(共15张PPT)
第八章 立体几何初步
【解题模型示范】A级 基础巩固
1.若某长方体同一顶点上的三条棱长分别为1,2,3,则该长方体的表面积为
( )
A.22
B.20
C.10
D.11
解析:所求长方体的表面积S=2×(1×2)+2×(1×3)+2×(2×3)=22.
答案:A
2.如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,则三棱锥D1-ACD的体积是
( )
A.
B.
C.
D.1
解析:三棱锥D1-ACD的体积V=S△ACD×D1D=××1×1×1=.
答案:A
3.如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥AC,如果AB=3,AC=1,AA1=2,那么直三棱柱ABC-A1B1C1的体积为
( )
A.2
B.3
C.4
D.6
解析:因为AB⊥AC,所以S△ABC==,
所以=×2=3.
答案:B
4.如图所示,某几何体的下半部分为正方体ABCD-A'B'C'D',
上半部分为正四棱锥S-ABCD,若几何体的高为5,棱AB=2,则该几何体的体积为12.
解析:V正方体=23=8,V四棱锥S-ABCD=×22×(5-2)=4.所以该几何体的体积V=V正方体+V四棱锥S-ABCD=12.
5.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,截下一个棱锥C-A1DD1,求棱锥C-A1DD1的体积与剩余部分的体积之比.
解:已知长方体可以看成直四棱柱,设它的底面ADD1A1的面积为S,高为h,则它的体积为V=Sh.
而棱锥C-A1DD1的底面积为S,高为h,
故=×Sh=Sh,
余下部分的体积为Sh-Sh=Sh.
所以棱锥C-A1DD1的体积与剩余部分的体积之比为1∶5.
B级 能力提升
6.已知长方体中过一个顶点的三条棱长的比是1∶2∶3,体对角线的长是2,则这个长方体的体积是
( )
A.6
B.12
C.24
D.48
解析:设长方体中过一个顶点的三条棱长分别为x,2x,3x,又体对角线长为2,则x2+(2x)2+(3x)2=(2)2,解得x=2.
所以三条棱长分别为2,4,6.所以V长方体=2×4×6=48.
答案:D
7.在三棱锥P-ABC中,D,E分别为PB,PC的中点,记三棱锥D-ABE的体积为V1,三棱锥P-ABC的体积为V2,则=.
解析:如图所示,设点C到平面PAB的距离为h,三角形PAB的面积为S,则V2=Sh,V1=V棱锥E-ADB=×S×h=Sh,所以=.
8.如图所示,已知长方体ABCD-A1B1C1D1的体积为V,P是DD1的中点,Q是AB上的动点,求三棱锥P-CDQ的体积.
解:设长方体的长、宽、高分别为AB=a,BC=b,AA1=c,则有V=abc.
由题意知,PD=c,S△CDQ=CD·AD=ab,
所以V三棱锥P-CDQ=S△CDQ·PD=×ab×c=abc=V.
9.有位油漆工用一把长度为50
cm,横截面半径为10
cm的圆柱形刷子给一块面积为10
m2的木板涂油漆,且圆柱形刷子以每秒5周的速度在木板上匀速滚动前进,则油漆工完成任务所需的时间是多少?(精确到0.01
s)
解:由题意可知,圆柱形刷子滚动一周涂过的面积就等于圆柱的侧面积,50
cm=0.5
m,10
cm=0.1
m.
因为圆柱的侧面积为S侧=2π×0.1×0.5=0.1π
(m2),且圆柱形刷子以每秒5周的速度匀速滚动,
所以圆柱形刷子每秒滚过的面积为0.5π
m2.
所以油漆工完成任务所需的时间t==≈6.37(s).
C级 挑战创新
10.开放性问题现有一个棱长为1的正方体礼品盒,需要买一张正方形彩纸将其完全包住,请你设计一个方案,在不将彩纸撕开的情况下,所买彩纸费用最少.(注:彩纸按面积收费)
解:如图①为棱长为1的正方体礼品盒,先把正方体的表面按如图所示的方式展成平面图形,再把平面图形尽可能拼成面积较小的正方形,如图②所示,由图知正方形的边长为2,其面积为8.
即买边长为2的正方形彩纸所需费用最少.
