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第八章 立体几何初步
相交
没有
一
相交
平行
直线在平面外
a∩α=A
一
平行或相交
平行
异面
相交
异面
答案:B
②③A级 基础巩固
1.下列图形中,不一定是平面图形的是
( )
A.三角形
B.菱形
C.梯形
D.四条边相等的四边形
解析:三角形的三个顶点为不共线的三点,因此一定是平面图形;菱形、梯形分别有两组、一组对边平行,故为平面图形;四边相等的四边形可能为空间四边形.
答案:D
2.已知点A,直线a,平面α,以下命题表述正确的个数是
( )
①A∈a,a∈α?A∈α;
②A?a,a?α?A?α;
③A∈a,a?α?A?α.
A.0
B.1
C.2
D.3
解析:①不正确,因为“a∈α”表述错误;②不正确,如图所示,A?a,a?α,但A∈α;③不正确,“A?α”表述错误.
答案:A
3.已知α,β为平面,A,B,M,N为点,a为直线,下列推理错误的是( )
A.A∈a,A∈β,B∈a,B∈β?a?β
B.M∈α,M∈β,N∈α,N∈β?α∩β=MN
C.A∈α,A∈β?α∩β=A
D.A,B,M∈α,A,B,M∈β,且A,B,M不共线?α,β重合
解析:因为A∈α,A∈β,所以A∈α∩β.
由基本事实可知α∩β为经过A的一条直线而不是A.
故α∩β=A的写法错误.
答案:C
4.空间内两两平行的三条直线最多可以确定3个平面.
解析:如图所示,此时确定的平面个数最多.
5.如图所示,在四面体A-BCD中作截面PQR,若PQ,CB的延长线交于点M,RQ,DB的延长线交于点N,RP,DC的延长线交于点K.
求证:M,N,K三点共线.
证明:因为M∈PQ,PQ?平面PQR,M∈BC,BC?平面BCD,
所以M是平面PQR与平面BCD的一个公共点,
所以点M在平面PQR与平面BCD的交线上.
同理可证,点N,K也在平面PQR与平面BCD的交线上.所以M,N,K三点共线.
B级 能力提升
6.已知空间四点中,任何三点都不共线,则经过其中三点的平面( )
A.1个
B.4个
C.1个或4个
D.无法确定
解析:第一种情况,四点共面,则有一个平面,第二种情况,四点不共面,因为任何三点都不共线,则任何三点都确定一个平面,所以可以有4个,故选C.
答案:C
7.在空间四边形ABCD中,在AB,BC,CD,DA上分别取E,F,G,H四点,如果GH,EF交于一点P,则
( )
A.点P一定在直线BD上
B.点P一定在直线AC上
C.点P在直线AC或BD上
D.点P既不在直线BD上,也不在直线AC上
解析:由题意知,GH?平面ADC.因为GH,EF交于一点P,所以P∈平面ADC.同理,P∈平面ABC.因为平面ABC∩平面ADC=AC,由基本事实3可知点P一定在直线AC上.
答案:B
8.若平面α与平面β、平面γ都相交,则这三个平面可能的交线有1或2或3条.
解析:当平面β与平面γ相交时,若平面α过平面β与平面γ的交线,则这三个平面有1条交线;若平面α不过平面β与平面γ的交线,则这三个平面有3条交线;当平面β与平面γ平行时,则这三个平面有2条交线.
9.如图所示,在直角梯形ABDC中,AB∥CD,AB>CD,S是直角梯形ABDC所在平面外一点,画出平面SBD和平面SAC的交线.
解:点S是平面SBD和平面SAC的一个公共点,即点S在这两个平面的交线上.由于AB>CD,则分别延长AC和BD交于点E,如图所示.
因为E∈AC,AC?平面SAC,所以E∈平面SAC.
同理,可证E∈平面SBD,所以点E在平面SBD和平面SAC的交线上,则连接SE,直线SE就是平面SBD和平面SAC的交线.
