第六章 6.2 6.2.4
1．若|m|＝4，|n|＝6，m与n的夹角为135°，则m·n＝( C )
A．12
B．12
C．－12
D．－12
[解析] m·n＝|m||n|cos
θ＝4×6×cos
135°＝－12.
2．在等腰直角三角形ABC中，若∠C＝90°，AC＝，则·的值等于( B )
A．－2
B．2
C．－2
D．2
[解析] ·＝||||cos∠ABC＝2××cos
45°＝2．
3．(2020·全国Ⅲ理)已知向量a，b满足|a|＝5，|b|＝6，a·b＝－6，则cos〈a，a＋b〉＝( D )
A．－
B．－
C．
D．
[解析] ∵|a|＝5，|b|＝6，a·b＝－6，
∴a·(a＋b)＝|a|2＋a·b＝52－6＝19．
|a＋b|＝＝
＝＝7，
因此，cos〈a，a＋b〉＝＝＝.故选D．
4．已知平面上三点A，B，C，满足||＝3，||＝4，||＝5，则·＋·＋·的值等于( D )
A．－7
B．7
C．25
D．－25
[解析] 解法1：由条件知∠ABC＝90°，
所以原式＝0＋4×5cos(180°－C)＋5×3cos(180°－A)＝－20cos
C－15cos
A＝－20×－15×＝－16－9＝－25．
解法2：原式＝·(＋)＝·＝－||2＝－25．故选D．
5．已知a，b是非零向量，t为实数，设u＝a＋tb.
(1)当|u|取最小值时，求实数t的值；
(2)当|u|取最小值时，向量b与u是否垂直？
[解析] (1)|u|2＝|a＋tb|2＝|b|2t2＋2(a·b)t＋|a|2
＝|b|22＋|a|2－.
∵b是非零向量，∴|b|≠0，
∴当t＝－时，|u|＝|a＋tb|的值最小.
(2)∵b·(a＋tb)＝a·b＋t|b|2＝a·b＋＝a·b－a·b＝0，
∴b⊥(a＋tb)，即b⊥u.(共39张PPT)
第六章
平面向量及其应用
6.2 平面向量的运算
6.2.4 向量的数量积
必备知识·探新知
关键能力·攻重难
课堂检测·固双基
素养作业·提技能
素养目标·定方向
素养目标·定方向
素养目标
学法指导
1．理解平面向量的数量积的定义.(数学抽象)
2．了解投影向量的概念.(直观想象)
3．了解向量的数量积与实数的乘法的区别.(数学运算)
4．掌握向量数量积的性质及其运算律.(逻辑推理)
1．对于向量的学习，关键是用好类比，即类比数的运算以及类比物理中矢量的运算.
2．物理中功的模型有助于我们更好地理解向量的数量积运算.
3．在研究向量的数量积运算时，类似于数的乘法运算中经常要关注0一样，要特别重视零向量的特殊性.
4．向量的投影是高维空间到低维空间的一种线性变换，得到的是低维空间向量.
必备知识·探新知
向量的数量积
知识点1
0
π
0
π
a⊥b
2．向量的数量积
条件
非零向量a与b，它们的夹角为θ
结论
数量______________叫做向量a与b的数量积(或内积)
记法
向量a与b的数量积记作a·b，即a·b＝______________
规定
零向量与任一向量的数量积为____
|a||b|cos
θ
|a||b|cos
θ
0
向量a在向量b上
|a|cos
θe
[知识解读] (1)两向量的数量积，其结果是数量，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积，其符号由夹角的余弦值决定，而向量的加减和实数与向量的积的结果仍是向量.
(2)两个向量的数量积是两个向量之间的一种乘法，与以前学过的数的乘法是有区别的，在书写时一定要把它们严格区分开来，决不可混淆.
1．数量积的性质
设a，b是两个非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则
(1)a·e＝e·a＝___________.
(2)a⊥b?__________.
(3)当a，b同向时，a·b＝_________；当a，b反向时，a·b＝___________.特别地，a·a＝_______或|a|＝_____.
(4)|a·b|≤_________.
(5)cos
θ＝_____.
向量的数量积的性质及运算律
知识点2
|a|cos
θ
a·b＝0
|a||b|
－|a||b|
|a|2
|a||b|
2．数量积的运算律
对于向量a，b，c和实数λ，有
(1)a·b＝_______(交换律).
(2)(λa)·b＝__________＝__________(结合律).
(3)(a＋b)·c＝_____________(分配律).
b·a
λ(a·b)
a·(λb)
a·c＋b·c
[知识解读] 向量数量积的性质及其应用
性质(1)表明任意向量与单位向量的数量积等于这个向量在单位向量e上的投影向量的长度.
性质(2)可用于解决与两个非零向量垂直有关的问题.
