(共22张PPT)
第八章 立体几何初步
提示:根据直线与平面平行的判定定理可知不一定平行.
答案:D
相交
交线
a∥b
提示:错误,若a∥α,则由线面平行的性质定理可知直线a与平面α内的一族直线平行.
提示:不一定.
由a∥α可知,直线a与平面α无公共点.因为b?α,所以a与b无公共点,所以直线a与直线b平行或异面.
答案:BA级 基础巩固
1.若α∥β,a?α,M∈β,过点M的所有直线中( )
A.不一定存在与a平行的直线
B.只有两条与a平行的直线
C.存在无数条与a平行的直线
D.有且只有一条与a平行的直线
解析:由α∥β,a?α,M∈β可知,过点M有且只有一条直线与a平行.
答案:D
2.已知三个平面α,β,γ,一条直线l,要得到α∥β,必须满足下列条件中的( )
A.l∥α,l∥β,且l∥γ
B.l?γ,且l∥α,l∥β
C.α∥γ,且β∥γ
D.l与α,β所成的角相等
解析:?α与β无公共点?α∥β.
答案:C
3.若过正方体ABCD-A1B1C1D1的三顶点A1,
C1,
B的平面与底面ABCD所在的平面的交线为l,则l与A1C1的位置关系是平行.
解析:由面面平行的性质定理,得A1C1∥平面ABCD,A1C1?平面A1C1B,平面ABCD∩平面A1C1B=l,由线面平行的性质定理,知A1C1∥l.
4.若六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1的底面是正六边形,则此六棱柱的面中互相平行的有4对.
解析:如图所示,平面ABB1A1∥平面EDD1E1,
平面BCC1B1∥平面FEE1F1,
平面AFF1A1∥平面CDD1C1,
平面ABCDEF∥平面A1B1C1D1E1F1,
所以此六棱柱的面中互相平行的有4对.
5.如图所示,已知在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,点M,N,Q分别在PA,BD,PD上,且PM∶MA=BN∶ND=PQ∶QD.
求证:平面MNQ∥平面PBC.
证明:因为PM∶MA=BN∶ND=PQ∶QD,
所以MQ∥AD,NQ∥BP.
因为BP?平面PBC,NQ?平面PBC,
所以NQ∥平面PBC.
又底面ABCD为平行四边形,
所以BC∥AD.
所以MQ∥BC.
因为BC?平面PBC,MQ?平面PBC,
所以MQ∥平面PBC.
又MQ∩NQ=Q,根据平面与平面平行的判定定理,
得平面MNQ∥平面PBC.
B级 能力提升
6.若平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等且不为零,则α与β的位置关系为( )
A.平行
B.相交
C.平行或相交
D.可能重合
解析:若三点分布于平面β的同侧,则α与β平行;若三点分布于平面β的两侧,则α与β相交.
答案:C
7.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是棱A1D1的中点,过C1,B,M作正方体的截面,则这个截面的面积为.
解析:取AA1的中点N,连接MN,NB,MC1,BC1.
根据题意可得,截面为等腰梯形,且MN=BC1=,MC1=BN=,
所以梯形的高为,
所以梯形的面积为×(+2)×=.
8.在如图所示的圆台中,AC是下底面圆O的直径,EF是上底面圆O'的直径,FB是圆台的一条母线.已知G,H分别为EC,FB的中点.
求证:GH∥平面ABC.
证明:设FC的中点为I,连接GI,HI.
在△CEF中,因为G是CE的中点,所以GI∥EF.
由题意可得EF∥OB,所以GI∥OB.
因为GI?平面ABC,OB?平面ABC,
所以GI∥平面ABC.
在△CFB中,因为H是FB的中点,所以HI∥BC.
因为HI?平面ABC,BC?平面ABC,
所以HI∥平面ABC.
因为HI∩GI=I,
所以平面GHI∥平面ABC.
因为GH?平面GHI,所以GH∥平面ABC.
C级 挑战创新
9.探索性问题如图所示,在四棱锥C-ABED中,四边形ABED是正方形,点G,F分别是线段EC,BD的中点.
(1)求证:GF∥平面ABC;
(2)若点P为线段CD的中点,平面GFP与平面ABC有怎样的位置关系?并证明.
(1)证明:如图所示,连接AE.由F是线段BD的中点,四边形ABED为正方形,得F为AE的中点.
因为G是EC的中点,
所以GF为△AEC的中位线,所以GF∥AC.
因为AC?平面ABC,GF?平面ABC,
所以GF∥平面ABC.
(2)解:平面GFP∥平面ABC.
证明:连接FP,GP.
因为点F,P分别为BD,CD的中点,
所以FP为△BCD的中位线,
所以FP∥BC.
因为BC?平面ABC,FP?平面ABC,
所以FP∥平面ABC.
因为GF∥平面ABC,FP∩GF=F,
所以平面GFP∥平面ABC.A级 基础巩固
1.下列图形中能正确表示语句“α∩β=l,a?α,b?β,a∥β”的是( )
A
B
C
D
解析:A项中不能正确表达b?β;B项中不能正确表达a∥β;C项中也不能正确表达a∥β.D项正确.
