(共21张PPT)
第六章 平面向量及其应用
答案:D(共21张PPT)
第六章 平面向量及其应用(共22张PPT)
第六章 平面向量及其应用(共24张PPT)
第六章 平面向量及其应用
答案:DA级 基础巩固
1.如图所示,向量的坐标是
( )
A.(1,1)
B.(-1,-2)
C.(2,3)
D.(-2,-3)
解析:由图知M(1,1),N(-1,-2),则=(-1-1,-2-1)=(-2,-3).
答案:D
2.已知向量a,b满足a+b=(1,3),a-b=(3,-3),则a,b的坐标分别为( )
A.(4,0),(-2,6)
B.(-2,6),(4,0)
C.(2,0),(-1,3)
D.(-1,3),(2,0)
解析:2a=(a+b)+(a-b)=(1,3)+(3,-3)=(4,0),所以a=(2,0).
b=(a+b)-a=(1,3)-(2,0)=(1-2,3-0)=(-1,3).
答案:C
3.已知平面向量a=(x,1),b=(-x,x2),则向量a+b( )
A.平行于y轴
B.平行于第一、三象限的角平分线
C.平行于x轴
D.平行于第二、四象限的角平分线
解析:a+b=(0,1+x2),故平行于y轴.
答案:A
4.在平面直角坐标系Oxy中,已知点A(3,5),B(5,1),P(2,1),M是坐标平面内的一点.若四边形APBM是平行四边形,则点M的坐标为(6,5).
解析:设M(x,y),则=(-1,-4),=(5-x,1-y).
因为四边形APBM是平行四边形,
所以=,
所以(-1,-4)=(5-x,1-y),
所以
所以
所以点M的坐标为(6,5).
5.在平面直角坐标系Oxy中,向量a,b,c的方向如图所示,且|a|=2,|b|=3,|c|=4,分别计算出它们的坐标.
解:设a=(a1,a2),b=(b1,b2),c=(c1,c2),
则a1=|a|cos
45°=2×=,
a2=|a|sin
45°=2×=,
b1=|b|cos
120°=3×（-）=-,
b2=|b|sin
120°=3×=,
c1=|c|cos(-30°)=4×=2,
c2=|c|sin(-30°)=4×（-）=-2.
因此a=(,),b=（-,）,c=(2,-2).
B级 能力提升
6.若向量=(2,4),=(-2,2n),=(m,2),m,n∈R,则m+n的值( )
A.-2
B.-1
C.0
D.1
解析:因为=+,
所以(m,2)=(2,4)+(-2,2n),
即所以则m+n=-1.
答案:B
7.如图,在平行四边形ABCD中,AC为一条对角线,=(2,4),=
(-1,-3),则=(3,5).
解析:在平行四边形ABCD中,
因为=(2,4),=(-1,-3),
所以=(1,3),
所以=-=(1,3)-(2,4)=(-1,-1).
所以=+=-=(2,4)-(-1,-1)=(3,5).
8.以原点O及点A(2,-2)为顶点作一个等边三角形AOB,求点B的坐标及向量的坐标.
解:如图所示,因为△AOB为等边三角形,且A(2,-2),
所以||=||=||=4.
因为在0~2π范围内,以Ox为始边,OA为终边的角为,当点B在OA的上方,即点B在点B1时,以OB为终边的角为,由三角函数的定义,得=（4cos,4sin）=(2,2).
所以=-=(2,2)-(2,-2)=(0,4).
当点B在OA的下方,即点B在点B2时,以OB为终边的角为,
由三角函数的定义,得=(0,-4),
所以=-=(0,-4)-(2,-2)=(-2,-2).
综上所述,点B的坐标为(2,2),的坐标为(0,4)或点B的坐标为(0,-4),的坐标为(-2,-2).
