第六章 6.1
1．下列说法中，正确的个数是( B )
①零向量是没有方向的；
②向量的模是一个正实数；
③相等向量一定是平行向量；
④向量a与b不共线，则a与b都是非零向量.
A．1
B．2
C．3
D．4
[解析] 对于①，零向量的方向是任意的，故①错误；对于②，零向量的模为0，故②错误；③正确，相等向量的方向相同，因此一定是平行向量；④显然正确.
2．在同一平面上，把平行于某一直线的一切向量的始点放在同一点，那么这些向量的终点所构成的图形是( B )
A．一条线段
B．一条直线
C．圆上一群孤立的点
D．一个半径为1的圆
[解析] 由于向量的起点确定，而向量平行于同一直线，所以随着向量模长的变化，向量的终点构成的是一条直线.
3．(多选)下列说法错误的有( ABCD )
A．共线的两个单位向量相等
B．相等向量的起点相同
C．若∥，则一定有直线AB∥CD
D．若向量，共线，则点A，B，C，D必在同一直线上
[解析] A错，共线的两个单位向量的方向可能相反；B错，相等向量的起点和终点都可能不相同；C错，直线AB与CD可能重合；D错，AB与CD可能平行，则A，B，C，D四点不共线.
4．如图，四边形ABCD是平行四边形，则图中相等的向量是__(1)(4)__(填序号).
(1)与；(2)与；(3)与；(4)与.
[解析] 由平行四边形的性质和相等向量的定义可知：
＝，≠；≠，＝.
5．已知A，B，C是不共线的三点，向量m与向量是平行向量，与是共线向量，则m＝__0__.
[解析] 与不共线，零向量的方向是任意的，它与任意向量平行，所以唯有零向量才能同时与两个不共线向量平行.(共35张PPT)
第六章
平面向量及其应用
6.1 平面向量的概念
必备知识·探新知
关键能力·攻重难
课堂检测·固双基
素养作业·提技能
素养目标·定方向
素养目标·定方向
素养目标
学法指导
1．理解向量的有关概念及向量的几何表示.(直观想象)
2．理解共线向量、相等向量的概念.(数学抽象)
3．正确区分向量平行与直线平行.(逻辑推理)
4．能够利用向量知识解决实际问题，培养数学建模能力.(数学建模)
1．向量是一个既有大小又有方向的量，学习时可以结合物理中的矢量来学习，同时对比数量来感受要素的差异.
2．向量可以用有向线段来表示，因而必然具备有向线段的三要素：起点、方向、长度.学习向量的有关概念时注意类比有向线段，通过对特殊向量的认识，逐步把握向量的特征.
3．相等向量与共线向量之间有一些特殊关系，要善于对比数量特征加深认识.
必备知识·探新知
1．向量的概念
(1)向量：既有_______又有_______的量叫做向量.
(2)数量：只有大小没有_______的量称为数量.
向量的基本概念与表示
知识点1
大小
方向
方向
方向
起点
方向
长度
3．向量的表示方法
有向线段
大小
方向
4．向量的相关概念
0
1个单位长度
1．平行向量：方向_____________的非零向量叫做平行向量，向量a与b平行，记作_______；规定：零向量与任意向量_______，即对任意向量a，都有_______.
2．相等向量：长度_______且方向_______的向量叫做相等向量，记作a＝b.
3．共线向量：平行向量也叫做共线向量.
相等向量与共线向量
知识点2
相同或相反
a∥b
平行
0∥a
相等
相同
[知识解读] 1．理解平行向量的概念时，需注意，平行向量和平行直线是有区别的，平行直线不包括重合的情况，而平行向量是可以重合的.
2．共线向量就是平行向量，其中“共线”的含义不是平面几何中“共线”的含义.实际上，共线向量(平行向量)有以下四种情况：方向相同且模相等；方向相同且模不等；方向相反且模相等；方向相反且模不等.这样，也就找到了共线向量与相等向量的关系，即共线向量不一定是相等向量，而相等向量一定是共线向量.共线向量是相等向量的必要条件.
关键能力·攻重难
题型探究
题型一
向量的有关概念
典例
1
③④
[分析] 利用向量定义、相等向量、单位向量的定义进行判断.
[解析] 时间不是向量，故①不正确.
两个向量相等只要模相等且方向相同即可，而与起点和终点的位置无关，故②不正确.
单位向量的长度为1，当所有单位向量的起点在同一点O时，终点都在以O为圆心，1为半径的圆上，故③正确.
④显然正确，故所有正确命题的序号为③④.
