(共17张PPT)
第六章 平面向量及其应用
所对角的正弦
==A级 基础巩固
1.在△ABC中,A,B,C的对边分别为a,b,c,若2b=ccos
B+bcos
C,则=( )
A.1
B.2
C.3
D.4
解析:根据正弦定理得到2sin
B=sin
Ccos
B+sin
Bcos
C=sin(B+C)=
sin
A,进而得到2b=a,故=2.
答案:B
2.在△ABC中,A,B,C所对的边分别是a,b,c,若a=bsin
A,则
sin
B=( )
A.
B.
C.
D.-
解析:由正弦定理,得sin
A=sin
Bsin
A,
故sin
B=.
答案:B
3.在△ABC中,若3b=2asin
B,cos
A=cos
C,则△ABC的形状为( )
A.直角三角形
B.等腰三角形
C.等边三角形
D.等腰直角三角形
解析:由正弦定理,知3b=2asin
B可化为3sin
B=2sin
Asin
B.
因为0°
所以sin
B≠0,所以sin
A=,
所以A=60°或120°.
因为cos
A=cos
C,
所以A=C,所以A=60°,
所以△ABC为等边三角形.
答案:C
4.在△ABC中,若sin
A∶sin
B∶sin
C=5∶7∶8,则角B的大小是.
解析:设sin
A=5k,sin
B=7k,sin
C=8k,===m,
所以a=5km,b=7km,c=8km,
所以由余弦定理,得cos
B=,所以B=.
5.在△ABC中,A=60°,sin
B=,a=3,求三角形中其他边与角的大小.
解:由正弦定理,知=,
即b===.
因为sin
B=,所以B=30°或150°.
因为a>b,所以A>B,所以B=30°.
所以C=90°,所以c==2.
B级 能力提升
6.如图所示,正方形ABCD的边长为1,延长BA至点E,使AE=1,连接EC,ED,则sin∠CED=( )
A.
B.
C.
D.
解析:由题意,得EB=EA+AB=2,则在Rt△EB中,EC==
=.在△EDC中,∠EDC=∠EDA+∠ADC=+=.
由正弦定理,得===,
所以sin∠CED=·sin∠EDC=·sin
=.
答案:B
7.在△ABC中,A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知b-c=a,2sin
B=3sin
C,则cos
A的值为-.
解析:由2sin
B=3sin
C及正弦定理,得2b=3c,
即b=c.
因为b-c=a,
所以c=a,即a=2c.
由余弦定理,得
cos
A====-.
8.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a+c=6,b=2,cos
B=.
(1)求a,c的值;
(2)求sin(A-B)的值.
解:(1)由余弦定理,得b2=a2+c2-2accos
B=(a+c)2-2ac(1+cos
B).
因为a+c=6,b=2,cos
B=,所以ac=9.
由a+c=6,ac=9,解得a=3,c=3.
(2)在△ABC中,因为cos
B=,
所以sin
B==.
由正弦定理,得sin
A==.
因为a=c,所以A为锐角,
所以cos
A==.
所以sin(A-B)=sin
Acos
B-cos
Asin
B=.
C级 挑战创新
9.多选题在△ABC中,下列关系中一定成立的是( )
A.a>bsin
A
B.asin
B=bsin
A
C.aA
D.a≥bsin
A
解析:由正弦定理=,得asin
B=bsin
A,所以B正确.在△ABC中,0B≤1,
故asin
B≤a,所以a≥bsin
A,故D也正确.
答案:BD
10.有一道解三角形的题目,因纸张破损有一个条件模糊不清,具体如下:“在△ABC中,A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a=,B=,b=或c=,求角A.”经推断,破损处的条件为三角形一边的长度,且答案提示A=,试在横线上将条件补充完整.
解析:分两种情况:(1)若破损处的条件为边b的长度,则由=,得b===;(2)若破损处的条件为边c的长度,由A+B+C=π,B=,A=,知C=,再运用正弦定理,得c=.(共17张PPT)
第六章 平面向量及其应用A级 基础巩固
1.△ABC的三个内角A,B,C所对的边的长分别为a,b,c,设向量p=(a+c,b),q=(b-a,c-a).若p∥q,则角C等于
( )
A.
B.
C.
D.
解析:因为p=(a+c,b),q=(b-a,c-a),p∥q,
所以(a+c)(c-a)-b(b-a)=0,
整理,得b2+a2-c2=ab,
所以cos
C===,解得C=.