C级 挑战创新
10.如图所示,正方体木料ABCD-A1B1C1D1,其中M,N分别是AB,CB的中点,要过D1,M,N三点将木料锯开,请你帮助木工师傅想办法,怎样画线才能顺利完成?
解:作法如下:
(1)连接MN并延长交DC的延长线于点F,连接D1F交CC1于点Q,连接QN;
(2)延长NM交DA的延长线于点E,连接D1E交AA1于点P,连接MP;
(3)依次在正方体各个面上画线D1P,PM,MN,NQ,QD1,即为木工师傅所要画的线.A级 基础巩固
1.三棱台的一条侧棱所在直线与其对面所在的平面之间的关系
是
( )
A.相交
B.平行
C.直线在平面内
D.平行或直线在平面内
解析:延长各侧棱可恢复成棱锥的形状,所以三棱台的一条侧棱所在直线与其对面所在的平面相交.
答案:A
2.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是线段BC,CD1的中点,则直线A1B与直线EF的位置关系是
( )
A.相交
B.异面
C.平行
D.垂直
解析:如图所示,直线A1B与直线外一点E确定的平面为A1BCD1,EF?平面A1BCD1,且两直线不平行,故两直线相交.
答案:A
3.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,既与AB共面又与CC1共面的棱有5条.
解析:与AB平行、与CC1相交的直线是CD,C1D1;与CC1平行、与AB相交的直线是BB1,AA1;与AB,CC1都相交的直线是BC,故满足条件的棱有5条.
4.若A∈α,B?α,C?α,则平面ABC与平面α的位置关系是相交.
解析:因为A∈α,B?α,C?α,所以平面ABC与平面α有公共点,且不重合,所以平面ABC与平面α的位置关系是相交.
5.简述下列问题的结论,并画图说明:
(1)若a?α,b∩a=A,则直线b和平面α的位置关系如何?
(2)若a?α,b∥a,则直线b和平面α的位置关系如何?
解:(1)由图①可知:b?α或b∩α=A.
(2)由图②可知:b?α或b∥α.
①
②
B级 能力提升
6.若a和b是异面直线,b和c是异面直线,则a和c的位置关系是( )
A.异面或平行
B.异面或相交
C.异面
D.相交、平行或异面
解析:异面直线不具有传递性,如图所示,在长方体模型中,a,b异面,直线c的位置可如图中c1,c2,c3所示,所以a和c的位置关系可以是相交、平行或异面.
答案:D
7.已知直线a,b,c,下列三个命题:
①若a与b异面,b与c异面,则a与c异面;
②若a∥b,a和c相交,则b和c也相交;
③若a⊥b,a⊥c,则b∥c.
其中,正确命题的个数是
( )
A.0
B.1
C.2
D.3
解析:如图所示,在正方体模型中可知,a与c可能共面,故①不正确;②不正确,若a∥b,a和c相交,则b和c可能相交也可能异面;③不正确,若a⊥b,a⊥c,则b和c平行、相交或异面.
答案:A
8.平面α与平面β平行,且a?α,下列四种说法中
①a与β内的所有直线都平行;
②a与β内无数条直线平行;
③a与β内的任意一条直线都不垂直;
④a与β无公共点.
其中正确的个数是
( )
A.1
B.2
C.3
D.4
解析:如图所示,长方体ABCD-A'B'C'D'中,平面ABCD∥平面A'B'C'D',A'D'?
平面A'B'C'D',AB?平面ABCD,A'D'与AB不平行,且A'D'与AB垂直,所以①③错误.
答案:B
9.(1)在图中画出一个平面与两个平行平面相交.
(2)在图中分别画出三个两两相交的平面.
解:(1)如图所示:
(2)如图所示:
C级 挑战创新
10.试画图说明三个平面可把空间分成几个部分.
解:三个平面可把空间分成4(如图①)、6(如图②③)、7(如图④)或8(如图⑤)个部分.
①
②
③
④
⑤(共26张PPT)
第八章 立体几何初步
【解题模型示范】