C级 挑战创新
9.多选题已知向量i=(1,0),j=(0,1),对坐标平面内的任意一个向量a,则下列结论正确的是
( )
A.存在唯一的一对实数x,y,使得a=(x,y)
B.若a=(x1,y1)=(x2,y2),则x1=x2,且y1=y2
C.若a=(x,y),且a≠0,则a的起始点是原点O
D.若a≠0,且a的终点坐标是(x,y),则a=(x,y)
解析:由平面向量基本定理可知选项A正确,选项B正确;因为向量可以平移,所以a=(x,y)与a的起始点是不是原点无关,故选项C错误;a的坐标为终点坐标,是以a的起始点是原点为前提的,故选项D错误.
答案:AB
10.多空题已知O是坐标原点,点A在第一象限,||=4,∠xOA=
60°,则向量=(2,6);若点B(,-1),则=(,7).
解析:设点A(x,y),则x=4cos
60°=2,y=4sin
60°=6,即A(2,6),=(2,6).
因为B(,-1),所以=(2,6)-(,-1)=(,7).A级 基础巩固
1.若向量a=(3,m),b=(2,-1),a·b=0,则实数m的值为
( )
A.-
B.
C.2
D.6
解析:因为a=(3,m),b=(2,-1),a·b=0,
所以3×2+m·(-1)=0,所以m=6.
答案:D
2.在平面直角坐标系Oxy中,已知四边形ABCD是平行四边形,=(1,-2),=(2,1),则·=
( )
A.5
B.4
C.3
D.2
解析:由四边形ABCD为平行四边形,知=+=(3,-1),故·=(2,1)·(3,-1)=5.
答案:A
3.若正方形OABC两边AB,BC的中点分别为点D和E,则∠DOE的余弦值为
( )
A.
B.
C.
D.
解析:以点O为原点,所在直线为x轴建立平面直角坐标系,设正方形OABC的边长为1,则D（1,）,E（,1）,于是cosDOE==.
答案:D
4.已知a=(-1,3),b=(1,t),若(a-2b)⊥a,则|b|=.
解析:因为a=(-1,3),b=(1,t),
所以a-2b=(-3,3-2t).因为(a-2b)⊥a,所以(a-2b)·a=0,即(-3)×(-1)+3(3-2t)=0,解得t=2,所以b=(1,2),所以|b|==.
5.已知a,b,c是同一平面内的三个向量,其中a=(1,2).
(1)若|c|=2,且c∥a,求c的坐标;
(2)若|b|=,且a+2b与2a-b垂直,求a与b的夹角θ.
解:(1)设c=(x,y),因为|c|=2,
所以=2,所以x2+y2=20.
由c∥a,得1×y-2×x=0,
所以解得或
故c=(2,4)或c=(-2,-4).
(2)因为(a+2b)⊥(2a-b),所以(a+2b)·(2a-b)=0,
即2a2+3a·b-2b2=0,
所以2×5+3a·b-2×=0,
整理得a·b=-,
所以cos
θ==-1.
因为θ∈[0,π],所以θ=π.
B级 能力提升
6.已知点A(2,-1),B(4,2),点P在x轴上,当·取最小值时,点P的坐标是
( )
A.(2,0)
B.(4,0)
C.（,0）
D.(3,0)
解析:设P(a,0),则=(2-a,-1),=(4-a,2),所以·=(2-a)(4-a)-
2=a2-6a+6.由二次函数的性质,得当a=3时,·有最小值,此时点P的坐标是(3,0).
答案:D
7.已知平面向量a=(1,2),b=(4,2),c=ma+b(m∈R),若c与a的夹角等于c与b的夹角,则m=2.
解析:由a=(1,2),b=(4,2),得c=ma+b=(m+4,2m+2).
因为|a|=,|b|=2,a·c=5m+8,b·c=8m+20,
且c与a的夹角等于c与b的夹角,
所以=,
即=,解得m=2.
8.设向量a=(cos
α,sin
α)(0≤α<2π),b=-,,且a与b不共线.
(1)求证:(a+b)⊥(a-b);
(2)若向量a+b与a-b的模相等,求α.
(1)证明:由题意可得a+b=（cos
α-,sin
α+）,
a-b=（cos
α+,sin
α-）,
所以(a+b)·(a-b)=cos2α-+sin2α-=0,
所以(a+b)⊥(a-b).
(2)解:因为向量a+b与a-b的模相等,
所以(a+b)2=(a-b)2,
所以a2-b2+2a·b=0.
