陕西省咸阳市高新一中2020-2021学年高一上学期数学试题word版含答案

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陕西省咸阳市高新一中2020-2021学年高一上学期第三次考试数学试题（A卷）
试卷副标题
考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx
题号
一
二
三
总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
请点击修改第I卷的文字说明
评卷人得分
一、单选题
1．为等差数列的前项和，若，则（
）.
A．-1
B．0
C．1
D．2
2．等比数列的前项和为，且，，成等差数列.若，则（
）
A．15
B．7
C．8
D．16
3．在等比数列中，，则（
）
A．
B．
C．
D．
4．命题“，使.”的否定形式是（
）
A．“，使.”
B．“，使.”
C．“，使.”
D．“，使.”
5．若a∈R，则“a＝1”是“|a|＝1”的（
）
A．充分条件
B．必要条件
C．既不是充分条件也不是必要条件
D．无法判断
6．条件：，若不成立，则实数的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
7．已知椭圆，若长轴长为8，离心率为，则此椭圆的标准方程为
A．
B．
C．
D．
8．已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，则该椭圆的离心率为（
）
A．
B．
C．
D．
9．抛物线
的准线方程为（?
）
A．
B．
C．
D．
10．已知点为抛物线图象上一点，点F为抛物线的焦点，则等于（
）
A．3
B．
C．2
D．
11．已知双曲线的方程为，双曲线右焦点F到双曲线渐近线的距离为（
）
A．1
B．
C．
D．2
12．已知，是双曲线的两个焦点，是经过且垂直于轴的双曲线的弦，若，则双曲线的离心率为（
）
A．2
B．
C．
D．
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
评卷人得分
二、填空题
13．数列中，，，则的前21项和=_________．
14．已知命题：（，且）是增函数；命题：对任意的，都有成立，若命题为真题，则实数的取值范围是______.
15．椭圆的焦距是2，则的值是_________.
16．若双曲线的一条渐近线与直线垂直，则其离心率为________.
17．过抛物线（）的焦点作直线l交抛物线于点M，N，交抛物线的准线于点P，若，则直线l的倾斜角为__________.
评卷人得分
三、解答题
18．等比数列中，已知．
（1）求数列的通项公式；
（2）若分别为等差数列的第3项和第5项，试求数列的通项公式及前项和．
19．已知的三边长、、成等差数列，且、的坐标分别为、.
（1）求顶点的轨迹的方程.
（2）求曲线的内接矩形的面积的最大值.
20．已知椭圆的离心率为，短轴长为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知过点P（2,1）作弦且弦被P平分，则此弦所在的直线方程.
21．已知抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为坐标轴，且经过点.
（1）求到的焦点的距离；
（2）若的对称轴为轴，过（9，0）的直线与交于，两点，证明：以线段为直径的圆过定点.
(
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
(
※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
)
(
…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
(
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
(
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
)
(
…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
试卷第1页，总3页
试卷第1页，总3页
参考答案
1．B
【分析】
由可得选项.
【详解】
因为，所以，
故选：B.
【点睛】
本题考查等差数列的前n项和公式和等差中项的性质，属于基础题.
2．B
【分析】
根据已知条件求得公比，由此求得.
【详解】
设等比数列的公比为，
由于，，成等差数列，所以，
即，，，
所以.
故选：B
3．B
【解析】
等比数列的性质可知,故选.
4．D
【分析】
根据存在性命题的否定直接写出即可.
【详解】
命题“，使.”的否定形式为：
使，
故选：D
【点睛】
本题主要考查了含有存在性量词的命题的否定，属于容易题.
5．A
【分析】
由于|a|＝1与a＝1之间，前者成立不一定后者成立，而后者成立有前者必成立，即“a＝1”是“|a|＝1”的充分非必要条件
【详解】
当a＝1时，|a|＝1成立
但反过来，|a|＝1时，有a＝±1
即|a|＝1时，a＝1不一定成立
∴“a＝1”是“|a|＝1”的充分条件
故选：A
【点睛】
本题考查了充要条件，命题A、B的关系：若，A为B的充分条件，B为A的必要条件；若，A、B互为充要条件
6．D
【分析】
先求得条件对应的的取值范围，由此求得不成立时，的取值范围.
【详解】
，
若不成立，则.
故选：D
7．D
【分析】
根据长轴长求出，由离心率为求出，从而求出，问题得解．
【详解】
因为椭圆长轴长为8，所以，即，
又离心率为，所以，解得：，
则=，
所以椭圆的标准方程为：．
故选D
【点睛】
本题主要考查了椭圆的性质，属于基础题．
8．C
【分析】
由题意，，再用平方关系算得，最后利用椭圆离心率公式可求出椭圆的离心率．
【详解】
∵椭圆的长轴长是短轴长的倍，
∴，得，
又∵a2＝b2+c2，
∴2b2＝b2+c2，可得，
因此椭圆的离心率为e．
故选C．
【点睛】
本题给出椭圆长轴与短轴的倍数关系，求椭圆的离心率，考查了椭圆的基本概念和简单性质的知识，属于基础题．
9．B
【解析】
抛物线的标准方程为：
，
据此可得抛物线
的准线方程为
.
本题选择B选项.
10．A
【分析】
由抛物线焦半径公式可直接求得结果.
【详解】
由抛物线方程知：，.
故选：.
【点睛】
本题考查抛物线焦半径的求解，关键是熟练应用抛物线的定义得到焦半径公式.