①
②(共26张PPT)
第八章 立体几何初步A级 基础巩固
1.若一飞行昆虫被长为12
cm的细绳绑在房间两垂直墙面与天花板形成的交点处,则飞行昆虫活动范围的体积为
( )
A.144π
cm3
B.288π
cm3
C.576π
cm3
D.864π
cm3
解析:飞行昆虫活动的范围是以墙角为球心,半径为12
cm
的球在房间内的部分,即整个球的,所以飞虫活动范围的体积为××π×123=
288π(cm3).
答案:B
2.如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π,那么圆柱的体积等
于( )
A.π
B.2π
C.4π
D.8π
解析:设圆柱的底面半径为r,则圆柱的母线长为2r,由题意得
S圆柱侧=2πr×2r=4πr2=4π,所以r=1,所以V圆柱=πr2×2r=2πr3=2π.
答案:B
3.若表面积为Q的多面体的每一个面都与表面积为64π的球相切,则这个多面体的体积为
( )
A.Q
B.Q
C.Q
D.2Q
解析:由4πR2=64π,得R=4,
所以V=QR=Q.
答案:C
4.如图所示,在圆柱O1O2内有一个球O,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切.记圆柱O1O2的体积为V1,球O的体积为V2,则的值是.
解析:设球的半径为r,
则==.
5.已知圆台的上、下底面半径分别是10
cm和20
cm,它的侧面展开图的扇环的圆心角是180°,求圆台的表面积.
解:如图所示,设圆台的上底面周长为c
cm,
由于扇环的圆心角是180°,则c=π·SA=2π×10,
所以SA=20
cm.
同理可得SB=40
cm.
所以AB=SB-SA=20
cm.
所以S表=S侧+S上+S下=π×(10+20)×20+π×102+π×202=1
100π(cm2).
B级 能力提升
6.将若干毫升水倒入底面半径为2
cm的圆柱形器皿中,量得水面高度为6
cm,若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中,则水面高度为( )
A.6
cm
B.6
cm
C.2
cm
D.3
cm
解析:设圆锥中水的底面半径为r
cm,由题意知πr2×r=π×22×6,得r=2,所以水面的高度是×2=6(cm).
答案:B
7.正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的表面积为.
解析:如图所示,设球半径为R,底面中心为O'且球心为O.
因为在正四棱锥P-ABCD中,AB=2,所以AO'=.
因为PO'=4,
所以在Rt△AOO'中,AO2=AO'2+OO'2,
所以R2=()2+(4-R)2,
解得R=,
所以该球的表面积为4πR2=4π×()2=.
8.如图所示,一个圆锥的底面半径为2
cm,高为6
cm,其中有一个高为x
cm的内接圆柱.
(1)试用x表示圆柱的侧面积.
(2)当x为何值时,圆柱的侧面积最大?最大是多少?
解:(1)根据题意画出轴截面图,如图所示,
设圆柱的半径为r,则根据三角形相似可得,
=,则r=2-,则
S圆柱侧=2πrx=2π（2-）x=4πx-x2,
x∈(0,6).
(2)由(1)知,当x=-=3时,这个二次函数有最大值6π,
所以当圆柱的高为3
cm时,它的侧面积最大为6π
cm2.
9.若一个底面边长为,侧棱长为的正六棱柱的所有顶点都在一个球面上,求该球的体积和表面积.
解:如图所示,连接BE,BE1.
可知BE=2DE,所以BE=.
在Rt△BEE1中,BE1==2,
所以2R=2,则R=,
所以球的体积V球=πR3=4π,
球的表面积S球=4πR2=12π.
C级 挑战创新
10.多空题如图所示,该几何体是一棱长为4
cm的正方体,若在其中一个面的中心位置上,挖一个直径为2
cm、深为1
cm的圆柱形洞,则挖洞后几何体的体积是60.86
cm3,表面积是102.28
cm2.(π取3.14)
解析:挖洞后几何体的体积V=43-3.14×12×1=60.86(cm3).
正方体的表面积为S=4×4×6=96(cm2),圆柱的侧面积为2π×1×1=
2π(cm2),圆柱的底面积为π×12=π(cm2),则挖洞后几何体的表面积为96-π+2π+π=(96+2π)cm2.令π=3.14,则96+2×3.14=102.28(cm2).