因为|a|==1,|b|==1,
所以1-1+2a·b=0,解得a·b=0,
所以-cos
α+sin
α=0,
所以tan
α=.
因为0≤α<2π,所以α=或.
C级 挑战创新
9.多选题设向量a=(1,0),b=,,则下列结论正确的是
( )
A.|a|=|b|
B.a·b=
C.a-b与b垂直
D.a∥b
解析:由题意,知|a|==1,|b|==,且a,b不平行,故选项A、D错误;
a·b=1×+0×=,(a-b)·b=a·b-|b|2=-=0,所以a-b与b垂直,故选项B、C正确.
答案:BC
10.多空题已知向量a=(-2,2),b=(5,k).若a⊥b,则k的值为5;若|a+b|不超过5,则k的取值范围为-6≤k≤2.
解析:因为a⊥b,所以a·b=0,
所以(-2)×5+2k=0,所以k=5.
a+b=(3,2+k),因为|a+b|≤5,
所以|a+b|2=32+(2+k)2≤25,
所以-6≤k≤2.A级 基础巩固
1.已知点A(1,1),B(4,2)和向量a=(2,λ),若a∥,则实数λ的值( )
A.-
B.
C.
D.-
解析:根据A,B两点的坐标可得=(3,1).
因为a∥,所以2×1-3λ=0,解得λ=,故选C.
答案:C
2.若A(3,-6),B(-5,2),C(6,y)三点共线,则y=( )
A.13
B.-13
C.9
D.-9
解析:因为A,B,C三点共线,所以∥,而=(-8,8),=(3,y+6),
所以-8(y+6)-8×3=0,解得y=-9.
答案:D
3.已知点A(2,3),B(-1,5),且=,则点C的坐标为（1,）.
解析:==（-1,）,=+=（1,）,即C（1,）.
4.已知点A(-1,4),B(x,-2),若点C(3,3)在直线AB上,则x=23.
解析:=(x+1,-6),=(4,-1).
因为点C在直线AB上,所以∥,所以-(x+1)+24=0,所以x=23.
5.已知a=(1,0),b=(2,1).
(1)当k为何值时,ka-b与a+2b共线?
(2)若=2a+3b,=a+mb且A,B,C三点共线,求m的值.
解:(1)ka-b=k(1,0)-(2,1)=(k-2,-1),a+2b=(1,0)+2(2,1)=(5,2).
因为ka-b与a+2b共线,所以2(k-2)-(-1)×5=0,
即2k-4+5=0,所以k=-.
(2)因为A,B,C三点共线,所以=λ,λ∈R,即2a+3b=λ(a+mb),所以解得m=.
B级 能力提升
6.已知a=(-2,1-cos
θ),b=（1+cos
θ,-）,且a∥b,则锐角θ等于( )
A.45°
B.30°
C.60°
D.15°
解析:由a∥b,得-2×（-）-(1-cos
θ)(1+cos
θ)=0,即=1-cos2θ=sin2θ,故sin
θ=±.因为θ为锐角,所以sin
θ=,θ=45°.
答案:A
7.已知向量a=(1,0),b=(0,1),c=ka+b(k∈R),d=a-b,如果c∥d,那么( )
A.k=1且c与d同向
B.k=1且c与d反向
C.k=-1且c与d同向
D.k=-1且c与d反向
解析:因为c∥d,所以c=λd,即ka+b=λ(a-b).因为a,b不共线,所以所以
所以c=-d,所以c与d反向.
答案:D
8.已知四点A(x,0),B(2x,1),C(2,x),D(6,2x).
(1)求实数x,使两向量,共线;
(2)当两向量∥时,A,B,C,D四点是否在同一条直线上?
解:(1)=(x,1),=(4,x).
因为,共线,所以x2-4=0,
则当x=±2时,两向量,共线.
(2)当x=-2时,=(6,-3),=(-2,1),
则∥,此时A,B,C三点共线.
因为∥,
所以当x=-2时,A,B,C,D四点在同一条直线上.
当x=2时,A,B,C,D四点不共线.
