(共23张PPT)
第六章 平面向量及其应用
答案:B(共23张PPT)A级 基础巩固
1.下列说法中正确的是
( )
A.若a≠0,则对任意b≠0,有a·b≠0
B.若a·b=0,则a,b中至少有一个为0
C.|a·b|表示向量a·b的长度
D.b在a方向上的投影可能是正数,可能是负数,还可能是0
解析:选项A、B都是错误的,因为不但零向量与任意向量的数量积为0,而且互相垂直的两个非零向量的数量积也为0.选项C错误,因为a·b是数量,|a·b|表示其绝对值.选项D是正确的.
答案:D
2.若a·b>0,则a与b的夹角θ的取值范围是
( )
A.[0,)
B.[,π)
C.(,π]
D.(,π)
解析:因为a·b>0,所以cos
θ>0,
所以θ∈[0,).
答案:A
3.已知|b|=5,a·b=12,则向量a在b方向上的投影为.
解析:因为a在b方向上的投影为|a|cos
θ,且cos
θ=,
所以|a|cos
θ==.
4.若e1,e2是单位向量,且e1·e2=-,则e1与e2的夹角等于120°.
解析:设e1,e2的夹角为θ.由已知|e1|=|e2|=1,
所以e1·e2=1×1×cos
θ=-,因此θ=120°.
5.如图所示,在平行四边形ABCD中,已知||=4,||=3,
∠DAB=60°,求:
(1)·; (2)·; (3)·.
解:(1)因为与共线且同向,所以·=3×3×cos
0°=9.
(2)因为与共线且反向,所以·=4×4×cos
180°=-16.
(3)因为与的夹角为120°,所以·=4×3×cos
120°=-6.
B级 能力提升
6.定义:|a×b|=|a||b|sin
θ,其中θ为向量a与b的夹角.若|a|=2,
|b|=5,a·b=-6,则|a×b|等于
( )
A.8
B.-8
C.8或-8
D.6
解析:因为a·b=|a||b|cos
θ=2×5×cos
θ=-6,所以cos
θ=-.因为θ∈[0,π],所以sin
θ=,所以|a×b|=|a||b|sin
θ=2×5×=8.
答案:A
7.在等腰直角三角形ABC中,AC是斜边,且·=,则该三角形的面积等于.
解析:设Rt△ABC的直角边长为a,则斜边长为a,于是·=a·a·=a2=,从而a=,于是S△ABC=××=.
8.已知|a|=6,e为单位向量,当它们之间的夹角θ分别等于60°、90°、120°时,求出a在e方向上的投影向量.
解:a在e方向上的投影向量为|a|cos
θe.
当θ=60°时,a在e方向上的投影向量为|a|cos
60°e=3e;
当θ=90°时,a在e方向上的投影向量为|a|cos
90°e=0;
当θ=120°时,a在e方向上的投影向量为|a|cos
120°e=-3e.
C级 挑战创新
9.多选题已知a,b都是单位向量,则下列结论中一定正确的是( )
A.a·b=1
B.a2=b2
C.a∥b?a=b或a=-b
D.a·b=0
解析:单位向量是指模为1的向量,对方向没有要求,因此夹角也是未知的,故选项A、D不一定正确,易知选项B,C正确.
答案:BC
10.多空题在△ABC中,若∠C=90°,AC=BC=4,则·=0,
·=-16.
解析:因为∠C=90°,所以·=0.
因为AC=BC=4,所以AB=4,所以△ABC为等腰直角三角形,所以∠ABC=45°,所以与的夹角为135°,所以·=4×4×
cos
135°=-16.A级 基础巩固
1.下列等式中不正确的是
( )
A.a+0=a
B.a+b=b+a
C.|a+b|=|a|+|b|
D.=++
解析:当a与b方向不同时,|a+b|≠|a|+|b|.
答案:C
2.如图所示,四边形ABCD是梯形,AD∥BC,对角线AC与BD相交于点O,则+++等于
( )
A.
B.
C.
D.
解析:+++=+++=++=+
=.
答案:B
3.在矩形ABCD中,若||=4,||=2,则向量++的长度为( )
A.2
B.4
C.12
D.6
解析:因为+=,所以++的长度为的模的2倍.因为||==2,所以向量++的长度为4.
答案:B
4.化简下列各式:
(1)++=0;
(2)+++=;
(3)(+)+(+)+=.
解析:(1)++=+=0.
(2)+++=(+)+(+)=+=.
(3)(+)+(+)+=+++(+)=0+=.
5.如图所示,两个力F1和F2同时作用在一个质点O上,且F1的大小为3
N,F2的大小为4
N,且∠AOB=90°,试作出F1和F2的合力,并求出合力的大小.