性质(3)表明，当两个向量相等时，这两个向量的数量积等于向量的模的平方，因此可用于求向量的模.
性质(4)可以解决有关“向量不等式”的问题.
性质(5)的实质是平面向量数量积的逆用，可用于求两向量的夹角，也称为夹角公式.
关键能力·攻重难
(1)已知|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角为120°，试求：
①a·b；
②(a＋b)·(a－b)；
③(2a－b)·(a＋3b).
题型探究
题型一
平面向量的数量积
典例
1
[归纳提升] 求平面向量数量积的两个方法
(1)定义法：若已知向量的模及其夹角，则直接利用公式a·b＝|a||b|cos
θ.
注意：运用此法计算数量积的关键是正确确定两个向量的夹角，条件是两向量的始点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件.
(2)几何意义法：若已知一向量的模及另一向量在该向量方向上的投影向量，可利用数量积的几何意义求a·b.
B
0
－16
－16
[分析] 灵活应用a2＝|a|2求向量的模.
题型二
利用数量积解决求模问题
典例
2
3
(1)已知向量a，b满足(a＋2b)·(a－b)＝－6，且|a|＝1，|b|＝
2，则a与b的夹角为_____.
(2)已知|a|＝3，|b|＝2，向量a，b的夹角为60°，c＝3a＋5b，d＝ma－3b，求当m为何值时，c与d垂直？
[分析] (1)由向量的运算律结合向量的夹角公式求解.
(2)根据两向量垂直的充要条件建立关于m的方程进行求解.
题型三
两向量的夹角和垂直问题
典例
3
易错警示
典例
4
忽略向量共线的情形致错
A
课堂检测·固双基
素养作业·提技能第六章 6.2 6.2.4
A 组·素养自测
一、选择题
1．已知△ABC中，＝a，＝b，若a·b<0，则△ABC是( A )
A．钝角三角形
B．直角三角形
C．锐角三角形
D．任意三角形
[解析] 由a·b<0易知〈a，b〉为钝角.
2．对于向量a、b、c和实数λ，下列命题中真命题是( B )
A．若a·b＝0，则a＝0或b＝0
B．若λa＝0，则λ＝0或a＝0
C．若a2＝b2，则a＝b或a＝－b
D．若a·b＝a·c，则b＝c
[解析] A中，若a·b＝0，则a＝0或b＝0或a⊥b，故A错；C中，若a2＝b2，则|a|＝|b|，C错；D中，若a·b＝a·c，则可能有a⊥b，a⊥c，但b≠c，故只有选项B正确，故选B．
3．若向量a与b的夹角为60°，|b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则|a|＝( C )
A．2
B．4
C．6
D．12
[解析] ∵(a＋2b)·(a－3b)＝－72，
∴a2－a·b－6b2＝－72．
∴|a|2－|a||b|cos60°－6|b|2＝－72．
∴|a|2－2|a|－24＝0．又∵|a|≥0，∴|a|＝6．
4．已知非零向量a，b满足|b|＝4|a|，且a⊥(2a＋b)，则a与b的夹角为( C )
A．
B．
C．
D．
[解析] 由题意，得a·(2a＋b)＝2a2＋a·b＝0，即a·b＝－2a2，所以cos?a，b?＝＝＝－，所以?a，b?＝，故选C．
5．P是△ABC所在平面上一点，若·＝·＝·，则P是△ABC的( D )
A．外心
B．内心
C．重心
D．垂心
[解析] 由·＝·得·(－)＝0，即·＝0，∴PB⊥CA.
同理PA⊥BC，PC⊥AB，∴P为△ABC的垂心.
二、填空题
6．已知e1、e2是夹角为的两个单位向量，a＝e1－2e2，b＝ke1＋e2，若a·b＝0，则实数k的值为____.
[解析] 由a·b＝0得(e1－2e2)·(ke1＋e2)＝0．整理，得k－2＋(1－2k)cos＝0，解得k＝.
7．(2020·全国Ⅰ卷理)设a，b为单位向量，且|a＋b|＝1，则|a－b|＝____.
[解析] 因为a，b为单位向量，所以|a|＝|b|＝1，
所以|a＋b|＝＝＝＝1，解得2a·b＝－1，
所以|a－b|＝＝＝.
8．已知向量a，b，其中|a|＝，|b|＝2，且(a－b)⊥a，则|2a－b|＝__2__.
[解析] 设向量b和a的夹角是α，
因为|a|＝，|b|＝2，且(a－b)⊥a，
所以(a－b)·a＝a2－a·b＝2－a·b
＝2－2cos
α＝0，所以cos
α＝，
所以|2a－b|2＝4a2＋b2－4a·b
＝8＋4－4××2×＝4，故|2a－b|＝2．
三、解答题
9．已知|a|＝10，|b|＝12，a与b的夹角为120°，求：
(1)a·b；(2)(3a)·；
(3)(3b－2a)·(4a＋b).
