课时素养评价一 集合的概念
(15分钟 30分)
1.若a是R中的元素,但不是Q中的元素,则a可以是
( )
A.3.14
B.-5
C.
D.
【解析】选D.由题意知a应为无理数,故a可以为.
2.下列说法中正确的个数是
( )
(1)大于3小于5的自然数构成一个集合.
(2)直角坐标平面内第一象限的一些点组成一个集合.
(3)方程(x-1)2(x+2)=0的解组成的集合有3个元素.
A.0
B.1
C.2
D.3
【解析】选B.(1)正确,(1)中的元素是确定的,只有一个,可以构成一个集合.
(2)不正确,“一些点”标准不明确,不能构成一个集合.
(3)不正确,方程的解只有1和-2,集合中有2个元素.
3.若由a2,2
019a组成的集合M中有两个元素,则a的取值可以是
( )
A.0
B.2
019
C.1
D.0或2
019
【解析】
选C.若集合M中有两个元素,则a2≠2
019a.即a≠0且a≠2
019.
4.已知集合A是由偶数组成的,集合B是由奇数组成的,若a∈A,b∈B,则a+b____A,
ab____A.(填“∈”或“?”)?
【解析】因为a∈A,b∈B,所以a是偶数,b是奇数,所以a+b是奇数,ab是偶数,故a+b?A,ab∈A.
答案:? ∈
5.已知集合A含有3个元素a-2,2a2+5a,12,且-3∈A,求a的值.
【解题指南】由-3∈A,分两种情况进行讨论,注意根据集合中元素的互异性进行检验.
【解析】因为-3∈A,
所以a-2=-3或2a2+5a=-3,
解得a=-1或a=-.
当a=-1时,a-2=-3,2a2+5a=-3,
集合A不满足元素的互异性,所以舍去a=-1.
当a=-时,经检验,符合题意.故a=-.
【补偿训练】
设A是由满足不等式x<6的自然数组成的集合,若a∈A且3a∈A,求a的值.
【解析】因为a∈A且3a∈A,
所以解得a<2.
又a∈N,所以a=0或1.
(20分钟 40分)
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.下列三个命题:①集合N中最小的数是1;②-a?N,则a∈N;③a∈N,b∈N,则a+b的最小值是2.其中正确命题的个数是
( )
A.0
B.1
C.2
D.3
【解析】选A.根据自然数的特点,显然①③不正确.②中若a=,则-a?N且a?N,显然②不正确.
2.已知集合A中元素x满足-≤x≤,且x∈N
,则必有
( )
A.-1∈A
B.0∈A
C.∈A
D.1∈A
【解析】选D.因为x∈N
,且-≤x≤,
所以x=1,2.所以1∈A.
3.设集合A含有-2,1两个元素,B含有-1,2两个元素,定义集合A☉B,满足x1∈A,x2∈B,且x1x2∈A☉B,则A☉B中所有元素之积为
( )
A.-8
B.-16
C.8
D.16
【解析】选C.因为集合A含有-2,1两个元素,B含有-1,2两个元素,
由题意得,集合A☉B中所有元素是2,-4,-1,
它们的积为:2×(-4)×(-1)=8.
4.(多选题)下列各组中集合P与Q,表示同一个集合的是
( )
A.P是由元素1,,π构成的集合,Q是由元素π,1,|-|构成的集合
B.P是由π构成的集合,Q是由3.141
59构成的集合
C.P是由2,3构成的集合,Q是由有序数对(2,3)构成的集合
D.P是由满足不等式-1≤x≤1的整数构成的集合,Q是由方程x=0的解构成的集合
【解析】选AD.由于A,D中P,Q的元素完全相同,所以P与Q表示同一个集合,而B,C中P,Q的元素不相同,所以P与Q不能表示同一个集合.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.不等式x-a≥0的解集为A,若3?A,则实数a的取值范围是________.?
【解析】因为3?A,所以3是不等式x-a<0的解,所以3-a<0,解得a>3.
答案:a>3
6.由实数x,-x,|x|,,-所组成的集合,最多含________个元素.?
【解析】当x>0时,x=|x|=,-=-x<0,此时集合共有2个元素,当x=0时,x=|x|==-=-x=0,此时集合共有1个元素,
当x<0时,=|x|=-=-x,此时集合共有2个元素,综上,此集合最多有2个元素.
答案:2
三、解答题
7.(10分)设集合S中的元素x=m+n,m,n∈Z.
(1)若a∈Z,则a是否是集合S中的元素?
(2)对S中的任意两个元素x1,x2,则x1+x2,x1·x2是否属于S?