解:如图所示.
表示力F1,表示力F2,以OA,OB为邻边作平行四边形OACB,
则是力F1和F2的合力.
在△OAC中,||=3,||=||=4,且OA⊥AC,
则||==5,
即合力的大小为5
N.
B级 能力提升
6.若a,b为非零向量,且|a+b|=|a|+|b|,则( )
A.a∥b,且a与b方向相同
B.a,b是共线向量
C.a=-b
D.a,b无论什么关系均可
解析:当两个非零向量a与b不共线时,a+b的方向与a,b的方向都不相同,且|a+b|<|a|+|b|;向量a与b同向时,a+b的方向与a,b的方向都相同,且|a+b|=|a|+|b|;向量a与b反向且|a|<|b|时,a+b的方向与b的方向相同(与a的方向相反),且|a+b|=|b|-|a|;向量a与b反向且|a|>|b|时,同理有|a+b|=|a|-|b|.
答案:A
7.如果点G是△ABC的重心,那么++=0.
解析:如图所示,连接AG并延长交BC于点E,点E为BC的中点,延长AE到点D,使GE=ED,则+=,+=0,所以++=0.
8.如图所示,∠AOB=∠BOC=120°,||=||=||,求++.
解:如图所示,以OA,OB为邻边作平行四边形OADB.
由向量加法的平行四边形法则,知+=.
由||=||,∠AOB=120°,知∠BOD=60°,||=||.
因为∠COB=120°,且||=||,
所以+=0,故++=0.
C级 挑战创新
9.多空题若向量a,b满足|a|=8,|b|=2,则|a+b|的最大值为10,最小值为6.
解析:由向量加法的三角形法则,知
||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|,即6≤|a+b|≤10.
10.多空题若a等于“向东走8
km”,b等于“向北走8
km”,则|a+b|=
8
km,a+b的方向是北偏东45°.?
解析:如图所示.
设=a,=b,则=a+b,且△ABC为等腰直角三角形,则||=
8
km,∠BAC=45°.A级 基础巩固
1.如图所示,+-等于
( )
A.
B.
C.
D.
解析:+-=-+=+=.
答案:B
2.下列四个式子中可以化简为的是
( )
①+-;②-;③+;④-.
A.①④
B.①②
C.②③
D.③④
解析:因为+-=-=+=,-=,所以①④可以化简为.
答案:A
3.若向量a,b方向相反,且|a|=|b|=1,则|a-b|=2.
解析:由题意可知|a-b|=2.
4.已知|a|=7,|b|=2,且a∥b,则|a-b|=5或9.
解析:当a与b方向相同时,|a-b|=|a|-|b|=7-2=5;
当a与b方向相反时,|a-b|=|a|+|b|=7+2=9.
5.如图所示,=a,=b,=c,=d,=e,解答下列各题:
(1)用a,d,e表示;
(2)用b,c表示;
(3)用a,b,e表示;
(4)用d,c表示.
解:(1)=++=d+e+a;
(2)=-=-(+)=-b-c;
(3)=++=e+a+b;
(4)=-=-(+)=-c-d.
B级 能力提升
6.设点M是线段BC的中点,点A在直线BC外,||=4,|+|=|-|,则||=
( )
A.8
B.4
C.2
D.1
解析:以,为邻边作平行四边形ACDB(图略),则由向量加、减法的几何意义可知=+,=-.
因为|+|=|-|,
所以||=||.
因为四边形ACDB为平行四边形,
所以四边形ACDB为矩形,所以AC⊥AB,
所以AM为Rt△ABC斜边BC上的中线,
所以||=||=2.
答案:C
7.已知点O为四边形ABCD所在的平面内的一点,且向量,,,满足等式+=+,若点E为AC的中点,则=( )
A.
B.
C.
D.
解析:因为向量,,,满足等式+=+,
所以-=-,即=,
所以四边形ABCD为平行四边形.因为点E为AC的中点,所以点E为对角线AC与BD的交点,所以S△EAB=S△ECD=S△ADE=S△BCE,所以=.
答案:B
8.如图所示,已知在矩形ABCD中,||=4,||=8.设=,=,=,求|--|.
解:已知==,且=a,=b,=c,
所以|a-b-c|=|--|=|--|=|-|=2||.
在矩形ABCD中,因为||=4,||=8,
所以||=4,所以|a-b-c|=8.
C级 挑战创新
9.多选题可以写成
( )
A.+
B.-
C.-
D.-
解析:因为+=,-=,所以选A、D.
答案:AD
10.多空题若菱形ABCD的边长为2,则向量-+的模是2;||的取值范围是(0,4).
