人教版八年级下册数学 17.1勾股定理（共30张PPT)

17.1 勾股定理
勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
活 动 1
a
b
c
A
B
C
如果在Rt△ ABC中，∠C=90°,
那么
结论变形
c2 = a2 + b2
a
b
c
A
B
C
（1）求出下列直角三角形中未知的边．
6
10
A
C
B
8
A
15
C
B
练 习
30°
2
2
45°
思考：
①在解决上述问题时，每个直角三角形需知道几个条件？
②直角三角形哪条边最长？
1 、下列阴影部分是一个正方形，求此正方形的面积
15厘米
17厘米
解：设正方形的边长为x厘米 , 则由勾股定理，得
x2=172-152
x2=64
答：正方形的面积是64平方厘米。
练一练
D
A
B
C
例2 蚂蚁沿图中的折线从A点爬到D点，一共爬了多少厘米？（小方格的边长为1厘米）
G
F
E
(1)如图在△ABC中，∠ACB=90?， CD⊥AB，D为垂足，AC=2.1cm,BC=2.8cm.
求① △ABC的面积；
②斜边AB的长；
③斜边AB上的高CD的长。
D
A
B
C
活 动 2
（2）一个门框尺寸如下图所示．
①若有一块长3米，宽0.8米的薄木板，问怎样从门框通过？
②若薄木板长3米，宽1.5米呢？
③若薄木板长3米，宽2.2米呢？为什么？
A
B
C
1 m
2 m
∵木板的宽2.2米大于1米，
∴ 横着不能从门框通过；
∵木板的宽2.2米大于2米，
∴竖着也不能从门框通过．
∴ 只能试试斜着能否通过，对角线AC的长最大，因此需要求出AC的长，怎样求呢？
想一想
　　例1　一个门框的尺寸如图所示，一块长3 m，宽
2.2 m的长方形薄木板能否从门框内通过？为什么？
　　解：在Rt△ABC中，根据勾股
定理，得　
AC2=AB2+BC2=12+22=5．
　 AC= ≈2.24．
因为 大于木板的宽2.2 m，所以
木板能从门框内通过．
A
B
C
D
1 m
2 m
（3）有一个边长为50dm 的正方形洞口，想用一个圆盖去盖住这个洞口，圆的直径至少多长？
50dm
A
B
C
D
解：∵在Rt△ ABC中，∠B=90°,
AC=BC=50,
∴由勾股定理可知：
答：圆的直径至少是71 dm.
例1：一个2.5m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AC上，这时AC的距离为2.4m．如果梯子顶端A沿墙下滑0.4m，那么梯子底端B也外移0.4m吗？


D
E
解：在Rt△ABC中，
∵∠ACB=90°
∴ AC2+ BC2＝AB2
2.42+ BC2＝2.52
∴BC＝0.7m
由题意得：DE＝AB＝2.5m
DC＝AC－AD＝2.4－0.4＝2m
在Rt△DCE中，
∴BE＝1.5－0.7＝0.8m≠0.4m
答；梯子底端B不是外移0.4m
∵∠DCE=90°
∴ DC2+ CE2＝DE2
22+ BC2＝2.52
∴CE＝1.5m
拓展提高　形成技能　
　　今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，
适与岸齐．问水深、葭长各几何？
　　利用勾股定理解决实际问题
的一般思路：
（1）重视对实际问题题意的
正确理解；
（2）建立对应的数学模型，
运用相应的数学知识；
　 （3）方程思想在本题中的运
用．
A
B
C
例3:在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题这个问题意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形,在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？
D
A
B
C
解:设水池的深度AC为X尺,
则芦苇高AD为 (X+1)尺.
根据题意得:
BC2+AC2=AB2
∴52+X2 =(X+1)2
25+X2=X2+2X+1
X=12
∴X+1=12+1=13
答:水池的深度为12尺,芦苇高为13尺.