【解析】(1)a是集合S中的元素,
因为a=a+0×∈S.
(2)不妨设x1=m+n,x2=p+q,m,n,p,q∈Z.
则x1+x2=(m+n)+(p+q)
=(m+p)+(n+q),因为m,n,p,q∈Z.
所以n+q∈Z,m+p∈Z.
所以x1+x2∈S,x1·x2=(m+n)·(p+q)=(mp+2nq)+(mq+np),m,n,p,q∈Z.
故mp+2nq∈Z,mq+np∈Z.
所以x1·x2∈S.综上,x1+x2,x1·x2都属于S.
【补偿训练】
定义满足“如果a∈A,b∈A,那么a±b∈A,且ab∈A,且∈A(b≠0)”,则集合A为“闭集”.试问数集N,Z,Q,R是否分别为“闭集”?若是,请说明理由;若不是,请举反例说明.
【解析】①数集N,Z不是“闭集”,例如,3∈N,2∈N,而=1.5?N;3∈Z,-2∈Z,而=-1.5?Z,故N,Z不是闭集.
②数集Q,R是“闭集”.
由于两个有理数a与b的和,差,积,商,
即a±b,ab,(b≠0)仍是有理数,
所以Q是闭集,同理R也是闭集.
PAGE课时素养评价二 集合的表示
(15分钟 30分)
1.下列集合中,不同于另外三个集合的是
( )
A.{0}
B.{y|y2=0}
C.{x|x=0}
D.{x=0}
【解析】选D.A是列举法;C是描述法;对于B要注意集合的代表元素是y,但实质上表示的都是0,故与A,C相同;而D表示该集合含有一个元素,即方程“x=0”.
2.(2020·镇江高一检测)下列集合表示同一集合的是
( )
A.M={(3,2)},N={(2,3)}
B.M={(x,y)|x+y=1},N={y|x+y=1}
C.M={4,5},N={5,4}
D.M={1,2},N={(1,2)}
【解析】选C.对于A,两个集合中的元素不同;对于B,一个集合中元素是点,一个集合中元素是实数,故不同;对于C,列举法表示集合时,与元素顺序无关,故是相同的集合;对于D,两个集合中,一个元素是数,一个元素是点,故不同.
3.(2020·哈尔滨高一检测)设集合B={x|x2-4x+m=0},若1∈B,则B=
( )
A.
B.
C.
D.
【解析】选A.因为集合B={x|x2-4x+m=0},
1∈B,所以1-4+m=0,解得m=3.
所以B={x|x2-4x+3=0}={1,3}.
4.(2020·承德高一检测)若A={-2,2,3,4},B={x|x=t2,t∈A},用列举法表示集合B为________.?
【解析】由题意可知集合B是由A中元素的平方构成的,故B={4,9,16}.
答案:{4,9,16}
【补偿训练】
用列举法表示集合{(x,y)|(x+1)2+|y-1|=0,x,y∈R}为________.?
【解析】因为(x+1)2≥0,|y-1|≥0,所以(x+1)2=0且|y-1|=0,故有x=-1且y=1,因此答案为{(-1,1)}.
答案:{(-1,1)}
5.用适当的方法表示下列集合:
(1)大于2且小于5的有理数组成的集合.
(2)24的正因数组成的集合.
(3)自然数的平方组成的集合.
(4)由0,1,2这三个数字抽出一部分或全部数字(没有重复)所组成的自然数组成的集合.
【解析】(1)用描述法表示为{x|2
(2)用列举法表示为{1,2,3,4,6,8,12,24}.
(3)用描述法表示为{x|x=n2,n∈N}.
(4)用列举法表示为{0,1,2,10,12,20,21,102,120,210,201}.
(20分钟 40分)
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.下面对集合{1,5,9,13,17}用描述法表示,其中正确的一个是
( )
A.{x|x是小于18的正奇数}
B.{x|x=4k+1,k∈Z,k<5}
C.{x|x=4t-3,t∈N,t<5}
D.{x|x=4s-3,s∈N
,s<6}
【解析】选D.集合中的元素除以4余1,故元素可以用4k+1(0≤k≤4,k∈Z)或4k-3(1≤k≤5,k∈Z)来表示.
2.(2020·济宁高一检测)设集合A={x|x2-x-2=0},B={x||x|=y+2,y∈A},则集合B是
( )
A.{-4,4}
B.{-4,-1,1,4}
C.{0,1}
D.{-1,1}
【解析】选B.解集合A中方程x2-x-2=0,得到x=2或x=-1,
因为y∈A,即y=2或y=-1,
得|x|=y+2=4或|x|=y+2=1,
故x=±4或x=±1,所以集合B={-4,-1,1,4}.
