陕西省榆林市第十二中学2020-2021学年高二上学期第二次月考数学试题（word版含解析）

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陕西省榆林市第十二中学2020-2021学年高二上学期第二次月考数学试题
试卷副标题
考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx
题号
一
二
三
总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
请点击修改第I卷的文字说明
评卷人得分
一、单选题
1．在等比数列中，，，，则项数为
（
）
A．3
B．4
C．5
D．6
2．中，若，则的面积为
（
）
A．
B．
C．1
D．
3．已知正数a，b满足a+b=3.则的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
4．一个等比数列的前n项和为48，前2n项和为60，则前3n项和为（
）
A．63
B．108
C．75
D．83
5．设满足约束条件，则的最大值为
（
）
A．-8
B．3
C．5
D．7
6．已知等比数列中，，数列是等差数列，且，则（
）
A．2
B．4
C．16
D．8
7．中，内角对应的边分别为，，，则的值为（
）
A．
B．
C．
D．
8．已知数列满足，，则的值为（
）
A．79
B．80
C．81
D．82
9．为了净化水质，向一个池塘水中加入某种药品，加药后池塘水中该药品的浓度（单位：）随时间（单位：）的变化关系为，则一段时间后池塘水中药品的最大浓度为（
）
A．
B．
C．
D．
10．若关于的不等式有实数解，则实数的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
11．若在（0，1）上恒成立，则实数的取值范围（
）
A．
B．
C．
D．
12．在△中，角、、所对的边分别为、、，给出四个命题：
（1）若，则△为等腰三角形；
（2）若，则△为直角三角形；
（3）若，则△为等腰直角三角形；
（4）若，则△为正三角形；
以上正确命题的个数是（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
评卷人得分
二、填空题
13．数列的通项公式是，则数列中的最小项是__________．
14．已知的解集为，则不等式的解集为__________．
15．在中，已知B＝45°，c＝2，b＝，则A＝________.
16．如图，从气球上测得正前方的河流的两岸，的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是，则河流的宽度等于______.
评卷人得分
三、解答题
17．已知对于，函数有意义，关于k的不等式成立.
（1）若为假命题，求k的取值范围；
（2）若p是q的必要不充分条件，求m的取值范围.
18．在中，内角，，所对的边分别为，，.已知，，成等差数列，且.
（1）求的值；
（2）求.
19．已知是公差不为零的等差数列，且，，成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）已知数列，求的前n项和．
20．在中，内角，，的对边分别为，，.若，且.
（1）求角的大小；
（2）若的面积为，求的最大值.
21．记Sn为数列{an}的前n项和，已知a3＝6，Sn＝λn2+n，λ∈R．
（1）求λ的值及{an}的通项公式；
（2）设，求数列{bn}的前n项和．
22．已知函数
（1）解关于的不等式；
（2）若对任意的，恒成立，求实数的取值范围
（3）已知，当时，若对任意的，总存在，使成立，求实数的取值范围．
(
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
(
※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
)
(
…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
(
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
(
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
)
(
…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
试卷第1页，总3页
试卷第1页，总3页
参考答案
1．C
【解析】
试题分析：由已知，解得，故选C．
考点：等比数列的通项公式．
2．C
【分析】
直接利用面积公式求解.
【详解】
的面积，
.
故选：C.
3．A
【分析】
利用乘“1”法，将所求表达式化简，进而利用基本不等式求得最小值.
【详解】
依题意，所以，当且仅当等号成立.故选A.
【点睛】
本小题主要考查利用基本不等式求和式的最小值，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.
4．A
【分析】
利用等比数列的前项和公式的性质：成等比数列即可求解.
【详解】
数列为等比数列，其前项和为，
则成等比数列，
即成等比数列，
即，解得.
故选：A
5．D
【解析】
试题分析：不等式表示的可行域为直线围成的三角形及其内部，三个顶点为，当过点时取得最大值7
考点：线性规划
6．D
【分析】
利用等比数列性质求出a7，然后利用等差数列的性质求解即可．
【详解】
等比数列{an}中，a3a11＝4a7，
可得a72＝4a7，解得a7＝4，且b7＝a7，
∴b7＝4，
数列{bn}是等差数列，则b5+b9＝2b7＝8．
故选D．
【点睛】
本题考查等差数列以及等比数列的通项公式以及简单性质的应用，考查计算能力．
7．D
【分析】
由正弦定理化简已知可得：，又，可解得，利用余弦定理可得，结合范围，即可解得．
【详解】
，
由正弦定理可得：，
又，
，
利用余弦定理可得：，
由于，解得：．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查正弦定理，余弦定理，同角三角函数关系式的应用，熟练掌握相关公式及定理是解题的关键，属于中档题．
8．B
【分析】
将，转化为，利用等比数列的定义求解.
【详解】
因为，
所以，
所以是以3为首项，以3为公比的等比数列，
所以，
所以，
，
故选：B
9．A
【分析】
利用基本不等式的性质即可得出.
【详解】
解：，当且仅当时取等号，
因此经过后池水中药品的浓度达到最大.
故选：A.
【点睛】
本题考查了基本不等式的性质及应用，属于基础题.
10．A
【解析】
依题意，，画出的图像如下图所示，由图可知，解得.
11．B
【分析】
把已知不等式变形，分离参数，然后结合指数式的值域，利用配方法求得的范围得出答案．
【详解】
由，得
，
，
故选：B．
【点睛】
本题考查恒成立问题，考查了分离变量法，训练了利用配方法求函数的最值，是中档题．
12．B
【分析】
对每一个命题逐一分析得解.
【详解】
(1)若，则2A=2B或2A+2B=π，所以A=B或A+B=,所以△ABC是等腰三
角形或直角三角形，所以该命题是错误的.