巩固练习 　
　　如图，一棵树被台风吹折断后，树顶端落在离底端
3米处，测得折断后长的一截比短的一截长1米，你能计
算树折断前的高度吗？
例4:矩形ABCD如图折叠，使点D落在BC边上的点F处，已知AB=8，BC=10，求折痕AE的长。
A
B
C
D
F
E
解:设DE为X,
X
(8- X)
则CE为 (8－ X).
由题意可知:EF=DE=X,
X
AF=AD=10
10
10
8
∵∠B=90°
∴ AB2+ BF2＝AF2
82+ BF2＝102
∴BF＝6
∴CF＝BC－BF＝10－6＝4
6
4
∵∠C=90°
∴ CE2+CF2＝EF2
(8－ X)2+42=X2
64 －16X+X2+16=X2
80 －16X=0
16X=80
X=5
A
B
C
D
E
F
如右图将矩形ABCD沿直线AE折叠,顶点D恰好落在BC边上F处,已知CE=3,AB=8,则BF=___________。
如图，有一个直角三角形纸片，两直直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC沿∠CAB的
角平分线AD折叠，使它落在斜边AB上，且
与AE重合，你能求出CD的长吗？
A
E
C
D
B
例2：如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km,CB=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少km处？
C
A
E
B
D
x
25-x
解：设AE= x km，
根据勾股定理，得
AD2+AE2=DE2
BC2+BE2=CE2
又 ∵ DE=CE
∴ AD2+AE2= BC2+BE2
即：152+x2=102+（25-x)2
答：E站应建在离A站10km处。
∴ X=10
则 BE=（25-x）km
15
10
例6： 如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁从顶点A出发沿着正方体的外表面爬到顶点B的最短距离是（ 　）.
（A）3 （B )√ 5 （C）2 （D）1
A
B
A
B
C
2
1
分析： 由于蚂蚁是沿正方体的外表面爬行的，
故需把正方体展开成平面图形（如图）.
B
如图，一个圆柱形纸筒的底面周长是40cm，高
是30cm，一只小蚂蚁在圆筒底的A处，它想吃
到上底与下底面中间与A点相对的B点处的蜜糖，
试问蚂蚁爬行的最短的路程是多少？
.如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、
高分别为20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶
两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去
吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点的最
短路程是_________
一只蚂蚁从长为4cm、宽为3 cm，高是5 cm的
长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么
它所行的最短路线的长是____________cm。
A
B
◆在长30cm、宽50 cm、高40 cm的木箱中，如果在箱内的A处有一只昆虫，它要在箱壁上爬行到B处，至少要爬多远？
C
D
A
.
B
.
30
50
40
图①
30
50
40
C
D
A
.
B
.
A
D
C
B
30
50
40
C
C
D
A
.
B
.
A
C
B
D
图②
30
40
50
30
40
50
C
C
D
A
.
B
.
图③
50
A
D
C
B
40
30
30
40
50
活 动 3
（3）如图，分别以Rt △ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1、S2、S3表示，容易得出S1、S2、S3之间有的关系式为 ．
活 动 3
（3）变式：你还能求出S1、S2、S3之间的关系式吗？
S1
S2
S3
8.一架5长的梯子，斜立靠在一竖直的墙
上，这是梯子下端距离墙的底端3，若梯子
顶端下滑了1,则梯子底端将外移（ ）
9.如图，要在高3m,斜坡5m的楼梯表面铺
地毯，地毯的长度至少需（ ）米
10.把直角三角形两条直角边
同时扩大到原来的3倍，则其
斜边（ ）
A.不变 B.扩大到原来的3倍
C.扩大到原来的9倍 D.减小到原来的1/3
A
B
C
1
7
B
6．做一个长、宽、高分别为50厘米、40厘米、30厘米的木箱，一根长为70厘米的木棒能否放入，为什么？试用今天学过的知识说明．
问题解决
例1、如图，某隧道的截面是一个半径为3.6米的
半 圆形，一辆高2.4米、宽3米的卡车能通过隧
道吗？
O
A
B
解：
过点A作AB⊥OC于点B，
C
∵∠ABO=90°
∴AB2+OB2=OA2
且OA=3.6，OB=1.5
∴AB2+1.52=3.62
∴AB≈3.27