第六章 6.2 6.2.1
1．若O、E、F是不共线的任意三点，则以下各式成立的是( B )
A．＝＋
B．＋＝
C．＝＋
D．＝＋
[解析] 可以画出图形，用三角形法则找出正确答案.
2．向量(＋)＋(＋)＋化简结果为( C )
A．
B．
C．
D．
[解析] 原式＝＋＋＋＋＝＋＋＝＋＝.
3．已知P为△ABC所在平面内一点，当＋＝成立时，点P位于( D )
A．△ABC的AB边上
B．△ABC的BC边上
C．△ABC的内部
D．△ABC的外部
[解析] 如图，＋＝，则P在△ABC的外部.
4．在平行四边形ABCD中，O是对角线的交点，下列结论正确的是( C )
A．＝，＝
B．＋＝
C．＋＝＋
D．＋＋＝
[解析] 因为＋＝，＋＝，所以＋＝＋.
5．(1)设a＝(＋)＋(＋)，b是任一非零向量，则在下列结论中，正确的序号为( C )
①a∥b；②a＋b＝a；③a＋b＝b；④|a＋b|<|a|＋|b|；
⑤|a＋b|＝|a|＋|b|.
A．①②
B．①③
C．①③⑤
D．③④⑤
(2)若向量a，b满足|a|＝8，|b|＝12，则|a＋b|的最小值是__4__.
(3)当非零向量a，b(a，b不共线)满足__|a|＝|b|__时，能使a＋b平分a，b的夹角.
[解析] (1)因为a＝(＋)＋(＋)＝＋＋＋＝0，所以①③⑤正确.
(2)由向量的三角形不等式，知|a＋b|≥|b|－|a|，当且仅当a与b反向，且|b|≥|a|时，等号成立，故|a＋b|的最小值为4．
(3)由向量加法的平行四边形法则知|a|＝|b|时，平行四边形为菱形，对角线平分一组内角.第六章 6.2 6.2.1
A 组·素养自测
一、选择题
1．(多选)下列等式中正确的是( ABD )
A．a＋0＝a
B．a＋b＝b＋a
C．|a＋b|＝|a|＋|b|
D．＝＋＋
[解析] 当a与b方向不同时，|a＋b|≠|a|＋|b|.
2．如图，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O，则＋＋＋等于( B )
A．
B．
C．
D．
[解析] ＋＋＋＝＋＋＋＝＋＋＝＋＝.
3．下列说法正确的个数为( B )
①如果非零向量a与b的方向相同或相反，那么a＋b的方向必与a与b的方向相同；
②在△ABC中，必有＋＋＝0；
③若＋＋＝0，则A，B，C一定为一个三角形的三个顶点；
④若a，b均为非零向量，则|a＋b|＝|a|＋|b|.
A．0
B．1
C．2
D．3
[解析] ①错，若a＋b＝0，则a＋b的方向是任意的；②正确；③错，当A，B，C三点共线时，也满足＋＋＝0；④错，|a＋b|≤|a|＋|b|.
4．如图，正六边ABCDEF中，＋＋＝( B )
A．0
B．
C．
D．
[解析] 连接CF，取CF中点O，连接OE，CE.
则＋＋＝(＋)＋＝.
5．在△ABC中，||＝||＝|＋|，则△ABC是( B )
A．直角三角形
B．等边三角形
C．钝角三角形
D．等腰直角三角形
[解析] ＋＝，则||＝||＝||，
则△ABC是等边三角形.
二、填空题
6．化简下列各式：
(1)＋＋＝__0__；
(2)＋＋＋＝____.
[解析] (1)＋＋＝＋＝0．
(2)＋＋＋＝(＋)＋(＋)＝＋＝.
7．已知在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，||＝1，则|＋|＝__1__.
[解析] 在△ABD中，AD＝AB＝1，∠DAB＝60°，则BD＝1，所以|＋|＝||＝1．
8．如图所示，若P为△ABC的外心，且＋＝，则∠ACB＝__120°__.