3.(2020·鹤壁高一检测)定义集合A,B的一种运算:A
B={x|x=x1+x2,x1∈A,x2∈B},若A={1,2,3},B={1,2},则A
B中的所有元素之和为
( )
A.21
B.18
C.14
D.9
【解析】选C.因为A
B={x|x=x1+x2,x1∈A,x2∈B},A={1,2,3},B={1,2},
所以A
B={2,3,4,5},所以A
B中的所有元素之和为:2+3+4+5=14.
【补偿训练】
若A={1,2,3},B={3,5},用列举法表示AB={2a-b|a∈A,b∈B}=
________.?
【解析】因为A={1,2,3},B={3,5},又AB={2a-b|a∈A,b∈B},
所以AB={-3,-1,1,3}.
答案:{-3,-1,1,3}
4.(多选题)下列各组中的M,P表示同一集合的是
( )
A.M={3,-1},P={(3,-1)}
B.M={(3,1)},P={(1,3)}
C.M={y|y=-1},P={t|t=-1}
D.集合M={m|m+1≥5},P={y|y=x2+2x+5,x∈R}
【解析】选CD.在A中,M={3,-1}是数集,P={(3,-1)}是点集,二者不是同一集合;在B中,M={(3,1)},P={(1,3)}表示的不是同一个点的集合,二者不是同一集合;在C中,M={y|y=-1}={y|y≥-1},P={t|t=-1}={t|t≥-1},二者表示同一集合;在D中,M={m|m≥4,m∈R},即M中元素为大于或等于4的所有实数,
P={y|y=(x+1)2+4},y=(x+1)2+4≥4,所以P中元素也为大于或等于4的所有实数,故M,P表示同一集合.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.(2020·无锡高一检测)已知集合{a,b,c}={0,1,2}且下列三个关系:①a≠2;②b=2;③c≠0有且只有一个正确,则100a+10b+c=________.?
【解析】若只有①正确,则c=0,a=1,b=2与②不正确矛盾;若只有②正确,则b=2,a=2,c=0与a≠b矛盾;若只有③正确,则a=2,c=1,b=0符合题意.所以100a+10b+c=100×2+10×0+1=201.
答案:201
【补偿训练】
已知集合A={x|x2+px+q=0}={2},则p=________,q=________.?
【解析】由得
答案:-4 4
6.(2020·济南高一检测)设a,b,c为非零实数,m=+++,则m的所有值组成的集合为________.?
【解题指南】根据a,b,c三个数中负数的个数分类讨论.
【解析】当a,b,c均为负数时,,,,均为-1,故m=-4;
当a,b,c只有一个为正数时,,,,中必有两个为1,两个为-1,故m=0;
当a,b,c有两个为正数时,,,,中必有两个为1,两个为-1,故m=0;
当a,b,c均为正数时,,,,均为1,故m=4,
所以由m=+++的所有值组成的集合的元素有0,-4,4,则所求集合为{-4,0,4}.
答案:{-4,0,4}
三、解答题
7.(10分)设A表示集合{2,3,a2+2a-3},B表示集合{|a+3|,2},若5∈A,且5?B,求实数a的值.
【解析】因为5∈A,且5?B,
所以
解得故a=-4.
PAGE课时素养评价
三 子集、真子集
(15分钟 35分)
1.以下四个关系:∈{0},0∈,{}?{0},{0},其中正确的个数是
( )
A.1
B.2
C.3
D.4
【解析】选A.集合与集合间的关系是?,因此∈{0}错误;{
}表示只含有一个元素(此元素是)的集合,所以{}?{0}错误;空集不含有任何元素,因此0∈错误;
{0}正确.因此正确的只有1个.
2.(2020·宿迁高一检测)已知集合A={x|x=x2},B={1,m,2},若A?B,则实数m的值为( )
A.2
B.0
C.0或2
D.1
【解析】选B.由题意,集合A={x|x=x2}={0,1},
因为A?B,所以m=0.
【补偿训练】
已知集合A={1+x2,x},B={1,2,3},且A?B,则实数x的值是
( )
A.-1 B.1 C.3 D.4
【解析】选B.集合A={1+x2,x},B={1,2,3},且A?B,则集合B包含集合A的所有元素,
x=1时,代入A检验,A={2,1},符合题意,
x=2时,代入A检验,A={5,2},不符合题意,
x=3时,代入A检验,A={10,3}不符合题意,
综上,实数x的值是1.
