在中,,则是(
)
A．直角三角形
B．等边三角形
C．钝角三角形
D．等腰直角三角形
7．已知作用在点A的三个力，，，且，则合力的终点坐标为（
）
A．
B．
C．
D．
8．某人在静水中游泳的速度为km/h，水流的速度为4km/h他沿着垂直于对岸的方向前进，那么他实际前进的方向与河岸的夹角为（
）
A．90°
B．30°
C．45°
D．60°
9．在四边形ABCD中，，，，那么四边形ABCD的形状是（
）
A．矩形
B．平行四边形
C．梯形
D．以上都不对
10．在中，点D为BC边的中点，已知，，则下列向量中与同方向的是（
）
A．
B．
C．
D．
11．在中，若，则点G是的（
）
A．内心
B．外心
C．垂心
D．重心
12．已知点，，，，则以A，B，C，D为顶点的四边形是（
）
A．梯形
B．邻边不相等的平行四边形
C．菱形
D．两组对边均不平行的四边形
13．如图所示的四边形为等腰梯形，则与的关系是（
）
A．
B．
C．
D．
14．若且，则四边形的形状为（
）
A．平行四边形
B．矩形
C．菱形
D．等腰梯形
15．人骑自行车的速度是，风速为，则逆风行驶的速度为（
）
A．
B．
C．
D．
16．已知，，三点，点使直线，且，则点D的坐标是(??
)
A．
B．
C．
D．
17．在中，若，则一定是（
）
A．钝角三角形
B．锐角三角形
C．直角三角形
D．不能确定
18．如图，在△ABC中，D，E，F分别为线段BC，AD，BE的中点，则=（ ）
A．
B．
C．
D．
19．已知是的边上的任一点，且满足，则的最小值是（
）.
A．16
B．9
C．8
D．4
20．点是所在平面上一点，若，则与的面积之比是（
）
A．3
B．2
C．
D．
二、能力提升
1．一物体在力的作用下，由点移动到点．已知，求对该物体所做的功．
2．飞机从甲地沿北偏西15°的方向飞行1400km到达乙地，再从乙地沿南偏东75°的方向飞行1400km到达丙地，画出飞机飞行的位移示意图，并说明丙地在甲地的什么方向？丙地距甲地多远？
3．如图所示，已知平行四边形中，在对角线上，并且.
求证：四边形是平行四边形.
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第六章
平面向量初步
6.3
平面向量线性运算的应用
1、基础巩固
1．已知向量，且，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】
解：∵向量，，且，
∴
，解得：，
2．作用于原点的两个力，，为使它们平衡需要增加力，则力的大小为(
)
A．
B．
C．5
D．25
【答案】C
【详解】
解：由题意有，
∴，
3．过内部一点任作一条直线，于，于，于，都有，则点是的(
)
A．三条高的交点
B．三条中线的交点
C．三边中垂线的交点
D．三个内角平分线的交点
【答案】B
【解析】
解：当直线经过C点时，，即为，
于是，是边上的中线；
同理，当经过A点时，是边上的中线；
当经过B点时，是边上的中线；
因此，点是的三条中线的交点，故选：B．
4．两个大小相等的共点力,当它们的夹角为90°时,合力大小为20N,当它们的夹角为120°时,合力大小为(
)
A．40N
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】解：如图，以为邻边作平行四边形，为这两个力的合力．
由题意，易知，∴，
当它们的夹角为120°时，以为邻边作平行四边形，
此平行四边形为菱形，此时合力的大小，
5．若,且,则四边形是(
)
A．平行四边形
B．菱形
C．等腰梯形
D．非等腰梯形
【答案】C
【解析】解：∵，
∴，，
∵，
∴四边形是等腰梯形，
6．在中,,则是(
)
A．直角三角形
B．等边三角形
C．钝角三角形
D．等腰直角三角形
【答案】B
【详解】
,则,故是等边三角形.
7．已知作用在点A的三个力，，，且，则合力的终点坐标为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】
，
设终点为，则，
所以，所以，
所以终点坐标为.
8．某人在静水中游泳的速度为km/h，水流的速度为4km/h他沿着垂直于对岸的方向前进，那么他实际前进的方向与河岸的夹角为（
）
A．90°
B．30°
C．45°
D．60°
【答案】D
【详解】
如图，用表示水速，表示该人垂直游向对岸的速度，
则实际前进方向与河岸的夹角为.
，
所以.
故选：D.
9．在四边形ABCD中，，，，那么四边形ABCD的形状是（
）
A．矩形
B．平行四边形
C．梯形
D．以上都不对
【答案】C
【详解】
∵，∴，∴，由题知，四边形ABCD是梯形.
故选：C.
10．在中，点D为BC边的中点，已知，，则下列向量中与同方向的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】
因为点D为BC边的中点，则有，
所以与共线，
又因为与共线，
所以选项A正确.
11．在中，若，则点G是的（
）
A．内心
B．外心
C．垂心
D．重心
【答案】D
【详解】
因为，
所以，
化简得，
故点G为三角形ABC的重心
12．已知点，，，，则以A，B，C，D为顶点的四边形是（
）
A．梯形
B．邻边不相等的平行四边形
C．菱形
D．两组对边均不平行的四边形
【答案】B
【详解】
因为，，
所以，因为，
所以，而，
故四边形ABCD为邻边不相等的平行四边形.
13．如图所示的四边形为等腰梯形，则与的关系是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
与是等腰梯形两腰，则它们必不平行，但长度相同，故，且向量由于不是实数，是不能比较大小的.
14．若且，则四边形的形状为（
）
A．平行四边形
B．矩形
C．菱形
D．等腰梯形
【答案】C
【详解】
可知，四边形为平行四边形，
又因为,
所以四边形为菱形．
15．人骑自行车的速度是，风速为，则逆风行驶的速度为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
由向量的加法法则可得逆风行驶的速度为.注意速度是有方向和大小的，是一个向量.
16．已知，，三点，点使直线，且，则点D的坐标是(??
)
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】
设点,则由题意可得：,解得，所以D点坐标为.
17．在中，若，则一定是（
）
A．钝角三角形
B．锐角三角形
C．直角三角形
D．不能确定
【答案】C
【解析】
试题分析：由于，化简得，因此.
18．如图，在△ABC中，D，E，F分别为线段BC，AD，BE的中点，则=（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】
解：∵
，
19．已知是的边上的任一点，且满足，则的最小值是（
）.
A．16
B．9
C．8
D．4
【答案】B
【详解】
是的边上的点，，
，
当且仅当，即时等号成立.
20．点是所在平面上一点，若，则与的面积之比是（
）
A．3
B．2
C．
D．
【答案】D
【详解】
点是所在平面上一点，过作，如下图所示：
由，
故，
所以与的面积之比为，
二、能力提升
21．一物体在力的作用下，由点移动到点．已知，求对该物体所做的功．
【详解】
解：∵，
∴对物体所做的功
．
2．飞机从甲地沿北偏西15°的方向飞行1400km到达乙地，再从乙地沿南偏东75°的方向飞行1400km到达丙地，画出飞机飞行的位移示意图，并说明丙地在甲地的什么方向？丙地距甲地多远？
【详解】
如图，丙地在甲地的北偏东45°方向，距甲地1400km.
设甲地为，乙地为，丙地为，作出示意图，
则，，，
，
是等边三角形，
，，
，
即丙地在甲地北偏东，丙地距甲地.
3．如图所示，已知平行四边形中，在对角线上，并且.
求证：四边形是平行四边形.
【详解】
证明：由已知可设，，
则，.
又因为，所以，
因此，从而可知四边形是平行四边形.
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