《平面图形及其位置关系》知识总结与试题

平面图形及其位置关系知识总结
1．线段、射线、直线
（1）线段：绷紧的琴弦、人行道横线都可以近似地看做线段．线段的特点：是直的，它有两个端点．
（2）射线：将线段向一方无限延伸就形成了射线．射线的特点：是直的，有一个端点，向一方无限延伸．
（3）直线：将线段向两个方向无限延长就形成了直线． 直线的特点：是直的，没有端点，向两方无限延伸．
2．线段的中点
把一条线段分成两条相等的线段的点，叫做线段的中点．
利用线段的中点定义，可以得到下面的结论：
（1）因为AM=BM=AB，所以M是线段AB的中点．
（2）因为M是线段AB的中点，所以AM=BM=AB或AB=2AM=2BM．
3．角
由两条具有公共端点的射线组成的图形叫做角，公共端点叫做角的顶点，两条射线叫做角的边．
角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的．
一条射线绕着它的端点旋转，当终边和始边成一条直线时，所成的角叫做平角．终边继续旋转，当它又和始边重合时，所成的角叫做周角．
4．角平分线
从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线．
5．平行线
在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线．
平行的关系是相互的，如果AB∥CD，则CD∥AB，其中符号“∥”读作“平行”．
6．两条直线垂直
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，其交点叫做垂足，如直线AB与直线CD垂直，记作AB⊥CD．
7．两点之间的距离
两点之间的线段的长度，叫做这两点之间的距离．
8．点到直线的距离
从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．
1．直线的性质：经过两点有且只有一条直线，其中“有”表示“存在性”，“只有”表示“惟一性”．2．线段的性质：两点之间的所有连线中，线段最短．3．与平行线有关的一些性质 （1）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． （2）平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．垂线性质 （1）经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． （2）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．
平面图形及其位置关系经典例题
1．考查学生发现问题、解决问题的能力．
【例1】（2003年黑龙江）从哈尔滨开往A市的特快列车，途中要停靠两个站点，如果任意两站间的票价都不同，不同的票价有（ ）
A．4种 B．6种 C．10种 D．12种
【例2】（无锡）L1与L2是同一平面内的两条相交直线，它们有１个交点，如果在这个平面内，再画第三条直线L3，那么这3条直线最多可有_______个交点；如果在这个平面内再画第4条直线L4，那么这4条直线最多可有_______个交点；由此我们可以猜想在同一平面内，6条直线最多可有_______个交点，n（n为大于1的整数）条直线最多可有_______个交点（用含n的代数式表示）．
2．线段长度的计算，线段的中点
【例3】某大公司员工分别住在A，B，C三个住宅区，A区有60人，B区有30人，C区有20人，三个区在同一条直线上，位置如图所示，该公司的接送车打算只设一个停靠点，为使所有员工步行到停靠点的路程之和最小，那么停靠点的位置应设在（ ）
3．角的度量与换算
【例4】（山西）时钟在3点半时，它的时针和分针所成的锐角是（ ）
A．70° B．75° C．85° D．90°
4．七巧板问题在中考中主要考查图形的拼摆．
【例5】（2002年济南）如图1，用一块边长为2的正方形ABCD厚纸板，按照下面做法，做了一套七巧板：作对角线AC，分别取AB、BC中点E、F，连结EF；作DG⊥EF于G，交AC于H；过G作GL∥BC，交AC于L，再由E作EK∥DG，交AC于K；将正方形ABCE沿画出的线剪开．现用它拼出一座桥（如图2），这座桥的阴影部分的面积是（ ）．
（图1） （图2）
A．8 B．6 C．4 D．5
平面图形及其位置关系解题方法与技巧
方法1：见比设元
【例1】如图所示，B、C两点把线段AD分成2：4：3三部分，M是AD的中点，CD=9，求线段MC的长．
