人教版八年级数学下册18.2.3 正方形课件(共22张PPT)

(共22张PPT)
初中数学八年级下册
18.2.3 正方形
生活中的正方形
数学中的正方形
正方形
添加什么条件？
正方形：四个角都是直角，四条边相等
矩 形
1、平移矩形的短边，使得邻边相等，得到的是正方形吗？
正方形
2、折纸活动中，如何由一张矩形纸片折出一个正方形？
归纳：邻边相等的矩形是正方形
探 究（一）
正方形
正方形
添加什么条件？
四个角都是直角，四条边相等的四边形是正方形
菱 形
探 究（二）
正方形
众所周知，四边形具有不稳定性，如果把菱形
的角转成直角，又会变成什么特殊的菱形呢？
归纳：有一个角是直角的菱形是正方形
思考：正方形具有哪些性质？
正方形性质
边 角 对角线 对称性
图形语言
文字语言
符号语言
A
C
D
\
B
A
C
D
B
A
C
D
B
\
\
\
∟
∟
∟
∟
O
∟
∵四边形ABCD是正方形
∴AB∥CD AD∥BC, AB=BC=CD=AD
∵四边形ABCD是正方形
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°
∵四边形ABCD是正方形
∴AC⊥BD,AC=BD,
OA=OB=OC=OD,
∠1= ∠2= ∠3= ∠4= ∠5= ∠6= ∠7= ∠8=45°
轴对称图形 中心对称图形
1
2
3
4
5
6
7
8
A
D
C
B
O
1. 正方形对角线把正方形分成多少个三角形？
它们是什么三角形？
结论：
分成八个等腰直角三角形，分别是△ABC、 △ADC、 △ABD、 △BCD ；
△AOB、 △BOC、 △COD、 △DOA.
试一试：正方形性质的应用
+ 有一个角是直角
+ 一组邻边相等
+ 对角线互相垂直
+ 对角线相等
一般四边形
+ 四条边相等、四个角是直角
2. 正方形OPQG的顶点O是正方形ABCD对角线的交
点，OP交AB于点E，OG交BC于点F，转动正方形OPQG，
AOE和 BOF有什么关系？
A
D
C
B
O
E
F
G
P
Q
△AOE≌△BOF
理由：
∵四边形ABCD是正方形
∴OA=OB，∠AOB=90°，
∠1＝∠2=45° 又∵∠EOF=90°
∴∠AOB-∠3=∠EOF-∠3
即∠AOE=∠BOF
∴△AOE≌△BOF(ASA)
1
2
3
A
D
C
B
O
E
F
G
P
Q
3. 在转动过程中，两个正方形的重叠部分四边形OEBF
的面积有何变化？请说明理由。
4. 解决以上问题，用到了正方形的哪些性质？
面积不变
理由：
由上题得△AOE≌△BOF
∴S四边形OEBF=S△OEB+S△BOF
=S△AOB
= S正方ABCD
正方形的对角线互相垂直、
平分、每一条对角线平分一
组对角，正方形的角是直角
5. 已知：如图，点G是正方形ABCD的边BC上的任意一点，
DE⊥AG于点E，BF//DE，交AG于点F.
求证：AF-BF=EF
A
B
C
D
E
F
G
证明：∵DE⊥AG, ∴∠DEF=∠1+∠2=90°
∵DE//BF, ∴∠DEF=∠BFE=90°
∵四边形ABCD是正方形
∴AB=AD，∠BAD=∠1+∠3=90°
∴∠2＝∠3
又∠AED=∠AFB=90°
∴ △AED≌△BFA(AAS)
∴AE=BF
∴AF-AE=AF-BF=EF
解决以上问题，用到了正方形的哪些性质？
1
2
3
正方形四条边相等、
角是直角
探 究（四）：正方形的判定
+ 有一个角是直角
+ 一组邻边相等
+ 对角线互相垂直
+ 对角线相等
一般四边形
+ 四条边相等、四个角是直角
试一试：正方形判定的应用
1.如图，矩形ABCD内一点F，FB与FC分别平分∠ABC
和∠BCD，点E为矩形ABCD外一点，连接BE，CE，
现添加下列条件:
①EB//CF，CE//BF；
②BE=CE，BE=BF；
③BE//CF，CE⊥BE；
④BE=CE，CE//BF.