3.(2020·南通高一检测)满足{1}?A?{1,2,3}的集合A的个数为
( )
A.2
B.3
C.8
D.4
【解析】选B.满足条件的集合A有3个,即A={1,2}或{1,3}或{1}.
4.已知集合U,S,T,F的关系如图所示,则下列关系正确的是
( )
①S∈U;②F?T;③S?T;④S?F;⑤S∈F;⑥F?U.
A.①③
B.②③
C.③④
D.③⑥
【解析】选D.元素与集合之间的关系才用∈,故①⑤错;子集的区域要被全部包含,故②④错.
5.(2020·邢台高一检测)已知集合A=,B={b,ba,-1},若A=B,则a+b=________.?
【解析】若=-1,即a=-1时,b=2,经验证符合题意;若-=-1,即a=b,则无解.
所以a+b=1.
答案:1
6.判断下列每组中集合之间的关系:
(1)A={x|-3≤x<5},B={x|-1(2)A={x|x=2n-1,n∈N
},B={x|x=2n+1,n∈N
}.
(3)A={x|x是平行四边形},B={x|x是菱形},
C={x|x是四边形},D={x|x是正方形}.
(4)A={x|-1≤x<3,x∈Z},B={x|x=,y∈A}.
【解析】(1)将两个集合在数轴上表示出来,如图所示,显然有BA.
(2)当n∈N
时,由x=2n-1知x=1,3,5,7,9,….
由x=2n+1知x=3,5,7,9,….
故A={1,3,5,7,9,…},B={3,5,7,9,…},
因此BA.
(3)由图形的特点可画出Venn图,
如图所示,从而可得DBAC.
(4)依题意可得:A={-1,0,1,2},B={0,1,2},
所以BA.
(30分钟 60分)
一、单选题(每小题5分,共20分)
1.(2020·赣州高一检测)已知集合M={x|-( )
A.P={-3,0,1}
B.Q={-1,0,1,2}
C.R={y|-πD.S={x||x|≤,x∈N}
【解析】选D.因为集合M={x|-所以在A中:P={-3,0,1}不是集合M的子集,故A错误;在B中:Q={-1,0,1,2}不是集合M的子集,故B错误;在C中:R={y|-π2.若x,y∈R,A={(x,y)|y=x},B=,则集合A,B间的关系为( )
A.AB
B.AB
C.A=B
D.A?B
【解析】选B.B=={(x,y)|y=x,且x≠0},所以BA.
3.(2020·泰州高一检测)已知集合A={x|x( )
A.[2,+∞)
B.(2,+∞)
C.(-∞,2)
D.(-∞,2]
【解析】选A.因为集合A={x|xB={x|0因为B?A,所以a≥2.
4.(2020·南昌高一检测)已知集合A=,B=,且A是B的真子集.若实数y在集合中,则不同的集合共有
( )
A.4个
B.5个
C.6个
D.7个
【解析】选A.因为A是B的真子集,y在集合{0,1,2,3,4}中,由集合元素的互异性知y=0或y=3,
当y=3时,B={1,2,3,4},x可能的取值为:2,3,4;
当y=0时,B={0,1,2,4},x可能的取值为:0,2,4;由互异性可知集合{x,y}共有2+2=4个.
二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
5.设集合A={-1,1},集合B={x|x2-2ax+b=0},若B≠,B?A,则(a,b)可能是
( )
A.(-1,1)
B.(-1,0)
C.(0,-1)
D.(1,1)
【解析】选ACD.当a=-1,b=1时,B={x|x2+2x+1=0}={-1},符合;当a=-1,b=0时,B={x|x2+2x=0}={0,-2},不符合;
当a=0,b=-1时,B={x|x2-1=0}={-1,1},符合;当a=b=1时,B={x|x2-2x+1=0}={1},符合.
6.已知集合M={x|x2-9=0},则下列式子表示正确的有
( )
A.3∈M
B.{-3}∈M
C.?M
D.{3,-3}?M
【解析】选ACD.根据题意,集合M={x|x2-9=0}={-3,3},依次分析4个选项:
对于A,3∈M,3是集合M的元素,正确;
对于B,{-3}是集合,有{-3}?M,故B选项错误;
对于C,?M,空集是任何集合的子集,正确;
对于D,{3,-3}?M,任何集合都是其本身的子集,正确.
三、填空题(每小题5分,共10分)
7.已知集合A={x|ax2-5x+6=0},若2∈A,则集合A的子集的个数为________.?
【解析】依题意得:4a-10+6=0,解得a=1.则x2-5x+6=0,解得x1=2,x2=3,所以A={2,3},所以集合A的子集个数为4.
