(京改版)数学九年级上册 22.1直线和圆的位置关系 教学设计

课程基本信息
课题
直线和圆的位置关系
教科书
书名：
义务教育教科书数学九年级上册
出版社：
北京出版社
出版日期：
2015
年
7月
教学目标
教学目标：
1.通过画图、观察、分析、归纳，初步了解直线和圆的三种位置关系，掌握切线的概念；
2.类比点和圆的位置关系来研究直线和圆的位置关系，进一步体会类比、分类讨论、数形结合解决数学问题的方法，发展化归的意识；
3.经历探索直线和圆的位置关系的过程，积累数学活动经验，在学习活动中获得成功的体验，树立自信心.
教学重点：理解直线和圆的三种位置关系.
教学难点：探索直线和圆的三种位置关系.
教学过程
时间
教学环节
主要师生活动
2
分钟
14
分钟
4
分钟
2
分钟
1
分钟
复习引入
探究
新知
应用
新知
回顾总结
布置作业
一、复习引入
问题：在上一章的学习中，我们了解了点和圆的位置关系，你还记得点和圆的位置关系有哪些吗？我们是如何判断点和圆的位置关系的？
(1)点在圆内
(2)点在圆上
(3)点在圆外
(位置关系)
(数量关系)
本章我们将继续研究其他几何图形和圆的位置关系，这节课我们首先来探究直线和圆的位置关系.
二、探究新知
活动1
实验操作
请同学们阅读学习任务单中的活动1，在有圆的平面内任意画一条直线，观察直线和圆的不同位置关系，回答下面的问题.
问题1
直线和圆的位置关系有几类？分类的依据是什么？
通过画图、观察可以发现，根据直线和圆的公共点的个数的不同，我们可将直线和圆的位置关系归纳为以下三种情况：
(1)直线和圆有两个公共点；
(2)直线和圆有一个公共点；
(3)直线和圆没有公共点.
问题2
一条直线和圆的公共点的个数能否超过两个？为什么？
不能.
分析：反证法
假设一条直线和圆有三个公共点，那么根据公共点既在圆上又在直线上，可得过这三个公共点可以作一个圆，这与“过同一条直线上的三点不能作圆”矛盾.因此，直线和圆的位置关系只有以上三种情况.
活动2
归纳概括
下面我们给出本节课的相关概念：
(1)当一条直线与一个圆有两个公共点时，我们称这条直线和这个圆相交.这条直线叫做圆的割线.
(2)当一条直线与一个圆有唯一公共点时，我们称这条直线和这个圆相切.这条直线叫做圆的切线，这个公共点叫做切点.
(3)当一条直线与一个圆没有公共点时，我们称这条直线和这个圆相离.
概念辨析：下列图形反应了直线和圆的哪种位置关系？
分析：分别是相切、相离、相交.其中第三张图，由于直线是可以无限延伸的，故直线和圆有两个交点.
问题3
你能举出生活中有哪些场景是与直线和圆的位置关系相关的吗？
(1)太阳与地平线
(2)下雨天快速转动雨伞时飞出的水珠
活动3
观察思考
请同学们阅读学习任务单中的活动3，画出直线和圆相交的图形，你能画出几种情况？
(1)直线过圆心
(2)直线不过圆心
设直线和圆相交于，两点，当直线过圆心时，线段就是圆的直径；当直线不过圆心时，线段就是弦，而这两种情况分别对应着我们前面学习过的圆的轴对称性和垂径定理的内容.
我们将上述两种情况画在同一张图中，过圆心作于，在Rt△ODA中，斜边始终大于直角边，所以，由此可得直径是圆中最长的弦.
问题4
为了美化城市环境，某建筑工地准备在公路正北方向的点处建设一座圆形花坛，如图所示，要求公路不穿过花坛(没有公共点)，请你求出花坛的半径的取值范围.
分析：由题意可知，☉A和相离，根据直线和圆相离的概念，只需要使得☉A和没有公共点即可，画出示意图，如图.
