高中数学北师大版选修2-2综合检测(一) Word含答案

综合检测(一)
一、选择题
1．
i是虚数单位，复数的共轭复数是
(　　)
A．2＋i
B．2－i
C．－1＋2i
D．－1－2i
2．
下列积分的值为2的是
(　　)
A．?(2x－4)dx
B．?cos
xdx
C．?dx
D．?sin
xdx
3．
用反证法证明命题：“若a，b∈N，ab能被3整除，那么a，b中至少有一个能被3整除”时，假设应为
(　　)
A．a，b都能被3整除
B．a，b都不能被3整除
C．a，b不都能被3整除
D．a不能被3整除
4．
i为虚数单位，复平面内表示复数z＝的点在
(　　)
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
5．
若P＝＋，Q＝＋(a≥0)，则P，Q的大小关系为
(　　)
A．P>Q
B．P＝Q
C．PD．由a的取值确定
6．
求证：－1>－.
证明：要证－1>－，
只要证＋>＋1，
即证7＋2＋5>11＋2＋1，
即证>，即证35>11，
∵35>11恒成立，∴原式成立．
以上证明过程应用了
(　　)
A．综合法
B．分析法
C．综合法、分析法配合使用
D．间接证法
7．
函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图像如下图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极大值点
(　　)
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
8．
设f(x)＝x2－2x－4ln
x，则f′(x)>0的解集为
(　　)
A．(0，＋∞)
B．(－1,0)∪(2，＋∞)
C．(2，＋∞)
D．(－1,0)
9.
如右图阴影部分的面积是
(　　)
A．e＋
B．e＋－1
C．e＋－2
D．e－
10．曲线f(x)＝x3＋x－2在点P处的切线平行于直线y＝4x－1，则点P的坐标为
(　　)
A．(1,0)
B．(－1，－4)
C．(1，－4)
D．(1,0)或(－1，－4)
11．函数f(x)在定义域R内可导，若f(x)＝f(2－x)，且(x－1)f′(x)>0，a＝f(0)，b＝f()，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系是
(　　)
A．a>b>c
B．c>a>b
C．b>a>c
D．c>b>a
12．设△ABC的三边长分别为a，b，c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r＝，类比这个结论可知：四面体S—ABC的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，内切球半径为R，四面体S—ABC的体积为V，则R等于
(　　)
A.
B.
C.
D.
二、填空题
13．若复数z＝cos
θ－sin
θi所对应的点在第四象限，则θ为第________象限角．
14．变速直线运动的物体的速度为v(t)＝1－t2(m/s)(其中t为时间，单位：s)，则它在前2
s内所走过的路程为________m.
15．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－x－1在(－∞，＋∞)上是单调函数，则实数a的取值范围是________．
三、解答题
16．已知复数z＝＋(a2－5a－6)i(a∈R)，试求实数a取什么值时，z分别为：
(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．
17．求函数f(x)＝x(ex－1)－x2的单调区间．
18．已知a>5，求证：－<－.
19．在数列{an}中，a1＝，an＋1＝，求a2、a3、a4的值，由此猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想．
20．已知△ABC的三边长为a、b、c，且其中任意两边长均不相等．若，，成等差数列．
(1)比较与的大小，并证明你的结论．
(2)求证：B不可能是钝角．
21．已知函数f(x)＝ln(1＋x)－x＋x2(k≥0)．
(1)当k＝2时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)求f(x)的单调区间．
答案
1．A　2．D
3．B　4．C　5．C　6．B　7．B　8．C　9．C　10．D　11．B　12．C
13．一
14．2
15．[－，]
16．解　(1)当z为实数时，则a2－5a－6＝0，且有意义，
∴a＝－1，或a＝6，且a≠±1，
∴当a＝6时，z为实数．
(2)当z为虚数时，则a2－5a－6≠0，且有意义，
∴a≠－1，且a≠6，且a≠±1.
∴当a≠±1，且a≠6时，z为虚数，
即当a∈(－∞，－1)∪(－1,1)∪(1,6)∪(6，＋∞)时，z为虚数．
(3)当z为纯虚数时，则有a2－5a－6≠0，
且＝0.
∴
∴不存在实数a使z为纯虚数．
17．解　f′(x)＝ex－1＋xex－x＝(ex－1)(x＋1)．
当x∈(－∞，－1)时，f′(x)>0；当x∈(－1,0)时，f′(x)<0；当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0.
故f(x)在(－∞，－1)，(0，＋∞)上单调递增，在(－1,0)上单调递减．
18．证明　要证－<－，
只需证＋<＋，
只需证(＋)2<(＋)2，
只需证2a－5＋2<2a－5＋2，
只需证<，
只需证a2－5a只需证0<6.
因为0<6恒成立，
所以－<－成立．
19．解　a1＝＝，a2＝，a3＝，a4＝，猜想an＝，下面用数学归纳法证明：
①当n＝1时，a1＝＝，猜想成立．
②假设当n＝k(k≥1，k∈N
)时猜想成立，
即ak＝.
则当n＝k＋1时，
ak＋1＝＝＝，
所以当n＝k＋1时猜想也成立，
由①②知，对n∈N
，an＝都成立．
20．(1)解　大小关系为<，
证明如下：要证<，
只需证<，
由题意知a、b、c>0，
只需证b2∵，，成等差数列，
∴＝＋≥2，
∴b2≤ac，
又a、b、c任意两边均不相等，
∴b2故所得大小关系正确．
(2)证明　假设B是钝角，则cos
B<0，
而cos
B＝>>>0.
这与cos
B<0矛盾，故假设不成立．
∴B不可能是钝角．
21．解　(1)当k＝2时，f(x)＝ln(1＋x)－x＋x2，
f′(x)＝－1＋2x.
由于f(1)＝ln
2，f′(1)＝，
所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－ln
2＝(x－1)，
即3x－2y＋2ln
2－3＝0.
(2)f′(x)＝，
x∈(－1，＋∞)．
当k＝0时，f′(x)＝－.
所以，在区间(－1,0)上，f′(x)>0；
在区间(0，＋∞)上，f′(x)<0.
故f(x)的单调递增区间是(－1,0)，
单调递减区间是(0，＋∞)．
当0＝0，
得x1＝0，x2＝>0.
所以，在区间(－1,0)和(，＋∞)上，f′(x)>0；
在区间(0，)上，f′(x)<0.
故f(x)的单调递增区间是(－1,0)和(，＋∞)，
单调递减区间是(0，)．
当k＝1时，f′(x)＝.
故f(x)的单调递增区间是(－1，＋∞)．
当k>1时，由f′(x)＝＝0，
得x1＝∈(－1,0)，x2＝0.
所以，在区间(－1，)和(0，＋∞)上，f′(x)>0；
在区间(，0)上，f′(x)<0.
故f(x)的单调递增区间是(－1，)和(0，＋∞)，
单调递减区间是(，0)．