解析:因为-+=++=,
且||=2,所以|-+|=||=2.
因为=+,且在菱形ABCD中,||=2,
所以|||-|||<||<||+||,
即0<||<4.(共22张PPT)
第六章 平面向量及其应用
答案:A
答案:A(共19张PPT)
第六章 平面向量及其应用A级 基础巩固
1.已知λ∈R,则下列结论正确的是
( )
A.|λa|=λ|a|
B.|λa|=|λ|a
C.|λa|=|λ||a|
D.|λa|>0
解析:对于选项A,当λ<0时,|λa|≠λ|a|;对于选项B,|λa|是实数,|λ|a是向量,故|λa|≠|λ|a;对于选项D,当λ=0时,|λa|=0.只有选项C正确.
答案:C
2.在△ABC中,点M是BC的中点,则+=
( )
A.
B.
C.2
D.
解析:如图所示,作出平行四边形ABEC,因为M是BC的中点,所以M也是AE的中点,所以+==2.
答案:C
3.已知a,b是不共线的向量,=λa+2b,=a+(λ-1)b,且A,B,C三点共线,则实数λ的值为
( )
A.-1
B.2
C.-2或1
D.-1或2
解析:因为A,B,C三点共线,
所以存在实数k使=k.
因为=λa+2b,=a+(λ-1)b,
所以λa+2b=k[a+(λ-1)b].
因为a与b不共线,所以
解得λ=2或λ=-1.
答案:D
4.设向量a,b不平行,向量λa+b与a+2b平行,则实数λ=.
解析:因为向量a,b不平行,所以a+2b≠0.
因为向量λa+b与a+2b平行,所以存在唯一的实数μ,使λa+b=μ(a+2b),即λa+b=μa+2μb,
则解得λ=μ=.
5.在四边形ABCD中,=2a-3b,
=-8a+b,=-10a+4b,且a,b不共线,试判断四边形ABCD的形状.
解:因为=2a-3b,=-8a+b,=-10a+4b,
所以=++=-16a+2b,
所以=2,
所以AD∥BC,AD=2BC.又易知AB不平行于CD,
所以四边形ABCD是梯形.
B级 能力提升
6.如图所示,AB是☉O的直径,点C,D是半圆弧AB上的两个三等分点,=a,=b,则=
( )
A.a-b
B.a-b
C.a+b
D.a+b
解析:连接CD,OD,如图所示.
因为点C,D是半圆弧AB上的两个三等分点,
所以AC=CD,∠CAD=∠DAB=×60°=30°.
因为OA=OD,所以∠ADO=∠DAO=30°.
由此可得∠CAD=∠ADO=30°,所以AC∥DO.
由AC=CD,得∠CDA=∠CAD=30°,
所以∠CDA=∠DAO,所以CD∥AO,
所以四边形ACDO为平行四边形,
所以=+=+=a+b.
答案:D
7.在平行四边形ABCD中,AC与BD交于点O,点E是线段OD的中点,AE的延长线与CD交于点F.若=a,=b,则等于
( )
A.a+b
B.a+b
C.a+b
D.a+b
解析:由题意可知△DEF∽△BEA,
所以==,所以DF=AB,
所以=+=+.
因为=+=a,=-=b,
所以联立得=(a-b),=(a+b),
所以=(a+b)+(a-b)=a+b.
答案:D
8.已知两个非零向量a与b不共线,=2a-b,=a+3b,=ka+5b.
(1)若2-+=0,求k的值;
(2)若A,B,C三点共线,求k的值.
解:(1)因为2-+=2(2a-b)-a-3b+ka+5b=(k+3)a=0,所以k=-3.
(2)=-=-a+4b,=-=(k-2)a+6b.因为A,B,C三点共线,所以可设=λ,所以(k-2)a+6b=-λa+4λb.因为a,b不共线,所以解得所以k=.
C级 挑战创新
9.多选题设a是非零向量,λ是非零实数,下列结论正确的是
( )
A.a与-λa的方向相同或相反
B.|-λa|≥|a|
C.a与λ2a的方向相同
D.|-λa|=|λ|a
解析:A项正确,因为当λ取负数时,a与-λa的方向是相同的,当λ取正数时,a与-λa的方向相反;B项错误,因为当|λ|<1(λ≠0)时,|-λa|<|a|;D项错误,等号左边的结果是一个数,而右边的结果是一个向量,不可能相等;C项正确,因为λ2(λ≠0)一定是正数,故a与λ2a的方向相同.
答案:AC
10.多空题在△ABC中,点M,N分别在AC,BC上,且满足=2,=.若=x+y,则x=,y=-.
