人教版八年级数学下册第十八章 平行四边形 小结与复习课件 (共39张PPT)

泮水中学八年级数学课件
第十八章平行四边形
小结与复习
一、几种特殊四边形的性质
项目
四边形
边
角
对角线
对称性
对边平行且相等
对边平行且相等
对边平行
且四边相等
对边平行
且四边相等
对角相等
四个角
都是直角
对角相等
四个角
都是直角
互相平分
互相平分且相等
互相垂直平分且相等，每一条对角线平分一组对角
轴对称图形
轴对称图形
轴对称图形
互相垂直且平分，每一条对角线平分一组对角
基础知识回顾

四边形
条件
平行
四边形
矩形
菱形
正方形
二、几种特殊四边形的常用判定方法：
1.定义：两组对边分别平行 2.两组对边分别相等
3.两组对角分别相等 4.对角线互相平分
5.一组对边平行且相等
1.定义：有一个角是直角的平行四边形
2.对角线相等的平行四边形
3.有三个角是直角的四边形
1.定义：一组邻边相等的平行四边形 ;2.对角线互相垂直的平行四边形,3.四条边都相等的四边形
1.定义：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形
2.有一组邻边相等的矩形 3.有一个角是直角的菱形
基础知识回顾
5种判定方法
三个角是直角
四条边相等
一个角是直角
或对角线相等
一组邻边相等
或对角线垂直
一组邻边相等
或对角线垂直
一个角是直角
或对角线相等
一个角是直角且一组邻边相等
三、平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系
1．已知?ABCD中，若∠A＝70°，则∠B，∠C的度数分别为(　　)
A．110°，70° B．70°，110°
C．100°，80° D．70°，20°
2．下列图形是中心对称，但不是轴对称的是
(　　)
A．平行四边形 B．长方形
C．菱形 D．等腰梯形
A
A
基础知识检测
3．下列语句中，能判定一个四边形是平行四边形的个数是(　　)
①两组对边分别平行的四边形；②两组对边分别相等的四边形；③两组对角分别相等的四边形；④一组对边平行且相等的四边形
A．1 B．2 C．3 D．4
D
基础知识检测
4．在□ABCD中,若∠A＝90°,则□ABCD是
(　　)
A．平行四边形 B．矩形
C．菱形 D．正方形
5．下列语句中，不能判定一个四边形是矩形的是(　　)
A．有一个角是直角，一组对边平行且相等的四边形
B．对角线相等且平分的四边形
C．有三个角是直角的四边形
D．有两个角是直角的四边形
B
D
基础知识检测
6．下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(　　)
A．等腰三角形 B．平行四边形
C．等腰梯形 D．矩形
D
基础知识检测
7．下列语句，错误的是(　 　)
A、四条边相等的四边形是菱形
B、对角线互相垂直平分的四边形是菱形
C、菱形是轴对称图形，但不是中心对称图形
D、顺次连接等腰梯形各边中点得到菱形
C
基础知识检测
8．如图，下列条件之一能使□ABCD是菱形的为(　 　)
①AC⊥BD；
②∠BAD＝90°；
③AB＝BC；
④AC＝BD.
A．①③ B.②③ C．③④ D．①②③
?
A
9、已知正方形的边长为4 cm，则其对角线长(　 　)