答案:4
【补偿训练】
集合A={x|(a-1)x2+3x-2=0}有且仅有两个子集,则a的取值为________.?
【解析】由集合有两个子集可知,该集合是单元素集合,当a=1时,满足题意.当a≠1时,由Δ=9+8(a-1)=0可得a=-.
答案:1或-
8.图中反映的是“文学作品”“散文”“小说”“叙事散文”这四个文学概念之间的关系,请作适当的选择填入下面的空格:
A为________;B为________;?
C为________;D为________.?
【解析】由Venn图可得AB,CDB,A与D之间无包含关系,A与C之间无包含关系.由“文学作品”“散文”“小说”“叙事散文”四个文学概念之间的关系,可得A为小说,B为文学作品,C为叙事散文,D为散文.
答案:小说 文学作品 叙事散文 散文
四、解答题(每小题10分,共20分)
9.已知集合M?{1,2,3,4,5},且当a∈M时,有6-a∈M,试求M所有可能的结果.
【解析】若M只含1个元素,则M={3};
若M只含2个元素,则M={1,5},{2,4};
若M只含3个元素,则M={1,3,5},{2,3,4};
若M只含4个元素,则M={1,2,4,5};
若M含5个元素,则M={1,2,3,4,5}.
所以M可能的结果为:
{3},{1,5},{2,4},{1,3,5},{2,3,4},{1,2,4,5},{1,2,3,4,5},共7个.
10.已知集合A={x|x2-9x+14=0},集合B={x|ax+2=0},若BA,求实数a的取值集合.
【解析】A={x|x2-9x+14=0}={2,7},因为BA,所以若a=0,即B=时,满足条件.
若a≠0,则B=,若BA,
则-=2或7,
解得a=-1或-.
则实数a的取值的集合为.
1.(2020·南昌高一检测)若x∈A,则∈A,就称A是伙伴关系集合,集合M={-1,0,
,,1,2,3,4}的所有非空子集中,具有伙伴关系的集合的个数为
( )
A.15
B.16
C.32
D.256
【解析】选A.因为若x∈A,则∈A,所以0?A,
当-1∈A时,=-1∈A,
当1∈A时,=1∈A,当2∈A时,?A,
当3∈A时,∈A,当4∈A时,∈A,
所以集合M的所有非空子集中,具有伙伴关系的集合中有-1,1,和3成对出现,和4成对出现,所以从上述4个元素(元素对)中选取,组成的非空集合共有15个.
2.已知集合A={x|1【解析】(1)当a=0时,A=,满足A?B.
(2)当a>0时,A=.
又因为B={x|-1所以所以a≥2.
(3)当a<0时,A=.
因为A?B,所以
所以a≤-2.
综上所述,a的取值范围为{a|a≥2或a≤-2或a=0}.
【误区警示】解答本题,研究集合中元素满足的性质时,容易忽视分a=0,a>0,a<0三种情况讨论.
PAGE课时素养评价四 补集、全集
(15分钟 30分)
1.已知全集U={x|x≥-3},集合A={x|-2( )
A.
{x|-2≤x<4}
B.
{x|
x<-2或x>4}
C.
{x|-3≤x≤-2}
D.
{x|-3≤x≤-2或x>4}
【解析】选D.将全集U,集合A表示在数轴上,如图所示.
所以UA={x|-3≤x≤-2或x>4}.
2.设全集U和集合A,B,P,满足A=UB,B=UP,则A与P的关系是
( )
A.A=P
B.A?P
C.P?A
D.A≠P
【解析】选A.由A=UB,得UA=B.
又因为B=UP,所以UP=UA,即A=P.
3.已知A={0,2,4,6},UA={-1,-3,1,3},UB={-1,0,2},集合B=__________.?
【解析】因为A={0,2,4,6},UA={-1,-3,1,3},
所以U={-3,-1,0,1,2,3,4,6}.
而UB={-1,0,2},
所以B=U(UB)={-3,1,3,4,6}.
答案:{-3,1,3,4,6}
4.已知全集U={-1,0,1},集合A={0,|x|},则UA=________.?
【解析】根据题意知,|x|=1,所以A={0,1},U={-1,0,1},所以UA={-1}.
答案:{-1}
5.(1)已知U={n|n是小于10的正整数},A={n|n是3的倍数,n∈U},求UA.
(2)已知U={x|x是三角形},A={x|x是等腰三角形},B={x|x是等边三角形},求U
B和AB;
(3)已知全集U=R,A={x|3≤x<10},B={x|2【解析】(1)因为U={1,2,3,4,5,6,7,8,9},
A={3,6,9},所以UA={1,2,4,5,7,8}.
