第六章 6.2 6.2.3
A 组·素养自测
一、选择题
1．点C在直线AB上，且＝3，则等于( D )
A．－2
B．
C．－
D．2
[解析] ＝－＝3－＝2.
2．(多选)下列说法中错误的是( ABC )
A．λa与a的方向不是相同就是相反
B．若a，b共线，则b＝λa
C．若|b|＝2|a|，则b＝±2a
D．若b＝±2a，则|b|＝2|a|
[解析] 对于A，λ＝0时，结论不成立；
对于B，a≠0时，结论成立；
对于C，|b|＝2|a|时，b与a不一定共线；
对于D，利用平面向量共线定理可知正确.
3．已知四边形ABCD是菱形，点P在对角线AC上(不包括端点A、C)，则＝( A )
A．λ(＋) λ∈(0,1)
B．λ(＋) λ∈(0，)
C．λ(－) λ∈(0,1)
D．λ(－) λ∈(0，)
[解析] 设P是对角线AC上的一点(不含A、C)，过P分别作BC、AB的平行线，设＝λ，则λ∈(0,1)，于是＝λ(＋)，λ∈(0,1).
4．如图，在正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点，那么＝( D )
A．－
B．＋
C．＋
D．－
[解析] ＝＋＝＋＝－.
5．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若＝2，＝＋λ，则λ等于( A )
A．
B．
C．－
D．－
[解析] (方法一)：由＝2，
可得－＝2(－)?＝＋，
所以λ＝.故选A．
(方法二)：＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，所以λ＝，故选A．
二、填空题
6．已知向量a，b不共线，实数x，y满足5xa＋(8－y)b＝4xb＋3(y＋9)a，则x＝__3__；y＝__－4__.
[解析] 因为a与b不共线，根据向量相等得解得
7．已知e1，e2是两个不共线的向量，而a＝k2e1＋e2与b＝2e1＋3e2是两个共线向量，则实数k＝__－2或__.
[解析] 由题设知＝，
所以3k2＋5k－2＝0，解得k＝－2或.
8．设D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，AD＝AB，BE＝BC.若＝λ1＋λ2(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为____.
[解析] 由已知＝－＝－
＝(－)＋＝－＋，
∴λ1＝－，λ2＝，从而λ1＋λ2＝.
三、解答题
9．已知两个非零向量e1、e2不共线，若＝2e1＋3e2，＝6e1＋23e2，＝4e1－8e2．求证：A、B、D三点共线.
[证明] ∵＝＋B＋
＝2e1＋3e2＋6e1＋23e2＋4e1－8e2
＝12e1＋18e2＝6(2e1＋3e2)＝6A，
∴∥.
又∵AD和AB有公共点A，∴A、B、D三点共线.
10．计算：(1)[(3a＋2b)－(a＋b)]－2(a＋b)；
(2)2(5a－4b＋c)－3(a－3b＋c)－7a.
[解析] (1)原式＝(2a＋b)－a－b
＝a＋b－a－b＝0．
(2)原式＝10a－8b＋2c－3a＋9b－3c－7a＝(10－3－7)a＋(－8＋9)b＋(2－3)c＝b－c.
B 组·素养提升
一、选择题
1．设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论正确的是( C )
A．a与－λa的方向相反
B．|－λa|≥|a|
C．a与λ2a的方向相同
D．|－λa|＝|λ|a
[解析] A错误，因为λ取负数时，a与－λa的方向是相同的；B错误，因为当|λ|<1时，该式不成立；D错误，等号左边的结果是一个数，而右边的结果是一个向量，不可能相等；C正确，因为λ2(λ≠0)一定是正数，故a与λ2a的方向相同.故选C．
2．在□ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线交CD于点F，若＝a，＝b，则＝( D )
A．a＋b
B．a＋b
C．a＋b
D．a＋b
[解析] 解法1：＝＋＝a＋＝a＋(－)＝a＋(－)＝a＋(b－a)＝a＋b.
