人教版八年级数学下册课件：18.2特殊的平行四边形—2.3正方形（2）(共30张PPT)

复习备用
四边形
矩形
有一个角是直角或对角线相等
平行四边形
三个角是直角
复习备用
四边形
菱形
一组邻边相等或对角线垂直
平行四边形
四条边都相等
人教版八年级数学下册
第十八章 平行四边形
18.2 特殊的平行四边形
2.3 正方形（2）
——正方形的判定
1.知道正方形、菱形、矩形、平行四边形之间的
关系.
2.掌握正方形不同的判定方法，能根据已知条件选择正确的方法判定正方形.
3.能利用特殊平行四边形的性质与判定解决相关的几何问题．
4.探究正方形的轴对称性，及其与等腰直角三
角形的关系．
重点:正方形的判定方法.
难点:综合运用特殊平行四边形的性质与判定.
学习目标
重点难点
知识点一：正方形的判定
新知探究
?思考：正方形有哪些性质?如何判定一个四边形是正方形?把它们写出来，并和同学交流一下，然后证明其中的一些结论.
知识点一：正方形的判定
正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形，也是特殊的菱形.
正方形的性质=
新知探究
新知归纳
知识点一：正方形的判定
正方形
矩形
有一组邻边相等
菱形
有一个角是直角
有一组邻边相等
有一个角是直角
平行四边形
有一个角是直角
有一组邻边相等
新知归纳
知识点一：正方形的判定
判定一个四边形是正方形，就要判定它既是矩形，又是菱形.具体判定方法如下：
?对角线互相垂直的矩形是正方形;
?对角线相等的菱形是正方形;
?对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形;
?有一个角是直角的菱形是正方形
?有一组邻边相等的矩形是正方形
典例讲评
例1 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为E，F. 求证：四边形CFDE是正方形．
知识点一：正方形的判定
证法一：∵DE⊥BC，DF⊥AC
∴∠ECF＝∠CFD＝∠CED＝90°，
∴四边形CFDE是矩形．
∵CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，
∴DE＝DF，∴矩形CFDE是正方形．
典例讲评
证法一：∵DE⊥BC，AC⊥BC，∴DE∥CF.
同理DF∥CE，
∴四边形CFDE是平行四边形．
∵CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，
∴DE＝DF，∴□ CFDE是菱形．
∵∠ACB＝90°，∴菱形CFDE是正方形．
知识点一：正方形的判定
新知归纳
知识点一：正方形的判定
证明条件中不含对角线的四边形是正方形的四种方法：
方法1：证：“四边形＋四边相等＋四个直角”；
方法2：证：“平行四边形＋一组邻边相等＋一个直角”；
方法3：证：“矩形＋一组邻边相等”；
方法4：证：“菱形＋一个直角”．
合作探究
知识点一：正方形的判定
互动探究? 正方形的判定与证明
1.下列命题中，正确的是( )
A.四边相等的四边形是正方形
B.四角相等的四边形是正方形
C.对角线垂直的平行四边形是正方形
D.对角线相等的菱形是正方形.
2.两条对角线相等且互相垂直平分的四边形是( )
A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形
D
D
合作探究
知识点一：正方形的判定
互动探究? 正方形的判定与证明
3.在△ABC中，点D，E，F分别在BC，AB，CA上，且DE∥AC，DF∥AB，连接EF，则下列三种说法:
①如果EF＝AD，那么四边形AEDF是矩形;
②如果EF⊥AD，那么四边形AEDF是菱形;
③如果AD⊥BC且AB＝AC，那么四边形AEDF是正方形
其中正确的有( )
A.3个 B.2个 C.1个 D.0个
B
合作探究
知识点一：正方形的判定
互动探究? 正方形的判定与证明
4.如图，点E是正方形ABCD外一点，点F是线段AE上一点，△EBF是等腰直角三角形，其中∠EBF＝90°，连接CE、CF.
(1)求证:△ABF≌△CBE
(2)判断△CEF的形状，并说明理由.
新知探究
知识点二：正方形的对称性
O
A
B
C
D
(A)
(B)
(C)
(D)
正方形的对称性：
正方形是中心对称图形，对称中心为点O；
又是轴对称图形，有四条对称轴.