(2)UB={x|x是三边不都相等的三角形};
AB={x|x是有且仅有两边相等的三角形}.
(3)因为A={x|3≤x<10},B={x|2所以借助于数轴知UA={x|x<3,或x≥10},UB={x|x≤2,或x>7}.
(20分钟 40分)
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.(2020·南通高一检测)若全集U=且UA=,则集合A的真子集共有
( )
A.7个
B.5个
C.
3个
D.
8个
【解析】选A.由题意知,集合A有三个元素,所以A的真子集个数为7个.
【补偿训练】
设全集U={x||x|<4,且x∈Z},S={-2,1,3},若UP?S,则这样的集合P共有
( )
A.5个 B.6个 C.7个 D.8个
【解析】选D.U={-3,-2,-1,0,1,2,3},因为U(UP)=P,所以存在一个UP,即有一个相应的P(如当UP={-2,1,3}时,P={-3,-1,0,2},当UP={-2,1}时,P={-3,-1,0,2,3}等),由于S的子集共有8个,所以P也有8个.
2.已知集合I,M,N的关系如图所示,则I,M,N的关系为
( )
A.(IM)?(IN)
B.M?(IN)
C.(IM)?(IN)
D.M?(IN)
【解析】选C.由题图知M?N,
所以(IM)?(IN).
3.(多选题)已知集合A={x|x<-1或x>5},C={x|x>a},若RA?C,则a的值可以是
( )
A.-2
B.-
C.
-1
D.0
【解析】选AB.RA={x|-1≤x≤5},要使RA?C,则a<-1.故a的值可以是-2和-.
4.设集合U={-1,1,2,3},M={x|x2+px+q=0},若UM={-1,1},则实数p和q的值分别为
( )
A.0,-1
B.-1,0
C.-5,6
D.5,-6
【解析】选C.因为UM={-1,1},所以M={2,3},即2,3是x2+px+q=0的根,所以-p=2+3,q=2×3.所以p=-5,q=6.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.已知集合U={x∈N|x≤10},A={小于10的正奇数},B={小于11的质数},则UA=________,UB=________.?
【解析】U={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},
因为A={小于10的正奇数}={1,3,5,7,9},
所以UA={0,2,4,6,8,10}.
因为B={小于11的质数}={2,3,5,7},
所以UB={0,1,4,6,8,9,10}.
答案:{0,2,4,6,8,10} {0,1,4,6,8,9,10}
【补偿训练】
设U={x|-5≤x<-2,或2【解析】方法一:在集合U中,因为x∈Z,则x的值为-5,-4,-3,3,4,5,
所以U={-5,-4,-3,3,4,5}.
又A={x|x2-2x-15=0}={-3,5},
所以UA={-5,-4,3,4},UB={-5,-4,5}.
方法二:可用Venn图表示
则UA={-5,-4,3,4},UB={-5,-4,5}.
答案:{-5,-4,3,4} {-5,-4,5}
6.已知全集U={x|-1≤x≤1},A={x|0________.?
【解析】由全集定义知A?U,从而a≤1.
又UA≠U,所以A≠,故a>0.
综上可知0答案:0三、解答题
7.(10分)已知全集U={2,3,a2-2a-3},A={b,2},UA={5},(1)求实数a,b的值;
(2)写出集合A的所有子集.
【解析】(1)因为全集U={2,3,a2-2a-3},A={b,2},UA={5},
所以a2-2a-3=5,b=3,所以a=4或-2,b=3;
(2)由(1)知A={3,2},故集合A的所有子集为,{2},{3},{2,3}.
【补偿训练】
已知集合A={x|x2-4x+3=0},B={x|ax-6=0}且RA?RB,求实数a的取值集合.
【解析】因为A={x|x2-4x+3=0},
所以A={1,3}.又RA?RB,
所以B?A,所以有B=,B={1},B={3}三种情形.当B={3}时,有3a-6=0,所以a=2;
当B={1}时,有a-6=0,所以a=6;
当B=?时,有a=0,
所以实数a的取值集合为{0,2,6}.
PAGE课时素养评价五 交集、并集
(15分钟 35分)
1.(2020·宿迁高一检测)设集合A={x|-1≤x≤2,x∈N},集合B={2,3},则A∪B等于
( )
A.{-1,0,1,2,3}
B.{0,1,2,3}
C.{1,2,3}
D.
【解析】选B.由题意,集合A={x|-1≤x≤2,x∈N}={0,1,2},
又由集合B={2,3},所以A∪B={0,1,2,3}.