解法2：＝a＋b＝，又＝，∴选D．
3．如图所示，向量、、的终点A、B、C在一条直线上，且＝－3.设＝p，＝q，＝r，则以下等式中成立的是( A )
A．r＝－p＋q
B．r＝－p＋2q
C．r＝p－q
D．r＝－q＋2p
[解析] ∵＝＋，＝－3＝3，
∴＝.
∴＝＋＝＋(－).
∴r＝q＋(r－p).
∴r＝－p＋q.
4．O为平面上的一定点，A、B、C是平面上不共线的三个动点，动点P满足＝＋λ(＋)，λ∈[0，＋∞)，则P的轨迹一定通过△ABC的( B )
A．外心
B．内心
C．重心
D．垂心
[解析] 由＝＋λ(＋)，则－＝λ(＋)，则＝λ(＋).
而是与同向的单位向量，是与同向的单位向量，以这两个单位向量为邻边作平行四边形AB1P1C1，易得平行四边形AB1P1C1是菱形，对角线AP1平分∠B1AC1，且＝，＝，所以＋＝＋＝，则＝λ.
由λ∈[0，＋∞)，可知点P在∠BAC的平分线上，即动点P的轨迹经过△ABC的内心.
二、填空题
5．已知在△ABC所在的平面内有一点P，满足＋＋＝，则△PBC与△ABC的面积之比是__2︰3__.
[解析] 因为＋＋＝，所以＝－－＝＋＋＝2，所以点P在边CA上，且是靠近点A一侧的三等分点，所以△PBC和△ABC的面积之比为2︰3．
6．设点O在△ABC的内部，点D，E分别为边AC，BC的中点，且|＋2|＝1，则|＋2＋3|＝__2__.
[解析] 如题图所示，易知|＋2＋3|＝|＋＋2(＋)|＝|2＋4|＝2|＋2|＝2．
三、解答题
7．如图，已知E、F、G、H分别是四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，用向量法证明：四边形EFGH是平行四边形.
[证明] 在△BCD中，
∵G，F分别是CD，CB的中点，
∴＝，＝.
∴＝－＝－＝.
同理＝.
∴＝，即与共线.
又∵G、F、H、E四点不在同一条直线上，
∴GF∥HE，且GF＝HE.
∴四边形EFGH是平行四边形.
8．在△ABC中，点P是AB上一点，且＝＋，Q是BC的中点，AQ与CP的交点为M，且＝t，求t的值.
[解析] ∵＝＋，
∴3＝2＋，
即2－2＝－.
∴2＝，
即P为AB的一个三等分点(靠近点A)，如图所示.
∵A，M，Q三点共线，
∴设＝x＋(1－x)＝＋(x－1)，
又＝－，
∴＝＋(－1).
又＝－＝－，且＝t，
∴＋(－1)＝t(－).
∴解得t＝.(共40张PPT)
第六章
平面向量及其应用
6.2 平面向量的运算
6.2.3 向量的数乘运算
必备知识·探新知
关键能力·攻重难
课堂检测·固双基
素养作业·提技能
素养目标·定方向
素养目标·定方向
素养目标
学法指导
1．了解向量数乘的概念并理解数乘运算的几何意义.(直观想象)
2．理解并掌握向量数乘的运算律，会进行向量的数乘运算.(数学运算)
3．理解并掌握两向量共线的性质及判定方法，并能熟练地运用这些知识处理有关向量共线问题.(逻辑推理)
1．要进一步深化类比实数的乘法运算，加强对向量的数乘运算的理解，并且感受两者的差异.
2．类比三角函数伸缩变换的特征感受向量的数乘运算中向量伸缩的含义，进一步理解两个平面向量共线的含义.
3．进一步深化对线性运算几何意义的理解，把握平面几何中位置关系与向量共线之间的联系.