答案:D
2.下列命题中,a,b表示直线,α表示平面,其中正确的个数是( )
①若a∥b,b?α,则a∥α;②若a∥α,b∥α,则a∥b;
③若a∥b,b∥α,则a∥α;④若a∥α,b?α,则a∥b.
A.0
B.1
C.2
D.3
解析:①中缺少a?α这一条件,所以无法得出a∥α;②中a,b还有可能相交或异面;③中还有可能a?α;④中a与b还可能异面.
答案:A
3.如图所示,下列四个正方体图形中,A,B为正方体的两个顶点,M,
N,P分别为其所在棱的中点,能得出AB∥平面MNP的是( )
①
②
③
④
A.①③
B.①④
C.②③
D.②④
解析:①中,连接BC,交PN于点D(图略),则D为PN中点.所以
AB∥MD.因为MD?平面MNP,AB?平面MNP,所以AB∥平面MNP;④中,AB∥NP,而NP?平面MNP,AB?平面MNP,所以AB∥平面MNP.
答案:B
4.如图①所示,已知正方形ABCD,E,F分别是AB,CD的中点,将
△ADE沿DE折起,连接AB,AC,如图②所示,则BF与平面ADE的位置关系是平行.
①
②
解析:由图①可知,BF∥ED,由图②可知,
BF?平面AED,ED?平面AED,故BF∥平面AED.
5.如图所示,已知AB∥α,AC∥BD,且AC,BD与α分别相交于点C,D.求证:AC=BD.
证明:如图所示,连接CD,
因为AC∥BD,所以AC与BD确定一个平面,设此平面为β,
因为AB∥α,AB?β,α∩β=CD,所以AB∥CD.
所以四边形ABDC是平行四边形.所以AC=BD.
B级 能力提升
6.已知点E,F,G,H分别是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点,则空间四面体的六条棱中与平面EFGH平行的条数是( )
A.0
B.1
C.2
D.3
解析:如图所示,由线面平行的判定定理可知,
BD∥平面EFGH,AC∥平面EFGH.
答案:C
7.在空间四边形ABCD中,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA上的点,当BD∥平面EFGH时,下面结论正确的是( )
A.E,F,G,H一定是各边的中点
B.G,H一定是CD,DA的中点
C.BE∶EA=BF∶FC,且DH∶HA=DG∶GC
D.AE∶EB=AH∶HD,且BF∶FC=DG∶GC
解析:由于BD∥平面EFGH,所以有BD∥EH,BD∥FG,
则AE∶EB=AH∶HD,且BF∶FC=DG∶GC.
答案:D
8.如图所示,四边形ABCD是梯形,AB∥CD,且AB∥α,AD,BC分别与平面α交于点M,N,且点M是AD的中点,AB=4,CD=6,则MN=5.
解析:因为AB∥α,AB?平面ABCD,平面ABCD∩α=MN,
所以AB∥MN.又点M是AD的中点,所以MN是梯形ABCD的中位线,故MN=(AB+CD)=5.
9.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点P∈BB1(P不与B,B1重合),PA∩A1B=M,PC∩BC1=N.
求证:MN∥平面ABCD.
证明:如图所示,连接AC,A1C1.
在正方体ABCD-A1B1C1D1中,
AA1∥CC1,且AA1=CC1,
所以四边形ACC1A1是平行四边形.所以AC∥A1C1.
因为AC?平面A1BC1,A1C1?平面A1BC1,
所以AC∥平面A1BC1.
因为AC?平面PAC,平面A1BC1∩平面PAC=MN,所以AC∥MN.
因为MN?平面ABCD,AC?平面ABCD,
所以MN∥平面ABCD.
C级 挑战创新
10.探索性问题如图所示,四边形ABCD为正方形,△ABE为等腰直角三角形,AB=AE,P是线段CD的中点,在直线AE上是否存在一点M,使得PM∥平面BCE?若存在,指出点M的位置,并证明你的结论.
解:如图所示,存在点M.
当点M是线段AE的中点时,PM∥平面BCE.
证明:取BE的中点N,连接CN,MN,MP,则MN∥AB,且MN=AB.
又PC∥AB,且PC=AB,
所以PC∥MN,且PC=MN,
所以四边形MNCP为平行四边形,所以PM∥CN.
因为PM?平面BCE,CN?平面BCE,
所以PM∥平面BCE.(共23张PPT)
第八章 立体几何初步
提示:有.若α,β,γ为三个不重合的平面,则α∥β,β∥γ?α∥γ.
答案:C
a∥b
平行
提示:不一定.可能异面.
提示:一定平行.
因为两个平面平行,所以两个平面无公共点,则其中一个平面内的直线必和另一个平面无公共点,因而它们平行.
答案:B
15(共18张PPT)
第八章 立体几何初步
同一条
平行
a∥c
提示:不一定.
这两条直线可能平行、相交或异面.