答案:B
2.在△ABC中,A,B,C的对边分别为a,b,c,若>0,则
△ABC( )
A.一定是锐角三角形
B.一定是直角三角形
C.一定是钝角三角形
D.是锐角三角形或直角三角形
解析:由>0,得-cos
C>0,
所以cos
C<0,
所以C为钝角,即△ABC一定是钝角三角形.
答案:C
3.已知△ABC的两边长a,b是方程x2-2x+2=0的两个实数根,且有2
cos(A+B)=1,则第三边长c等于.
解析:易知cos
C=-cos(A+B)=-,
所以C=120°.
因为a,b是方程x2-2x+2=0的两个实数根,
所以
所以c2=a2+b2-2abcos
C=a2+b2-2abcos
120°=a2+b2+ab=
(a+b)2-ab=(2)2-2=10,
即c=.
4.在△ABC中,若a=2,b+c=7,cos
B=-,则b=4.
解析:因为b+c=7,所以c=7-b.
由余弦定理,得b2=a2+c2-2accos
B,
即b2=4+(7-b)2-2×2×(7-b)×（-）,
解得b=4.
5.在△ABC中,已知sin
C=,a=2,b=2,求边c.
解:因为sin
C=,且0所以C=或.
当C=时,cos
C=,
此时,c2=a2+b2-2abcos
C=4,即c=2.
当C=时,cos
C=-,
此时,c2=a2+b2-2abcos
C=28,即c=2.
B级 能力提升
6.设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=2,c=2,
cos
A=,且b( )
A.3
B.2
C.2
D.
解析:由a2=b2+c2-2bccos
A,得4=b2+12-6b,解得b=2或4.因为b答案:C
7.如图所示,△ABC的内切圆O切边AC于点E,且AE=1,EC=3.若2B=A+C,则AB的长等于-1.
解析:由于2B=A+C,所以B=.
根据切线长定理可知AF=AE=1,EC=DC=3.
设BF=BD=x,则由余弦定理,得
cos
==,
解得x=-2,所以AB=AF+BF=1+-2=-1.
8.在△ABC中,AB=2,AC=,BC=1+,若AD为边BC上的高,则AD的长是.
解析:因为cos
C==,
所以sin
C=,所以AD=ACsin
C=.
9.在△ABC中,A,B,C的对边分别为a,b,c,且1+=-.
(1)求A;
(2)若a=,求b+c的最大值.
解:(1)因为1+=-,
所以1+=-,
即=-,
所以=-,
所以cos
A=-.
因为0(2)因为a=,A=,
所以由余弦定理可知a2=b2+c2-2bccos
A,
即3=b2+c2+bc=(b+c)2-bc.
因为bc≤,所以b+c≤2,
所以b+c的最大值为2.
C级 挑战创新
10.多空题在△ABC中,若AB=5,BC=7,AC=8,则cos∠ABC=,
·=-5.
解析:由余弦定理,得
cos∠ABC===.
因为与的夹角为180°-∠ABC,
所以·=||||cos(180°-∠ABC)=5×7×（-）=-5.A级 基础巩固
1.在△ABC中,设=c,=a,=b,若c·(c+a-b)<0,则△ABC是( )
A.直角三角形
B.锐角三角形
C.钝角三角形
D.无法确定其形状
解析:由已知,得·(+-)=·2<0,所以A为钝角.所以
△ABC为钝角三角形.
答案:C
2.在四边形ABCD中,=(12,2),=(x,y),=(-4,-6).若∥,且⊥,则四边形ABCD的面积为
( )
A.16
B.64
C.32
D.128
解析:=++=(x+8,y-4),=+=(x+12,y+2),
=+=(x-4,y-6).
因为∥,且⊥,=-,
所以
解得或
所以||=16,||=8或||=8,||=16,
所以S四边形ABCD=||·||=64.
故选B.
答案:B
3.已知△ABC的重心是点G,CA的中点为点M,且A,M,G三点的坐标分别是(6,6),(7,4),（,）,则||为
( )
A.4
B.
C.
D.2
解析:设B(x1,y1),C(x2,y2),
由条件可知即所以C(8,2).
因为所以所以B(2,0),
所以||=|BC|===2.
答案:D
4.在△ABC中,若(++)=,则点G是△ABC的( )
A.内心
B.外心
C.垂心
D.重心
解析:因为(++)=,所以-+-+-=3,化简得++=0,故点G为△ABC的重心.
答案:D
5.如图所示,在平行四边形ABCD中,AD=1,AB=2,对角线BD=2,求对角线AC的长.