测量出☉A和相切时的半径，则的范围是.
那么，除了利用定义直接观察直线和圆的公共点的个数判断直线和圆的位置关系以外，我们能否也利用数量关系来判断直线和圆的位置关系呢？
活动4
探究交流
请同学们类比点和圆的位置关系的研究，探究如何用数量关系来刻画直线和圆的位置关系.
设☉O的半径为，☉O到直线的距离为.容易得到：
(1)直线和圆相交
(2)直线和圆相切
(3)直线和圆相离
由此，我们得到了直线和圆的位置关系的另一种判定方法，即可以用圆心到直线的距离和半径的数量关系来判断直线和圆的位置关系.
我们总结一下判断直线和圆的位置关系的方法：
(1)从直线和圆的公共点的个数来判断，也就是利用定义进行判定；(几何特征)
(2)利用圆心到直线的距离和半径的数量关系来判断.(代数特征)
上述命题既可以作为各种位置关系的判定，也可以作为位置关系的性质，反应了“形”与“数”之间的内在联系，即图形的位置关系确定了它们的数量关系，反之亦然.
问题回顾
问题4
为了美化城市环境，某建筑工地准备在公路正北方向的点处建设一座圆形花坛，如图所示，要求公路不穿过花坛(没有公共点)，请你求出花坛的半径的取值范围.
所以，花坛半径的范围是.
三、应用新知
例1.
在△ABC中，，cm，cm，以为圆心，为半径画圆.当(1)cm，(2)cm，(3)cm时，☉C与所在直线具有怎样的位置关系？为什么？
分析：要判断☉C与所在直线的位置关系，就是要比较圆心到的距离与圆的半径之间的数量关系.
解：如图，过点作于点.
，，，
.
，
2.4
.
即圆心到的距离的长为2.4
cm
.
(1)当r=1.8
cm时，，因此☉C与AB相离；
(2)当r=2.4
cm时，，因此☉C与AB相切；
(3)当r=2.6
cm时，，因此☉C与AB相交.
变式.在△ABC中，，cm，cm，以为圆心，为半径画圆.当☉C与线段相交时，求半径的取值范围.
(把例1中的直线AB改为线段AB)
分析：由例1可知，当半径r＝2.4时，☉C与线段AB相切，故r＞2.4，但r并不能无限大，可以通过数形结合来分析.
画出如下图形：
由于BC边大于AC边，所以r的取值范围在和之间，所以
2.4解：由例1知，CD=2.4cm
.
∵，
∴，
∴2.4<
r
≤4.
即当☉C与线段相交时，半径的取值范围为2.4<
r
≤4.
例2.已知☉A的直径为6，点A的坐标为(3,4)，则☉A与x轴的位置关系是什么？☉A与y轴的位置关系是什么？
分析：判断圆和坐标轴的位置关系，我们仍然是比较圆心A到x轴y轴的距离和圆的半径的大小.
解：过圆心A作AB⊥x轴于点B，作AC⊥y轴于点C.
∵AC=3=r，AB=4>r，
∴☉A与x轴相离，与y轴相切.
四、回顾总结
知识层面
直线和圆的三种位置关系；
直线和圆的位置关系的性质和判定.
直线和圆的三种位置关系
直线和圆的位置关系相交相切相离直线和圆的公共点个数两个一个无
图形
直线的名称割线切线公共点名称交点切点圆心到直线的距离与半径之间的数量关系
方法层面
类比的数学思想；
分类讨论、数形结合的数学方法.
五、布置作业
A组：
1.已知☉O的半径为4cm，当圆心O到直线l
的距离分别为(1)3.5cm，(2)4cm，(3)4.5cm时，判断直线l
和☉O的位置关系.
2.在△ABC中，AB=10，BC=8，AC=6.如果以C为圆心，BC的长为半径画圆，那么AB与☉C有怎样的位置关系？
B组：
3.类比点和圆、直线和圆的位置关系的研究方法，探究圆和圆的位置关系.(提示：从“数”和“形”两个方面进行探究)