[归纳提升] 解决与向量概念有关问题的关键是突出向量的核心——方向和长度.如：共线向量的核心是方向相同或相反，长度没有限制；相等向量的核心是方向相同且长度相等；单位向量的核心是方向没有限制，但长度都是一个单位长度；零向量的核心是方向没有限制，长度是0；规定零向量与任一向量共线.只有紧紧抓住概念的核心才能顺利解决与向量概念有关的问题.
【对点练习】? 下列说法中正确的是
( )
A．数量可以比较大小，向量也可以比较大小
B．方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小
C．向量的大小与方向有关
D．向量的模可以比较大小
[解析] 不管向量的方向如何，它们都不能比较大小，故A、B不正确；向量的大小即为向量的模，指的是有向线段的长度，与方向无关，故C不正确；向量的模是一个数量，可以比较大小，故D正确.
D
[分析] 先确定好向量的起点和终点，用有向线段表示出所求向量.
题型二
向量的几何表示及应用
典例
2
题型三
共线向量与相等向量
典例
3
[归纳提升] 相等向量与共线向量的探求方法
寻找相
等向量
先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线
寻找共
线向量
先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量
①②③
给出下列四个命题：①若|a|＝0，则a＝0；②若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；③若a∥b，则|a|＝|b|；④若a∥b，b∥c，则a∥c.其中，正确的命题有
( )
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
[错解] D
[错因分析] 对向量的有关概念的理解错误，将向量的模与绝对值混淆.
易错警示
典例
4
混淆向量的有关概念
A
[正解] ①忽略了0与0的区别，a＝0；②混淆了两个向量的模相等和两个实数相等，两个向量的模相等，只能说明它们的长度相等，它们的方向并不确定；③两个向量平行，可以得出它们的方向相同或相反，未必得到它们的模相等；④当b＝0时，a、c可以为任意向量，故a不一定平行于c.
[误区警示] 明确向量及其相关概念的联系与区别：
(1)区分向量与数量：向量既强调大小，又强调方向，而数量只与大小有关.
(2)零向量和单位向量都是通过模的大小来确定的.零向量的方向是任意的.
(3)平行向量也叫共线向量，当两共线向量的方向相同且模相等时，两向量为相等向量.
【对点练习】? 下列说法正确的是
( )
A．平行向量就是向量所在直线平行的向量
B．长度相等的向量叫相等向量
C．零向量的长度为0
D．共线向量是在一条直线上的向量
[解析] 平行向量所在直线可以平行也可以重合，故A错；长度相等，方向不同的向量不是相等向量，故B错；共线向量即平行向量，不一定在同一条直线上，故D错.故选C．
C
课堂检测·固双基
素养作业·提技能第六章 6.1
A 组·素养自测
一、选择题
1．下列说法正确的是( C )
A．若|a|>|b|，则a>b
B．若|a|＝|b|，则a＝b
C．若a＝b，则a∥b
D．若a≠b，则a与b不是共线向量
[解析] A中向量不能比较大小，B中向量模相等，可能方向不同，D中不相等的向量可能方向相同或相反，可以是共线向量，于是A、B、D都是错误的，C显然正确.
2．某人向正东方向行进100米后，再向正南方向行进100米，则此人位移的方向是( C )
A．南偏东60°
B．南偏东45°
C．南偏东30°
D．南偏东15°
[解析] 如图所示，此人从点A出发，经由点B，到达点C，则tan∠BAC＝＝，
∴∠BAC＝60°，即位移的方向是东偏南60°，即南偏东30°，应选C．
3．正n边形有n条边，它们对应的向量依次为a1，a2，a3，…，an，则这n个向量( D )
A．都相等
B．都共线
C．都不共线
D．模都相等
[解析] 正n边形n条边相等，故这n个向量的模都相等.
4．设O是正方形ABCD的中心，则向量，，，是( D )
A．相等的向量
B．平行的向量
C．有相同起点的向量
D．模相等的向量
[解析] 这四个向量的模相等.
5．如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，图中与平行的向量有( C )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
[解析] 根据向量的基本概念可知与平行的向量有，，，共3个.
二、填空题
6．零向量与单位向量的关系是__共线__(填“共线”“相等”“无关”).
7．如图，B，C是线段AD的三等分点，分别以图中各点为起点和终点，最多可以写出__6__个互不相等的非零向量.
[解析] 模为1个单位的向量有2个，如，；模为2个单位的向量有2个，如，；模为3个单位的向量有2个，如，，故共有6个.