【补偿训练】
设集合A={a,b},B={a+1,5},若A∩B={2},则A∪B等于
( )
A.{1,2,5}
B.{1,2}
C.{1,5}
D.{2,5}
【解析】选A.因为A∩B={2},所以2∈A,且2∈B,所以a+1=2,
所以a=1,所以b=2.
所以A={1,2},B={2,5},所以A∪B={1,2,5}.
2.(2019·全国卷Ⅲ)已知集合A={-1,0,1,2},B={x|x2≤1},则A∩B=
( )
A.{-1,0,1}
B.{0,1}
C.{-1,1}
D.{0,1,2}
【解析】选A.因为集合A={-1,0,1,2},
B={x|x2≤1}={x|-1≤x≤1},
所以A∩B={-1,0,1}.
3.设全集U是实数集R,M={x|x<-2或x>2},N={x|1≤x≤3},如图,则阴影部分所表示的集合为
( )
A.{x|-2≤x<1}
B.{x|-2≤x<3}
C.{x|x≤2或x>3}
D.{x|-2≤x≤2}
【解析】选A.由题意,知M∪N={x|x<-2或x≥1},所以阴影部分所表示的集合为U(M∪N)={x|-2≤x<1}.
4.(2020·徐州高一检测)已知集合A={-2,0,1,3},B={x|-【解析】因为A={-2,0,1,3},B={x|-所以A∩B={-2,0,1},
所以A∩B的子集个数为23=8个.
答案:8
【补偿训练】
已知集合A={1,2,3},集合B={-1,1,3}
,集合S=A∩B,则集合S的真子集有________个.?
【解析】由题意可得
S=A∩B={1,3}
,
所以集合
S
的真子集的个数为
3
个.
答案:3
5.已知集合A={x|2若A∩B={x|3【解析】由A={x|2A∩B={x|3如图
可知a=3,此时B={x|3即a=3为所求.
答案:3
6.(2020·镇江高一检测)设U=R,A=,B=或,求(1)A∩B;(2)∩.
【解析】由题意得B=或.
(1)A∩B=.
(2)因为UA=或,
UB=,
所以∩=.
(30分钟 60分)
一、单选题(每小题5分,共20分)
1.已知集合M={x|x<0},N={x|x≤0},则
( )
A.M∩N=
B.M∪N=R
C.MN
D.NM
【解析】选C.集合M={x|x<0},N={x|x≤0},集合N包含M中所有的元素,且集合N比集合M多一个元素0,由集合真子集的定义可知:集合M是集合N的子集,且是真子集,所以M={x|x<0}N={x|x≤0}.
2.设A,B是非空集合,定义A
B={x|x∈A∪B且x?A∩B},已知A={x|0≤x≤3},
B={y|y≥1},则A
B等于
( )
A.{x|1≤x<3}
B.{x|1≤x≤3}
C.{x|0≤x<1或x>3}
D.{x|0≤x≤1或x≥3}
【解析】选C.由题意知,A∪B={x|x≥0},
A∩B={x|1≤x≤3},
则A
B={x|0≤x<1或x>3}.
3.(2020·无锡高一检测)已知全集U=N,设集合A={x|x=,k∈,集合B={x|x>6,x∈N},则A∩NB等于
( )
A.{1,4}
B.{1,6}
C.{1,4,6}
D.{4,6}
【解析】选C.因为A={x|x=,k∈N}={1,,,,,…},
B={x|x>6,x∈N},
所以NB={x|x≤6,x∈N}={0,1,2,3,4,5,6},
所以A∩NB={1,4,6}.
4.(2020·盐城高一检测)设集合M=,N=,若M∩N=,则实数a的取值范围是
( )
A.a≤2
B.
a≤-1
C.
a<-1
D.
a>2
【解析】选B.因为M=,N=,若M∩N=,用数轴表示如图,
由图可知实数a的取值范围是a≤-1.
【补偿训练】
已知集合A=,B=,且A∩B=,求实数a的取值范围.
【解析】当a-1≥2a+1,即a≤-2时,A=,
满足A∩B=;当a-1<2a+1,即a>-2时,A≠,
若A∩B=,则需2a+1≤0或a-1≥1,
解得-2综上所述,a∈∪.
二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)
5.已知集合M,N,P为全集U的子集,且满足M?P?N,则下列结论正确的是
( )
A.UN?UP
B.NP?NM
C.(UP)∩M=
D.(UM)∩N=
【解析】选ABC.因为集合M,N,P为全集U的子集,且满足M?P?N,
所以作出Venn图,如图所示.
由Venn图,得UN?UP,故A正确;NP?NM,
故B正确;(UP)∩M=,故C正确;
(UM)∩N≠,故D错误.