(2)
若，所以sinA=sin(,所以
则△不一定为直角三角形,所以该命题是错误的.
(3)
若，所以A=C=，则△为等腰直角三角形，所以该命题是真命题.
(4)若，所以所以A=B=C,所以△ABC是正三角形.所以该命题是真命题.
故答案为B
【点睛】
本题主要考查正弦定理和三角恒等变换，考查三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
13．38
【分析】
对进行配方可得答案.
【详解】
数列的通项公式，
因为，所以当或时最小，此时
则数列中的最小项是38，
故答案为：38.
【点睛】
本题利用配方法求数列中最小的项，注意.
14．或
【解析】
不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|1＜x＜2}，
∴1，2是方程ax2+bx+c=0的两个实数根，且a＜0，
∴，
解得b=﹣3a，c=2a；
∴不等式cx2+bx+a＜0化为2ax2﹣3ax+a＜0，
2x2﹣3x+1＞0
解得，或x＞1；
∴所求不等式的解集为或．
故答案为或．
15．或.
【分析】
利用正弦定理求出，进而求出.
【详解】
在中，B＝45°，c＝2，b＝，
由正弦定理可得，
即，解得，
因为，所以或，
所以
或.
故答案为：或.
16．
【分析】
由题意画出图形，由两角差的正切求出15°的正切值，然后通过求解两个直角三角形得到DC和DB的长度，作差后可得答案．
【详解】
由图可知，
在中，
在中，
河流的宽度BC等于
故答案为：
.
【点睛】
本题给出实际应用问题，求河流在B,C两地的宽度，着重考查了三角函数的定义、正余弦定理解三角形的知识，属于中档题．
17．（1）
（2）
【分析】
（1）由与的真假相反，得出为真命题，将定义域问题转化为不等式的恒成立问题，讨论参数的取值，得出答案；
（2）由必要不充分条件的定义得出，讨论的取值结合包含关系得出的范围.
【详解】
解：（1）因为为假命题，所以为真命题，所以对恒成立.
当时，不符合题意；
当时，则有，则.
综上，k的取值范围为.
（2）由，得.
由（1）知，当为真命题时，则
令令
因为p是q的必要不充分条件，所以
当时，，，解得
当时，，符合题意；
当时，，符合题意；
所以的取值范围是
【点睛】
本题主要考查了不等式的恒成立问题以及根据必要不充分条件求参数范围，属于中档题.
18．（1）（2）
【分析】
（1）由及正弦定理可得，又，可得，，再利用余弦定理即可；
（2）由（1）可得，进一步得到，再利用两角和的正弦公式展开即可.
【详解】
（1）在中，由正弦定理，得.
又由，得.
又因为，所以.
又由，，成等差数列，得，
所以，.
由余弦定理可得，.
（2）在中，由（1）可得，
从而，
.
故
.
【点睛】
本题考查正余弦定理以及两角和的正弦公式、倍角公式的应用，考查学生的数学运算求解能力，是一道容易题.
19．（1）；（2）.
【分析】
（1）根据
，，成等比数列，由，利用“
”求解.
（2）由（1）得到，然后利用裂项相消法求解.
【详解】
（1）因为是公差不为零的等差数列，且
，，成等比数列，
所以，即，
解得或（舍去），
所以.
（2）由（1）得：，
则，，
两式相减得：，
，
，
【点睛】
方法点睛：求数列的前n项和的方法
(1)公式法：①等差数列的前n项和公式，②等比数列的前n项和公式；
(2)分组转化法：把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解．
(3)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项．
(4)倒序相加法：把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广．
(5)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项之积构成的，则这个数列的前n项和用错位相减法求解.
(6)并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．
20．（1）；（2）.
【分析】
（1）由，等式右边可化为余弦定理形式，根据求角即可（2）由余弦定理结合均值不等式可求出的最大值，即可求出三角面积的最大值.
【详解】
（1）由得：，
即：.
∴，又，∴.
（2）由，当且仅当等号成立.
得：.
.
【点睛】
本题主要考查了余弦定理，均值不等式，三角形面积公式，属于中档题.
21．（1）；（2）
【分析】
（1）利用可求的值，利用可求的通项.
（2）利用裂项相消法可求的前项和.
【详解】
（1），故.
所以，故即，故.
（2），
设的前项和为，
故
.
【点睛】
本题考查数列的通项与求和，一般地，知道，则其通项为（注意检验是否可以整合成统一的表达式），而求和的方法则依据通项的形式，本题属于中档题.
22．（1）详见解析；（2）；（3）.
【分析】
（1）由不等式转化为，分，，讨论求解.
（2）将对任意的，恒成立，转化为对任意的，恒成立，当，恒成立，当时，恒成立，利用基本不等式求解.
（3）根据对任意的，总存在，使成立，则的值域是的值域的子集求解.
【详解】
（1）因为函数，
所以即为，
所以
，
当时，解得
，
当
时，解得，
当
时，解得
，
综上：当时，不等式的解集为
，
当
时，不等式的解集为
，
当
时，不等式的解集为
，
（2）因为对任意的，恒成立，
所以对任意的，恒成立，
当时，恒成立，
所以对任意的时，恒成立，
令，当且仅当
，即
时取等号，
所以，
所以实数的取值范围是.
（3）当时，，
因为，所以函数的值域是，
因为对任意的，总存在，使成立，
所以的值域是的值域的子集，
当时，，
则，解得
当时，，
则，解得，
当时，，不成立；
综上：实数的取值范围.
【点睛】
方法点睛：双变量任意、存在恒成立问题：
若，
成立，则
；
若，
成立，则
；
若，
成立，则
；
若，
成立，则
；
若，
成立，则
的值域是的子集；
答案第1页，总2页
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