[解析] (1)a·b＝|a||b|cosθ＝10×12×cos120°＝－60．
(2)(3a)·＝(a·b)＝×(－60)＝－36．
(3)(3b－2a)·(4a＋b)＝12b·a＋3b2－8a2－2a·b＝10a·b＋3|b|2－8|a|2＝10×(－60)＋3×122－8×102＝－968．
10．已知向量a与b的夹角为120°，|a|＝2，|b|＝3，m＝3a－2b，n＝2a＋kb.若m⊥n，求实数k的值.
[解析] 因为向量a与b的夹角为120°，|a|＝2，|b|＝3，
所以a·b＝|a|·|b|cos
120°＝2×3×＝－3．
又m⊥n且m＝3a－2b，n＝2a＋kb，
所以m·n＝(3a－2b)(2a＋kb)＝6a2＋(3k－4)a·b－2kb2＝0所以6×22＋(3k－4)·(－3)－2k×32＝0，所以k＝.
B 组·素养提升
一、选择题
1．(多选)下列命题中正确的是( ACD )
A．对于任意向量a、b，有|a＋b|≤|a|＋|b|
B．若a·b＝0，则a＝0或b＝0
C．对于任意向量a·b，有|a·b|≤|a||b|
D．若a、b共线，则a·b＝±|a||b|
[解析] 当a⊥b时，a·b＝0也成立，故B错误，A、C、D均正确.
2．定义：|a×b|＝|a|·|b|·sinθ，其中θ为向量a与b的夹角，若|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－6，则|a×b|等于( B )
A．－8
B．8
C．－8或8
D．6
[解析] 由|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－6，得cosθ＝－，sinθ＝，∴|a×b|＝|a|·|b|·sinθ＝2×5×＝8．
3．(2020·全国Ⅰ卷)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则·的取值范围是( A )
A．(－2,6)
B．(－6,2)
C．(－2,4)
D．(－4,6)
[解析] 如图，
的模为2，根据正六边形的特征，
可以得到在方向上的投影的取值范围是(－1,3)，结合向量数量积的定义式，
可知·等于的模与在方向上的投影的乘积，
所以·的取值范围是(－2,6)，
故选A．
4．已知△ABC中，若
2＝·＋·＋·，则△ABC是( C )
A．等边三角形
B．锐角三角形
C．直角三角形
D．钝角三角形
[解析] 解法1：由
2－·＝·＋·，
得·(－)＝·(－)，
即·＝·，∴·＋·＝0，
∴·(＋)＝0，则·＝0，即⊥，
所以△ABC是直角三角形，故选C．
解法2：由条件得2＝·(＋)＋·
＝2＋·，
∴·＝0，∴⊥.
二、填空题
5．若非零向量a，b满足|a|＝3|b|＝|a＋2b|，则a与b夹角的余弦值为__－__.
[解析] ∵|a|＝3|b|＝|a＋2b|，
∴|a|2＝9|b|2＝(a＋2b)2＝|a|2＋4|b|2＋4a·b，
∴a·b＝－|b|2，
∴cos〈a，b〉＝＝＝－.
6．如图所示，已知圆O为△ABC的外接圆，AB＝6，BC＝7，CA＝8，则·＋·＋·＝__－__.
[解析] ·＝||||cos(180°－∠BAO)，
∵||cos(180°－∠BAO)＝－||cos∠BAO＝－||，
∴·＝－||2，
同理，·＝－||2，·＝－||2，
∴·＋·＋·＝－×(62＋72＋82)＝－.
三、解答题
7．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61．
(1)求|a＋b|；
(2)求向量a在向量a＋b方向上的投影向量的长度.
[解析] (1)∵(2a－3b)·(2a＋b)＝61，
∴4|a|2－4a·b－3|b|2＝61．
∵|a|＝4，|b|＝3，∴a·b＝－6，
∴|a＋b|＝＝＝.
(2)∵a·(a＋b)＝|a|2＋a·b＝42－6＝10，
∴向量a在向量a＋b上的投影向量的长度为＝＝.
8．在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，以点A为圆心，r为半径作圆，如图所示，其中PQ为圆A的直径，试判断P，Q在什么位置时，·有最大值.
[解析] ∵＝－，＝－＝－－，
∴·＝(－)·(－－)
＝(－·)＋·－2＋·
＝·－r2＋(－)
＝·－r2＋·
＝||||cos∠BAC－r2＋·
＝bccos∠BAC－r2＋·.
当与同向时，·的最大值为||||＝ra，
即当与共线且同向时，·有最大值bccos∠BAC＋ar－r2．