11．C
【分析】
根据双曲线的方程求得右焦点的坐标和渐近线方程，结合点到直线的距离公式，即可求解.
【详解】
由题意知，双曲线的右焦点为，双曲线的渐近线方程为，
即，所以点到渐近线的距离，
故选：C.
【点睛】
本题主要考查了双曲线的标准方程及简单的几何性质，以及点到直线的距离公式的应用，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.
12．D
【分析】
根据是经过且垂直于轴的双曲线的弦，，可得，从而可得的方程，即可求得双曲线的离心率．
【详解】
解：是经过且垂直于轴的双曲线的弦，，
，，所以
，
，
．
故选：．
【点睛】
本题考查双曲线的离心率，考查学生的计算能力，属于基础题．
13．651
【分析】
由题意可得数列是等差数列，然后利用等差数列求和公式求解即可
【详解】
解：因为数列中，，，
所以数列是以1为首项，3为公差的等差数列，
所以，
故答案为：651
【点睛】
此题考查等差数列的前项和公式的应用，属于基础题
14．
【分析】
先假设命题是真命题，得；再假设命题是真命题，得；再根据命题为真题，可得命题均为真，由此即可求出结果.
【详解】
若命题是真命题，则；若命题是真命题，则；又命题为真题，所以；故答案为：.
【点睛】
本题考查了指数函数的单调性、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
15．
【分析】
直观根据焦距为2，得到，再根据，计算可得；
【详解】
解：因为椭圆的焦距是2，所以，即，因为，所以，解得
故答案为：
【点睛】
本题考查椭圆的简单几何性质，属于基础题.
16．
【分析】
根据渐近线方程，可得，根据以及离心率公式可得答案.
【详解】
因为渐近线方程，
所以，则，，
故离心率为.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了双曲线的渐近线方程和离心率公式，属于基础题.
17．或.
【分析】
作出抛物线准线，作垂直于准线于，由，判断是的中位线，进一步得出，则直线l的倾斜角可求，注意两种情况.
【详解】
解：
,设,过作出抛物线准线，则
过M作垂直于准线于,则轴
∵，F为的中点，所以是的中点，
是的中位线，
∴，即，∴，
∴，
直线l的倾斜角为或
故答案为：或.
【点睛】
在抛物线中，结合三角形的有关知识和抛物线的定义考查求直线倾斜角的方法，同时考查运算求解能力和逻辑推理能力，基础题.
18．(1)
.
(2)
.
【解析】
试题分析：（1）本题考察的是求等比数列的通项公式，由已知所给的条件建立等量关系可以分别求出首项和公比，代入等比数列的通项公式，即可得到所求答案．
（2）由（1）可得等差数列的第3项和第5项，然后根据等差数列的性质可以求出等差数列的通项，然后根据等差数列的求和公式，即可得到其前项和．
试题解析：（Ⅰ）设的公比为由已知得，解得，所以
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，则，
设的公差为，则有解得
从而
所以数列的前项和
考点：等差、等比数列的性质
19．（1）；（2）.
【分析】
（1）利用已知条件得到，得到点的轨迹是以、为焦点的椭圆，即可求出结论；
（2）设椭圆的内接矩形为，且，求出面积的表达式，利用三角函数的最值求解即可.
【详解】
（1）由已知得，
所以点的轨迹是以、为焦点的椭圆.
且，，
所以，
故所求方程为；
（2）设椭圆的内接矩形为，且第一象限内的点，
则此矩形面积为，
当时，最大面积为.
20．(1)
(2)
【解析】
试题分析：（1）根据椭圆的性质列方程组解出a，b，c即可；
（2）设直线斜率为k，把直线方程代入椭圆方程，根据根与系数的关系和中点坐标公式列方程即可得出k的值，从而求出直线方程．
试题解析：
（1），2b=4，所以a=4，b=2，c=，椭圆标准方程为
（2）设以点为中点的弦与椭圆交于，则，分别代入椭圆的方程，两式相减得，所以，所以，由直线的点斜式方程可知，所求直线方程为，即．
点睛：弦中点问题解法一般为设而不求，关键是求出弦AB所在直线方程的斜率k,方法一利用点差法，列出有关弦AB的中点及弦斜率之间关系求解；方法二是直接设出斜率k，利用根与系数的关系及中点坐标公式求得直线方程.
21．（1）；（2）证明见解析.
【分析】
（1）分抛物线的对称轴为轴与轴进行讨论，可得抛物线的方程，再根据抛物线的几何意义可得到的焦点的距离；
（2）设直线的方程为，设，线段的中点为，联立抛物线和直线，可得，的值，可得以线段为直径的圆的方程，可得证明.
【详解】
（1）解：当的对称轴为轴时，设的方程为，
将点的坐标代入方程得，即，
此时到的焦点的距离为.
当的对称轴为轴时，设的方程为，
将点的坐标代入方程得.即.
此时到的焦点的距离为.
（2）证明：由（1）可知，当的对称轴为轴时，的方程为.
直线斜率显然不为0，可设直线的方程为，
设，线段的中点为.
由得，
则，，
所以，，
且.
以线段为直径的圆的方程为
即，
即，令，则，
因为.所以圆过定点（0，0），
从而以线段为直径的圆过定点.
【点睛】
本题主要考查抛物线的定义与几何性质，直线与抛物线的位置关系，考查学生的综合分析能力与计算能力，属于中档题
答案第1页，总2页
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