解:设=a,=b,则=a-b,=a+b.
因为||=|a-b|==
==2,
所以5-2a·b=4,
所以a·b=.
因为||2=|a+b|2=a2+2a·b+b2=1+4+2a·b=6,
所以||=,即AC=.
B级 能力提升
6.在△ABC所在的平面内有一点P,满足++=,则△PBC与△ABC的面积之比是
( )
A.
B.
C.
D.
解析:由++=,得+++=0,即=2,所以点P是CA边上的三等分点(靠近点A),如图所示.
故==.
答案:C
7.在Rt△ABC中,点D是斜边AB的中点,点P为线段CD的中点,则=
( )
A.2
B.4
C.5
D.10
解析:将△ABC各边及PA,PB,PC均用向量表示,
则
=
=
=
=-6=42-6=10.
答案:D
8.△ABC是等腰直角三角形,∠B=90°,D是BC边的中点,BE⊥AD,延长BE交AC于点F,连接DF,求证:∠ADB=∠FDC.
证明:如图所示,建立直角坐标系,
设A(2,0),C(0,2),则D(0,1),
所以=(-2,1),=(-2,2).
设F(x,y),由⊥,
得·=0,即-2x+y=0,
①
因为点F在AC上,则∥.
因为=(-x,2-y),
所以2×(-x)-(-2)×(2-y)=0,
即x+y=2.
②
由①②联立得x=,y=,
所以F（,）,=（,）.
因为=(0,1),
所以·=.
因为·=||||cos∠FDC=cos
θ,
所以cos∠FDC=.
因为cos∠ADB===,
所以cos∠ADB=cos∠FDC,故∠ADB=∠FDC.
C级 挑战创新
9.多空题已知A,B是圆心为C、半径为的圆上的两点,且|AB|=,则∠ACB=60°,·=-.
解析:由弦长|AB|=可知∠ACB=60°,
所以·=-·=-||||cos∠ACB=-.
10.多空题在四边形ABCD中,=(1,2),=(-4,2),则与的夹角θ为;四边形ABCD的面积为5.
解析:
由题意知AC,BD为四边形的对角线,
且·=1×(-4)+2×2=0,
所以AC⊥BD,即与的夹角θ为.
所以S四边形ABCD=×||×||
=××
=××=5.(共18张PPT)
第六章 平面向量及其应用A级 基础巩固
1.已知三个力F1=(-2,-1),F2=(-3,2),F3=(4,-3)同时作用于某物体上的一点,为使物体保持平衡,若加上一个力F4,则F4等于
( )
A.(-1,-2)
B.(1,-2)
C.(-1,2)
D.(1,2)
解析:为使物体平衡,即合力为零,则四个向量相加等于零向量,所以F4=(0-(-2)-(-3)-4,0-(-1)-2-(-3))=(1,2).
答案:D
2.已知两个力F1,F2的夹角为90°,它们的合力大小为10
N,合力与F1的夹角为60°,那么F1的大小为
( )
A.5
N
B.5
N
C.10
N
D.5
N
解析:根据题意作出示意图,如图所示,有|F1|=|F|·cos
60°=10×=5(N).
答案:B
3.作用于同一点的两个力F1,F2的夹角为,且|F1|=3,|F2|=5,则F1+F2的大小为.
解析:|F1+F2|2=(F1+F2)2=+2F1·F2+=32+2×3×5×cos+52=19,所以|F1+F2|=.
4.点P在平面上做匀速直线运动,速度向量v=(4,-3)(即点P的运动方向与v相同且每秒移动的距离为|v|个单位长度),设开始时点P的坐标为(-10,10),则5
s后点P的坐标是(10,-5).
解析:由题意可知5
s后点P的坐标为(-10,10)+5v=(10,-5).
5.在水流速度为4
km/h的河水中,一艘船以12
km/h的实际航行速度垂直于对岸行驶,求这艘船航行速度的大小与方向.
解:如图所示,
设表示水流速度,表示船垂直于对岸行驶的速度,以为一条边,为一条对角线作□ABCD,则就是船的航行速度.
因为||=4,||=12,
所以||=||=8,tan
∠ACB==,
所以∠CAD=∠ACB=30°,∠BAD=120°.
即这艘船的航行速度的大小为8
km/h,方向与水流方向的夹角为120°.
B级 能力提升
6.如果一架飞机向东飞行200
km,再向南飞行300
km,记飞机飞行的路程为s,位移为a,则
( )
A.s>|a|
B.s<|a|
C.s=|a|
D.s与|a|不能比大小
解析:s=200+300=500(km),
|a|==100(km),所以s>|a|.