6.U为全集时,下列说法正确的是
( )
A.若A∩B=,则(UA)∪(UB)=U
B.若A∩B=,则A=或B=
C.若A∪B=U,则(UA)∩(UB)=
D.若A∪B=,则A=B=
【解析】选ACD.A对,因为(UA)∪(UB)=U(A∩B),而A∩B=,
所以(UA)∪(UB)=U(A∩B)=U.
B错,A∩B=,集合A,B不一定要为空集,只需两个集合无公共元素即可.
C对,因为(UA)∩(UB)=U(A∪B),而A∪B=U,所以(UA)∩(UB)=U(A∪B)=
.
D对,A∪B=,即集合A,B均无元素.综上ACD对.
三、填空题(每小题5分,共10分)
7.(2020·无锡高一检测)设集合A={1,2,4},B={x|x2-4x+m=0}.若A∩B={1},则B=______.?
【解析】因为A∩B={1},所以x=1为方程x2-4x+m=0的解,则1-4+m=0,解得m=3,
所以x2-4x+3=0,解得x=1或x=3,所以集合B=.
答案:
【补偿训练】
(2020·南充高一检测)设集合A={-4,t2},集合B={t-5,9,1-t},若9∈A∩B,则实数t=______.?
【解析】因为A={-4,t2},B={t-5,9,1-t},且9∈A∩B,
所以t2=9,解得:t=3或-3,当t=3时,根据集合元素的互异性可知不合题意,舍去;则实数t=-3.
答案:-3
8.如图所示,图中的阴影部分可用集合U,A,B,C表示为________.?
【解析】图中的阴影部分的元素既属于A,又属于B,但不属于C,故可用集合U,A,B,C表示为(A∩B)∩(UC).
答案:(A∩B)∩(UC)
【补偿训练】
如图,I是全集,A,B,C是它的子集,则阴影部分所表示的集合是( )
A.(IA∩B)∩C
B.(IB∪A)∩C
C.(A∩B)∩(IC)
D.(A∩IB)∩C
【解析】选D.由图可知阴影部分中的元素属于A,不属于B,属于C,则阴影部分表示的集合是(A∩IB)∩C.
四、解答题(每小题10分,共20分)
9.已知集合U={x∈Z|-2求A∩B,U(A∪B),A∩(UB),B∪(UA).
【解析】集合U={x∈Z|-2A={0,1,3,4,,B={-1,1,4,6,;
所以A∩B={1,4,,A∪B={-1,0,1,3,4,6,,所以U(A∪B)={2,5,7,,
又UB={0,2,3,5,7,,UA={-1,2,5,6,7,,
所以A∩(UB)={0,,
B∪(UA)={-1,1,2,4,5,6,7,8,.
10.(2020·连云港高一检测)集合A={x|-2(1)当m=2时,求A∪B;
(2)若A∩B=B,求实数m的取值范围.
【解析】(1)当m=2时,集合
B={x|m-1又A={x|-2所以A∪B={x|-2(2)由A∩B=B,则B?A,当B=时,
有m-1≥2m+1,解得m≤-2,满足题意;
当B≠时,应满足
解得-1≤m≤;
综上所述,m的取值范围是m∈(-∞,-2]∪.
1.(2020·泰安高一检测)用card(A)来表示有限集合A中元素的个数,已知全集U=A∪B,D=(UA)∪(UB),card(U)=m,card(D)=n,若A∩B非空,则card(A∩B)=
( )
A.mn
B.m+n
C.n-m
D.m-n
【解析】选D.由题意画出Venn图
空白部分表示集合D,整体表示全集U,阴影部分表示A∩B,
则card(A∩B)=card(U)-card(D)=m-n.
2.设全集U={x|x≤5,且x∈N+},其子集A={x|x2-5x+q=0},B={x|x2+px+12=0},且(UA)∪B={1,3,4,5},求实数p,q的值.
【解析】由已知得U={1,2,3,4,5}.
(1)若A=,则(UA)∪B=U,不合题意;
(2)若A={x0},则x0∈U,且2x0=5,不合题意;
(3)设A={x1,x2},则x1,x2∈U,且x1+x2=5,
所以A={1,4}或{2,3}.
若A={1,4},则UA={2,3,5},
与(UA)∪B={1,3,4,5}矛盾,舍去;若A={2,3},则UA={1,4,5},由(UA)∪B={1,3,4,5}知3∈B,同时可知B中还有一个不等于3的元素x,由3x=12得x=4,即B={3,4}.综上可知A={2,3},B={3,4},所以q=2×3=6,p=-(3+4)=-7.
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