必备知识·探新知
向量的数乘运算
知识点1
向量
数乘
|λ||a|
相同
相反
2．向量数乘的运算律
设λ，μ为实数，那么
(1)λ(μa)＝________.
(2)(λ＋μ)a＝_________.
(3)λ(a＋b)＝_________.
特别地，我们有(－λ)a＝－λa＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb.
(λμ)a
λa＋μa
λa＋λb
3．向量的线性运算
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.向量线性运算的结果仍是向量.对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝_____________.
λμ1a±λμ2b
[知识解读] (1)λa的几何意义就是把向量a沿着a的方向或反方向扩大或缩小|λ|倍.
(2)λ是实数，a是向量，它们的积λa仍然是向量.实数与向量可以相乘，但是不能相加减，如λ＋a，λ－a均没有意义.
(3)注意向量数乘的特殊情况：
①若λ＝0，则λa＝0；
②若a＝0，则λa＝0．
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使________.
向量共线定理
知识点2
b＝λa
关键能力·攻重难
[分析] 运用向量数乘的运算律求解.
题型探究
题型一
向量的线性运算
典例
1
[归纳提升] 向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在向量线性运算中也可以使用，但是在这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数.
C
A
[解析] (1)①③④正确，②错，7(a＋b)－8b＝7a＋7b－8b＝7a－b.
(2)3(a＋2b)－2(3b＋c)－2(a＋b)＝(3－2)a＋(6－6－2)b－2c＝a－2(b＋c)＝a－2a＝－a.
题型二
用向量的线性运算表示未知向量
典例
2
[归纳提升] 解决此类问题的思路一般是将所表示向量置于某一个三角形内，用减法法则表示，然后逐步用已知向量代换表示.
D
题型三
共线向量定理及其应用
典例
3
(2)∵ka＋b与a＋kb共线，
∴存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)
即ka＋b＝λa＋λkb，∴(k－λ)a＝(λk－1)b，
∵a、b是不共线的两个非零向量，
∴k－λ＝λk－1＝0，∴k2－1＝0．∴k＝±1．
2．利用向量共线求参数的方法
判断、证明向量共线问题的思路是根据向量共线定理寻求唯一的实数λ，使得b＝λa(a≠0).而已知向量共线求λ，常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解.若两向量不共线，必有向量的系数为零，利用待定系数法建立方程，从而解方程求得λ的值.
易错警示
典例
4
进行向量的线性运算时忽略图形的性质
[误区警示] 在根据平面几何图形进行化简、证明时，要准确应用平面几何图形的性质.应根据题意判断所给图形是否是特殊图形，不能盲目运用特殊图形的性质进行求解.
课堂检测·固双基
素养作业·提技能第六章 6.2 6.2.3
1．(2a－b)－(2a＋b)等于( B )
A．a－2b
B．－2b
C．0
D．b－a
2．已知λ、μ∈R，下面式子正确的是( C )
A．λa与a同向
B．0·a＝0
C．(λ＋μ)a＝λa＋μa
D．若b＝λa，则|b|＝λ|a|
[解析] 对A，当λ>0时正确，否则错误；对B,0·a是向量而非数0；对D，若b＝λa，则|b|＝|λa|.
3．设e1，e2是两个不共线的向量，若向量m＝－e1＋ke2(k∈R)与向量n＝e2－2e1共线，则( D )
A．k＝0
B．k＝1
C．k＝2
D．k＝
[解析] 当k＝时，m＝－e1＋e2，n＝－2e1＋e2．
∴n＝2m，此时m，n共线.
4．如图，已知AM是△ABC的边BC上的中线，若＝a，＝b，则等于( C )
A．(a－b)
B．－(a－b)
C．(a＋b)
D．－(a＋b)
[解析] ＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝(a＋b).
5．如图所示，已知＝，用，表示.
[解析] ＝＋＝＋＝＋(－)＝－＋.