答案:A
7.两个大小相等的共点力F1,F2,当它们的夹角为90°时,合力的大小为20
N,当它们的夹角为120°时,合力的大小为
( )
A.40
N
B.10
N
C.20
N
D.40
N
解析:如图所示,以F1,F2为邻边作平行四边形,F为这两个力的合力.
由题意易知|F|=|F1|,|F|=20
N,
所以|F1|=|F2|=10
N.
当它们的夹角为120°时,以F1,F2为邻边作平行四边形,
此平行四边形为菱形,
此时|F|=|F1|=10
N.
答案:B
8.已知力F与水平方向的夹角为30°(斜向上),大小为50
N,一个质量为8
kg的木块受力F的作用在动摩擦因数μ=0.02的水平平面上运动了20
m.力F和摩擦力f所做的功分别为多少(取重力加速度的大小为10
m/s2)?
解:如示意图所示,设木块的位移为s,
则F·s=|F|·|s|cos
30°=50×20×=500(J).
将力F分解成竖直向上的分力f1和水平方向的分力f2,
则|f1|=|F|sin
30°=50×=25(N).
所以|f|=μ(|G|-|f1|)=0.02×(8×10-25)=1.1(N).因此f·s=|f|·|s|cos
180°=1.1×20×(-1)=-22(J).
故力F和摩擦力f所做的功分别为500
J和-22
J.
C级 挑战创新
9.多空题如图所示,在平面直角坐标系中,用坐标表示F1与F2的合力F,则F=(5,4),则合力F的大小为.
解析:由题图可知F1=(2,3),F2=(3,1),所以F=F1+F2=(5,4),|F|==.
10.多空题如图所示,在倾斜角为37°(sin
37°≈0.6),高为2
m的斜面上,质量为5
kg的物体m沿斜面下滑,物体m受到的摩擦力是它对斜面压力的0.5倍,则斜面对物体m的支持力所做的功为0
J,重力所做的功为98
J(g=9.8
m/s2).
解析:物体m的位移大小为|s|=≈(m),则支持力对物体m所做的功为W1=F·s=|F||s|cos
90°=0(J).
重力对物体m所做的功为W2=G·s=|G||s|·cos
53°≈5×9.8××0.6=98(J).(共21张PPT)
第六章 平面向量及其应用A级 基础巩固
1.某人向正东走了x
km后向左转了150°,然后沿新方向走了3
km,结果离出发点恰好
km,那么x的值是
( )
A.
B.2
C.3
D.2或
解析:根据题意画出示意图如图所示,
由正弦定理,得sin∠CAB===.
因为BC>AC,所以∠CAB>B,B=30°,
所以∠CAB=60°或∠CAB=120°.
当∠CAB=60°时,∠ACB=90°,x=2;
当∠CAB=120°时,∠ACB=30°,x=.故选D.
答案:D
2.如图所示,某工程中要将一个长为100
m,倾斜角为75°的斜坡改造成倾斜角为30°的斜坡,并保持坡高不变,则坡底需加长
( )
A.100
m
B.100
m
C.50(+)m
D.200
m
解析:如图所示.
由条件知AD=100sin
75°=100sin(45°+30°)=100(sin
45°cos
30°+cos
45°sin
30°)=25(+)(m),
CD=100cos
75°=25(-)(m),
所以BD===25(3+)(m).
所以BC=BD-CD=25(3+)-25(-)=
100(m).
答案:A
3.如图所示,当甲船位于A处时获悉,在其正东方向相距20
n
mile的B处,有一艘渔船遇险等待营救,甲船立即前往营救,同时把消息告知在甲船的南偏西30°相距10
n
mile
C处的乙船,乙船立即朝北偏东θ+
30°角的方向沿直线前往B处营救,则sin
θ
的值为
( )
A.
B.
C.
D.
解析:如图所示,连接BC.
在△ABC中,AC=10
n
mile,AB=20
n
mile,∠CAB=120°,
根据余弦定理,得BC2=AC2+AB2-2AC·AB·cos∠CAB=100+
400+200=700,
所以BC=10
n
mile.
根据正弦定理,得=,
即=,
所以sin∠ACB=,所以sin
θ=.
答案:C
4.学校里有一棵树,甲同学在A地测得树尖的仰角为45°,乙同学在B地测得树尖的仰角为30°,量得AB=AC=10
m,树根部为C(A,B,C在同一水平面上),则∠ACB=30°.