A. cm B.8 cm

C.16 cm D. cm
A
基础知识检测
10．已知四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件是( 　　 )
A．∠D＝90° B．AC＝BD
C．OA＝OB D．AC⊥BD
A
基础知识检测
11．已知正方形ABCD的一对角线AC＝2 cm，则其边长AB的长为＿＿＿＿
12.顺次连接平行四边形各边中点
得到 ；
顺次连接菱形各边中点得到 　　．
顺次连接矩形各边中点得到 　　　．
顺次连接正方形各边中点得到＿＿＿＿＿＿
平行四边形
矩形
菱形
正方形
基础知识检测
考点一 平行四边形的性质与判定
例1 如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AG∥CD交BC于点G，点E、F分别为AG、CD的中点，连接DE、FG.
(1)求证：四边形DEGF是平行四边形；
(2)如果点G是BC的中点，且BC＝12，DC＝10，求
四边形AGCD的面积．
解：(1)∵AG∥DC，AD∥BC，
∴四边形AGCD是平行四边形，
∴AG＝DC.
基础考点精讲
∵E、F分别为AG、DC的中点，
∴GE＝ AG，DF＝ DC，
即GE＝DF，GE∥DF，
∴四边形DEGF是平行四边形.
(2)∵点G是BC的中点，BC＝12，
∴BG＝CG＝ BC＝6.
∵四边形AGCD是平行四边形，DC＝10，AG＝DC＝10，
在Rt△ABG中，根据勾股定理得AB＝8，
∴四边形AGCD的面积为6×8＝48.
例2 在△ABC中，AB=AC，点D在边BC所在的直线上，过点D作DF∥AC交直线AB于点F，DE∥AB交直线AC于点E．
(1)当点D在边BC上时，如图①，求证：DE+DF=AC．
证明：∵DF∥AC，DE∥AB，
∴四边形AFDE是平行四边形．
∴AF=DE.
∵DF∥AC，∴∠FDB=∠C,
又∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠FDB=∠B,
∴DF=BF,
∴DE+DF=AF+BF=AB=AC.
基础考点精讲
（2）当点D在边BC的延长线上时，如图②；当点D在边BC的反向延长线上时，如图③，请分别写出图②、图③中DE，DF，AC之间的数量关系，不需要证明．
（3）若AC=6，DE=4，求DF的值．
解：（2）图②中：AC+DE=DF．
图③中：AC+DF=DE．
（3）当如图①的情况，DF=AC-DE=6-4=2；
当如图②的情况，DF=AC+DE=6+4=10．
2.如图，在?ABCD中，对角线AC和BD交于点O，AC=24cm，BD=38cm，AD=28cm，则△BOC的周长是 （ 　　）
A．45cm B．59cm
C．62cm D．90cm
B
1.如图，在?ABCD中，∠ODA=90°，AC=10cm，
BD=6cm，则AD的长为 （　　）
A．4cm B．5cm
C．6cm D．8cm
A
基础考点针对训练
3.如图?是某公交汽车挡风玻璃的雨刮器，其工作原理如图?．雨刷EF⊥AD，垂足为A，AB=CD且AD=BC，这样能使雨刷EF在运动时，始终垂直于玻璃窗下沿BC，请证明这一结论．
证明：∵AB=CD，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC.
又∵EF⊥AD，
∴EF⊥BC．
图?
图?
基础考点针对训练
考点二 三角形的中位线
例3 如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，AH是边BC上的高．
（1）求证：四边形ADEF是平行四边形；
（2）求证：∠DHF=∠DEF．
证明：（1）∵点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，
∴DE、EF都是△ABC的中位线，
∴EF∥AB，DE∥AC，
∴四边形ADEF是平行四边形.
基础考点精讲
（2）∵四边形ADEF是平行四边形，
∴∠DEF=∠BAC，
∵D，F分别是AB，CA的中点，
AH是边BC上的高，
∴DH=AD，FH=AF，
∴∠DAH=∠DHA，∠FAH=∠FHA，
∵∠DAH+∠FAH=∠BAC，
∠DHA+∠FHA=∠DHF，
∴∠DHF=∠BAC，
∴∠DHF=∠DEF．
例4 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别是边AB，AC的中点，延长BC到点F，使CF=
BC．若AB=12，求EF的长．
解：连接CD，
∵点D，E分别是边AB，AC的中点，
∴DE∥BC，DE= BC，DC= AB.
∵CF= BC，
∴DE ∥FC，DE =FC，
∴四边形DEFC是平行四边形，
∴DC=EF，
∴EF= AB=6．
基础考点精讲
5.如图，是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC、DE垂直于横梁AC，AB=4m，∠A=30°，则DE等于 （　　）
A．1m B．2m
C．3m D．4m
A
4.如图，等边三角形ABC中，点D，E分别为AB，AC的中点，则∠DEC的度数为（　　）
A．150° B．120°
C．60° D．30°
B
基础考点针对训练
6.如图，在△ABC中，∠CAB=90°，DE、DF是△ABC的中位线，连接EF、AD，求证：EF=AD．
证明：∵DE，DF是△ABC的中位线，
∴DE∥AB，DF∥AC，
∴四边形AEDF是平行四边形，
又∵∠BAC=90°，
∴平行四边形AEDF是矩形，
∴EF=AD．
基础考点针对训练
考点三 特殊平行四边形的性质与判定
例5 如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE∥BD，过点D作ED∥AC，两线相交于点E．
求证：四边形AODE是菱形；
证明：∵AE∥BD，ED∥AC，
∴四边形AODE是平行四边形.
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，OA=OC= AC，
OB=OD= BD，
∴OA=OC=OD，
∴四边形AODE是菱形.
基础考点精讲
【变式题】如图，O是菱形ABCD对角线的交点，作BE∥AC，CE∥BD，BE、CE交于点E，四边形CEBO是矩形吗？说出你的理由.
D
A
B
C
E
O
解：四边形CEBO是矩形.
理由如下：已知四边形ABCD是菱形.
∴AC⊥BD.
∴∠BOC=90°.
∵BE∥AC,CE∥BD，
∴四边形CEBO是平行四边形.
∴四边形CEBO是矩形.
基础考点精讲
例6 如图，已知在四边形ABFC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且CF＝AE；
(1)试判断四边形BECF是什么四边形？并说明理由；
(2)当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECF是正方形？请回答并证明你的结论．
解：(1)四边形BECF是菱形．
理由如下：∵EF垂直平分BC，
∴BF＝FC，BE＝EC，
∴∠3＝∠1.
∵∠ACB＝90°，
∴∠3＋∠4＝90°，∠1＋∠2＝90°,∴∠2＝∠4，
基础考点精讲
∴EC＝AE，∴BE＝AE.
∵CF＝AE，
∴BE＝EC＝CF＝BF，
∴四边形BECF是菱形；
(2)当∠A＝45°时，菱形BECF是正方形．
证明如下：∵∠A＝45°，∠ACB＝90°，
∴∠CBA＝45°，∴∠EBF＝2∠CBA＝90°，
∴菱形BECF是正方形．
方法总结
正方形的判定方法：①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；②先判定四边形是菱形，再判定这个矩形有一个角为直角；③还可以先判定四边形是平行四边形，再用①或②进行判定．
例7 如图，△ABC中，点O是AC上的一动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角∠ACG的平分线于点F，连接AE、AF.
(1)求证：∠ECF＝90°；
(2)当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？请
说明理由；
(1)证明：∵CE平分∠BCO，
CF平分∠GCO，
∴∠OCE＝∠BCE，∠OCF＝∠GCF，
∴∠ECF＝ ×180°＝90°.
基础考点精讲
(2)解：当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形．理由如下：
∵MN∥BC，
∴∠OEC＝∠BCE，∠OFC＝∠GCF.
又∵CE平分∠BCO，CF平分∠GCO，
∴∠OCE＝∠BCE，∠OCF＝∠GCF，
∴∠OCE＝∠OEC，∠OCF＝∠OFC，
∴EO＝CO，FO＝CO，
∴OE＝OF.
又∵当点O运动到AC的中点时，AO＝CO，
∴四边形AECF是平行四边形.
∵∠ECF＝90°，
∴四边形AECF是矩形.
解：当点O运动到AC的中点时，
且满足∠ACB为直角时，四边形AECF是正方形．
∵由(2)知当点O运动到AC的中点时，四边形AECF
是矩形，
已知MN∥BC，
当∠ACB＝90°，
则∠AOF＝∠COE＝∠COF＝∠AOE＝90°，
即AC⊥EF，
∴四边形AECF是正方形．
(3)在(2)的条件下，△ABC应该满足什么条件时，
四边形AECF为正方形．
7.如图，两个含有30°角的完全相同的三角板ABC和DEF沿直线FC滑动，下列说法错误的是（　　）
A．四边形ACDF是平行四边形
B．当点E为BC中点时，四边形ACDF是矩形
C．当点B与点E重合时，四边形ACDF是菱形
D．四边形ACDF不可能是正方形
B
8.如图，在菱形ABCD中，对角线AC=6，BD=10，则菱形ABCD的面积为______．
30
A
B
C
O
D
基础考点针对训练
9.如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，点G是BC延长线上一点，连接AG，点E、F分别在AG上，连接BE、DF，∠1＝∠2，∠3＝∠4.
(1)证明：△ABE≌△DAF；
(2)若∠AGB＝30°，求EF的长．
(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD.
在△ABE和△DAF中，