[解析] 因为P为△ABC的外心，所以PA＝PB＝PC，因为＋＝，由向量的线性运算可得四边形PACB是菱形，且∠PAC＝60°，所以∠ACB＝120°.
三、解答题
9．如图所示，已知向量a、b、c不共线，求作向量a＋b＋c.
[解析] a、b、c不共线中隐含着a，b，c均为非零向量，因为零向量与任一向量都是共线的.利用三角形法则或平行四边形法则作图.
解法一：(三角形法则)：如图(1)所示，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，则＝＋＝(a＋b)＋c，即＝a＋b＋c.
解法二：(平行四边形法则)：∵a、b、c不共线，如图(2)所示.在平面内任取一点O，作＝a，＝b，
以、为邻边作□OADB，则对角线＝a＋b，再作＝c，以、为邻边作□OCED.
则＝a＋b＋c.
10．如图所示，求：
(1)a＋d；
(2)c＋b；
(3)e＋c＋b；
(4)c＋f＋b.
[解析] (1)a＋d＝d＋a＝＋＝.
(2)c＋b＝＋＝.
(3)e＋c＋b＝e＋(c＋b)＝e＋＝＋＝.
(4)c＋f＋b＝＋＋＝.
B 组·素养提升
一、选择题
1．已知||＝10，||＝7，则||的取值范围是( A )
A．[3,17]
B．(3,17)
C．(3,10)
D．[3,10]
[解析] 利用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边的性质及与共线时的情况求解.
即||－||≤||≤||＋||，故3≤||≤17．
2．如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则＋＝( C )
A．
B．
C．
D．
[解析] ＋＝.
3．设P是△ABC所在平面内的一点，＋＝2，则( C )
A．＋＝0
B．＋＝0
C．＋＝0
D．＋＋＝0
[解析] ∵＋＝2，
∴由平行四边形法则，点P为线段AC的中点，
∴＋＝0．故选C．
4．若M为△ABC的重心，则下列各向量中与共线的是( C )
A．＋＋
B．＋＋
C．＋＋
D．3＋
[解析] 由三角形重心性质得＋＋＝0．
二、填空题
5．某人在静水中游泳，速度为4
km/h.如要他向垂直于河对岸的方向游向河对岸，水的流速为4
km/h，他实际__沿与水流方向成60°的(答案不唯一)__方向前进，速度为__8
km/h__.
[解析] ∵OB＝4，OA＝4，
∴OC＝8，∴∠COA＝60°.
6．在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，向量||＝2，则＝____.
[解析] 因为在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，所以∠BAD＝60°，又AB＝AD＝2，所以△ABD为等边三角形，因此BD＝2，连接AC与BD且交于O点，则△ABO为Rt△，且AB＝2，BO＝1，AO⊥BO，所以AO＝＝，所以＝＝|＋|＝||＝.
三、解答题
7．如图所示，P，Q是△ABC的边BC上两点，且BP＝QC.求证：＋＝＋.
[解析] ∵＝＋，＝＋，
∴＋＝＋＋＋.
∵与大小相等，方向相反，
∴＋＝0．
故＋＝＋＋0＝＋.
8．如图所示，已知矩形ABCD中，||＝4，设＝a，＝b，＝c，试求|a＋b＋c|的大小.
[解析] 如图所示，过D作AC的平行线，交BC的延长线于点E.
∵DE∥AC，AD∥BE，
∴四边形ADEC为平行四边形，
∴＝，＝，
于是a＋b＋c＝＋＋
＝＋＝＋＝＝＋，
∴|a＋b＋c|＝|＋|＝8.(共35张PPT)
第六章
平面向量及其应用
6.2 平面向量的运算
6.2.1 向量的加法运算
必备知识·探新知
关键能力·攻重难
课堂检测·固双基
素养作业·提技能
素养目标·定方向
素养目标·定方向
素养目标
学法指导
1．理解并掌握向量加法的概念，了解向量加法的几何意义及其运算律.(直观想象)
2．会用向量的三角形法则和平行四边形法则求两个向量的和.(直观想象)
3．能够利用向量的交换律和结合律进行向量运算.(数学运算)
定义一个量，必然要去研究其运算特征，发挥运算的力量.对于向量的运算可以类比数的运算，但又要把握向量与数量的不同，借助物理中的位移和力的分解理解向量的运算是学习的关键.