【分析】题中给出了线段的长度比，那么设每一分为K是常见的解法．
【解】∵AB：BC：CD=2：4：3
∴设AB=2K BC=4K CD=3K
∴AD=3K+2K+4K=9K
∵CD=9
∴3K=9 ∴K=3
∴AB=6 BC=12 AD=27
∵M为AD中点，
∴MD= AD=×27=13.5
∴MC=MD-CD=13.5-9=4.5
【规律总结】不论是有关线段还是有关角的问题，只要有比值，就设未知数．
方法2：利用线段的和差判断三点共线
【例2】判断以下三点A、B、C是否共线．
（1）有三点A、B、C，且AB=10cm，AC=2cm，CB=8cm；
（2）AB=10cm，AC=3cm，CB=9cm．
【解】（1）∵AB=10cm，AC=2cm，CB=8cm，
∴AB=AC+CB
∴A、C、B三点在同一条直线上
（2）∵AB=10cm，AC=3cm，CB=9cm，
∴AB≠AC+CB
∴A、C、B三点不共线
方法3：寻找规律
（一）数直线条数：过任三点不在同一直线上的n点一共可画条直线．
（二）数n个人两两握手能握次．
（三）数线段条数：线段上有n个点（包括线段两个端点）时，共有条线段．
（四）数角的个数：以0为端点引n条射线，当∠AOD<180°时，则（如图）小于平角的角个数为．
（五）数交点个数：n条直线最多有个交点．
（六）数对顶角对数：n条直线两两相交有n（n-1）对对顶角．
（七）数直线分平面的份数：平面内n条直线最多将平面分成1+个部分．
【例3】同一平面内有四点，每过两点画一条直线，则直线的条数是（ ）
A．1条 B．4条 C．6条 D．1条或4条或6条
【例4】一张饼上切七刀，最多可得到几块饼．
【分析】从原始状态开始，当切1刀时，一张饼被分成两部分；当切2刀时，一张饼最多可被分成四部分；当切了3刀时，一张饼被最多分成七部分；……若用n表示切的刀数，饼被最多分成S部分．则：n=1时S=2；n=2时S=4；n=3时，S=7；n=4时，S=11．
【解】设一张饼被切n刀，最多分成S部分，如图2-6可知：
n=1时 S=1+1
n=2时 S=1+1+2
n=3时 S=1+1+2+3
n=4时 S=1+1+2+3+4
……
则S=1+1+2+3+4+…+n=1+
∴当n=7时，S=1+=29
答：当上张饼上切7切时，最多可得到29块饼．
【规律总结】许多规律性问题应回到原始状态，按照从特殊到一般的方法寻找规律，再按照从一般到特殊的方法应用规律解决问题．
方法4：钟表问题
【例5】钟表现在是1点15分，分针再转多少度，时针与分针首次重合．
【分析】分针1分钟走（）°=6°，时针1分钟走（）°=0.5°（分针1小时走一圈，即60分钟走360°，时针1小时走一格，即60分钟走30°）．因此，分针速度是时针速度的12倍，故设分针走12x°，时针走x°时时针与分针首次重合，因为从1点整到1点15°，分针走一圈的，此时时针走一格的，因此1点15分时时针与分针夹角（1+）×30°=52.5°．列方程可求解．
【解】设时针走x°时，时针与分针首次重合．
依题意，得： 12x-x=360-（×30）
解得： x=， ∴12x==335
答：分针再转335度，时针与分针首次重合．
方法5：最优策略问题
直线上有两点（如图）A1和A2，要在直线上找一点P，使A1、A2到P的距离之和最小，则P点可放在A1、A2之间任意位置（包括A1和A2）．此时PA1+PA2=A1A2．
直线上有三点A1、A2、A3（如图）．要找到一点P，使PA1+PA2+PA3的和最小．
不妨设P在A1、A2之间，此时PA1+PA2+PA3=A1A3+PA2；
若P在A2、A3之间，此时PA1+PA2+PA3=A1A3+PA2；
若P在A1上，则PA1+PA2+PA3=A1A3+A1A2；
若P在A2上，则PA1+PA2+PA3=A1A3．
若P在A3上，则PA1+PA2+PA3=A1A3+A2+A3
结论：当P选在A2点时PA2+PA2+PA3的和最小，其最小值为A1A3．
不难发现，当直线上有四个点时，如图所示．P点选在A2A3上（包括端点）．可使P到A1、A2、A3、A4的距离之和最小．其最小值为A1A4+A2A3．
当直线上有五个点时，如图所示P点选在A3上，可使P到A1、A2、A3、A4、A5的距离之和最小，其最小值为A1A5+A2A4．
【规律总结】当直线上有偶数个点时，P应选在最中间两点之间（可与这两点重合）；当直线上有奇数个点时，P点与最中间的点重合，可使P到各点距离之和最小．
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