∴△ABE≌△DAF.
基础考点针对训练

(2) 解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠1＋∠4＝90°.
∵∠3＝∠4，
∴∠1＋∠3＝90°，
∴∠AFD＝90°.
在正方形ABCD中， AD∥BC，
∴∠1＝∠AGB＝30°.
在Rt△ADF中，∠AFD＝90°，AD＝2，
∴AF＝ ，DF＝1.
由(1)得△ABE≌△DAF，
∴AE＝DF＝1，
∴EF＝AF－AE＝ －1.
例8 在一个平行四边形中，若一个角的平分线把一条边分成长是2cm和3cm的两条线段，求该平行四边形的周长是多少.
解：如图，∵在平行四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC，AD∥BC，
∴∠AEB=∠CBE．
又∠ABE=∠CBE,
∴∠ABE=∠AEB,
∴AB=AE．
（1）当AE=2时，则平行四边形的周长=2(2+5)=14．
（2）当AE=3时，则平行四边形的周长=2(3+5)=16．
分类讨论思想
核心素养培养
平行四边形的性质与判定中要是出现角平分线，常与等腰三角形的性质和判定结合起来考查，当边指向不明时需要分类讨论，常见的的模型如下：
方法总结
例9 如图，折叠长方形一边AD，点D落在BC边的点F处，BC=10cm，AB=8cm，求：
（1）FC的长；
（2）EF的长．
方程思想
解：（1）由题意得AF=AD=10cm，
在Rt△ABF中，∵AB=8，
∴BF=6cm，
∴FC=BC-BF=10-6=4cm．
（2）由题意可得EF=DE，可设DE的长为x，
在Rt△EFC中，(8-x)2+42=x2，
解得x=5，
即EF的长为5cm．
核心素养培养
例10 如图，平行四边形ABCD中，AC、BD为对角线，其交点为O，若BC=6，BC边上的高为4，试求阴影部分的面积．
转化思想
解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD.
∵AB∥CD，
∴∠EAO=∠HCO.
又∵ ∠AOE＝∠COH，
∴△AEO≌△CHO（ASA），
同理可得△OAQ≌△OCG，△OPD≌△OFB，
∴S阴影=S△BCD，
则S△BCD= S平行四边形ABCD= ×6×4=12．
E
H
Q
G
F
P
核心素养培养
感谢您的聆听