典例讲评
例2 如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且EC
=2AE，直角三角形FEG的两直角边EF、EG分别交BC、DC于点M、N.若正方形ABCD的边长为a，则重叠部分四边形EMCN的面积为(　　)
A. a2　　 B. a2　
C. a2　 　D. a2
知识点二：正方形的对称性
D
学以致用
1. 如图，菱形ABCD的面积为120 cm2，正方形AECF的面积为50 cm2，则菱形的边长为________．
2.将五个边长都为2 cm的正方形按如图所示方式摆放，点A，B，C，D分别是四个正方形的中心，则图中四块阴影部分面积的和为(　　)
A.2 cm2 B.4 cm2 C.6 cm2 D.8 cm2
知识点二：正方形的对称性
13cm
B
学以致用
3.如图，正方形ABCD的边长为1，点E，F分别是对角线AC上的两点，EG⊥AB，EI⊥AD，FH⊥AB，FJ⊥AD，垂足分别为G，I，H，J，则图中阴影部分的面积等于( )
A.1 B. C. D.
B
知识点二：正方形的对称性
学以致用
4.如图,点E在正方形ABCD的对角线AC上,E为AC的中点,Rt△FEG的两条直角边EF，EG分别交BC,DC于点M,N.若正方形ABCD的边长为a,则阴影部分即四边形EMCN的面积为( )
B
知识点二：正方形的对称性
A. a2　　 B. a2　 C. a2　 　D. a2
新知探究
知识点三：平行四边形与特殊平行四边形之间的关系
5种识别方法
一个角是直角
或对角线相等
一组邻边相等
或对角线垂直
一组邻边相等
或对角线垂直
一个角是直角
或对角线相等
一个角是直角且一组邻边相等
四边形
平行四边形
矩形
菱形
正方形
四条边相等
三个角是直角
典例讲评
例3 如图，已知在□ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是BD的延长线上的点，且EA＝EC.
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
知识点三：平行四边形与特殊平行四边形之间的关系
证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，
∵EA＝EC，
∴EO⊥AC，即BD⊥AC，
∴四边形ABCD是菱形．
典例讲评
例3 如图，已知在□ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是BD的延长线上的点，且EA＝EC.(2)若∠DAC＝∠EAD＋∠AED，
求证：四边形ABCD是正方形．
知识点三：平行四边形与特殊平行四边形之间的关系
(2)∵∠ADO＝∠EAD＋∠AED，∠DAC＝∠EAD＋∠AED，
∴∠ADO＝∠DAC，∴AO＝DO，
∵四边形ABCD是菱形，∴AC＝2AO，BD＝2DO，
∴AC＝BD，∴四边形ABCD是正方形.
归纳总结
证明条件中含对角线的四边形是正方形的方法：
(1)证：“四边形＋对角线互相垂直、平分且相等”；
(2)证：“平行四边形＋对角线互相垂直且相等”；
(3)证：“矩形＋对角线互相垂直”；
(4)证：“菱形＋对角线相等”．
知识点三：平行四边形与特殊平行四边形之间的关系
学以致用
1.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，不添加任何辅助线，请添加一个条件_________，使四边形ABCD是正方形．
知识点三：平行四边形与特殊平行四边形之间的关系
∠BAD＝90°
2.下列判断错误的是(　　)
A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
B．四个内角都相等的四边形是矩形
C．四条边都相等的四边形是菱形
D．两条对角线垂直且互相平分的四边形是正方形
D
学以致用
3.在矩形ABCD中，M，N，P，Q分别为边AB，BC，CD，DA上的点(不与端点重合)，对于任意矩形ABCD，下面四个结论中，
①存在无数个四边形MNPQ是平行四边形
②存在无数个四边形MNPQ是矩形
③存在无数个四边形MNPQ是菱形;
④至少存在一个四边形MMPQ是正方形
所有正确结论的序号是 .
①②③
知识点三：平行四边形与特殊平行四边形之间的关系
学以致用
4.小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件：①AB＝BC；②∠ABC＝90°；③AC＝BD；④AC⊥BD中选两个作为补充条件，使□ABCD为正方形(如图)，现有下列四种选法，
你认为其中错误的是(　　)
A．①② B．②③ C．①③ D．②④
B
知识点三：平行四边形与特殊平行四边形之间的关系
学以致用
5.四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，假设有下列条件:①AB＝AD;②∠DAB＝90°;③AO＝CO，BO＝DO;
④四边形ABCD为矩形;⑤四边形ABCD为菱形;⑥四边形ABCD为正方形则下列推理不成立的是( )
A.①④→⑥ B.①③→⑤
C.①②→⑥ D.②③→④
C
知识点三：平行四边形与特殊平行四边形之间的关系
思维导图
四边形
矩形
正方形
菱形
平行四边形
满足一个条件
满足一个条件
满足一个条件
同时满足
对自己说，你有什么收获？
对同学说，你有什么温馨提示？
对老师说，你还有什么困惑？
蓦然回首
1.课本第60页练习第3题以及习题18.2第13-17题；

2.《导学测评》；
作业布置