必备知识·探新知
1．向量加法的定义及运算法则
平面向量的加法运算
知识点
两个向量和
a＋b
0＋a
a
2．三角不等式：|a＋b|≤___________，当且仅当a，b方向相同时等号成立.
3．向量加法的运算律
运算律
结合律
a＋b＝_______
交换律
(a＋b)＋c＝____________
|a|＋|b|
b＋a
a＋(b＋c)
关键能力·攻重难
(1)如图，已知a、b，求作a＋b.
题型探究
题型一
向量的加法及几何意义
典例
1
(2)如图所示，已知向量a、b、c，试作出向量a＋b＋c.
[分析] 用三角形法则或平行四边形法则画图.
[归纳提升] 三角形法则与平行四边形法则的区别与联系
区别：(1)三角形法则中强调“首尾相接”，平行四边形法则中强调的是“共起点”.
(2)三角形法则适用于所有的非零向量求和，而平行四边形法则仅适用于不共线的两个向量求和.
联系：平行四边形法则与三角形法则在本质上是一致的.这两种求向量和的方法，通过向量平移能相互转化，解决具体问题时视情况而定.
【对点练习】? 如下图中(1)、(2)所示，试作出向量a与b的和.
[解析] 如下图中(1)、(2)所示，
[分析] 首先根据向量加法的交换律变为各向量首尾相连，然后利用向量加法的结合律求和.
题型二
向量加法运算律的应用
典例
2
[归纳提升] 向量运算中化简的两种方法：
(1)代数法：借助向量加法的交换律和结合律，将向量转化为“首尾相接”，向量的和即为第一个向量的起点指向最后一个向量终点的向量.有时也需将一个向量拆分成两个或多个向量.
(2)几何法：通过作图，根据三角形法则或平行四边形法则化简.
在某地抗震救灾中，一架飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800
km到达B地接到受伤人员，然后又从B地按南偏东55°的方向飞行800
km送往C地医院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和.
[分析] 解答本题首先正确画出方位图，再根据图形借助于向量求解.
题型三
向量加法的实际应用
典例
3
[归纳提升] 应用向量解决平面几何问题的基本步骤
【对点练习】? 如图，用两根绳子把重10
N的物体W吊在水平杆子AB上，∠ACW＝150°，∠BCW＝120°，求A和B处所受力的大小(绳子的重量忽略不计).
若a，b是非零向量，且|a＋b|＝|b|－|a|，则
( )
A．a，b同向共线
B．a，b反向共线
C．a，b同向共线且|b|>|a|
D．a，b反向共线且|b|>|a|
易错警示
典例
4
对不等式|a＋b|≤|a|＋|b|中等号成立条件理解不清致误
D
[错解] B
[辨析] 错解只考虑了向量的方向，但没有注意到其模的大小关系.
[正解] 由于|a＋b|＝|b|－|a|，因此向量a，b是方向相反的向量，且|b|>|a|，故选D．
[误区警示] 弄清a＋b的方向以及模与向量a，b的方向、模之间的关系：
(1)当a与b同向共线时，a＋b与a，b同向，且|a＋b|＝|a|＋|b|.
(2)当a与b反向共线时，若|a|>|b|，则a＋b与a的方向相同，且|a＋b|＝|a|－|b|；若|a|<|b|，则a＋b与b的方向相同，且|a＋b|＝|b|－|a|；若|a|＝|b|则a＋b＝0．
【对点练习】? 已知向量a∥b，且|a|>|b|>0，则向量a＋b的方向
( )
A．与向量a的方向相同
B．与向量a的方向相反
C．与向量b的方向相同
D．不确定
A
课堂检测·固双基
素养作业·提技能