解析:如图所示,AC=10
m,∠DAC=45°,
所以DC=10
m.
因为∠DBC=30°,所以BC=10
m,cos∠ACB==,所以∠ACB=30°.
5.如图所示,为测量山高MN,选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从点A测得点M的仰角∠MAN=60°,点C的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°;从点C测得∠MCA=60°.已知山高BC=100
m,求山高MN.
解:如图所示,在Rt△ABC中,BC=100
m,∠CAB=45°,所以AC=
100
m.
在△AMC中,∠CAM=75°,∠ACM=60°,
所以∠AMC=45°.
已知AC=100
m,
所以由正弦定理,知=,
所以AM=100
m.
在Rt△AMN中,∠NAM=60°,
所以MN=AM·sin
60°=100×=150(m).
B级 能力提升
6.在某个位置测得某山峰仰角为θ,对着山峰在地面上前进600
m后测得仰角为2θ,继续在地面上前进200
m以后测得山峰的仰角为4θ,则该山峰的高度为300
m.
解析:如图所示,
△BED,△BDC为等腰三角形,BD=ED=600
m,BC=DC=200
m.
在△BCD中,由余弦定理可得,
cos
2θ==,
所以2θ=30°,4θ=60°.
在Rt△ABC中,AB=BC·sin
4θ=200×=300(m).
7.一只蜘蛛沿东北方向爬行x
cm捕捉到一只小虫,然后向右转105°,爬行10
cm捕捉到另一只小虫,这时它向右转135°爬行可回到它的出发点,那么x=cm.
解析:如图所示,在△ABC中,AB=x,BC=10,∠ABC=180°-105°=75°,
∠BCA=180°-135°=45°,
所以∠BAC=180°-75°-45°=60°.
由正弦定理,得=,所以x=(cm).
8.某海岛周围42
n
mile有暗礁,一轮船由西向东航行,初测此岛在北偏东60°方向,航行30
n
mile后测得此岛在东北方向,若不改变航向,则此轮船有触礁危险(填“有”或“无”).
解析:如图所示,
由题意可知,在△ABC中,AB=30
n
mile,∠BAC=30°,∠ABC=135°,所以∠ACB=15°.
由正弦定理,得BC====15(+).
在Rt△BDC中,CD=BC=15(+1)<42.
所以此船有触礁的危险.
9.据气象台预报,在S岛正东距S岛300
km的A处有一台风中心形成,并以每小时30
km的速度向北偏西30°的方向移动,在距台风中心270
km以内的地区将受到台风的影响.问:S岛是否受其影响?若受到影响,从现在起经过多少小时S岛开始受到台风的影响?持续时间多久?说明理由.
解:如图所示,设台风中心经过t
h到达点B,由题意得
∠SAB=90°-30°=60°.
在△SAB中,SA=300,AB=30t,
由余弦定理,得
SB2=SA2+AB2-2SA·AB·cos∠SAB=3002+(30t)2-2×300×30tcos
60°.
若S岛受到台风影响,则应满足条件|SB|≤270,即SB2≤2702,
化简整理得t2-10t+19≤0,
解得5-≤t≤5+,
所以从现在起,经过(5-)h
S岛开始受到影响,(5+)h后影响结束,持续时间:(5+)-(5-)=2(h),即S岛受到影响,从现在起经过(5-)h
S岛开始受到台风影响,且持续时间为2
h.
C级 挑战创新
10.多空题如图所示,在离地面高400
m的热气球上,观测到山顶C处的仰角为15°,山脚A处的俯角为45°.已知∠BAC=60°,则∠MCA=45°.山的高度BC=600
m.
解析:如图所示,过点M作MD⊥AB,垂足为D.
在Rt△AMD中,∠MAD=45°,MD=400
m,
AM==400(m).
在△MAC中,∠AMC=45°+15°=60°,
∠MAC=180°-45°-60°=75°,
所以∠MCA=180°-∠AMC-∠MAC=45°.
由正弦定理,得AC===400(m).
在Rt△ABC中,BC=ACsin∠BAC=400×=600(m).(共23张PPT)
第六章 平面向量及其应用A级 基础巩固
1.设A,B两点在河的两岸,要测量两点之间的距离,测量者在A的同侧,在河岸边选定一点C,测出AC的距离是100
m,∠BAC=60°,∠ACB=30°,则A,B两点的距离为
( )
A.40
m
B.50
m
C.60
m
D.70
m
解析:如图所示,由题意可知,△ABC是直角三角形,AB=AC,所以AB=50
m.