平行
相等或互补
对应平行
提示:从图中可以看出,∠ADC=∠A'D'C',
∠ADC+∠D'A'B'=180°.A级 基础巩固
1.两等角的一组对应边平行,则( )
A.另一组对应边平行
B.另一组对应边不平行
C.另一组对应边不可能垂直
D.以上都不对
解析:另一组对应边可能平行,也可能不平行,也可能垂直.注意和等角定理(若两个角的对应边分别平行,则这两个角相等或互补)的区别.
答案:D
2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,若E,F分别是侧面AA1D1D,侧面CC1D1D的中心,G,H分别是线段AB,BC的中点,则直线EF与直线GH的位置关系是( )
A.相交
B.异面
C.平行
D.垂直
解析:如图所示,连接AD1,CD1,AC,则E,F分别为AD1,CD1的中点.由三角形的中位线定理,知EF∥AC,GH∥AC,所以EF∥GH.
答案:C
3.过直线l外两点可以作l的平行线条数为( )
A.1条
B.2条
C.3条
D.0条或1条
解析:以如图所示的正方体ABCD-A1B1C1D1为例.
令A1B1所在直线为直线l,过l外的点A,B可以作一条直线与l平行,过l外的点B,C不能作直线与l平行.
答案:D
4.如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F分别是AB,AC上的点,若AE∶EB=AF∶FC,则EF与B1C1的位置关系是平行.
解析:在△ABC中,因为AE∶EB=AF∶FC,所以EF∥BC.
又在三棱柱ABC-A1B1C1中,BC∥B1C1,所以EF∥B1C1.
5.已知E,F,G,H为空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA上的点,若==,==,则四边形EFGH的形状为梯形.
解析:如图所示,在△ABD中,
因为==,所以EH∥BD,且EH=BD.
在△BCD中,因为==,
所以FG∥BD,且FG=BD,
所以EH∥FG,且EH>FG,
所以四边形EFGH为梯形.
B级 能力提升
6.已知在空间四边形ABCD中,若M,N分别是AB,CD的中点,且AC=4,BD=6,则( )
A.1B.2C.1≤MN≤5
D.2解析:取AD的中点H,连接MH,NH(图略),则MH∥BD,且MH=BD=3,
NH∥AC,且NH=AC=2,且M,N,H三点构成三角形,由三角形的三边关系,可得MH-NH答案:A
7.给出下列四个命题,其中正确命题的序号是②④.
①在空间中,若两条直线不相交,则它们一定平行;
②平行于同一条直线的两条直线平行;
③一条直线和两条平行直线中的一条相交,那么它也和另一条相交;
④空间四条直线a,b,c,d,如果
a∥b,c∥d,且
a∥d,那么
b∥c.
解析:两条直线可以异面,故①错误;由基本事实4可得另两条直线平行,故②正确;这条直线和另一条可以异面,故③错误;由平行直线的传递性可知,④正确.
8.如图所示,E,F分别是长方体A1B1C1D1-ABCD的棱A1A,C1C的中点.求证:四边形B1EDF是平行四边形.
证明:如图所示,取DD1的中点Q,连接EQ,QC1.
因为E是AA1的中点,
所以EQ∥A1D1,EQ=A1D1.
在矩形A1B1C1D1中,A1D1∥B1C1,A1D1=B1C1,
所以EQ∥B1C1,
EQ=B1C1.
所以四边形EQC1B1为平行四边形.
所以B1E∥C1Q,
B1E=C1Q.
因为Q,F是DD1,C1C两边的中点,
所以QD∥C1F,QD=C1F.
所以四边形QDFC1为平行四边形.
所以C1Q∥DF,C1Q=DF.
所以B1E∥DF,B1E=DF.
所以四边形B1EDF为平行四边形.
9.如图所示,四边形ABEF和四边形ABCD都是直角梯形,∠BAD=∠FAB=90°,BC∥AD,BC=AD,BE∥FA,BE=FA,G,H分别为FA,FD的中点.
(1)求证:四边形BCHG是平行四边形.
(2)C,D,F,E四点是否共面?为什么?
(1)证明:由G,H分别为FA,FD的中点,
可得GH∥AD,GH=AD.
因为BC∥AD,BC=AD,
所以GH∥BC,GH=BC.
所以四边形BCHG为平行四边形.
(2)解:C,D,F,E四点共面.证明如下:
连接CE(图略).
因为BE∥FA,BE=FA=FG,
所以四边形BEFG为平行四边形.
所以EF∥BG,EF=BG.
由(1)知BG∥CH,BG=CH,
所以EF∥CH,EF=CH.
所以四边形EFHC是平行四边形.
所以CE与HF共面.
因为D∈FH,所以C,D,F,E四点共面.
C级 挑战创新
10.一块长方体木料如图所示,现在因做某种家具,需将此木料沿边BC和面A1B1C1D1内一点P锯开,工人师傅怎样操作才能达到要求?请你设计一个方案解决此问题,并说明理由.
解:如图所示,在面A1B1C1D1内过点P作直线EF∥B1C1,交A1B1于点E,交C1D1于点F,连接BE,CF,沿BC,BE,CF,EF锯开木料即可.
理由:因为EF∥B1C1,BC∥B1C1,所以EF∥BC.
所以EF,BC共面.