C级 挑战创新
9.多空题已知点A(1,-2),若线段AB的中点坐标为(3,1),则点B的坐标为(5,4);若与向量a=(1,λ)共线,则λ=.
解析:由题意,得点B的坐标为(3×2-1,1×2+2)=(5,4),则=(4,6).因为与a=(1,λ)共线,
所以4λ-6=0,所以λ=.
10.多空题已知平面内给定三个向量:a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1),则3a+b-2c=(0,6);若(a+kc)∥(2b-a),则实数k=-.
解析:3a+b-2c=3(3,2)+(-1,2)-2(4,1)=(9,6)+(-1,2)-(8,2)=
(9-1-8,6+2-2)=(0,6).
因为a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2),
且(a+kc)∥(2b-a),所以(3+4k)×2-(-5)×(2+k)=0,所以k=-.A级 基础巩固
1.如图所示,向量a-b等于
( )
A.-4e1-2e2
B.-2e1-4e2
C.e1-3e2
D.3e1-e2
解析:令a=,b=,
则a-b=-=,由平行四边形法则可知=e1-3e2.
答案:C
2.如图所示,在矩形ABCD中,若=5e1,=3e2,则=
( )
A.(5e1+3e2)
B.(5e1-3e2)
C.(3e2-5e1)
D.(5e2-3e1)
解析:==(+)=(+)=(5e1+3e2).
答案:A
3.已知A,B,D三点共线,若对任意一点C,都有=+λ,则λ=( )
A.
B.
C.-
D.-
解析:因为A,B,D三点共线,所以存在实数t,使=t,则-=t(-),即=+t(-)=(1-t)+t,
所以故λ=-.
答案:C
4.设{e1,e2},{a,b}分别表示平面内所有向量的两个基底,且a=e1+2e2,b=-e1+e2,则用向量a,b表示向量e1+e2为a-b.
解析:因为a=e1+2e2
①,b=-e1+e2
②,
所以①+②,得a+b=3e2,
所以e2=,代入②,得
e1=e2-b=-b=a-b,
故有e1+e2=a-b+=a-b.
5.已知向量a,b是不共线向量,实数x,y满足(3x-4y)a+(2x-3y)b=
6a+3b,则x-y的值为3.
解析:因为a与b不共线,
(3x-4y)a+(2x-3y)b=6a+3b,
所以解得所以x-y=3.
6.如图所示,在△ABC中,D为BC的中点,=,=,设=a,=b.
(1)试用a,b表示;
(2)试用a,b表示.
解:(1)因为=a,=b,
所以=-=b-a.
(2)连接AD(图略),因为=a,=(a+b),
所以=-=a+b.
B级 能力提升
7.如图所示,在△ABC中,点D在BC边上,若=2,=r+
s,则r+s的值是
( )
A.
B.
C.-3
D.0
解析:因为==(-),
所以r=,s=-,所以r+s=0.
答案:D
8.如图所示,已知点E,F分别是矩形ABCD的边BC,CD的中点,EF与AC交于点G,若=a,=b,用a,b表示=
( )
A.a+b
B.a+b
C.a-b
D.a+b
解析:易知=,=.
设=λ,则由平行四边形法则可得=λ(+)=2λ+2λ.由于E,G,F三点共线,
则2λ+2λ=1,即λ=,从而=,
从而==(a+b).
答案:D
9.如图所示,D,E,F分别是△ABC的边BC,CA,AB上的点,AD与EF相交于点G,已知CD=2DB,AF=4FB,AG=mAD,AE=tAC.
(1)试用,表示;
(2)若m=,求t的值.
解:(1)因为==-)=-,
所以=+=+(-)=+.
(2)依题意,知=,=t,==+,所以=-=-,=-=t-.
因为E,F,G三点共线,所以设=λ.
因为,不共线,所以=tλ,-=-λ,
解得t=.
C级 挑战创新
10.多空题在△ABC中,点M,N满足=2,=.若=x+y,则x=,y=-.
解析:因为=2,所以=.
因为=,所以=(+),
所以=-=(+)-=-.
因为=x+y,所以x=,y=-.