8．如图，已知四边形ABCD为正方形，△CBE为等腰直角三角形，回答下列问题：
(1)图中与共线的向量有__，，，，，，__；
(2)图中与相等的向量有__，__；
(3)图中与模相等的向量有__，，，，，，，，__.
三、解答题
9．如图，以1×2方格纸中的格点(各线段的交点)为起点和终点的向量中，
(1)写出与、相等的向量；
(2)写出与模相等的向量.
[解析] (1)与相等的向量为、，与相等的向量为.
(2)，，.
10．如图所示，4×3的矩形(每个小方格都是单位正方形)，在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中，试问：
(1)与相等的向量共有几个；
(2)与平行且模为的向量共有几个？
(3)与方向相同且模为3的向量共有几个？
[解析] (1)与向量相等的向量共有5个(不包括本身).
(2)与向量平行且模为的向量共有24个.
(3)与向量方向相同且模为3的向量共有2个.
B 组·素养提升
一、选择题
1．如图所示，在⊙O中，向量，与是( C )
A．有相同始点的向量
B．共线向量
C．模相等的向量
D．相等的向量
2．等腰梯形ABCD中，对角线AC与BD相交于点P，点E，点F分别在两腰AD，BC上，EF过点P且EF∥AB，则下列等式正确的是( D )
A．＝
B．＝
C．＝
D．＝
[解析] 由相等向量的定义，显然＝.
3．已知A＝{与a共线的向量}，B＝{与a长度相等的向量}，C＝{与a长度相等，方向相反的向量}，其中a为非零向量，则下列命题中错误的是( B )
A．C?A
B．A∩B＝{a}
C．C?B
D．A∩B?{a}
[解析] 因为A∩B中还含有a方向相反的向量，所以B错.
4．(多选)如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝120°，则以下说法正确的是( ABC )
A．与相等的向量只有一个(不含)
B．与的模相等的向量有9个(不含)
C．的模恰好为的模的倍
D．与不共线
[解析] 与相等的向量只有，A正确；由已知条件可得||＝||＝||＝||＝||＝||＝||＝||＝||＝||，B正确；如图，过点B作DA的垂线交DA的延长线于E，因为∠DAB＝120°，四边形ABCD为菱形，所以∠BDE＝∠ABE＝30°，在Rt△BED中，||＝，在Rt△AEB中，||＝||＝||，所以||＝＝||，C正确；与方向相同，大小相等，故＝，与共线，D错误.故选ABC．
二、填空题
5．把同一平面内所有模不小于1，不大于2的向量的起点，移到同一点O，则这些向量的终点构成的图形的面积等于__3π__.
[解析] 这些向量的终点构成的图形是一个圆环，其面积为π·22－π·12＝3π.
6．有下列说法：
①若a≠b，则a一定不与b共线；
②若＝，则A，B，C，D四点是平行四边形的四个顶点；
③在□ABCD中，一定有＝；
④若a＝b，b＝c，则a＝c；
⑤共线向量是在一条直线上的向量.
其中，正确的说法是__③④__.
[解析] ①两个向量不相等，可能是长度不相等，方向相同或相反，所以a与b有共线的可能，故①不正确；②A，B，C，D四点可能在同一条直线上，故②不正确；③在平行四边形ABCD中，||＝||，与平行且方向相同，所以＝，故③正确；④a＝b，则|a|＝|b|，且a与b方向相同；b＝c，则|b|＝|c|，且b与c方向相同，所以a与c方向相同且模相等，故a＝c，故④正确；⑤共线向量可以是在一条直线上的向量，也可以是所在直线互相平行的向量，故⑤不正确.
三、解答题
7．如图所示，已知四边形ABCD和四边形ABDE都是平行四边形.
(1)与相等的向量有哪些？
(2)与共线的向量有哪些？
(3)若||＝1.5，求||的大小.
[解析] (1)与相等的向量即与同向且等长的向量，有，.
(2)与共线的向量即与方向相同或相反的向量，有，，，，，，.
(3)若||＝1.5，则||＝||＝||＋||＝2||＝3．
8．如图所示的方格纸由若干个边长为1的小正方形组成，方格纸中有两个定点A，B，点C为小正方形的顶点，且||＝.
(1)画出所有的向量；
(2)求||的最大值与最小值.
[解析] (1)画出所有的向量如图所示.
(2)由(1)所画的图知，
①当点C位于点C1或C2时，||取得最小值＝；
②当点C位于点C5或C6时，||取得最大值＝.
∴||的最大值为，最小值为.