解析:由题中条件,得=+=+=+(-)=-=x+y,所以x=,y=-.(共23张PPT)
第六章 平面向量及其应用A级 基础巩固
1.若向量a与b的夹角为60°,|b|=4,(a+2b)·(a-3b)=-72,则向量a的模为
( )
A.2
B.4
C.6
D.12
解析:因为(a+2b)·(a-3b)=-72,所以|a|2-a·b-6|b|2=-72.因为a·b=
|a|×4cos
60°=2|a|,所以|a|2-2|a|-96=-72,解得|a|=6.
答案:C
2.已知a,b均为单位向量,它们的夹角为60°,那么|a+3b|=( )
A.
B.
C.
D.4
解析:因为|a+3b|2=(a+3b)2=a2+9b2+6a·b=1+9+6|a||b|cos
60°=13,所以|a+3b|=.
答案:C
3.已知|a|=|b|=1,a与b的夹角是90°,c=2a+3b,d=ka-4b,c与d垂直,则k的值为
( )
A.-6
B.6
C.3
D.-3
解析:因为c与d垂直,所以c·d=0,所以(2a+3b)·(ka-4b)=0,所以2ka2-8a·b+3ka·b-12b2=0,所以2k=12,所以k=6.
答案:B
4.在△ABC中,若||=3,||=8,∠ABC=60°,则||=7.
解析:因为=-,所以||2=(-)2=||2+||2-2·=
82+32-2×8×3×cos
60°=49,所以||=7.
5.已知|a|=1,a·b=,(a-b)·(a+b)=.
(1)求a与b的夹角θ;
(2)求|a+b|.
解:(1)因为(a-b)·(a+b)=a2-b2=,|a|=1,
所以b2=a2-=1-=,所以|b|=.
所以cos
θ===.
因为θ∈[0,π],所以θ=,故a与b的夹角为.
(2)|a+b|===.
B级 能力提升
6.如图所示,在□ABCD中,若AB=1,AD=2,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,AD边上的中点,则·+·=
( )
A.
B.-
C.
D.-
解析:易知四边形EFGH为平行四边形,如图所示,连接HF,取HF的中点O,
则·=·=(-)·(+)=-=1-()2=,
·=·=(+)·(-)=-=1-()2=,
因此·+·=.
答案:A
7.已知e1,e2是平面单位向量,且e1·e2=.若平面向量b满足b·e1=b·e2=1,则|b|=.
解析:令e1与e2的夹角为θ,
所以e1·e2=|e1|·|e2|cos
θ=cos
θ=.
因为0°≤θ≤180°,所以θ=60°.
因为b·(e1-e2)=0,b·e1=1,
所以b与e1,e2的夹角均为30°,
所以b·e1=|b||e1|cos
30°=1,
从而|b|==.
8.已知|a|=2|b|=2,且向量a在向量b的方向上的投影为-1.
(1)求a与b的夹角θ;
(2)求(a-2b)·b;
(3)当λ为何值时,向量λa+b与向量a-3b互相垂直?
解:(1)因为|a|=2|b|=2,所以|a|=2,|b|=1.
因为a在b方向上的投影为|a|cos
θ=-1,
所以a·b=|a||b|cos
θ=-1,所以cos
θ=-.
因为θ∈[0,π],所以θ=.
(2)(a-2b)·b=a·b-2b2=-1-2=-3.
(3)因为λa+b与a-3b互相垂直,
所以(λa+b)·(a-3b)=λa2-3λa·b+b·a-3b2=4λ+3λ-1-3=7λ-4=0,所以λ=.
C级 挑战创新
9.多选题对任意向量a,b,下列关系式中恒成立的是
( )
A.|a·b|≥|a||b|
B.|a-b|≤||a|-|b||
C.(a+b)2=|a+b|2
D.(a+b)·(a-b)=a2-b2
解析:根据a·b=|a||b|cos
θ,且cos
θ
≤1,知|a·b|≤|a||b|,选项A不恒成立;当向量a和b方向不相同时,|a-b|>||a|-|b||,选项B不恒成立;根据|a+b|2=a2+2a·b+b2=(a+b)2,选项C恒成立;根据向量的运算性质得(a+b)·(a-b)=a2-b2,选项D恒成立.
答案:CD
10.多空题若非零向量a,b满足|a|=1,且(a-b)·(a+b)=,则|b|=.若a·b=时,则向量a与b的夹角θ的值为45°.
解析:因为(a-b)·(a+b)=,
所以a2-b2=,
所以|b|2=|a|2-=1-=,所以|b|=(负值舍去).
因为cos
θ==,且0°≤θ≤180°,
所以θ=45°.