答案:B
2.要直接测量河岸之间的距离(河的两岸可视为平行),由于受地理条件和测量工具的限制,可采用如下办法:如图所示,在河的一岸边选取A,B两点,观察对岸的点C,测得∠CAB=45°,∠CBA=75°,且AB=
120
m,由此可得河宽为(精确到1
m)( )
A.170
m
B.98
m
C.95
m
D.86
m
解析:在△ABC中,
AB=120
m,∠CAB=45°,
∠CBA=75°,则∠ACB=60°.
由正弦定理,得BC==40(m).
设在△ABC中,AB边上的高为h,则h即为河宽,
所以h=BC·sin∠CBA=40×sin
75°≈95(m).
答案:C
3.已知A,B,C三地,其中A,C两地被一个湖隔开,A,B在湖的同侧,若测得AB=3
km,B=45°,C=30°,则A,C两地的距离为3km.
解析:根据题意,由正弦定理可得=,代入数值得=,解得AC=3
km.
4.一船以15
km/h的速度向东航行,船在A处看到一个灯塔B位于北偏东60°方向,行驶4
h后,船到达C处,看到这个灯塔在北偏东15°,这时船与灯塔间的距离为30
km.
解析:如图所示,在△ABC中,AC=15×4=60(km),∠BAC=30°,
∠ACB=105°,
所以∠ABC=45°.
根据正弦定理,得
BC===30(km).
5.如图所示,一架飞机从A地飞到B地,两地相距700
km.飞行员为了避开某一区域的雷雨云层,从机场起飞后,就沿与原来的飞行方向成21°角的方向飞行,飞行到中途,再沿与原来的飞行方向成35°夹角的方向继续飞行直到终点.这样飞机的飞行路程比原来路程远了多少?
解:在△ABC中,AB=700
km,∠ACB=180°-21°-35°=124°.
根据正弦定理,得==,
所以AC=,BC=,
AC+BC=+≈786.89(km),786.89-700=86.89(km).
所以飞机的飞行路程比原来路程远了86.89
km.
B级 能力提升
6.已知船A在灯塔C北偏东85°,且到C的距离为2
km,船B在灯塔C北偏西65°,且到C的距离为
km,则A,B两船的距离为
( )
A.2
km
B.3
km
C.
km
D.
km
解析:据图可知∠ACB=85°+(90°-25°)=150°,
AC=2
km,BC=
km,
所以AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos
150°=13,
所以AB=
km.
答案:D
7.甲船在湖中B岛的正南A处,AB=3
km,甲船以8
km/h的速度向正北方向航行,同时乙船从B岛出发,以12
km/h的速度向北偏东60°方向驶去,则行驶15
min时,两船的距离是
( )
A.
km
B.
km
C.
km
D.
km
解析:如示意图所示.由题意知AM=8×=2(km),BN=12×=3(km),MB=AB-AM=3-2=1(km),所以由余弦定理,得MN2=MB2+BN2-2MB·BNcos
120°=1+9-2×1×3×（-）=13,所以MN=
km.
答案:B
8.一条船以24
km/h的速度向正北方向航行,在点A处望见灯塔S在船的北偏东30°方向上,15
min
后到点B处望见灯塔在船的北偏东65°方向上,则船在点B时与灯塔S的距离是5.2
km.(精确到0.1
km)
解析:作出示意图如图.
由题意知AB=24×=6(km),∠ASB=35°.
由正弦定理,知=,
解得BS≈5.2(km).
9.如图所示,某炮兵阵地位于地面A处,两观察所分别位于地面点C和D处,已知CD=6
000
m.∠ACD=45°,∠ADC=75°,目标出现于地面B处时测得∠BCD=30°,∠BDC=15°.求炮兵阵地到目标的距离AB.(结果保留根号)
解:在△ACD中,∠CAD=60°,
AD==CD.
在△BCD中,∠CBD=135°,
BD==CD.
在Rt△ABD中,AB==CD=1
000
m.
C级 挑战创新
10.多空题一只船自西向东匀速航行,上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距灯塔68
n
mile的M处,下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处,则MN=34
n
mile,这只船的速度为
n
mile/h.
解析:如图所示,易知N=45°.
在△PMN中,=,
所以MN==34,
所以这只船的速度为=
n
mile/h.(共18张PPT)
第六章 平面向量及其应用
a
b
c
解三角形