其中能判定四边形BECF是正方形的是
A
B
C
D
F
E
试一试：正方形判定的应用
1.如图，矩形ABCD内一点F，FB与FC分别平分∠ABC
和∠BCD，点E为矩形ABCD外一点，连接BE，CE，
现添加下列条件:
①EB//CF，CE//BF；
A
B
C
D
F
E
1
2
分析：
根据添加的条件EB//CF，CE//BF，
可得四边形FBEC是平行四边形
由已知条件，可得 ∠1=∠2=45°，
∴∠F=90° ∴ FBEC是矩形
∵∠1=∠2， CF=BF
∴矩形FBEC是正方形
试一试：正方形判定的应用
1.如图，矩形ABCD内一点F，FB与FC分别平分∠ABC
和∠BCD，点E为矩形ABCD外一点，连接BE，CE，
现添加下列条件:
②BE=CE，BE=BF；
A
B
C
D
F
E
1
2
分析：
由已知条件，可得 ∠1=∠2，∴CF=BF
根据添加的条件BE=CE，BE=BF
BE=CE=BF=CF
∴四边形FBEC是菱形
∵∠1=∠2=45°，∴∠F=90°
∴菱形FBEC是正方形
试一试：正方形判定的应用
1.如图，矩形ABCD内一点F，FB与FC分别平分∠ABC
和∠BCD，点E为矩形ABCD外一点，连接BE，CE，
现添加下列条件:
③BE//CF，CE⊥BE；
A
B
C
D
F
E
1
2
分析：
由已知条件，可得 ∠1=∠2=45°，∴∠F=90°
根据添加的条件EB//CF，得∠1=∠3=45°
∴∠2+∠3=90°即∠FBE=90°
根据添加的条件CE⊥BE，得∠E=90°
∴四边形FBEC是矩形
∵∠1=∠2，∴ CF=BF
∴矩形FBEC是正方形
3
试一试：正方形判定的应用
1.如图，矩形ABCD内一点F，FB与FC分别平分∠ABC
和∠BCD，点E为矩形ABCD外一点，连接BE，CE，
现添加下列条件:
④BE=CE，CE//BF.
A
B
C
D
F
E
1
2
分析：
根据添加的条件CE//BF，得∠2=∠3=45°
BE=CE，得∠4=∠3=45°，进而得∠E=90°
∴∠E=∠FBE=∠ECF=90°
∴四边形FBEC是矩形
∵∠1=∠2，∴ CF=BF
∴矩形FBEC是正方形
3
4
试一试：正方形判定的应用
1.如图，矩形ABCD内一点F，FB与FC分别平分∠ABC
和∠BCD，点E为矩形ABCD外一点，连接BE，CE，
现添加下列条件:
①EB//CF，CE//BF；
②BE=CE，BE=BF；
③BE//CF，CE⊥BE；
④BE=CE，CE//BF.
其中能判定四边形BECF是正方形的是①②③④
A
B
C
D
F
E
A
B
C
D
M
N
E
F
2. 如图，E、F、M、N分别是正方形ABCD四边上的点，且AE=BF=CM=DN.试判断四边形EFMN是什么图形，并证明你的结论.
四边形EFMN是正方形
证明：∵四边形ABCD是正方形
∴AB=BC=CD=DA, ∠A=∠B=90°
∵AE=BF=CM=DN, ∴ NA=EB ∴△AEN≌△BFE(ASA)
∴NE=EF , ∠1=∠2
∵∠1+∠3=90°
∴∠2+∠3=90°,即∠NEF=90°
同理：EF=FM=MN=NE，
∠EFM=∠FMN=∠FMN=∠MNE=90°
∴四边形EFMN是正方形
1
2
3